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Full text of "Archives néerlandaises des sciences exactes et naturelles"

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HARVARD UNIVERSITY. 




LIBRARY 

OF THE 

MUSEUM OF COMPARATIVE ZOOLOGY. 



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FEB \1 1901 



Aechives I^éeelaidaises 



DES 



SCIENCES 

EXACTES ET NATUEELLES 



PUBLIEES PAR 



LA SOCIETE HOLLANDAISE DES SCIENCES À HAELEM, 

ET RÉDIGÉES PAR 

J. BOSSCHA, 

Secrétaire, 

avec la collaboration des Membres de la Société. 



SERIE II, TOME V. 



LA HAYE 
MAETINUS NIJHOEF. 

"^igoo. 



ARCHIVES NEERLANDAISES 



DES 



SCIENCES 

EXACTES ET NATURELLES 

PUBLIÉES PAR 

LA SOCIÉTÉ HOLLANDAISE DES SCIENCES À HARLEM, 

ET RÉDIGÉES PAR 

J. BOSSCHA, 

Secrétaire, 
avec la collaboration des Membres de la Société. 



SÉRIE II, TOME V. 



1 

La Haye 

M ART IN II s NlJHOFF 
1900. 



\^\\ 



,1 



IMPR. JOH. ENSCHEDE ET FILS HARLEM. 



AVIS. 



Nous avons interrompu la publication du Tome lA^ de la deuxième 
Série des Ârclàvps néerlandaises des sciences exactes et naturelles pour 
nous associer à Fhommage international rendu à notre éminent collabo- 
rateur, le Prof. H. A, Lorentz^ à l'occasion du 2,5™*' anniversaire de 
son doctorat. 

Nous sommes heureux d'avoir pu y contribuer en insérant dans notre 
Recueil^ comme Tome V, non seulement les mémoires des savants hol- 
landais qui ont pris Tinitiative de cette remarquable manifestation^ mais 
aussi ceux que Télite des physiciens étrangers a dédiés au célèbre et sym- 
pathique savant qui a illustré nos Archives de ses œuvres. 

Les auteurs ont bien voulu, à notre prière, rédiger leurs mémoires 
en français, allemand ou anglais. 

Les livraisons 2 à ô du Tome IV paraîtront dans le cours de Fannée 
suivante. 

LA RÉDACTION. 

Harlem, 13 décembre 1900. 



RECUEIL DE TRAVAUX 



OFFERTS PAR LES AUTEURS 



A 



H. A. LORENTZ 

PROFESSEUR DE PHYSIQUE À L'UNIVERSITE DE LEIDEN 

À L'OCCASION 

DU 25^'E ANNIVERSAIRE DE SON DOCTORAT 

LE 11 DÉCEMBRE 1900. 



LA HAYE 
MAETINUS NIJHOER 

1900. 



FEB 1 1 1901 



TABLE DES MATIERES. 



Bernard Brunîtes. — Sur la réflexion interne clans nn cristal doué 

du pouvoir rotatoire Page 1 . 

V. A, JuLius. — Sur l'action subie par un conducteur chargé dans 

un champ d'intensité constante „ 17 . 

Lord Rayi.evcui. — On tlie stresses in solid bodies due to unequal hea- 

ting, and on the douWe refraction resulting therefrom „ 32. 

H. Pem.at. — Réflexions an sujet de l'univers et des lois naturelles „ 43. 

WiLDKR D. Bancroft. — Ecaction velocity and solubility „ 46. 

Edm. van Ai'BEL. — Sur les résistances électriques des métaux purs „ 49. 

JuLius Fark AS. — Allgemeine Principien fiir die Meclianik des Aethers ,, 56 . 

LuDwiG Boltzmann. — Notiz iiber die Formel fiir den Dr uck der CI ase „ 76. 

E. Mathias. — Sur la loi de distribution de la composante horizon- 
tale du magnétisme terrestre en France „ 78. 

W. Wien. — Ueber die Moglichkeit einer elektromagnetischen Be- 

griindung der Mechanik „ 96 . 

G-. Tamman. — Ueber die Lage der Volumen- und Energieflache eines 

Krystalls und seiner Schmelze „ 108. 

N. Schiller. — Einige thermodynaraisch abzuleitenden Beziehungen 

zwischen den Grossen, die den physikalischen Zustand einer Losung 

characterisiren „ 118 . 

W. Kauemann. — Ueber die Schwingungsamplitude der Electronen „ 148. 
A. Turpain. — Etude expérimentale sur le résonnateur de Hertz . „ 152. 
Max Peanck. — Ueber die von einem elliptisch schwingenden Ion 

emittirte und absorbirte Energie „ 164. 

G. GuGLiEEMo. — Description d'une simple balance magnéti([ue. . . . „ 175. 
Eduard Riecke. — Ueber characteristische Curven bei der electri- 

schen Entladung durch verdiinnte Gase „ 181 . 

G. J. W. Bremer. — Indices de réfraction de solutions de chlorure 

de calcium „ 202 . 

F. A. H. Schreinemakers. — La tension de vapeur de mélanges 
ternaires „ 214 . 

P. DuHEM. — Sur la théorie électrodynamique de Heemiioltz et la 

théorie électromagnétique de la lumière „ 227. 

P. Zeeman. — "Weiteres zur unsymmetrischen Aenderung der Spec- 

trallinien in einem Magnetfelde „ 237 . 

H. Du Bois. — Toupie magnétocinétique; illustrant les phénomènes 

para- et diamagnétiques „ 242. 



VIII TABLE DES MATIERES. 

H. PoiNCARÉ. — La théorie de Lorentz et le principe de la réaction. Page 252. 
G. H. Bryan. — Energy accélérations. A study in energy partition 

and irreversibility „ 279 . 

Ernst Cohen. — Ueber die Bestimmung der Arbeit, welclie die Ver- 

wantscbaft leisten kann „ 295. 

J. P. KuENEN. — Mixtures of liydrocbloric acid and methylenetber „ .306. 

G. Bakker. — Théorie de l'induction électrique „ 312. 

A. Cornu. — Deux méthodes optiques pour l'étude de l'élasticité des 

corps solides „ 322 . 

E. L. NicjiOLS. — On a new method of calibrating thermo-electric 

éléments for use in the measurement of high températures „ 339 . 

Auguste Rigiii. — Sur les ondes électromagnétiques d'iîn ion vibrant „ 348. 
William Ramsay. — Notes on the refractivities of the inactive gases „ 356. 
H. W. Bakhuis Roozeboom. — Sur l'équilibre de cristaux mixtes 

avec la phase vapeur „ 360. 

W. VouiT. — Ueber das electrische Analogon des ZEEMAN-EfiFectes. „ 366. 
G. Sagnac. — ■ Relations nouvelles entre la réflexion et la réfraction 

vitreuses de la lumière „ 377 . 

J. Pernet. — Ueber einem Drehkomparator zur Vergleichung und 

Ausdehnungsbestimmung von Masstaben „ 395. 

J. D. VAN DER Waals. — Sur la relation entre les modifications, 

subies par le volume spécifique de la vapeur saturée et celui du 

liquide coexistant sous l'influence des variations de température.. „ 407. 
Daniel Berthelot. — Quelques remarques sur l'équation caractéris- 
tique des fluides „ 417 . 

L. H. Siertsema. — Die Dispersion der magnetischen Drehung der 

Polai'isationsebene in negativ drehenden Salzlosungen. Messungen 

mit rothem Blutlaugensalz 447 . 

E. VAN EvERDiNGEN Jr. — Ucber eine Erklârung der Widerstands- 

zunahme im MagnetfeldeundverwandterErscheinungeninWismuth „ 453. 

D. A. GoLDHAMMER. — Ucbcr den Druck der Lichtstrahlen „ 467. 

J. J. VAN Laar. — ■ Ueber die Ableitungen des thermodynamischen 

Potentials nach T und p bei zusammengesetzten Komponenten.. . „ 484. 

W. H. JuLius. • — • Bemerkungen liber einige Grundsatze der Elek- 

tricitàtslehre „ 497 . 

N. Kasterin. — Ueber die Ausbreitung der Wellen in einem nicht 

homogenen Médium von lamellarer Structur „ 506 . 

Emil Cohn. — Ueber die Gleichungen der Electrodynamik fiir be- 

wegte Kôrper „ 516 . 

A. Garbasso. — Ueber eine Darstellung der lichtdrehenden Korper „ 524. 

J. BosscHA. — ■ Remarques sur les normales barométriques et leur 

usage dans la prévision du temps. „ 529 . 

H. G. van de Sande Bakhuyzen. — Quelques remarques sur la ré- 
duction des positions des étoiles mesurées sur les clichés photogra- 
phiques „ 542 . 

E. WiECiiERT. — Elektrodynamische Elementargesetze „ 549. 



TABLE DES MATIERES. IX 

Max ReinCxANUM. — Ueber die molekulare Anziehung in scliwach 
compriinierten G-asen ; Page 574 . 

H. Haga. — Ueber den Versuch von Klinkerfues „ 583. 

J. D. VAN DER Waals Jr. — La propagation libre de la radiation 
est-elle réversible „ 587 . 

Ernst Dorn. — Versuche iiber Secnndârstrablen ,, 595. 

C. H. WiND. — Ueber das Feld langsam bewegter Electronen .... „ 609. 

Cii. M. A. Hartman. - — Beitràge zur Kenntnis der Van der Waals' 
schen \^-Flâche. III. Die Condensations-Erscheinungen bei Mi- 
schungen von Chlormethyl und Kohlensàure fiir 9^,5 „ 636 . 

J. J. Thomson. — On a view of the constitution of a luminous gas, 

suggested by Lorentz's theory of dispersion „ 642. 

J. E. Verschaffelt. — Contributions à la connaissance de la sur- 
face 4) de Van der Waals. — IV. La loi des états correspondants 
dans les mélanges d'anhydride carbonique et d'hydrogène „ 644. 

Th. des Coudres. — Zur Théorie des Kraftfeldes electrischer Ladungen, 

die sich mit Ueberlichtgesehwindigkeit bewegen „ 652. 

H. Kamerlingh Onnes. — Die reducirten GliBBs'schen Flàchen . . . . „ 665. 



ARCHIVES NÉERLANDAISES 

DES 

Sciences exactes et naturelles. 



SUR r.A REFLEXION CRISTALLINE INTERNE DANS UN CRISTAL DOUE 
DU POUVOIR ROTATOIRE. 

PAR 

M. BEKNAKD BRUNHES, 

professeur de Pliysicjue ù l'Université de Dijon. 



J'ai, il y a quelques années, imaginé une méthode expérimentale pour 
étudier le problème de la réflexion à Tintérieur des cristaux. ') Cette 
étude était nouvelle. J'ai appliqué ma méthode au quartz, au spath, à 
la topaze, mais pour le quartz, je m'étais borné au cas où les rayons 
lumineux, incidents ou réfléchis, font un angle notable avec l'axe o])tique 
et oi^i, par suite, le pouvoir rotatoire n'intervient pas. 

Dans les expériences qui fout l'objet du présent mémoire, j'ai abordé 
le cas oii la biréfringence se complique du pouvoir rotatoire. Je fais 
tomber à l'intérieur du quartz un rayon lumineux dirigé suivant Taxe 
optique, ou incliné sur cet axe d'un angle faible et connu; ce rayon, 
tombant sur une face de sortie qui fait avec l'axe un angle de 45°, 
donnera deux rayons réfléchis, l'un ordinaire, l'autre extraordinaire, entre 
lesquels on étudiera la différence de phase provenant de la réflexion. Ou 
comparera, à ce point de vue, la réflexion partielle sur l'alcool et la 
réflexion totale sui* l'air. 

J'avais énoncé, comme une des conclusions de mon précédent travail, 
la proposition suivante : 



') Annales de CItimie et de Pltijsiijue, G^ série, t. XXX, pp. 98 et 145. — 
Journal de Pliysique, 3e série, t. Il, p. 489 et t. III p. 2, 1893 et 1894. 

ARCHIVES NÉERLANDAISES, SlÎRIE II. TOME V. I 



2 M. BERNAllD BRUNHES, 

SI Von passe (V mi raijou mc'ideid au raijou incident conjugué, cest-li- 
dire donnant lien aux deux ménies directions de rayons réjlécJtis^ V inten- 
sité relative ae ces deux raijons réjiécliis est modifiée, mais leur différence 
de phase reste invariable^ dans le cas de la réfiexion totale. (Il n'eu serait 
])as ainsi dans la réflexion métallique). 

Ce résultat se trouvera généralisé par les expériences 2)résentes. Ici^ 
pour avoir à l'intérieur du cristal un rajon incident unique, il faudra 
conserver, si le rayon est dirigé suivant l'axe optique, l'un ou l'autre 
des deux circulaires droit ou gauche qui peuvent se propager sans alté- 
ration suivant cet axe. La différence de marche introduite, par la ré- 
flexion totale, entre les deux ra^yons réfléchis (polarisés rectilignement) 
restera la même, qu'ils proviennent d'un rayon incident circulaire droit 
ou d'un circulaire gauclie. 

Il en est de môme pour une direction oblique à l'axe, si l'on passe 
d'un des rayons elliptiques privilégiés se pro])ageant dans cette direction, 
à l'autre elliptique privilégié. 

La nécessité de ne conserver qu'un rayon incident ])our avoir des 
expériences aisées à interpréter, la nécessité, par suite, de donner au rayon 
entrant dans le cristal w\\ç, polarisation nniradiale, entraîne, dans le cas 
où le rayon uniradial est un elliptique privilégié, quelques difficultés spécia- 
les. Par contre, les expériences nous fournissent l'occasion de déterminer, 
pour diverses valeurs de l'angle du rayon avec l'axe optique, l'ellipticité 
de la vibration privilégiée. Les résultats obtenus dans ces mesures con- 
cordent avec ceux que donne le calcul, quand on part des idées de M. 
GouY et qu'on superpose simplement dans les équations du mouvement 
les termes relatifs à la biréfringence aux termes relatifs au pouvoir 
rotatoire. ') 



I. 

Prisme a liquide, et disposition générale de V appareil. 

Pour étudier la réflexion cristalline interne, j'emploie l'appareil qui 
m'a servi précédemment^); j'ai dii seulement y ajjporter quelques modi- 
flcations. C'est un prisme à liquide, rectangle et isocèle : la face hy])o- 



') GouY, Journal de Physique^ 2e série t. IV, p. 149; 1^85. 
') Journal de Physique, 3c série, t. III, p. 490. 



SUR LA REFLEXION CRISTALLINE, ETC. 




téuuse est formée ]);ir la lauie cristalline à étudier; les deux autres sont 
des glaces de verre. On remplit le prisme d'un mélange de sulfure de 
carbone et de benzine, dont rindi(te moyen, ])Our la région la plus lumi- 
neuse du spectre, est voisin de 
rindice ordinaire du quartz. 
La lame cristalline, de for- 
me circulaire, appuie sur un 
rebord intérieur qui avance 
de 5™'", tout autour d'une 
ouverture de 40"^'" de dia- 
mètre ménagée dans la face 
hypoténuse du prisme. La 
lame est moins épaisse que 
la paroi; au-dessus l'on pose 
une petite couronne cylin- 
drique qui entre exactement 
dans le trou circulaire, et 
contre cette couronne ou 
appli(|ue une plaque métallique rectangulaire servant de couvercle, qui 
])eut être serrée fortement. Entre ce couvercle et le cristal est ainsi mé- 
nagé un espace fermé oii Ton peut soit laisser de l'air, soit introduire 
un liquide quelconque. C'est sur ce milieu que se fait la réflexion étudiée. 
La couronne cylindrique est munie d'une cloison diamétrale qui divise 
cet espace eu deux compartiments; l'un d'eux peut-être rempli d'alcool 
et l'autre rester vide, ce qui facilite une comparaison entre la réflexion 
sur les deux milieux. De petites cheminées implantées sur le couvercle 
])ermettent le remplissage de ces compartiments. Une autre cheminée à 
bouchon, implantée sur la base supérieure du prisme, permet le rem- 
plissage de ce prisme: un orifice plus large sert à l'introduction d'un 
therjnomètre dans le liquide. 

Si le faisceau lumineux tombe normalement sur l'une des faces laté- 
rales du prisme, il sort par l'autre face latérale après s'être réfléchi à 45° 
sur la surface intérieure du cristal. Pour étudier d'autres incidences, il 
suffira d'incliner d'un angle connu le faisceau incident sur la face d'en- 
trée. J 'ai employé ici deux lames de quartz, l'une droite, l'autre gauche, 
taillées toutes deux de façon que l'axe optique fît un angle de 45° environ 
avec la surface de la lame. Voici les valeurs exactes des épaisseurs et 
des angles (p de la normale à chacune des lames, avec l'axe. 

1* 



M. BERNARD BRUNHES. 



Lame de quartz gauche 
Lame de quartz droit 



K 



44°52'15' 

44°48'15" 



Ces angles ont été déterminés par l'étude des spectres cannelés don- 
nés par ces lames, en lumière normale. 

Pour pouvoir faire traverser une de ces lames par le faisceau lumineux 
dans la direction exacte de l'axe optique, il s'agissait d'abord de bien 
orienter la section principale de la lame dans le plan de la section droite 
du prisme. Pour y arriver, je commençais par coller la lame sur la 
couronne circulaire de manière que la cloison diamétrale de celle-ci fût 
dirigée a peu près suivant la section principale de la lame. Il fallait ren- 
dre le réglage ])lus parfait. J'ai muni la couronne métallique d'une 
oreille latérale d'I cui.^ environ et de 2'"'" d'épaisseur, qui prolonge la 
cloison diamétrale. Elle est pincée 
entre deux pointes d'acier, (|ui occu- 
pent l'axe de deux cylindres, montés 
sur la face hypoténuse. Les deux 
pointes sont mobiles: l'une se visse 
dans le cylindre qu'elle traverse, 
et on peut la faire avancer ou recu- 
ler en tournant un bouton: l'autre, 
maintenue par un ressort à boudin, 
vient toujours buter contre l'oreille 
et celle-ci se trouve constamment 
serrée entre les deux pointes. On 
peut ainsi faire varier de 5° ou 6° 
l'orientation de la cloison, et par 
suite celle de la section principale 
de la lame cristalline qui eu est 
solidaire. 

On collera d'abord la lame cris- 
talline contre la couronne métalli- 
que, puis on laissera sécher; ou introduira ensuite de la colle entre la 
couronne métallique et le rebord de l'ouverture du prisme, et, tant que 
la colle est encore humide, on réglera l'orientation en tournant le bou- 
ton. Une fois l'orientation exactement obtenue, on appliquera le couver- 
cle ])ar dessus la couronne et ou le maintiendra avec (juatre. petits écrous. 




Fiff. 2. 



SUR I.A REFLEXION CRISTALLINE, ETC. 5 

Le réglage de rorientatiou se fait, en ])la(;ant le prisme, encore^ 
vide de liquide, entre un polariseur et un analyseur exaeteineut orien- 
tés dans les plans vertical et horizontal. Le prisme est fixé par trois 
boutous à une bonnette montée sur un su])])ort vertical à vis calantes. 
On s'arrange pour qu'une rotation autour de Taxe vertical de ce sup- 
port amène successivement les trois faces du prisme à être bien nor- 
males à un faisceau lumineux cylindrique, qui a traversé le jjolariseur: 
on ])eut y arriver, parce que le ])risme est bien construit. Il suffit 
alors de toucher à la vis qui agit sur la couronne métallique pour 
que, la lame cristalline étant traversée normalement jxir le faisceau 
lumineux, on ait toujours une extinction parfaite après la traversée de 
l'analyseur. 

Le liquide dont on remplit le prisme, pour éliminer la réflexion exté- 
rieure à la surface du cristal, est un mélange de deux volumes de ben- 
zine pour un volume de sulfure de carbone; les volumes étant mesurés 
à 15°. .J'ai étudié avec soin la réfringence et la dispersion de ce mé- 
lange, à diverses températures; mais, comme il peut avoir légèrement 
changé de composition d'une expérience à l'autre, à chaque expérience 
j'ai soin d'en reprendre de nouveau l'indice ])our les raies D., ou />,; pour 
la variation de l'indice quand onpasseàuner radiation voisine, ou pour la 
variation de réfringence avec la température, je me reporte aux nombres 
déterminés une fois pour toutes. 

Ce qui intéresse le plus, c'est l'indice de ce liquide par rapport au 
quartz. C'est cette quantité que j'ai soin' de déterminer directement, en 
versant le liquide étudié dans une cuve à faces parallèles, et plongeant 
dans le liquide un prisme de ([uartz: c'est un prisme de 60° d'angle, 
dont on place le plan bissecteur ])arallèle aux faces de la cuve; on éli- 
mine par un nicol le rayon extraordinaire, et on observe le spectre 
obtenu entre un collimateur et une lunette de goniomètre. Ou a consti- 
tué ainsi un speetroscope à vision directe: si une raie connue se trouve 
exactement daus la direction où l'on visait la fente du collimateur, en 
lumière blanche, avant l'introduction du prisme de quartz, c'est que 
])our cette raie, à la température de l'expérience, l'indice du liquide est 
exactement égal à l'indice ordinaire du quartz. Pour toute autre raie, 
on déduira aisément de l'angle de déviation lu au goniomètre, l'angle >; 
dont doit dévier un rayon lumineux en pénétrant du liquide dans le 
quartz sous une incidence de 45°. Le tableau suivant fait connaître, 
pour trois raies, le valeur de ■/,, de l'indice v du liquide, et de l'indice 



M. BERNARD BRUNHES. 



ordinaire JV^ du quartz en même temps que les variations de •// et de v 
avec la tem[)érature. 



Eadiations 


>] (-|- si le rayon se 
rapproche delà nor- 
male) à i5°=17°7. 


V 

àl7°,7. 


No 


A'^ 
pourl^C. 


Av 
pourl°C. 


D, 


+ 13' 25" 


1,54033 


1,54423 


+ 2'36" 


-0,00076 


h 


— 7' 47" 


1,54992 


1,54766 


+ 2'38" 


-0,000 77 


F 


— 21' 38" 


1,55595 


1,54966 


+ 2'40" 


— 0,00078 



L'ensemble de l'appareil comprend une lentille L, de 33 cm. de foyer, 
qui reçoit d'un héliostat les rayons solaires; un diaphragme I) percé de 

pi u sieurs trous, que 

zQj Y' P \n r ^ de 7^, et qui permet 

d'isoler un pinceau 
de rayons solaires; 
— un polariseur 
rectiligne ou circu- 
laire; — une lentille 
h' acliromatique , 
de 50 cm. de foyer, 
dont on règle la dis- 
tance au diaphrag- 
me de telle sorte que 
rimage du trou lu- 
mineux, après ré- 
flexion sur une des 
faces du prisme, vienne coïncider avec le trou lui-même; — le prisme 
à liquide monté sur une colonne verticale à crémaillière et muni de 
vis qui permettent de Torienter; — puis, sur le trajet du faisceau rétléclii 
qui est renvoyé à 90° du faisceau incident, un nicol analyseur, et un 
spectroscope. Dans la plupart des mesures, on a employé un spectros- 
cope de Thollon, dont la lunette est manoeuvrée par une vis micro- 
métrique. Cette vis porte un tambour latéral divisé en 100 divisions; 




Fier. 3. 



SUR LA REFLEXION CRISTALLINE^ ETC. 7 

011 apprécie au jugé le — - de divisiou. lu autre tambour, horizontal, 

tourne d'une divison pour un tour complet de la vis micrométrique. 
On a 06,8 divisions du tambour latéral entre la raie Cet la raie D^; 
0,8 entre J)^ et 1).^; 174,7 entre D.^ et b^. Dans la plupart des ex]jérien- 
ces, la distance de deux bandes consécutives du spectre cannelé, fourni 
par la lumière réfléchie à Tintérieur du cristal, a été, dans la région verte, 

de 20 à 25 divisions: ou apprécie leur position, sensiblement à -— — près 

(le leur distance, c'est-à-dire qu'on a pour les différences de marche une 

précision de ~— de longueur d'onde. On a toujours opéré avec les 

rayons solaires. 



II. 

Polarkatiou circulaire uniradialc et analyse imiradiale. 

Le polariseur circulaire était constitué par un nicol F mobile sur un 
cercle divisé en degrés (de 0° à 360*^), suivi d'un parallélépipède de 
Fresnel dont on règle une fois pour toutes l'inclinaison et l'orientation 
de manière que le polariseur étant h l'azimut 45°, les rayons sortants 
soient bien des rayons circulaires. On vérifie qu'il en est ainsi, et sensi- 
blement pour toutes les couleurs, à l'aide d'un compensateur de Babinet. 
Pour P = 45° on a un circulaire droit; pour P = 135°, on a un cir- 
culaire gauche. Pour P = et T = 90°, rap2)areil fait l'office de 
polariseur rectiligne. Pour tout autre azimut du nicol, il donnera un 
rayon elliptique. 

L'analyseur est un nicol, mobile aussi sur un cercle divisé: pour 
A = 0°, il ne laisse ])asser que les vibrations rectilignes verticales; 
pour A = 90°, que les vibrations horizontales. 

Dans le cas général, les orientations des deux niçois étant quelcon- 
([ues, ou a les ]ihéuomènes çomiDlexes ])résentés par un quartz perjjen- 
diculaire suivi d'un ([uartz parallèle épais, ])lacés entre deux niçois. Les 
rayons incidents entrent en effet dans la lame de quartz, sensiblement 
dans la direction de l'axe, et en sortent en faisant avec cette direction un 



8 M. BERNARD BRUNHES. 

angle droit. Ou siinpliliera le phénomène en faisant abstraction, soit de 
la polarisation rotatoire présentée par le quartz perpendiculaire, soit de 
la polarisation cliromaticjue présentée par le quartz parallèle. 

Le premier résultat est atteint en ne laissant entrer dans le prisme 
que des rayons circulaires: F = 45° ou P ^ 135° (polarisation circu- 
laire uniradiale). On a alors, au spectroscope, un spectre cannelé com- 
prenant une vingtaine de bandes dans la partie visible; si on touiiie 
l'analyseur, les bandes restent fixes, mais sont plus ou moius noires; le 
maNimnm de noir est obtenu pour un azimut déterminé (ici A = 45°); 
pour Tazimut perpendiculaire, les bandes noires ont pris la ]dace des 
bandes brillantes. 

Le second résultat est atteint en ne laissant sortir du prisme que des 
rayons rectilignes à vibrations verticales ou horizontales, ^ = 0° ou 
A = 90° (analyse rectiligne uniradiale). On a, alors, au spectroscope, 
une bande noire unique: c'est le spectre que donnerait entre deux niçois 
un quartz perpendiculaire d'épaisseur ey' 2. La bande a son maximum 
de netteté pour P = 90° ou pour F = 0°. 

Mais, dans le cas général, siPa une orientation quelconque, autre que 
P = 45° ou F = 135°, et qu'on fasse tourner l'analyseur, on observe 
un spectre cannelé irrégulier, dont les bandes se déplacent par rotation 
de l'analyseur, et n'ont pas toutes leur maximum de netteté en même 
temps. Le seul aspect du spectre cannelé obtenu pour divers azimuts 
d'analyse, permettait donc d'amener par tâtonnements, le nicol 1^ à 
rorientation qui donne une polarisation circulaire uniradiale: mais ce 
réglage ne serait jamais très-précis. 

Il vaudrait mieux se placer dans un des azimuts d'analyse uniradiale 
A = 0° ou A = 90°, et chercher quels sont les deux azimuts du nicol 
P pour lesquels les bandes du spectre ont leur maximum de netteté. 
Ces azimuts étant déterminés dans le cas de la réflexion totale sur l'air, 
l'azimut de P qui donne la polarisation uniradiale sera leur plan bis- 
secteur. Nous aurons l'occasion d'utiliser ce résultat dans le cas des 
rayons obliques à l'axe. 



SUll LA REFLEXION CRISTALLINE, ETC. '.) 

m. 

l\cJl(\àoii fofahi .s/(r rair et ré jJexlon partielle sur V alcool. 

Le prisme étant ])lein du mélange de benzine et sulfure de carbone, 
si la face postérieure de la lame de quartz est en contact avec l'air, la 
lumière qui vient y tomber sous Fangle de 45° s'y réfléchit totalement. 
Si l'un des compartiments ménagés derrière la lame de quariz est rempli 
d'alcool, il y a, sur cet alcool, réflexion partielle. 

Etudions d'abord la réflexion totale. L'expérience montre que, quand 
on passe d'un rayon incident circulaire droit à un circulaire gauche, les 
bandes du spectre cannelé ne se déplacent pas, ou bien donnent un 
spectre complémentaire. 

Donnons comme exemple les ])ointés faits sur trois bandes noires 
successives situées dans le vert. Les pointés ont été refaits chaque fois 
en tournant les deux niçois de 1S0° pour éliminer l'erreur due au défaut 
de parallélisme des faces de ces niçois. 



I Moyenne des 
pointés 
135°^ pourP= 45° 
I et prP = 225° 
[ (Circulaire droit) 



11.9,5 11.34,5 11.57,7 



A= 315 



— Id — 
P= 45' 

et P = 225° 



11.9,4 11.34,3 11.57,7 



Moyenne (Circulaire droit). 


11.9,5 


11. 34,4 


11.57,7 


Moyenne des 








pointés 








A= 225° - pourP = 135° 


11.9,1 


11.33,5 


11.57,3 


et prP = 315° 








(Circulaire gauche) 









^) Le premier nombre est le nombre de tours du tambour latéral, lu sur le tam- 
bour .supérieur; le second, le nombre de divisions (-—• de tour) du tambour latéral 
et de dixièmes de division. 



io 



M. BERNARD BRUX II F,8. 



— Id — 

A= 1.5° ! F= 1:35° 
et F = 315° 



11.9,0 11.34.,.'5 11.5S,;3 



Moyenne (Circulaire gauche) 11.9,05 11.33,9 11.57,8 

Un grand nombre d'autres mesures m'ont montré que Fécart entre 
le spectre donné par le circulaire droit et celui que donne le circulaire 
gauche est toujours de Tordre des erreurs d'expérience, et ne présente 
rien de systématique. 

On a le même résultat en opérant par analyse uniradiale. On a alors 
une bande unique, plus large. 



P = 0° 


l Moyenne de 

A = 0°etA = 180° 
/ (Vibration ordinaire). 


11.24,5 


P = 180° 


1 


11.24,0 


P=90° 


l Moyenne de 

A = 90° et A = 270° 
1 (Vibration extraordinaire). 


11.25,2 


^=270'' 


1 ,. 


11.24,2 



Ici il n'y a qu'une bande dans tout le spectre, et une division d'écart 

ne représente pas — — de longueur d'onde. 

Le spectre cannelé permet de mesurer, ])Our chaque radiation, la 
différence de marche introduite entre le rayon ordinaire et le rayon extra- 
ordinaire par la traversée de la lame : à cette différence de marche s'ajoute 
celle qui ])eut être introduite entre les deux rayons ])ar le fait de la ré- 
flexion totale. Les deux spectres obtenus pour les deux j)oIarisations uni- 
radiales se sii])erposent exactement : c'est donc la preuve que la diffé- 
rence de marche due à ]-à réflexion est la même dans les deux cas. 



SUR LA RKFKKXION CRISTALLINE, ETC. 



11 



Versons iiiainicuant de l'alcool da-iis un des coui])artinients iiiéiiagés 
entre la lame de quartz et le couvercle. Le prisme est monté sur un 
sujjjjort à crémaillère qui ])ermet de passer immédiatement, en laissant 
l'iril au s]jectroscope, du s])ectre de réflexion totale au spectre de 
réilcxion partielle. 

Les pointés sur l'alcool sont un peu plus difficiles, ])arc(! (pie la 
lumière est moins intense. Voici une mesure : 



16 juin 1895. t = 30''. Quartz droit. 



P = ;zi.5° (Circulaire droit). 



Alcool 


Air 


Alcool 


Air 


.4=175° 


A = 45° 


A = 103° 


A = 135° 


9.56,3 


9.59,2 










9.67,5 


9.70,0 


9.78,0 


9.80,0 










9.89,5 


9.92,5 


10.0,3 


10. 3,2 







Soit pour Tun des deux spectres, soit pour son complémentaire, il y a 
déplacement relatif des bandes quand on passe de Talcool à Tair. La 
différence de marche moyenne dans la région considérée, est-, en fraction 
de longueur d'onde, 



2,86 
22,1 



= 0,129 



1 
ÏOÔ 



On peut calculer 'a priori cette différence démanche. Considérons, dans un 
corps isotrope ayant l'indice ordinaire du quartz, un circulaire droit (pii se 
réfléchit sur une surface verticale sous une incidence de 45'^. En réflexion 
])artielle, ses deux composantes horizontale et verticale seront inégale- 

mcîut réduites, mais conserveront entre elles un retard de - de ])ériode 

4 

ou 90°. En réflexion totale, on doit ajouter à ce relard de 90", le retard 



12 M. BERNARD BRUNHES. 

vp calculé par la méthode de Fresnel. Ou obtient, ])our lui corps iso- 
tiope (Viudice N^, pour la raie b^, par réflexion à 4.'3° sur l'air ou le 
vide, -i) := 'ii'^13. Eu fractiou de longueur d'oude, ce nombre donne: 

ce qui concorde bien avec le nombre expérimental. (Le quartz est trop 
peu biréfringent pour que ce mode de calcul donne une erreur sensible). 

La comparaison des rétlexions sur l'air et sur l'alcool peut se faire 
encore en analyse uni radiale. Pour A = 0° ou A=- 90°, et pour une 
polarisation rectiligne du faisceau incident (P = 0° ou P ^ 90°) ou 
obtient, après l'analyseur, une lumière colorée, verte ou ])ourpre suivant 
que les deux niçois sont croisés ou parallèles. Ou uhtœitl exadeiutuf lea 
mêmes teintes par réflexion sur V alcool et par réflexion sur Vair. On peut 
les bien comparer en mettant sur le trajet du faisceau réfléchi sur 
Tair, nue double lame photométrique ((ui atténue la lumière. L'examen 
spectroscopique direct permettrait du reste une comparaison plus rigou- 
reuse. 

Le ])rincipe du retour inverse nous apprend que Ton obtiendrait le 
même aspect en faisant cheminer la lumière en sens inverse dans Tapjja- 
reil. Nous pouvons dire que nous faisons tomber à rintérieur du cristal, 
et perpendiculairement à l'axe, un rayon rectiligne soit ordinaire, soit 
extraordinaire. Ce rayon se réfléchit suivant Taxe en donnant deux 
circulaires inverses, droit et gauche. En réflexion partielle, il n'y a j^as 
de difl'érence de phase, du fait de la réflexion, entre ces deux circulaires. 
L'expérience jnontrant que la difl'érence de phrase reste la mêm.e dans 
la réflexion totale, puisque la radiation éteinte n'est pas déplacée dans 
le spectre quand on passe de l'alcool à l'air, on voit qu'ici cette difl'érence 
de phase entre les deux circulaires réfléchis est nulle aussi dans la ré- 
flexion totale. Il eu est ainsi, que le rayon incident soit Tordinaire 
ou l'extraordinaire. Donc encore la difl'érence de phrase entre les deux 
réfléchis reste la même, quand ou passe d'un des rayons incidents au 
rayon incident conjugué; seulement ici la valeur commune de cette difl'é- 
rence de phase se trouve égale à zéro. 



SUR LA RÉFLEXION CRISTALLINE, ETC. 13 

IV. 

Rai/ons incidents ohlicjues a V axe optique. 

Si l'on fait tourner le prisme à liquide crun angle i autour de l'axe 
vertical de son support, il faudra faire tourner de l'angle 2?' la tablette 
qui porte ranalyseur et le s])ectroscope. La connaissance de l'angle i, 
qui est Fangle d'incidence sur la face latérale du prisme, jiermettra de 
calculer Tangle p de réfraction à l'intérieur du liquide, et par suite l'angle 
V que fait le rayon intérieur au cristal avec l'axe optique. L'angle v est 
toujours peu différent de p; pour connaître la différence v — p, il faut 
connaître: 1° Tangle dièdre exact de la face latérale du prisme avec la 
face hypoténuse (cet angle ne diffère de 45° que de quelques minutes); 
2'' l'angle -Ij de Taxe du quartz avec la normale à la lame; 3^ Tangle 
que nous avons appelé vi, et pour lequel il est particulièrement impor- 
tant d'avoir la température du liquide. 

Le support vertical du prisme pouvait être mû par une vis tangente, 
dont chaque tour complet produisait une rotation de 4°. Un quart de 
tour donnait une rotation de 1°. On est allée pour i jusqu'à des valeurs 
égales à 8", dans un sens ou dans l'antre à partir de la normale. Je 
donne le signe -f~ ^^^^ valeurs de i qui rendent obtus l'angle du faisceau 
incident avec le faisceau réfléchi; — aux valeurs de i qui restent cet 
angle aigu. 

La valeur de i étant fixée, on cherche quelle orientation il faut donner 
au nicol /-" pour avoir les caractères de la ])olarisation uniradiale. On 
trouve qu'on obtient un spectre à bandes noires fixes indépendantes de 
l'azimut d'analyse, pour deux azimuts rectangulaires de V. Dans une 
expérience préliminaire pour laquelle on avait i = 2°43', on a trouvé 
F = 54'' et P ^ 144". Ces deux positions du polariseur correspondent 
à deux rayons elliptiques, dont les ellipses ont des gyrations inverses et 
des rapports d'axes inverses: ce sont bien deux rayons conjugués. Le 
demi-angle diagonal du rectangle circonscrit à ces ellipses est 90 — 5 1° 
= 36". 

J'ai vérifié que ces deux rayons elliptiques dounent des spectres can- 
nelés qui sont bien en coïncidence, quand ou opère par réfl(v.:i()ii loi nie 
sur l'air. 



14 M. BERNARD BRIJNHES, 

Mais la tixatioii de rellipticitc des vibratious privilégiées par cette 
méthode manque totalement de précision. On peut tourner le nicol F de 
3 ou 4 degrés dans chaque sens sans que le spectre par rétlexion change 
de caractère. J'ai donc opéré jiar analyse uniradiale. Partons du réllé- 
chi ordinaire, à vibration verticale, A = 0°. S"il devient le raj-on inci- 
dent, il donne, par réflexion totale, deux vibrations elliptiques conju- 
guées, telles que la somme algébrique de leurs axes horizontaux soit nulle 
et que la somme algébrique de leurs axes verticaux soit égale à la vibra- 
tion verticale incidente. Soit fgx le rapport des axes pour Tune d'elles; 
soient a et b les axes verticaux des deux, l la valeur absolue commune 
de leur axe horizontal. On a: 

tgx ^ 'j ^^ ji 'A^'^c, a -\- h ^1. 

Le nicol F peut servir d'analyseur elliptique: il amènera à l'interfé- 
rence ces deux vibratious elliptiques de gyrations inverses, soit pour 
F = 90°, auquel cas les composantes horizontales peuvent interférer, 
soit pour F = (p, f(j ^ étant le ra])])ort des axes d'une ellipse obtenue j)ar 
la superpt3sition des deux autres, quand leurs composantes horizontal(;s 
sont en accord de phase. Ou a ])ar suite: 

a— h 
fg^ = ~-^ = coi 2u, 

d'où: 

Pour une vibration circulaire, on aurait ^ = 45° et = 0°. Pour 
une vibration elliptique on aura une valeur de <p différente de zéro. 
L'azimut qui donnerait la polarisation elliptique uniradiale est toujours 
bissecteur de P = Cp et de P = 90°. 

La détermination expérimentale se fera ainsi. On laissera l'analyseur 
fixe A = 0°; et l'incidence i étant fixée, on tournera le nicol i"* jus- 
qu'à avoir dans le spectre une bande noire parfaitement nette. On obtient 
ce résultat pour F = 90°, et pour un autre azimut F ^ Cp^, variable 
avec l'incidence i. La bande se déplace quand on fait varier i; mais 
pour des incidences assez faibles, elle reste dans la région verte; quand 
on dépasse 5° ou 6°, elle marche nettement vers le jaune. Pour une 



SUR LA REFLEXION CRISTALLINE, ETC. 



15 



incidence aigile (/" négatif), elle commence par marcher vers le bleu 
pour revenir ensuite vers le jaune. 

Nous avons déterminé, par expérience, les valeurs de pour diverses 
valeurs de ?'. En regard de ces nombres observés, nous ])lnçerons les 
valeurs calculées. La théorie de M. (jouï, ou les équations dillerentielles 
équivalentes, conduisent à la formule: 



}l2x 



;/o — u. 



-, sin- r, 



oii n„ et u,, sont les indices ordinaire et extraordinaire du quartz, u et 
u" les deux indices des rayons circulaires droit et gauche propagés sui- 
vant Taxe, et r Tangle du rayon ordinaire intérieur du quartz avec l'axe 
optique. Nous pouvons remplacer cot 'Ix jiar ig (p. Le coefficient de siuh' 
a pour valeur numérique j)our la raie 7i', 113,1. Nous adoptons cette 
valeur moyenne, tout en remarquant que ce facteur contenant en déno- 
minateur le pouvoir rotatoire, augmentera avec la longueur d'onde. Ou 
ne doit donc pas s'étonner si pour des valeurs un peu notables de i et 
par suite de r, le calcul tel que nous Pavons fait conduit pour CÙ à des 
nombres inférieurs aux nombres observés. 

;• a été calculé en partant de p (angle de réfraction dans le liquide) et 
tenant compte de l'inclinaison exacte de Taxe, et de la température du 
liquide, etc., comme il a été dit aux nos. II et III. 

Le tableau unique qui suit, résume trois séries de mesures: 



Incidence 



x\ngle 
de réfraction 

P- 



Inclinaison sur 

l'axe optique 

r. 




(î) observé. 



+ 1° 
+ 2° 
+ 3° 
+ 4° 
+ 5° 
+ 6° 
+ 7° 
+ S° 



39' 
1°17' 
1°56' 
2°35' 
3° 14' 
3°53' 
4°31' 
5°10' 



44' 
1°22' 

2° r 

2°40' 
3° 19' 

3°5.S' 
4°36' 
5° 15' 



]° 4' 
3°41' 

8° b' 
13°15' 
20''44' 
28°25' 
36°2G' 
43°26' 



1° 
3°15' 

7°27' 
13° 9' 
19°51.' 
28° 
37°15' 
46° 



16 



M. BERNAUD BRUNHES. 



lucideuce 
i. 


Angle 
de réfraction 

P- 


Inclinaison sur 

Taxe optique 

r. 


(p calculé. 


(p observé. 


— 1° 


— 39' 


— 24' 


0°38' 


1°21' 


2° 


1°17' 


1° 2' 


2°50' 


2°54' 


— 3" 


1°56' 


r39' 


6°29' 


r,°45' 


— 4° 


2°35' 


2°25' 


12° 8' 


11°54' 


— 5'= 


3°14.' 


3° 9' 


18°51' 


16° 


— 0° 


3'53' 


3°53' 


26°25' 


26°39' 


— 8° 


5°10' 


5°20' 


41°36' 


47° 



Cette vérification ne saurait être comparée pour la précision, avec 
celle qui résulte des mesures de M. Beaulard '). Il n'en était pas 
moins digne d'intérêt de mettre en lumière par une méthode indirecte 
mais nouvelle, et se rattachant à des expériences toutes dillerentes, 
Texactitude de la formule déduite des idées de M. Gouy. 



') J. (le PInjsiijue, 3" série, t. II, p. 393; 1893. 



.SUR l/ ACTION SUBIE PAR UN CONDUCTEUR CHARGÉ DANS UN 

CHAMP d'intensité constante. 



V. A. JULIUS. 



1. Je pars de l'équation connue, déduite du théorème de Gueen: 

j UA Vdr—lvs Udr =\u^ dS—jv'^dS (i) 

dans laquelle on su])pose que la normale en un jDoint de la surface en- 
veloppante est menée vers Textérieur de l'espace d'intégration. 

J'imagine un système de conducteurs; la surface de ces conducteurs 
forme avec une surface sphériquc de rayon infiniment grand la limite de 
l'espace d'intégration. 

Soit V le ])otentiel en un point quelconque de cet espace, et posons 

dj' . . ^ . ,,.,.. 

U =^ -.- , la direction .r pouvant être ijrise tout à fait arbitrairement. 
* (\f 

Alors, en chaque point de Tespace d'intégration, F et Lf sont continus 

et finis, de même que les dérivées partielles de F et Lf par rapport aux 

iW t)^F 
coordoiuiees. Il est vrai que -r- = -r-i^ est infini quand on passe par 

la surface d'un conducteur; mais dans l'espace d'intégration, à 
quehjue faible distance qu'on approche de la surface du conducteur, 

toujours--^ demeure fini. 

Oii a, en vertu de l'équation (1) : 

ARCllIVKS NHEULANDAISES, SKKIK II. TOME V. 2 



18 V. A. JULIUS. 

Mais eu chaque poiut de l'espace crintégratiou A / ^ et A f — j= i), 
de sorte que 

Lj;/"=r^(jiy'' w 

Si Ton n'avait affaire qu'à un seul conducteur, comme à la surface 
d'une sphère de rayon infinement grand /' = 0, on aurait 

Dans le cas d'un plus grand nombre de conducteurs, on a, d'ajn'ès le 
théorème de Green: 

ou bien, comme AI — j = (I, 

Posant F pour l'intensité du champ, on trouve: 

Or , à la surface d'un conducteur, on a 

F = -7- et F cas {ux) = -r- , 
vu vx 



SUR l'actioxX subie par un conducteur, etc. 19 

(le sorte qu'il vient : 

r ^c» ^^r\ _i pr^r 

Et l'on tire donc de (3) : 

J ex en 

ce qui s'applique à tout système de conducteurs, portant des charges en 
équilibre. Peut-être est-il plus clair de mettre cette équation sous la 
forme 

^]^.^.''-'' w 

dans laquelle le synd^ole :£ indique que l'intégration doit être étendue 
à tous les conducteurs. Il va de soi que Ton peut écrire encore deux 
équations pareilles, dans lesquelles x est remplacé respectivement par /j 
et par z. 

2. Du théorème de Green, daus la forme : 
r^lJx.^'^^'d'y'^ dzJz\ 

oii oc est une fonction de x, y et z, il suit, /' représentant le potentiel, 
X étant = _y et t/ = y- : 

Ou bien, comme A F= 0, 

lpJ^V'V'=i^dzJ;;'''-h-^'' ^^^ 



20 V. A. JULIUS. 

Or on a: 



De sorte que (5) devient 

dV 
D'une manière entièrement analogue, eu posant x ^ z et U = v '> 

f'// 



ou aura : 



z J àiJ dn J cz 01/ 



^jj eu J cz oif 

de manière qu'il vient pour un système de conducteurs: 



Aij'^i 






On obtient encore deux équations analogues en z, ,r et en iv, //. 

•3. Il n'est pas difficile de donner des équations (4) et (G) une inter- 
prétation simple. 

Supposons qu'en un point de la surface d'un conducteur la 

densité soit y,. La charge de l'élément dS est poussée dans le sens 

27r 
de la normale avec une force -j- vr'dS, représentant par /• la constante 

diélectrique du milieu environnant. Nous devrons admettre que la 

charge adhère au conducteur; si ce dernier est un corps solide^ nous 

pouvons nous représenter que la force agit sur l'élément de surface du 

conducteur, et chercher alors, suivant les lois de la mécanique, la force 

et le couple résultants. 

Comme nous supposons toujours la normale dirigée vers l'extérieur de 

l'espace d'intégration, par suite, relativement au conducteur, vers Tinté- 

/• àV 
rieur, nous avons y, = -r- \ — • Sui)posons (lue tous les coiulucteurs 



SUR l'action subie par un conducteur j etc. 21 

soient liés les uns aux autres d'une façon invariable^ Féqu. (1) exprime 
(jue la force résultante soit nulle, l'équ. (6) que le couple résultant soit 
nul ; eu d'autres termes quand les conducteurs font ensemble un seul 
corps solide, toutes les forces seront en équilibre. 

Personne n'anra jamais douté de ce théorème; cependant, il n'avait 
pas encore, à ma, connaissance, été directement déduit de la théorie 
du potentiel. 

\. On considère d'ordinaire évident que dans un champ constant un 
conducteur est poussé dans la direction du champ par une force égale au 
produit de la charge et de l'intensité du champ. Cependant c'est ce qu'il 
s'agira de démontrer; il importe peu que l'on parle d'un petit conduc- 
teur, car dans un chani]) d'intensité constante, il n'y a rien à quoi l'on 
puisse comparer les dimensions du conducteur; si la proposition est vraie 
d'un „petit" conducteur, il doit en être de même pour un très grand. 

Pour un conducteur sphérique, la proposition se laisse démontrer 
directement. Ceci fait, on déduira des équ. (4) et (6) qu'elle est vraie 
également d'un conductear arbitrairement choisi. 

5. Nous nous tigurons que dans un champ dont l'intensité constante 
soit a et dont la direction coïncide avec la direction ./■, on place un con- 
ducteur sphérique sans charge; nous étudions nmintenant la distribu- 
tion de la charge induite sur ce conducteur. 

Supposons que le centre de la s])hère coïncide avec le point du 
champ. Avant que la sphère n'ait été mise en sa place, nous su])poserons 
que le potentiel en soit / „. Nous pourrons alors, prenant comme 
origine des coordonnées, représenter le potentiel dans le champ constant, 
sans la sphère, par 

/ j = / „ — a .('. 

Examinons si la distribution particulière de la charge sur la sphère 
peut également s'obtenir en dé])laçant d'une quantité intiniment petite 
^x dans le sens de l'axe des x, et relativement à une sphère négative 
dont la densité cubique est — p et le centre (', une deuxième sphère 
positive dont la densité cubique est -\- p, et qui coïncidait primitive- 
ment avec la première. Le système des deux sphères se comporte 



^2 V. A. JULIUS. 

comme un couducteur sphérique SLij)eiiiciellement chargé. Soit -^^ = p^./- 
la densité superficielle^ au point oii Taxe positif des x coupe la surface 
de la splièie. Alors, en un point quelconque dont le rayon vecteur 
fait avec Taxe des x un angle ô, la densité de surface est î^o ^'(^^ ^- O^ 
voit maintenant qu'il est satisfait à toutes les conditions, si l'on pose 

Le })otentiel en un point quelconque extérieur au conducteur, dont 
la distance à est égale à r, devient, quand on pose E le rayon de 
la sphère: 

V = Jq — ax -\- a—^ X. 

Le potentiel en un point quelconque dans l'intérieur de la sphère 
devient 7 „. 

Comme il n'y a qu'une seule solution du problème possible, il 
s'ensuit qu'un conducteur sphérique, primitivement non chargé, quand 
on l'introduit dans un champ constant d'intensité a, acquiert une charge 
dont la densité superficielle est 

Sk 

'/ = -—-acosO, 

i'TT 

ô représentant Tangle que fait le rayon vecteur du point considéré 
du conducteur avec la direction du champ. Si l'on donne ensuite au 
conducteur sphérique une charge additionnelle //, cette charge se répan- 
dra uniformément sur le conducteur, et on aura 

-\- - — a cas (7) 



I n 7 

La force agissant sur un élément de la surface sphérique est 
—- •/;'' dS = 77" ( ^^— ) dS, dans la direction de la normale négative. La 



SUR l'action subie par un noNDUCTEUR, ETC. 23 

somme des composantes suivant 1 axe des x est — v— ( ,.— -^— 'in, ow, 



d r à y 

comme -^r— = ^^r- 

Ou Or 






Posant — = co-s ô et dS = 2 tt Rr' sln Ù dû il viendra 





Mais on a aussi 



9 a- co-s' û + -r=-^ cas- û -f- y^^, cas ù .sm ô d L 



I cùsHduùdù = [), co!rùùuùdù = ^, \ c(j,s ô .slu ô d Ô = 

J J O J 

de manière que la somme des composantes suivant Taxe des u) de- 
vient a/i. 

La sonnne des composantes suivant l'axe des y (ou Taxe des z) est 
nulle^ ce que Ton peut déjà prétendre par raison de symétrie, mais 

fdrdr 

aussi démontrer directement, si, dans 1 ~- ^— - dS, on liose ./■ = li cas ô, 

J cif Ou 

ij = B sln ô cas -d^ et dS = A'^ sl>/ ô d ô d-^. 

D'ailleurs, à la surface du conducteur sphérique, on a en outre 

^'_/'^_ .^ _ /l^ — ■— — / — =0 

de sorte que le champ ne tâche pas de donner une rotation au conduc- 
teur, et que par conséquent l'action entière de ce champ consiste en 
une force, dont nous pouvons nous figurer le point d'application au 
centre du conducteur. Celui-ci se trouve poussé dans la direction du 
champ si sa charge est positive; l'intensité de cette force est le produit 
de la charge et de l'intensité du champ. 

(). Considérons à présent un système de deux conducteurs; suppo- 
sons que l'un des conducteurs F soit sphérique, de raVon li, et avec 
une charge positive hp, l'autre conducteur Q aura une forme arbitrai- 
rement choisie, et une charge positive Iiu. La distance entre P et Q est 



2i V. A. JULIUS. 

sup])osée si grande en comparaison de lenvs dimensions, que le cliamp 
auquel U donne naissance alentour de F, ainsi que le champ produit 
par F alentour de Q,, peuvent être considérés comme d'intensité con- 
stante. 

Nous prenons comme origine des coordonnées le centre du conduc- 
teur P; comme direction positive de Taxe des ic la direction du champ 
ahmtour de P; et soit a l'intensité du champ. Le conducteur Q se trouve 
alors quelque part sur l'axe négatif; soit /; l'intensité du champ alen- 
tour de Q; la direction de ce champ coïncidera avec celle de Taxe 
négatif des a-. 

Nous aurons, en vertu des équ. (4) : 

^ ^ 'lS-\- :,- ^ dS = 0, etc. 
p Q 

et en vertu des équ. (6); 

De ce que nous avons démontré pour un conducteur sphéri([ue, il 
résulte (|ue i)()ur le conducteur Q de forme arbitrairement choisie, ou a: 



1 

8 



TJ ex Cil J O^ C/l J CZ VU 

Q <J L> 

n (J 

(^-, — !/^) ^dS= 0. 

(J 

Comme a/ip = hho, l'action subie par (i est ramenée à une force 
unique dans la direction du champ enveloppant U, égale au produit 
de la charge et de Tintensité du cham]). 

Cependant ceci ne détermine pas encore, dans le cas d'un conducteur 
arbitrairement choisi, la droite suivant laquelle la force agit. Comme nous 
avons supposé la distance entre les conducteurs P et Q si grande que ■ 
le chamj) produit par P alentour de Q peut être considéré comme con- 



SUR L ACTION SUBIE PAR UN CONDUGTEUll, ETC. 



or. 



shiiit, une droite })arallMc à Taxe des .(' n'a, relativement à (i, pas été 
distingnée de Taxe des .;• lui-même. Mais les considérations qui suivent 
])ermettent de trouver cette droite. 

Prenons nn point quelconque 0' dans le voisinage de Q comme origine 
des coiirdonnées; Taxe positif des x sera supposé dans la direction du 
champ constant environnant Q. La force agissant sur un élément <IS 

de Ci, est — ( t— ) f^'^, clans la direction de la normale négative. Or, 

savons d'ajjrès ce qui précède que Ton a 



nous 



k nv^r fdjdv Cdjdv 

St j ^x an ^ J cij dit J vz eu 



(y) 



Mais en même temps, et également en vertu des développements pré- 
cédents, il existera un sj'stème d'axes, ])assant par le point 0", parallèle 
aux axes des coordonnées ; si bien que la somme des moments des forces 
relativement à chacun de ces axes est nulle. 

Posons 



d J\ d V 






dS 
dS 



:m 



et soient ^., /3, y les coordonnées de 0", il devra alors être satisfait aux 
relations suivantes : 

d'oii il résulte, en vertu des équations (9) et (10) 

A ={) B — ylj hu = C + /3 h /^o = .... (11) 



26 V. A, JULIUS. 

Les équ. (11) déterminent /3 et y, et l'on connaît donc également la 
droite suivant laquelle la force résultante agit sur le conducteur. 
Cependant ^ et C ue sauraient être calculés, sans connaître soit la den- 
sité en un point quelconque du conducteur Q soit le potentiel dans 
le voisinage de Q,. Mais il est clair qu'en général le centre de la masse 
de Q, ne se trouvera pas sur cette droite et que Q., s'il est absolument 
mobile, acquerra un mouvement non seulement de progression, mais en 
outre de rotation. 

7. Dans la théorie de Lorentz '), la somme des composantes suivant 
les axes, sollicitant un système électrique, est donnée par 

47r A^ I ijj- pdr 4"7r A-j ij/y pdr 4<7r A- l\3z P dr 

et la somme des moments ])ar rapport aux axes par 

4<7r A^l{^/h: — ^ b// ) p (Ir etc. , 

où A représente la vitesse de la lumière et ti le déplacement diélectrique, 
tandis que l'on a encore 

Dw.\j = p Rof.tj = (). 

On peut étendre l'intégration à toutes les parties de l'espace limité par 
une surface spliérique à rayon intinement grand, parce qu'en chaque ])oint 
qui n'appartient pas au système électrique, on a p = 0. Aussi aura-t-on 

= / b^j: eos {n ,v) -f- b.r tu <'os (m. y) + ij,,; tl,- cas {u .:) dS — 

fr. f^b. , . ^b.r , . f^b, 1 , 



L'intégrale relative à la surface est nulle, parce qu'à distance infinement 

grande b = 0, Or, comme Rut b = 0, on a-r^'=--^ -^^ '^ et 

c»// dd> n~ f'.r 



') H. A. LoRKNTz, Versuch eiiier Théorie der electrischen und opfischen 
Erscheinungen in bewegten Korpern, Leiden 1895. 



suii l'action suhie par un conducteuu^ ktc. 27 

Mais cette intégrale aussi est nulle, de manière que 
D'ailleurs 

= -l /|.y [b-x. + b^, + bl-] ^^T-/b, b. ^/T 

= —j\3>jiizdr. 

On trouve de même j ctîi/pdr = — I b: b/y^'^'î" de telle sorte que 

\{//t}: — -bii) pdr = 0, etc. 

Le système entier, considéré comme un solide, subit donc, suivant la 
théorie de Lokentz, et comme il était à prévoir, une force nulle. 

S. Si l'on fait passer un corps éiectrisé Q dans un cliaraj) d'intensité 
constante, on peut considérer le déplacement diélectrique b comme la 
soin me du déplacement diélectrique b' provoqué par Q et du déplacement 
diélectrique constant b"- Si la direction du déplacement diélectrique 
constant b" coïncide avec la direction de l'axe des ai, on a 

ti';,, = const. b",7 = f> b"r = 

de manière que dans Tintérieur du corj)s Q on a p = /)/v (b'H- b") = D/où'. 



28 V. A. JULIUS. 

L'action subie par Q dans la direction de Taxe des .>■ s'exprime, 
négligeant pour abréger le facteur 4<7rA'- 

La première intégrale du deuxième membre peut être étendue à 
Tespace entier^ attendu qu'en chaque point extérieur à U JJ/r b' est nul. 
On trouve de la même manière que dans le paragraphe précétlent que 
cette intégrale est nulle, de manière que l'on a 

j^^-pdr = t".rjpdr. 

L'action dans le sens de l'axe des // et celle dans la direction de Taxe 
es z sont données par 

j\j^ p dr =j tr'v Div \}:dr = j br P dr=jti'z Div b' dr = 

et la somme des moments relativement aux axes par les é([uations 
suivantes : 

[(// br — Z b,,) p dr =j{// b': — .- b',/) Uiv b' dr = 

j {zh,: — ^rt}:) p dr=j {zij\,---,^îi\)mvîi' dr + \i'\,j .:pdr = ï}''.rj -pdr; 

j {-'' ^y — y tl.r) pdT = — b".r j .!/ P dr. 

Or ])ar un point dont les coordonnées sont ^/oy on peut mener un 
sj'stème d'axes^ parallèles aux axes des coordonnées, de telle sorte que 
la somme des moments relativement à chacun des nouveaux axes est 
nulle. On trouve alors 

,o f.'/pdr fzpdr 

"^Tp'dV ''^Tp'd^: ^^^^ 

L'action entière subie par U est donc ramenée à une force uni(|ue, 
agissant dans la direction du champ constant. 



i 



SUR L ACTION SUBIE PAU UN CONDUCTEUR ETC. 29 

9. En appareuce il n'y a aucune concordance entre le résultat de la 
théorie de Lorentz et celui de la théorie ordinaire du potentiel. Cepen- 
dant il suit de Téqu. (9) que dans un champ d'intensité constante, on 
peut écrire 

k ç^v^r r , r 

bTTJ àx d// J J 

car M. Lorentz exprime tout en unités électromagnétiques. Mais i[ 
n'est jjas évident que, comme l'exigeraient les équ. (11) et (12), 
on a la relation 

et une relation analogue quand on remplace y par z. 

Nous pourrons poser, pour le ])otentiel, F = F' -\- F", représentant 
par F' le potentiel produit par Q, et par /'" celui du champ constant. 

Alors 

dF" i^V" à F" 

■ const. = b -^^ — = 



^ F (> r 

-^r— = -^r h COS (u x), 

eu eu 

tandis qu'en dehors de Q, on a partout AF' = 0, 

Donnant à une intégrale de volume la signirtcation d'une intégrale 
relative à l'espace entier en dehors de Q, on a 

f dF' dF C dF' ^F' f cir , , 

I a. — — dS = I iV -^ — dS — b I a' -z — cas lu .r) dS 

J c'y au J cy Ou J f'_y 

fdF' dF' f à F' 

~\~ I 'a — ^> — ^"^ — ^A^ "T' ^'-'^ k'^ ■'■) (^'"^ 

J fv/ ex J eij 

J ' dx à If ' J dj/ 



30 V. A. JULIUS. 

A la surface du conducteur: 

^dj\^ r^'''\^ /^<->r\^ f-dj-'-j' ^r , 

de manière que 

/■'■ [CIO + (?) + (ï)1 "" ("•") '" =P C-^P' '"■''' *' 

+ 2 bja^'—cos (;/,//) dS—b^j.r cos [vjj) dS. 
Or: 

I J- --r— C(?j' (/^ y) (fS ^\ X -7—7— cV 

et par suite: 

L ^ — ./.9= i (a — — .fô' I f ^' ^ ,ir, 
j' dij du 2 j ' f>y c^>i^ J dj/ da- 

Ou trouve de même 

1 ;/ ^— -7 — dS = I // -7 ^— db — ù\ y -t— cos hi.r) dS 

J da- vn J oiï^ (ht J c\v 

2 J^ àx du J Oy dx 

de sorte que 



SUR l'action subie PAU UN CONDUCTEUK^ ETC. 31 

Mais comme -r— = ^— , on a 
c'y ài/ 

et par conséquent, à cause de l'équ. (14),: 

Il est donc satisfait à Téqu. (13). 

L'action exercée sur un conducteur cliargé dans un champ d'inten- 
sité constante^ est donc ramenée à une force agissant dans la direction 
du champ suivant une droite passant par le centre de la charge (par 
analoffie avec le centre de la masse). 



ON THE STRESSES IN SOLID BODIES DUE TO UNEQUAL HEATING, AND 
ON THE DOUBLE REFRACTION RESULTING THERl-^FROM. 



LORD RAYLEIGH. 



The plienoinena of light and colour exhibited in the polariscope when 
strained glass is interposed betweeu crossed niçois are \vell known to 
every student of optics. The straiu raay he of a permanent character, 
as in glass imperfectly annealed or specially unannealed^ or it may be 
temporary, due to variations température or to mechanical force applied 
from without. One of the best examples under the last head is that of 
a rectangular bar subjected to tlexure^ the plane of the flexure being 
perpendicular to the course of the light. The full eli'ect is obtained 
when the length of the bar is at 45° to the direction of polarization. 
The reviyal of light is a maximum at the edges^ where the material 
traversed is most stretched or comjîressed, while down the middle a 
dark bar is seen representing the „neutral axis." It is especially to be 
noted that the etl'ect is due to the glass being nnequalli/ stretched in the 
two directions perpendicular to the line of vision. Thus in the case 
under discussion no force is o])erative perpendicular to the length of 
the bar. Under a purely hydrostatic pressure the singly refracting cha- 
racter of the material would not be disturbed. 

When a pièce of glass, previously in a state of ease, is nnequally 
lieated, double refraction usually ensues. Tins is due, not directly to 
the beat, but to the stresses, différent in ditlerent directions and at dif- 
férent places, caused by the unecpial expansions of the varions parts. 
The investigation of thèse stresses is a problem in Elasticity llrst attac- 



ON THE STRESSES IN SOLiD BOfilES DUE TO UNEQUAL HEATING^ &C. 38 

ked^ t believe^ by J. lIoficiNsoN '). It will be coiiveuieiit to repeat in 
a soiuewhat dilleveut notation his formulation of tlie gênerai tlieoiy, 
and afterwards to apply it to sonie spécial problenis to wliich tlie opti- 
cal metliod of examination is applicable. 

In the usual notation -) if F, (i, R, S, T, U be tlie components of 
stress; ii, v, w the displacements at tlie point .r, //, c; /., y. tlie elastic 
constants; \ve liave sucli équations as 

/du dv , d.w\ , ^ du , , 

/dw , do\ , , 

■^=K,-?F+z-) (^) 

Thèse hold wlien the niaterial is at the standard température. If we 
suppose tliat the température is raised by ^ and that no stresses are 
applied, 

du dv dw 

dx dy dz ' ' 

Avhik' divldfj &c. vanish. The stresses that would be needed to ])roduce 
the sa nie displacemcnts without change of température are 

F=Q = E = (;3a + 2,a) yj, 
S=T= U={). 

Hence, so far as the principle of superposition liolds good^ we luay 
Write in gênerai 

/du . dv , div\ , , du ,^ , , 

„ /dw , dv\ ^ ^ 

'^-"■h,+di} w 

with similar équations for Q, It, T, U. 

If there be no bodily forces the équation of equilibrium is 

dP , dU ^ dT ^ 

1^ + ^ + ^ = '^ ^'^ 

') Mess, of Math. vol. viii. p. 108 (1879). 

') See, for example, Love's Theory of Elasticity,' Cambridge University 
Press, 1892. 

AKCtaVES NKEKLAXDAÎSKS, SKKIK If. TOME V. 3 



34 LORD llAYLEIGH. 

with tvvo similar équations; or witli use of (8) aiid (4) 



d /du , do , dio\ , „ dû 

[>■ -t- y-) 

if 



, , d /du , do , d/v\ , ., 



r = (3>. + 2f/.)x (7) 

One of the siniplest cases tliat eau be considcrod is that of a [jlate, 
bounded by infinité planes parallel to xj/, and so lieated that Ô is a funo- 
tion of c only. If^ further^ ô be symmetrical with respect to th(> iniddle 
surface, the plate will remain unbent ; and if the m eau value of ^ be 
zéro, the various plane sections will remain unextended. Assuming, there- 
fore, that n, v vanish while w is variable, we get from {■]) and (4) 

^ = (/. + 2;.)|'-7^ = 0, (8) 

.P=Q=A^ — 7^, (9) 

S=T=U=0 (10) 

In (8) Ji is assumed to vanish, since no force is supposed lo act U[Hm 
the faces, l'rom (S), (9) 

P=Q=_^';f- (ij) 

If the plate be examined in the polariscope by light traversiug it in 
the direction of ^, the double refraction, depending upon the différence 
between B and jP, of which the former is zéro, is represented simply 
by (11). Dark bars will be seen at places where Ô = 0. If the direction 
of the light be across the pJate, i. e. parallel to .~, there is no tendency 
to double refraction, since every where P= Q. 

In the above example where every layer parallel to wj/ remains unex- 
tended, the local altération of température produces its full eft'ect. But 
iu gênerai the circumstauces are such that the plate is able to relieve 
itself to a considérable extent. A uniforni élévation of température, for' 
instance, would entail no stress. And again, a uniform température 
gradient, such as would finally establish itself if the two surfaces of the 



I 



ON THE STRESSES IN SOLID BODIES BUE TO UNEQUAL HEATING, &C. 35 

plate were kept at tixecl teinpemtures, is compeusated by beiidhig and 
entails no stress, la sucli cases before calculating tbe stress by (11) Ave 
inust throw out tlie meau value of ù so as to inake/Pffe = Oj and also 
sucli a term proportional to the distance from the middle surface as 
sball eiisure tbat f Pzd::=^0. Otberwise tbe edges of tbe plate could 
not be regarded as free from imposed stress iu tbe forni of a force or 
couple. 

Tbe assunij)tion in (1), [t) tbat /«^ r = is iiow replaccd by 

// = (^. + p.^').'', v = {x + r^.:),/, (12) 

and 

w = w'—i,rA-'-+.r), (12') 

Mbere iv is a fiinction of .: oidy. A\e find 

7*' = (/. + 2^)^-f-2A(;. + /3..)-7^ (18) 

P = ^^ = >. "^ + (SA + 2,a) U + /3..) - r ^^ . . . . (M-) 

S=T=U={) (15) 

Since 7/ is supposed to yauisb, we get 



P=U = 



[j.y 



■^ + /3.r 



H ....(16) 



;. + 2/y. L z 

In (l(i) y. and p are to be deterniined bj tbe conditions 

fPd,: = {), fp,:d~ = ; 

or, wbicb conies to tbe saine, we are to reject from Ù sucli linenr ternis 
as will leave 

ffjdz^^), fô::d~ = (17) 

Since //•' and Ù are independent of ./• and j/, tbe ecpiations of eqiiililjriuin 
(5) are satisiied. 

It is of interest to trace tlie inHuence of tiine upon tbe double refrac- 
tion of tbe beated plate wben ligbt passes tbrougb it edgeways, e. y. 

3* 



S6 LORD EAYLEIGH. 

parallel to ^. Iiiitially ô may be supposed to be au arbit]'ary functioii 
of z, M'iiile tlie faces of the plate, say at and c, are maintained at 
giveu températures. Ultimately the distribution of température is expres- 
sed by a linear function of r, say //' -|- Kz; and, as is known froin 
FouRiEii's theory, the distribution at tirae f may be expressed by 

Ô = H' + Kz + S .-/„ e -l'n' sln , (IH) 

c 

where n is an integer and p,), depending also upon the conductivity, is 
proportional to rr. After a moderate interval the terms corresponding 
to the higher values of ti becoine unimportant. 

In the subséquent calculation it is convenient to take the origin of 
c in the middle surface, instead of as in (18) at one of tlie faces. Thus 

Ù = HA- Kz -\- A. e-i'^f cos — — A., e-i'-'' cas ^^ -f . . . 

e ' c 

, . '^TTZ , , . . 4^7rz ,,„. 

— A., e '"''-' s m \- yLe~>'^hm (19) 

c c 

If ô' represent the value of ô wlien reduced by the subtraction of the 
proper linear terms as already explaiued, we find 



f/' '^^ ^\ . f / •i'^- , '^ \ , 

ô=A,e-^'^'{cos^--)-A,e-"^'^[cos — ^-—) + .. . 

-Me-"4.i..^-^ + A,e-"^^(eiu^ + ^-. . . (20) 

\ c TTC/ \ C ZTTC/ 



After a moderate time the term in Ai usually acquires tlie prépon- 
dérance, and theu (5' = when cos (tt^^/c) = S/tt. When the plate 
is looked at edgeways in the polariscope, dark bars are seeu where 
z= ± ■280c, c beiug the whole thickness of the plate. 

As a particular case of (19), (20) let us suppose that the distribution 
of température is syminetrical, or that K vanishes as well as the coefti- 
cients of even suffix A.^, yl;^, S)-c. ^then represents the température at 
which the two faces are maintained, and (19) reduces to 

Ù=H-\- A.e~i''fcos — — yLe-''''coi-—-\- (21) 

c c 



ON THE STRESSES IN SOLID BODIES DUE TO UNEQUAL HEATINGj &C. 37 

if we suppose further that tlie initial température is uniform and 
equal to (r), we tind bij Fourier's methoJs 

.7, =-(0-i/), .l, = ~{e-]l), J,=^{e-B),... (22) 

and 

TT Ô' ,/ îT^' 2\ , , ,/ Sttz , 2 \ 
-1 f7 = <?~^'' ( cas ) — ke i'-''{ cos h-— 



'OTT, 



-U 1 e -i'^-' [cas 

^ G 5' 



where also 

lh='^ïh, lh = ^-^lh, ^•'^ (2-1-) 

At the middle surface^ where „ = 0^ the riglit-liand member of (23) 
becomes 

\ / 



Initiale 



77 



'? —• i 



4 .■¥ = »• 

as was required. If we put e~'''' = T, (25) may be written 

and (26) may bc tabulated as a functiou of T, and thence of /. Il vanis- 
hes when T=\ and wlien 7'^0. The maximum value occurs when 
7'=*747. When 7' is less than tliis, wliieh corresponds to aii increased 
value of t, only the iirst two or three terms iu (26) need be regarded. 
The above value of 7' gives 

p,f= -292, 



38 



LORD RAYLEIGH. 



aiid if, as for giass, the ditt'usivity for lieat in c.g..s. ineasure be "004, 
Ave get 

7'=^^— (27) 

Thus if a plate of glass be one centimètre tliick, so tliat c = 1, the 
light seen in the polariscopc at tlie centre of the thickness is a maximum 
about 7^ seconds after beat is apjilied to the faces. 

The following small table will give an idea of the relation betweeu 
(26) and T. 



T. 


(26). 


T. 


(26). 




0,0 


0,0000 


0,6 


0,2139 




0,1 


0,0363 


0,7 


0,2381 




0,2 


0,0727 


0,8 


0,2371 




0,3 


0,1090 


0,9 


0,1823 




0,4 


0,1453 


1,0 


0,0000 




0,5 


0,1809 







In bis paper above referred to Hopkinson considered the strains pro- 
dnced by unequal heating in a spherical mass, under the supposition 
that the température was everywhere the same at the same distance from 
the centre. A similar analysis ap])lies in the two-dimensional problem, 
which is of greater interest from the présent point of view. We suppose 
that everything is symmetrical with respect to an axis, taken as axis of 
z, and that ô is a function of r, equal to Y {■f--\-y-), only. ïlie displa- 
cements in the directions of z and r will be denoted by w and w; in the 
tliird direction, perpendicular, to - and /•, there is su2)posed to be no 
displacement. 

We may commence with the strictly two-dimensional case where 
10 = throughout. Tliis implies a stress Jî whose magnitude is given by 



2i = 



in which 



(2+d- 



du II 
Jr ' V 



■yù,. 



■281 



(29) 



represcnts the dilatation. 



ON THE STRESSES IN SOLID BODIES DUE TO UNEQUAL HEATING^ &C. 39 

The otlier principal stresses ojjerative radially and tangentially are 

p=(;.4-mJ^+V-7^. m 

(Ir r 

The ccpiittion of e(iuilihriuinj an;ilogous to (5)^ is obtained by consi- 
(h'riiig the stresses operative u])ou the pohir chôment of area. It is 

V-- (-) 



Substituting froui i^M)), (31)^ we get 



d'^io 1 di( u y (M 

r/72 '^~r~(ïr~ r^ ^ A + 2,'^ Jr 



so that 



du . H yû , , ^ 

dr r a4-2,v. ^ ' 

where x is an arbitrary constant. Integrating a second timc we find 

ru= T^-\'0rdr^kocr--{-i3, (34) 

m \vhicli, liowever, /3 inust A'aiiish, if tlie cylinder is complète througli 
;. = 0. Trom (3L) 

F = [?. + !..)x-^^U'' ùrdr,. (35) 

and 

1'- ^^ = 74^-!^-4P^^v/rj (37) 

It is on {F — U) tliat the double refraction dépends when light tra- 
verses the cylinder in a direction parallel to its axis. 



40 LORD KAYLEIGH. 

lu (:i5), (36), (37) 

r(;preseiits tlie nieau temparature (above the standard) of tlie solid cyliu- 
der of radius r. It is to be remarked that the double réfraction of the 
ray at •;• is independent of the values of ù bevond r, and also of any 
boundary-pressure. If ù increases (or decreases) continuously from the 
centre outwards, the double refraction never vanishes, and no dark cir- 
cle is seen in the polariscope. 

In the above solution if the cylinder is terminated by Hat faces, we 
niust imagine suitable forces lî, given by (2S), to be operative over the 
faces. The intégral of thèse forces may be reduced to zéro by allowing 
a suitable expansion parallel to the axis. lîegarding div'ifl.: as a constant 
(not necessarily zero)^ independent of r and z, we hâve in place of (28) 

The additions to P and Q, are '/, dw\d~, while {P — (d) reiuains uuchanged. 

If the cylinder is long relatively to its dianieter, the last state of 
things may be supposed to reniain approximately unchanged, even 
though the terminal faces be free from applied force. In the neighbour- 
hood of the ends there will be local disturbances, requiring a more 
elaborate analysis for their calculatiou, but the simple solution will 
apply to the greater ])art of the length. 

The case of a thin plate wliose faces are every where free from applied 
force is more diiîicult to tieat in a rigorous manner, but tlie following 
is probably a sufficient account of the matter. By su])posing R= in 
(3 S) we get 

I . N (f'i^^ , /'dit , «\ , ,^V 

(A + M^ = 7(5— A (^^+-;; 0^9) 

and using tins value of dwjdz, 

P = A'^r^'+-V V---;^. (40) 



A + 2/z \dr ^ rJ ^ "' ' dr ;.+2,v/ 
^'lix\dr ^ rJ ^ ' r A + 2/x 



A + 2w\r/r ' r/ ' ' r 



ON THE STRESSES IN SOLID BODIES DUE TO UNEQUAL HEATING^ &C, 41 

C'oinpaviiig thèse witli (;3(l)j (;31), we see tliat tlie onlj différence is that 
7. and y of those équations are uow replaced by 

Heuce^ instead of (-"i?), \ve should hâve 



P-(^=.^^{^-|/>v/r}, 






and the sanie gênerai conclusions follow. 

In the preceding calculations \ve hâve supposed that the solid is free 
IVom stress at a uniforni standard teraj)erature when a, r, w vanish. In 
the case of nnannealed glass, it Avould reqnire a variable température 
to relieve the inaterial froni stress. To nieet this^ Ù in the above équa- 
tions wonld bave to be reckoned from the variable température corre- 
sponding to the state of ease, rather than from a uniform standard 
température. 

Some of the questions above considered are easily illustrated experi- 
mentally. A slab of glass about 8 cm. square and 1 cm. thick^ polished 
upon opposite edges, when jjlaced in the polariscope shows but little 
revival of light so long as the' température is uniform. The contact of 
the hands with the two faces sufîices to cause au almost instautaneous 
illumination^ rising to a maximum at the middle of the thickuess after 
a few seconds. Dark bands situated about halfway betweeu the middle 
and the faces are a conspicuous feature. After about oO or -10 seconds 
the light fades greatly^ a resuit more rapidly attained if the hands be 
removed after 10 or 20 seconds' contact. In the earlier stages of the 
heating the outside layers are the warmer^ and being prevented from 
expandiug fully are in a condition of compression. The imier layers at 
the same time are in tension, a conclusion that may be veritied by inter- 
position of anotlier pièce of glass_, of which the mechanical condition is 
known, aiul of which the etfect may be either an augmentation or a 
diminution of the light. 

An examination in the polariscope of the so-callcd ionglieaed glass, 
introduced a few years ago, is interesting. It was understood to be pre- 
pared by a sudden cooling in oil while still plastic with beat. When it 



i'-Z liORD RAYLEIGH. ON THE STRESSES IN SOLID BODIES &f,'. 

is examincd tlirougli the thickness of tlie slieet, a great waiit of uiiifor- 
mity is manifestée!. lu spite of the shortness of the distaiice traversée!^ 
there is in phaces considérable revival of light with intermediate irregu- 
larly disposed dark bands. The course of thèse bands is altered wheu 
by fracture any part is relieved froni the constraining influence of neigh- 
bouriug parts. To make an exaniinatiou by liglit transiuitted edgewise 
it was necessary to immerse the glass in a li([uid of nearly equal refrac- 
tivity (beuzole with a little bisulphide of carbon) contained in a small 
tank. The width^ traversed by tlic light^ was about 1 cm. In this wàj, 
and with the aid of a magnifterj the condition of the varions hiyers 
could be well made out. The dark bands of no double refraction seemed 
to be nearer to the faces than according to the calculation niade above^ 
but the whole thickness is so small that this observation is scarcely to 
be relied upon. The interior was in a state of tension^ and the double 
refraction was nearly sufficient at the middle to give the yellow or brown 
of the tirst order. By the action of hydrofluoric acid ou the lower end 
of one of the strips the outermost layers were dissolved away. This cau- 
sed a drawing together of the dark bands towards the middle, and though 
a good deal remaiued the light was nuicli reduced. 

The cause of the louglii'ii'Dicj lias been sought in a spécial crystalliue 
condition due to the sudden cooling. There may be something of this 
nature; but it would seem that most of the peculiarities manifested 
may be explained by référence to the known condition of stress. T])e 
fracture of glass is usually due to bending, and the failure occurs at 
the surface which is under tension. If, initially, the superticial layers 
are under strong compression, a degree of bending may be harmless 
which otherwise would cause fatal results. It seems possible also that 
the superficial compression may be the explanation of the spécial hard- 
ness observed. 

A short length of glass rod in its natural imperfectly annealed con- 
dition may be used to illustrate syuimetrical stress. The ends may be 
grouud, and either polished or provided with cover-glasses ceinented 
with Canada balsam. In the spécimen examined by me the colours varied 
from the black of the tirst order ou the axis to the red of the second 
order near the surface. The length of the cylinder was 1.6 cm. and the 
diaiueter 1.8 cm. 



lîKFI. EXIONS AU SIMKT DK L L'MVEKS ET DES LOIS NATURELLES 



H. PELLAT. 

Professeur à la Faculté des Sciences de l'Université de J^^ris. 



C'est après bien des hésitations que je publie ces quelques rétiexions 
sur l'Univers et les lois naturelles; c'est surtout le désir que j'ai de 
contribuer pour ma faible part au monument d'admiration des savants 
pour les travaux de M. Lcjrentz^ qui m'a engagé à le faire. Je sais que 
quelque serré que paraisse un raisonnement à son auteur^ une erreur se 
glisse facilement dans des considérations d'un ordre aussi général. Mais 
cet article^ n'eût il d'autres etlets que de ramener l'attention sur une 
question certainement d'un haut intérêt philosophique et de provoquer 
une réfutation, ne serait pas tout à fait inutile. 

Les conséquences de la dégradation de l'énergie dans un système isolé, 
indiipiées ])ar lord Kklvin ') et développées surtout par Helmuolt//-^), 
sont aujourd'hui bien connues et en quelque sorte classiques. Je me 
permettrai pourtant de les rappeler brièvement pour l'intelligence de 
ce qui va suivre. 

Un système soustrait à toute action extérieure possède une quantité 
d'énergie invariable; mais la forme de Fénergie se moditie sans cesse 
par suite des phénomènes, de toute nature, dont le système est le siège. 
Or, ces modifications ne se font pas dans un sens quelconque : elles se 
font toujours dans le sens où l'entropie du système augmente, et tendent 



') On a uni versai Tendency in Nature to the dissipation of mechanical 
Energy (rhil. Mag. 4e série, voL IV, pag. 304—1852). 

') Ueber die Wecliselwivkung der Naturkràfte (Kunigsberg — 1854). 



44 H. PELLAT. 

à rapprocher le système d'un état linal où toute IV'iiergie se trouve sous 
forme de chaleur sur des corps à même temjiératui'e^ où aucune trans- 
formation d'énergie et, par cousétjuent, aucun phénomène perceptible 
ne peut plus se produire. 

Appliquées à TUnivers, considéré comme un vaste système, mais tini 
en matière et, 2)ar conséquent, en énergie, sur lecjuel rien n'agit puisque, 
par définition, rien ne lui est extérieur dans le monde matériel, ces con- 
sidérations font prévoir la fin du monde vivant, dans le sens habituel 
du mot. 

Mais, aa lieu de développer les conséquences de la dégradation de 
l'énergie en regardant ce qui arrivera dans les âges futurs, reportons 
notre pensée sur ce qui a eu lieu dans le passé en considérant toujours 
rUnivers comme iini en matière et en énergie. 

Puisqu'en suivant le cours des temps Ténergie est de moins en moins 
différenciée et Tentropie de plus en plus grande, en remontant le cours 
des tem])s nous trouvons l'énergie de plus eu plus différenciée et Ten- 
tropie de jdus en plus faible dans TUnivers. Mais la différenciation de 
rénergie, ou la diminution de reutropie, a une limite; car, dans un 
système fini, l'énergie ne peut être indéfiniment difi'érenciée, l'entropie 
ne peut décroître au delà de toute limite. Désignons ])ar x l'époque à 
laquelle l'entropie avait sa valeur minimum, et remarquons tout de suite 
que cette époque a ne peut être infiniment éloignée de nos jours, car il 
faudrait pour cela que la vitesse de dégradation de Téiiergie ou d'aug- 
mentation de l'entropie tendît vers zéro à mesure que nous considérons 
des époques plus éloignées dans le passé; or, bien au contraire, la vitesse 
de dégradation de l'énergie ne ])eut aller qu'en augmentant, eu moyemie, par 
le fait même que les énergies sont plus différenciées (plus les températures 
sont difi'éreutes, plus est rapide le passage d'une quantité de chaleur d'un 
corps à l'autre ; plus l'énergie cinétique est considérable, plus est grande 
la transformation de cette énergie en chaleur par les frottements ou les 
chocs, etc.). Nous reviendrons ])ourtaut sur ce point un peu i)lus loin. 
Dès lors, nous aboutissons à une impasse; car avant cette époque x 
que se passait-il? D'une part la loi de la dégradation de l'énergie veut 
que la différenciation de l'énergie soit plus grande qu'à l'époque x, 
c'est-à-dire que l'entropie soit moindre, d'autre part c'est impossible 
puisqu'à l'époque x. la difierenciation de l'énergie était maximum, l'en- 
tropie miniuiuin. Nous ne pouvons sortir de cette impasse qu'en ad- 
mettant : soit, qu'avant l'époque x la loi de la dégradation de l'énergie 



REFLEXIONS AU SUJET DE l' UNIVERS ET DES LOIS NATURELLES. 45 

n'existait i^iis, c'est-à-tlire que les lois naturelles ont été modifiées^ ce 
qui équivaut à une création; soit, que l'Univers est indétini en matière 
et en énergie, puisque notre raisonueaient ne s'a])plique qu'à un Uni- 
vers fini. 

Je crois bon maintenant de revenir sur la vitesse de variation de 
l'entropie. Nous connaissons des systèmes très riches en énergie chimique, 
qui pourtant nous semblent rester indéfinement dans le même état tant 
qu'une petite quantité de chaleur venue de l'extérieur ou un choc ne 
détermine les réactions chimiques et le commencement des transforma- 
tions de l'énergie, tel un baril de poudre, telle une torpille chargée. 
Peut-on, pour échapper aux conclusions indiquées ci-dessus, imaginer 
([ue l'Univers a été primitivement constitué par c[uelque chose d'ana- 
logue à ces systèmes, (ju'il est resté endormi pendant une éternité 
jusqu'à ce qu'un choc, à une éj)oque séparée de nos jours par un temps 
fini, ait déterminé le commencement de la série de transformations que 
nous observons aujourd'hui? Il faudrait, au moins, imaginer plusieurs 
systèmes de ce genre doués de mouvement et, pour que le choc ne se 
produise qu'au bout d'un temps infini, il faudrait imaginer que primi- 
tivement plusieurs de ces S3"stèmes étaient à une distance infinie les uus 
des autres. En outre, pour que la probabilité d'un clioc, dans ces con- 
ditions, ne soit pas infiniment faible, il faut encore aduiettre que ces 
systèmes étaient en nombre infini et "remjjlissaieut un espace infini. 
Nous sommes ainsi ramenés aux conclusions indiquées ci-dessus. 

En résumé, pour l'Univers, l'infini dans le temps entraîne l'infini 
dans l'espace; si l'Univers est fini en matière et en énergie, il a été 
créé ou, du moins, les lois dites naturelles ont été modifiées à une époque 
séparée de nos jours par un temps fini. 



Il E A C T 1 X V K L () C I 1' V A N ]) S O T, L' B I L 1 T V 



WILDER D. BANCROFT. 



ïlie influence of the solveut on réaction velocity lias hitherto been 
considérée! chiefly as a matter of viscositv. The récent experiinents of 
Buchbock hâve demonstrated that viscosit}' is one of the factors. It 
cannot, liowever, be the sole factor ; otlierwise the order of the solvents 
would be the same for ail reactions, which is well-known not to be the 
case. The object of this paper is to call attention to another factor, the 
solubility. 

Let us consider a nionomolecular réversible reaction in a so-called 
indiffèrent solveut. We shall hâve equilibriuin when 

/•, c^ = h c, (Ij 

and the ex]jression for the reaction velocity at any moment will be 

- — ^r —^\ m 

dt~ A' A"-- ■ ^' 

In equatiou (1) >?;, and L, are the intégration constants in tlie expres- 
sions for the chemical potentials in the solveut under consideratiou, 
and are defined by the équations 

|i,= log/-, +log., (8) 

||,= log/-, +log^.. (4) 



REACTION VELOCITY AND SOLUBILITY 47 

The réaction velocitj constants are proportional to tlie equilibriiiin 
constants and tlie proportionality constant is represented by // in équa- 
tion (2). Tliis factor A contains the efïect due to viscosity and othei- 
as yet unclassified causes. Let us now change the solveut, tlie new 
solvent bj définition to be one in which the first substance is less sohible 
and the second more soluble. This means that, for the same concen- 
tration, the chemical potential of the first substance is higher and of 
the second lower. In otlier words, /•, in équation (3) is to be rephiced 
by tlie larger value /•', and /,:, m e(iuatiou (4) hy the sniallcr value />■'.,. 
The equilibriuni will be displaced to th(> side of the second substance 
for we shall bave equilibriuni when 

//, c, = /•', c,. (5) 

If the change of the solvent introduces no disturbing éléments other 
than the change of soliibility, the réaction velocity at any moment 
will be 

We thus see that a decrease in the solubility of one of the reacting 
substances tends to increase the rate at whicli the other is forined. 

It does not necessarily follow that the actual reaction velocity will be 
increased in any concrète case, because it is extremely improbable that 
the change of solubility will be the only change produced by substituting 
a new solvent. It is quite conceivable that there might be an increase 
in the factor ^7 which would more than couuterbalance ') the changes 
in k^ and k.^. This would nierely show what we already know, that the 
relative solubility is not the only factor in determining reaction velocity 
coefficients and does not ali'ect the validity of the proof that the réaction 
velocity coefficient varies in a perfectly deiinite way with the solubility 
of the reacting substances. 

Silice a monomolecular reaction running one way dillers from the 



') Beuzaldoxinie in lienzene solution would appeav to be an inslance oflliis. 



48 WILDER D. BANCROFT. REACTION VELOCITY AND SOLUBILITY. 

case we hâve just considered, in tliat tlie reverse reaction is negligible, 
we niay write 

de k. de Jî' . 

Since Ji\ is larger tlian /■, , Ihere is an increase of reaction velocity in 
this case as well, subject as before to possible changes in the value oiJ. 
The same relation will also hold for reactions of a higher order, though 
hère there may be the further complication of an increase in the solu- 
bility of sonie of tiie reacting substances and a decrease in the solubility 
of others. 



CorneU Uj/ioersifij, 
Seplenther 1, 1900. 



SITU LES ni<:SISTANr,ES ELECTRIQUES DES MÉTAUX PURS 



EDM. VAN AUBEL. 



Les résistivités électriques des métaux purs, à diverses températures, 
out fait l'objet d^m grand nombre de travaux. Les valeurs des résisti- 
vités spécifiques à 0° C. et des coefficients de variation de la résistivité 
avec la température sont très différentes pour un même métal, d'un 
physicien à l'autre. Les divergences j)euvent être attribuées: 1°. aux 
impuretés contenues dans les jH'oduits étudiés, car un métal absolument 
pur est une grande rareté; 2°. à la structure moléculaire des échan- 
tillons examinés. On sait, en effet, que les diverses actions mécani- 
ques, par exemple, modifient la résistivité, souvent d'une façon très 
notable. 

Parmi les nombreux mémoires publiés sur cette question, ceux de 
Matthiessen et ceux de James Dewau et J. A. Fleming ^) renferment 
un très grand nombre de résultats et les valeurs obtenues par ces savants 
servent généralement comme termes de comparaison. 

Depuis l'époque oii Matthiessen a publié ses recherches, les métho- 
des chimiques de préparation des métaux, à l'état pur, ont été beaucoup 
perfectionnées. MM. James Dewar et J. A. Fleming ont fait leurs 
mesures entre des limites de température plus étendues ( — 197° à 
-)- 192°) et se sont attachés à opérer sur des produits autant que pos- 
sible purs. 



') Philoaoji/iical Magazine, 5o série, volume 34, page 320; 1892. — volume 
30, page 271 ; 1893. — volume 45, page 525 ; 1898. 

ARCHIVES NKBRLANDAISES, SERIE II. TOME V. 4 



50 



EDM. VAN AITBÊL. 



Le but du travail actuel est d'examiner les résultats obtenus par les 
deux savants anglais pour l'étain, le cadmium et le nickel. 

1°. Efain. 

Dans leur mémoire publié en 1892 '), MM. James Dewar et J. A. 
Fleming ont donné les résultats des mesures faites sur un fil d'étain 
pur. Voici les valeurs des résistivités qui ont été obtenues, eu microlims- 
centimètre, aux diverses températures. 

Fil fVétain pur, étiré. 



Températures. 



Késistivités. 



— 182° C 

— 100° 

— 80° 
+ 0°,8 
+ 20° 
+ 99°,3 



2,553 
5,671 

6,(381 

9,609 

10,473 

13,837 



Dans leur deuxième mémoire ^), les mêmes savants ont repris cette 
étude. Ils font remarquer que letain est un des métaux les plus faciles 
à obtenir à Tétat pur. Dans ces expériences l'étain granulé très pur 
a été fondu dans un creuset en porcelaine et ensuite comprimé à cliitud, 
dans une presse en acier, de façon à réaliser un fil. 

Le tableau suivant renferme les résultats. 



') Loco citato, page 331. 

■') Loco citato, 1893, page 29'2. 



SUR LES RESISTANCES ELECTRIQUES DES METAUX PURS. 



51 



Fil d'éiain pur, com-p'im.é à chaud. 



Températures. 


Eésistivités. 


— 182°,97C. ') 


3,399 


— 78°,04„ ') 


8,788 


- 42V.0„ ') 


10,667 


+ i°.o „ 


13,100 


+ 12°.70„ 


13,734 


+ 18°,75„ 


14,136 


+ 52°,] 0„ 


15,984 


+ 91°,45„ 


18,301 



Ainsi, la résistivité de rétain est 9,609 microlims-centimètre à 0°,8C, 
en 1892, et 13,100 niicroluns-centimètre à 1°,0 C, en 1893! Il con- 
vient de ne pas oublier cependant que les deux fils d'étaiu ont été pré- 
parés de façons différentes. 

2°. CadmÀum. 

MM. James Dewar et J. A. Tleming ^) ont trouvé, pour un fil de 
cadmium pur étiré: 



résistivité à 0° C. =^ 10,023 microhms-centimètre, 
coeflRcient moyen de température, entre 0'^ et 100° C. = 



0,00419. 



Au contraire, d'après Benoit "), la résistance électrique spécifique 
de ce métal pur, écroui, est 6,85 inicrohms-centimètre et la variation 
avec la température s'exprime par Bt = R,j (1 + 0,004264 / -\- 
0,000001765 fi). Ce dernier résultat donne, pour le coeflicient moyen 
de température entre 0° et 100° C, : 0,004440. 



') Voir J. D. Haïulton Dickson, Philosophical Magazine^ 5e série, volume 
45, page 527; 1898. 

^) Philosophical Magazine, 5c série, volume 36, page 294; 1893. 

^) Comptes rendus des séances de l^Acadé^nie des sciences, Paris, tome 7(j, 
page 345; 1873. 

4* 



52 EUM. VAN AUBEL. 

3°. Nkhel. 

A. Matthiessen et C. Yogt ^) ont mesuré la résistivité électrique 
du nickel en ni, qui leur avait été remis par le Professeur W()HLER et 
avait été préparé, à l'état pur, par Deville. Ils ont conclu que le 
métal étudié était impur et ont attribué au nickel pur la conductibilité 
électrique suivante à 0*^ C. : 

argent 100 
nickel 13,11. 

Il en résulte que la résistivité spécifique du nickel à 0°C. est 12,357 
microhms-centimètre ^). 

James Dewak. et J. A. Tleming ont étudié le nickel, dans leurs 
mémoires publiés en 1892 et 1893 ^')- "l'oi^t d'abord, ils font remarquer 
que le seul produit parfaitement pur qu'ils ont pu obtenir avait été 
préparé, à Taide du uickel-carbonyle, par Monsieur Mond, en faisant 
passer de la vapeur de nickel-carbonylc à travers un tube de verre 
chauffé. Ce nickel ne peut être étiré en fil; aussi on a découpé, au tour, 
sur le tube, une spirale très fine de métal, qui a servi de résistance 
électrique. 

Dans le travail publié en 1892, James Dewaii et J. A. Ff.eming 
attribuent à ce nickel pur les résistivités suivantes: 

à 1°,2, 12,350 microhms-centimètre, 

à 20° 13,494 idem 

à 9 4°, 5, 18,913 idem, 

d'où l'on déduit, pour le coefficient de température, 0,004931 entre 
+ 1°,2 et + 20°, et 0,005696 entre + 1°,2 et + 94°,5. En 1893, 
ils donnent pour le nickel pur, préparé de même, les r^ésultats suivants: 

résistivité à 1°,3 12,402 microhms-centimètre, 

àl8°,7 14,653 

à 90°,35 19,419 



') Poggendorff's Annalen der PJnjsik., tome 118, page 444; 18G3. 

"*) J. A. Pi.EMiNG, ProceecUngs of the Royal Sjciely, Loudoii, vol. LXVI, p. 
57; 1900. 

^) Philosophical Magazine^ 5e série, volume 34, page 331 ; 1892. — volume 
36, p. 291 ; 1893. 




ce 



Temp ératures 



9i,5 



SUR LES KÉSISTANCES ÉLECTRIQUES DES METAUX PURS. 53 

qui permetteut d'obtenir pour le coefficient de température entre l^^^-'i 
et 18°,7 : -f- 0,01043, A^ileur extrêmement élevée, et, pour le même 
coefficient entre 1°,3 et 90°,35 : -\- 0,00635 '). Les deux travaux de 
MM. James Dewar et .J. A. Fleming conduisent donc à des valeurs 
assez concordantes pour la résistivité à 1°,2 (ou 1°,3), mais les coeffi- 
cients de température entre 1° et 20° sont bien différents. 

Les courbes représentent les résultats des mesures de résistivités, 
faites à diverses températures sur le nickel, respectivement en 1892 
et en 1893; on remarquera combien l'écart est grand à 19° et à 
90°. J. A. Eleming a publié plus récemment ^) un mémoire sur la 
résistivité électrique du nickel. L'auteur fait remarquer que les tubes 
de nickel obtenus au moyen du tétracarbonyle sont trop cassants 
])our être étirés en til, et que la fusion du produit en altérerait certai- 
nement la pureté. Pour ces raisons, il a mesuré antérieurement la 
résistance d'une spirale, qui pouvait convenir pour l'étude de la varia- 
tion de la résistivité avec la tem])éi'ature "), mais n'était pas de dimen- 
sions suffisamment uniformes, pour permettre un calcul de la résistivité 
spécifique ''). Dans son nouveau travail, le savant électricien examine 
un échantillon de nickel préparé par M^ J. W. Swan, 1\ R. S., en 
électrolysant une solution chaude de chlorure de nickel ])uritié avec 
très grand soin. Le métal déposé a été étiré à travers une filière et 
recuit dans une atmosphère d'hydrogène. Le fil de nickel ainsi préparé 
est aussi mou que s'il était en argent. Il a été soudé à des fils de cuivre 
épais et enroulé sur un cadre d'une nature convenable, pour être im- 
mergé dans l'air liquide. 

Le Professeur J. A. Fleming a obtenu pour la résistivité à 0° C. de 
ce nickel électrolytique 0,935 microhms-centimètre et un coefficient de 
température, entre 0° et 100°, égal à 0,00618. 11 ajoute: 



') Les auteurs donnent : -f- 0,00622, entre 0° et 100°. 

^) Proceedinrjs of llie Royal Sociely, London, volume LX VI, page 50; 1900. 

'') Voir cependant la valeur du coefficient de température entre 1°,3 et 18°,7, 
trouvé par les deux savants anglais en 1893, et les divergences entre les coeffi- 
cients de température, obtenus en 1892 et 1893. 

") „Accordingly, tlie nickel tube was eut up in the latbe into a spiral, and 
a résistance coil formed with it whicli could be used for takingtlie resistivity 
ratios at différent températures, but wbicli was not suflBciently uniform in di- 
mensions to permit its volume-resistivity to be calculated". (Extrait du travail 
de J. A. Fleming, publié en 1900, Loco citato, page 51). 



54 



EDM. VAN AUBEL. 



„The above observations indicate that this electroljtic nickel as pre- 
„pared bj M"". Swan, bas au exceedingly différent and mucblowerresisti- 
„vity thau tbat emplojed for test by Matthiessen tbirty-five yearsago. 

„The value of the mean température-coefficient of tlie nickel used in 
„the experiments of Fleming and Dewau in 1893, and preparedby Dr. 
„LuDWiG MoND, was 0,00022 (Pliilosopbical Magazine, September 
„1893) between 0°C and 100° C. It is clear therefore tbat some extra- 
„ordinary electrical différence exists between nickel as it can now be 
„produced electrolytically and nickel as it was produced by Matthies- 
„SEN for bis experiments. 

„lt would be interesting to ascertain if any spécimen of nickel known 
„to bave been used by Matthiessen for bis experiments still exists, and 
„if so, to discover the nature of the impurity (if impurity was présent), 
„or at least the physical différence, which caused his nickel to havenearly 
„double the electrical resistivity of that which can now be „produced. ') 

J. A. Fleming se contente donc de constater que le coefficient de 
température entre 0°et 100° C. da nickel étudié par lui et James Dewar, 
en 1893, et celui du métal examiné par lui, en 1900, sont très voisins. 
Mais il ne pousse pas plus loin la comparaison entre ses résultats actuels 
et ceux qu'il a donnés dans les mémoires publiés, en 1892 et 1893, en 
collaboration avec James Dewar. 

Le tableau suivant, déduit de mes calculs, nous permettra de faire 
ce parallèle. 



Résistivités 

en microlims- 

centimètre. 



Coefficients de température. 



Nickel provenant 
du nickel-carbonyle. 
(Dewar et Fleming, 
Loco citato, 1892), 

Nickel provenant 
du nickel-carbonyle. 
(Deavar et Fleming, 
Loco citato, 1893). 

Nickel électrolytique 
(Fleming, Loco cita 
to, 1900). 



12,350 à l'',2 



12,402 à 1°,3 



0,0298 

entre-182",97 

et 1°,35 

0,02074 

entre— 182",5 

et 2",35 

*) J. A. Fleming, Loco citato, page 54; 1900, 



G,935 à 0» 



0,004931 

entre l'',2 
et 20^' 



0,01043 

entre l'',3 

et 18",7 

0,.00583 

entre 2'\35 

et 2^,3 



0,00569(5 

entre 1",2 

et 94,5 



0,00635 
entre 1°,3 
et 90«,35 



0,00618 
entre 0" et 100" 



SUR LES B,ESISTANCES ELECmiQUES DES METAUX PUES. 5o 

Les valeurs des résistivités spécifiques ne sont pas seulement fort 
différentes ; les coefficients de température sont aussi très variables d 'un 
échantillon à Tautre, bien que J. A. Fleming considère les spirales de 
nickel de 189-2 et 1893, comme pouvant convenir pour l'étude de 
rinfluence de la température. 

Les écarts si grands entre les divers résultats de J. A. Er.EMiNG et 
James Dewar que j'ai signalés, antérieurement pour le bismuth ') et 
maintenant pour l'étain et le nickel, me paraissent montrer qu'il est au 
moins imprudent de faire les mesures avec un fil qui, enroulé sur un 
cadre, est soumis à de grandes variations de température. Il serait 
préférable de se servir de fils rectilignes. 

Q.uoiqu'il en soit, de nouvelles recherches me semblent nécessaires 
pour établir les résistivités électriques de ces métaux et Ton est, peut 
être, même en droit de se demander si les divergences signalées ici ne 
sont pas de nature à mettre en doute la conclusion principale des travaux 
de James Dewar et J. A. Fleming, à savoir que la résistance électrique 
de tous les métaux purs tend vers zéro, quand on s'approche du zéro 
absolu des températures. ') D^ailleurs cette conclusion ne paraît pas 
justifiée, car la résistance électrique du platine, de l'argent, du cuivre 
et du fer devrait s'annuler, respectivement aux températures — 258, 
—248, 4, —223 et —223 degrés. ■') 



') Archives des sciences physiques et naltirelles^ Genève, 4e période, tome 4; 
1897. 

^) On sait que la clialeur spécifique des métaux purs ne tend pas vers zéro, 
quand on s'approche du zéro absolu des températures. (Voir W. A. Tilden, 
Proceeiliurjs of ihe Royal Society^ I;ondon, volume LXVI, W 428, page ^46, 
note; 14 avril 1900. — et TJ. Behn, Drude's Annalen der PJiysiJr^ 4e série, 
tome 1, page 265; 1900). 

") B. Dessau, Neuere Untersuchungen iiber verflvissigte Gase und tiefe Tem- 
peraturen, Physikalische Zeitschrifl^ deuxième année, numéro 3, page 41; 
20 octobre 1900. 



ALLGEMEINE PRINCIPIEN FUR DIE MECHANIK DES AETllERS 



JULIUS FARKAS. 



Die wisseuscliaftliche Beliaiidluiig der Meclianik hat uocli nicht jeiie 
Allgeineinheit erreiclit^ welche dem Gegenstande gebiihrt. Nacli vev- 
schiedeiieu Richtungen ist eiiie Erweiteruug mogiicli, luid wenu eine 
solche sicli sclion in dem Bereiche der ponderableu Materie als uiit/lich 
erweist-, so wird sie uubedingt uotliwendig fur Betrachtungen^ welche 
auf deii Aetlier Bezug haben, iiamentlich fiir die mechanisclie Interpre- 
tatiou der Erscheiiiungen^ welche in unserer Auffassimg die Auualime 
des Aethers erzwuugen haben. 

Ich beabsichtige hier^ auf drei verschiedene Arten der Verallgeraei- 
nerung hiu zu weisen. Aile di'ei knupfen sich au das Priiicip der vir- 
tuelleu Verschiebungen. Und zwar verstelie ich unter dieseni Priucip 
uicht das specielle Gleichheits-Priucip, sondern das zuerst vou Eourier, 
und dann spÊlter von Gauss formnlirte Ungleichheits-Princip. Letzteres 
hat schon in seiner ursprungliclien BeschaH'enheit den A^orzug gegen- 
iiber dem ersteren^ dass es, wenn die virluellen A^erschiebmigen Un- 
gleichungen uuterworfeu sind, ausser der bestimmten Gleichuugen der 
iUihe oder der Bewegung, aucli bestimmte Ungleichungeu liefert : und 
zwair bildet fiir die Hulie, das System der bestimmten Gleichuugen und 
Ungleichungeu die nothwendigen und hinreicheuden Bedingungen der 
iluhe, wiihrend fiir die Bewegung, das System der bestimmten Glei- 
chuugen zur Beschreibung der Beweguug dient, und das System der 
bestimmten Ungleichungeu die nothwendigen und hiureiclienden Be- 



ALLOIOMEINE PlUNCll'LlON FUR UIK MECMIANIK UKS AirrilKRS. .) / 

(liugiiiigeu dafiir liefert^ dass die Beweguug tliatsaclilicli deu Gleicliuii- 
gen gemiiss vor sic h gelit. 

a) lu der Eegel besitzt aber das Ungleicldieits-Priucip ebeu so^ wie 
das Gleiclilieits-Priucip, in seiuer urspriïuglichen Couceptiou uur daim 
eirieu aunelimbareu Siuu^ weim kein Widerstand des umgebenden Mé- 
diums, uud keiue Eeibung vorhaudeu ist, deuu der Begriff der freieu 
Kriifte haftet au dev Abstractiou des Zwauges, womit die Abstractiou 
der vom Zwauge herifdireudeu Moditicatiou des Widerstaiules des um- 
gebeudeu Médiums uud die Abstraction der vom Zwauge bedingteu 
Reibung in der Regel uutreunbar verbuudeu ist. In Capitel I werde ich 
das Uugleicblieits-Priucip in der Weise erweitern, dass sich dasselbe 
auch auf das Vorbaudensein dieser beiden Zubehore des Zwanges erstreckt. 

fj) Eine audere Erweiteruug (in Capitel II) bezieht sicb auf die aualyti- 
sclie Detiuitiou des Zwanges. Es wird gewolinlich augenommeu, dass der 
Zwaug sich immer durch ein eiuziges System von liomogeueu liueareu 
Relationen — Gleichuugeu uud Uugleichungen — zwisclieu deu Com- 
poneuteu der virtuellen Verscbiebuugeu ausdriickeu liisst. Durch dièse 
Auuahme erleidet abe]' der Inhalt der Mechanik eiue Einschrilukung. 
Es kounen sogar ziemlich eiufaçhe Ealle bezeichuet werdeu, in welcheu 
zu der Bestimmung der virtuellen Yerschiebungeu ein eiuziges System 
von homogeuen liueareu llelatiouen nicht geuûgt. 

c) Die AusfiUiruugeu in den zwei ersten Paragraphen stiltzen sich 
auf die Voraussetzuug getrenuter Masseupunkte. In Capitel III wird der 
Uebergaug zur stetigeu Raumerfiillung vollzogen, uud auf dièse Weise 
dera Vorstelluugs- und Eolgeruugs-Gebiete der Infiuitesimalaualyse der 
Eiugaug eroii'uet. In Verbindung damit steht eine dritte Erweiterung, 
welche die Zusammeusetzuug der Korper aus Bestandtheileu, die ver- 
schiedenen freien Krafteu uud verschiedeneu Zwangen gehorclien be- 
triti't. Es wird uamlich die Auuahme zugelasseii, dass zwisclieu dieseu 
Bestandtheileu im Allgemeineu Umwandluugeu vou Statten gehen, wie 
durcli Veriiuderungen des Aggregatzustaudes, durch allotropische Mo- 
diticationeu,, durch chemische Processe u.s. w. Hiermit wird eiue be- 
sondere Art der Veriiuderlichkeit des Zwanges eiugefùhrt_, uud die 
sogcuannte Coutinuitats-Gleichung verallgemeinert. 

d) lu Capitel IV wird die Hypothèse zugelassen, dass in eiueiu unab- 
haugigen Masseu-Systeme bei gewisseu Lageu der Coordinaten-Axen gar 
keiue freieu Ki'iifte obwalteu, uud vverdeu Auweisuugen zur Auwendung 
auf (lie Mechanik des Aethers aufa'ezidilt. 



58 JULIUS FAllKAS. 



§ 1) Aiif deu Masseu-Punkt tit{.t', ij, z) soll die freie Kraft (A^ Y, Z) 
uod die Widerstaiids-Kraft (A', Y', Z') wirken, so dass mx = X -\- X' 
u. s. w, , also fiir ganz willkilrliche elemeiitare Verscliiebungen (èa^, ^i/, ^z), 
uud fiir ein aus n Massen-Puiikteii besteliendes Massen-System 

i\{iax—X)Yx + .^.]='i (A' !<?+. + .) 
oder in anderer Bezeiclmung : 

(1) * 2 lm',p--P) ^ = 2 P/ ^, 

* = 1 / = I 

Die virtuellen Verscliiebuugeu i^p) d. li. i^x, ^/j, L~) solien durcli die 
Relationeu gegeben werden: 

i = on i = 3n i = 2» 

S Au h^i = cc^ = 0, Z Aoi Ipi = a, = 0,..,lL An Ip-, = xi = , 
i=i i=i ; = 1 

'^'BuhH = l2i ^ o!î:'ki^2H= (3-2^0, 

; = 1 j = 1 

Die Krafte (P') d. h. (A'^ 1", -^') solien nun derarfc in zwei Componeu- 
ten (n) uud (^) d. h. {B, H, Z) uud (3B^ ^, 3) zerlegt werden, dass fiir 
die erstereu 

i = 3n 

(3) S n, ^pi ^ 

sei, uud dass die letzteren mit veriiud.erten Yorzeicheu deu iielationen 
der virtuellen Verscliiebungen geuligen: 

i = 3n i = 3)1 

(4) — 2 Au ^^, = 0, u. s. w., — E JJu ^i ^ 0, u. s. w. 

i =1 i = -1 

Dièse Zerlegung ist immer raogiicli. 

1 Fiir deu Beweis dieser Beliauptuug setze ich voraus erstens, dass 
eine jede Gleichung in (£) unabhangig ist von deu iibrigen Gleichungen, 
zweiteus_, dass aus den Ungleichungeu in (2) niclit'eine Ungleichung 



ALLGEMEINE PTIINCIPIEN PÛK DIE MECHANIK DES AEÏHERS. 59 

gefolgei't werdeu kanu, dereii linke Seite identisch verscliwindet^ oder 
durcli die liukeu Seiten der Gleichimgen ausgedriickt werdeu kauu. Die 
Eelatioiicn (3) kouueu immer auf eiue dieser Voraussetzuiig entspre- 
cliende l'orm gebracht werdeu. Deuu aus Uugleichuugeu kouueu bloss 
durch Additiou mit uicht uegativen Multiplicatoreu audere liueare lio- 
mogeue Eelatiouen gefolgert werdeu (Math, und Naturw. Bericlite aus 
Uugaru. XVI. 7.) ; ist aber identisch : 

(*) l^^, i\ + !^^i /3, +. . . = 0, [!J., ^ Q, /z, ^ 0, . . .). 

uud ist dabei iusbesondere ,a, ^0, so folgt dass — (3 y ^^0, daaberuach 
(2), /3, ^ 0, so ist /3, = 0, also kauu au Stelle der Uugleichuug /3, ^ 
die Gleichuug /3, = iu (3) geschriebeu werdeu. Auf dièse Weise kauu 
luau erreicheu, dass aus deu liukeu Seiteu der Uugleichuugeu ïdeutitiitcu^ 
wie (■^)_, uicht mehr gebildet werdeu kouueu. Ist aber ideutisch: 

/y., /3, + [y.., /3, + . . - = A, x^ + ?., X, + . . + }.i xi, (,'Zi ^ 0, (y., ^ 0, . . . ), 

so hat mau iu Folge der Gleichuugeu: |6Cj /3i -\- [j..^ (3., -\^ . . . = 0, 
also wenu iusbesondere (^^ > 0^ so kommt wiederum /3, = 0^ u. s. w. 

■; Um uuu den gedachteu Beweis zu lieferu, beachteu wir^ dass die 
Uugleichuug (o) fiir aile Liisuugeu des Systems (2) besteheu muss. 
Ilieraus ergebeu sich fiir die Compoueuteu n die Ausdrùcke : 

k = l k = .. 

(5) n, = S Ja; A/, + S Bui [M,, ify^k ^0,i=l,2,.., 3/0. 

A- = 1 A- = 1 

Da n,- = P' — '^, so ist also zu beweisen^ dass die Compoueuteu ^ 
ausser deu llelatioueu (4) auch uoch deu folgeudeu Geuiige leisten 
konuen : 

(6) — sp; = — P',: +' S J,i K, + S '^A-; /vwo (,aA ^ 0, i = 1, 3, . . . , S/^- 

k= \ k=\ 

Setzt mau dièse Ausdriicke in ( l) eiu, so erhiilt mau Relationeu fiir 
die Multiplicatoreu /. uud fiir die uicht uegativen Multiplicatoreu //, 
uud es ist uoch zu zeigeu^ dass dièse Multiplicatoreu Wertlie erhalteu 
kiiiuu'Uj durch welche dièse Relationeu befriedigt werdeu. 

Setzeu wir: 



60 



JULIUS FAllKAS. 



i = 3 n i = 3u i = 'Sa 

(• = 1 i = 1 / = 1 

so vei'waudelu sicli die llelatioiieu (4) iiacli der gedachten Substitiitiou in 



(«) 



Zi, + {AA),n Al + {AA),,2 A.2 + . • + {.4A)ui M + 

+ {AB)m !m + i4B\-2 [y.2 4- . 
34 + (JZ>0,/.. Âi + (./-S),/, A2 + . . + (^/i)//.. A, + 

(/. = 1,2,. .,/,/■ = ], 2,...) 






wo die Gliedei' L|^ uud J//. von den Multiplicatoren A und [Ji, uuabliiiugig 
sind. Nun kounen die Multiplicatoren A als Functionen der Multipli- 
catoren (/, aus dein Système der Gleicliungeu bereclmet werden^ da die 
Déterminante dièses Systems in Bezug auf die Unbestimmten A niclit 
verscliwindet (1 !). Dièse Multiplicatoren A sind vorlaufig keinen Be- 
sclirankungen unterworfen. Bereclmet raan dalier diesell}en aus den 
Gleicliungeu als l^unctionen der Multiplicatoren (/,, und substituirt dièse 
Werthe dann in die Ungleicliungen, so bleibt zn beweisen_, dass die niclit 
uegativen Multiplicatoren ,6i den neuen Ungleicliungen gemass bestimmt 
werden konnen. . 

Setzen wir die Déterminante : 

{BB)ui {BA)k, {BA),r2 . . {BAh, 
{AB)u {AA)h (AA),, . . [AA)n 

{AB)2i {AA)oy {AA).22 . . {ÂA)oi _ 

{ylB)n {AA)n [AA],, . . {AA)u 
so erlialten wir nacli der Substitution : 

, . I ^k + rt/,1 ,v,i -f airi y.-i + • • • ^ *^ y-i ^ 0, [j.i ^ 0, . . . 
* (/• = !, 2,...) 

wo die Glieder iV/.- von den Multiplicatoren nnabliiingig sind. 

'i Es ist zu beweisen_, dass dièse Ungleicliungen immererfidlt werden 
konnen. 



ALLGEMETNR PUINCIPIEX PilK. DIE MECHANIK DES AETHERS. 61 

Wenn in dem Aiisatze : 



;io) 



''n.\ y-[ -\- c'ii i-'-i + . . . = (5/,- ^ 0, ij.\ ^ 0. /zo = 0, 
(/.•=1,2,...) 



keine linke Seite ù in cler Weise beschriinkt vorkoramt^, dass dieselbe nur 
den Wertli Null anneluneii kann, so kiiniien aile linken Seiten (5 gleicli- 
zeitig griisser als Null sein. J.)enn gesetzt, man liiitte fiir p^j ^= [j,\, 
,</.., = [j.\_, . . : ()j >> Oj fiir />t, = !jJ\, [j.^ = yJ\_, . . aber ù.^ >> 0, 
u. s. w. , so bekilme man fiir [z^ = ,v/, -f- ijJ\ -|- . .,y-i^ y i -|- y'\_ -\- • ■ , 
u. s. w. : ^, > 0, (5o ^ Oj . . Dann konneu aber die Multiplicatoren pc 
offenbar auf die Weise gewahlt werden^ dass die Ungleicliungen (9) 
befriedigt werden. 

In (10) ist in der Tliat keine linke Seite (5 vorhandeu, welclie aus- 
scliliesslich den Wertli Null annelimen kaim. Setzt man niimlicli voraus, 
dass in (10) die linke Seite ^, nnr den Wertli Null annehraen kann^ so 
darf man behaupten^ dass in allen Lusungen von (10) die Ungleichung 
— (^1 £^ bestelit. In diesem Italie muss es aber nicht négative Multi- 
plicatoren Vj — 1, v.^, Vg, . ., pj, po, ■ • geben^ vermoge deren die Identitiit: 



bestelit, dass heisst : 



(5. 






I,v. ^0,^3^0,.. ,/:,^0,p2^0, 



ist. Multiplicirt man hier die erste Gleichuug mit Vj, die zweite mit v<^ 
u. s. M', und addirt, so gelangt man zn einer Gleicliung, welclie auf 



folgende l'orra gebraclit werden kann 



''^lPi+'-^->p2+- • + 



Z{/IB)^,v, {AA)n {AA)v, . . {AA)u 
EiABh^i {AA).n {A A).,, . . {AA).>, 



'L{AB)i,v, [Ayi), 



[AA), 



[AA), 



62 JULIUS FAUKAS. 

Die Déterminante ist cine Summe von Quadraten. Biklet man niimlicli 
ans dem Système : 

S Bk\ VA-, y^ii, A-iu ■ ■ Ai\, j 
S Bi,2 VI,; An, Aoo, . . Ai2, | 

(v/.^0) 

2 Bf,-3n ^k, ^t3«, ^-23(0 • • ^I3n ] 

aile Determiuanteu (/-|-i)-ten Grades^ quadrirt dann und addirt die- 
selben_, so gelangt man zu dem Détermina nteugliede der Gleichung. 
Da nun die Eeilie Vi Pi -\- y-^P-i ~\~ ■ ■ ^^^ lauter niclit negativen Gliedern 
besteht^ so miissen die erwahnten Quadrate, und liiemit die erwahnten 
Determinanten {l-{- l)-ten Grades verscliwindeu. Dies widerspricht aber 
den Yoraussetzungen in 1 . 

4 Dieser Beweis erstreckt sicli aber nicht auf den Pall^ dass in (2) 
bloss Ungleiclmngen vorkoramen und aucli implicite keine Gleiclinngen 
darin entlialten sind. In diesem Falle besteht niimiicli das System (8) 
lediglich aus den Ungleichungen : 

M, + {BBU- IM + {BB).2, IJ.2 + . . ^ 0, (j., ^ 0, ^.2 ^ 0, . . 

Beliandelt man aber dièse Ungleichungen auf dieselbe Weise^ wie in 'i 
die Ungleichungen (9), so gelangt man zu dem Eesultate, dass die 
Ausdriicke 

{BB)i, fy^i + {BBh,. /y., + . . , (yfr = 1, 2, . . . ) 

aile gleichzeitig Werthe iiher Null haben koimen, weil widrigenfalls 
die Suminen 2 Bi,i v/,, Z Bi,2 vi,, ■ ■ wo v/,- ^ aile gleichzeitig ver- 
schwinden konnten ohne dass aile Multiplicatoren vi- verschwiinden^ im 
Widerspruche mit der gemachten Voraussetzung, dass die gegebenen 
Ungleichungen implicite keine Gleichungen enthalten sollen. 

§ 2.) So haben Avir den rein mathematischen Satz^ dass es^ Avenn die 
virtuellen Verschiebungeu l^x, lij, Iz) durcli die Relationen 

^ S, [alx + h\>j + c'hz) == 0, 2, {a^a- + ôl// -f c^z) = (),.. 
^ " ^ r-, {y2.r + 13^ + 7^^) ^0,2, {o^x + (3l^j + y^z) ^ 0, . . . 



ALLGEMEINE PKINCIPIEN EUR DIE MECHANIK DES AETHEUS. 68 

bestimmt werclen, Kriifte (£, ^, 3) giebt^ filr welche 

(] 2) 2 \Jmx—X—do) 2x + {mj/—Y—^) hj + {:m,z—Z—'^) ^.^] ^ 0, 
( -S, {a^ + /.5} + .3) = 0, -S, (aï + b^ + e3) = (),.. 

Dieser an sich rein mathematische Sat/ geht in einen mechanischen 
Grundsatz iiber, sobalcl die allgemeine analytiscbe Définition der Krafte 
($, ^, 5) durch irgeud welche erfahrungsgemasse Bestimraung ergiinzt 
wird. 

Nun kann diesen Kriiften in (12) und (13) die Bedeutung beigelegt 
werden, dass dieselben die vom Zwange (11) hemili rende Modification 
des Widerstandes des umgebenden Médiums^ nud die vom Zwange (11) 
bedingte Eeibung^ kurz die Zwaugs-Zubehore zur Geltung bringen^ 
dass also die Yectoren (cB, '^, 5) in (12) nnd (13) als die Eeactions- 
Kriifte der Zwangs-Zubehore gelten dûrfen. 

In diesem Sinne enthiilt die XJngleicliung (12) eine Erweitei'ung des 
Principes der virtuellen Verschiebungen. 



II. 

Mau liât mit der Mogiichkeit zu rechnen^ dass der Zwang sich nicht 
durcli ein einziges System von linearen homogenen lielationen ans- 
ci riicken liisst, sondern dass es liierzu mehrerer solcher Système bedarf, 
sodass die elementaren Verschiebungen^ welche mit den einzelnen Sys- 
temen vertraglich sind, insgesammt virtuelle Yerschiebungen sind, aber 
iiicht durch ein einziges System bestimmt werden konnen. 

In diesem Falle besteht der Satz in Capitel I einzeln filr ein jedes System 
von Relationen, d. h. man hat fur ein jedes System von der Art wie 
(11) die entsprechenden lielationen (12) und (18). Die Krafte (ct,P, 3) 
in den verschiedenen Relationen der Art wie (12) und (13) konnen dann 
die lieactions-Krafte bedeuten, welche den Zubehoren der einzelnen 
abgesondert betrachteten Zwangen der Art wie (11) entsprechen. 

Werden die verschiedenen Systera-Gruppen von der Art wie (11), 
(12), (18) durch Accente von eiuauder unterschiedeu, so habeii wir 



64 JULIUS FAliKAS, 

W,[Xi — X; = 3B,' + Ai'ai;' + >4a,i\ +• •+ IM o'.^v' + {J^î c/^-iî + 






w,iz\ — Zi = 5/ + Ai'ci/ + Ao'c,/ + . . + {JÂ7\' + /-/-iVi/ + 

= 3/' + -^1"^!/" + '^■ÏC-h •+ ■ • + A'-l'Vl/" + /^-2'V2/' + 



wo jV. ^ 0. Ziigieicli habeii wir 

fiir aile Indices /• (Anzalil der Accente). 

III. 

§ 1.) Um zur stetigen Eaumerfiilluiig viber zu gelien^ muss gezeigt 
werdeiij dass dev algebraisclie Satz von den Multiplicatoreu (Math, und 
Naturw. Bei'ichte ans Uiigarn. XYI. 7.) aucli auf continuirliclie Korper 
angewendet werden darf. In dem Falle^ dass die Ausdriicke des Zwanges 
ans lauter Gleicliungen bestelien, liât Lagjiange die Méthode der Multi- 
plicatoren fiir die stetige Raumerfûlluug ohne Giiltigkeits-Beweis in 
Anwendung gebracht. U ber die Giiltigkeit derselben konnen aber Zweifel 
erhoben werden. Durcli die sachgemiisse Voraussetzung niimlich^ dass 
die virtuellen Yerschiebnngen dili'erenzirbare l\mctioneu des Orles siud^ 
werden diesel ben einer neuen Einschrtinkung unterworfen. Im Allge- 
meinen verliert aber der Satz von den Multiplicatoreu dnrch accesso- 
rische Einschriinkungen der Variablen seine Giiltigkeit. 

Fiir einen einfachen, aber cliaracteristischen Fall werde icli tlie Giil- 
tigkeit ableiten. Die Betrachtung dièses Falles wird geniigeu, um aile 
andere Falle zu iiberblicken^ in denen der Satz angewendet werden darf, 
und um ancli in die Art und Weise der Anwendungen allgeinein ver- 
AV(îrtlibare Einsicht zu n'ewinnen. 



ALLGEMEINR PRINCIPIEN PilR DIE MECHANIK DES AETHEES. 65 

Die Ableituug berulit auf der Moglichkeit^ (1er vorausgesetzten Diffe- 
renzirbarkeit der Variablen durcli Einffdirung nener Variableu, ver- 
niittelst homogeiier lineareu Gleichuiigen Ausdruck zu gebeii. 

i Die unbestimmten Verauderlichen ^, y,,. . sollen in dem Raume 
7' iiberall ditîerenzirbare Functioueii des Ortes [x, j/, z) sein, iibsrall iin 
Inneren dièses Ptaumes der Ungleichung 

(1) A,'t + A I + ^4 I + ^-4 ^ + i?o ^ + • ■ . ^ 

geniigen, uud auf der Oberflache S dièses Eaumes die Ungleichung 

(2) L^-\-M'^^-...^() 

befriedigen. Durch aile Losungen dieserUugleiclmngen soll die Fntegral- 
Ungleichung 

(3) I (X,H+ X, ^_ + X, I +X3 1 + To -^ +. . .)/>T> 

T 

erfûllt werden. Dabei bedeuten die Coefficienten Aq, Bq,. ., X^, 1\,. . 
stetige l'iinctiouen, .die Coefficienten u4i, A.^, A^, JJ^,. ., X^, X.2, X^, 
-Tj, . . differenzirbare Tunctionen des Ortes im Eaume T, und die Coeffi- 
cienten L, M,. . stetige Eunctionen auf der Oberfliiclie xS' dièses Raumes. 
Das Intégral ist wolil bestimmt, weil Punctionen des Ortes, welche in 
einem Raume iiberall differeuzirbar sind, nothwendig die Eigenscliaft 
besitzen, dass ihre nach den Coordinaten genomniene partiellen Deri- 
virten in dem betretfenden Eaume stetig sind. 

2 Dièse Proposition kann durch die folgende ersetzt werden. 

Theilen wir das Innere des Eaumes T gauz bis zur Grenze S in sehr 
kleine congruente Prismeu durch Ebenen, welche parallel zu den Coor- 
dinatenebenen errichtet werden. Die Kanten dieser Prismen sollen die 
Langen Bx, By, Dz haben, je nachdem dieselben der ^'-oder y-oder 
^-Axe jjarallel sind. Die vorkommenden Punctionen des Ortes sollen sich 
im Inneren des Eaumes T auf die Centra [x, tj, z) der Prismen beziehe]i, 
und folgende Bezeichnungen sollen beniitzt werden : 

s (^'^ !J, ^) = ^, 4' (-i- + i^'V, 1/, z) = 4'/, 4" [x, ij + Dy, z) = ^11, 
4' {x, y,z-\- Dz) = 4///, u. s. w. 

ARCHIVES NKERLANDAISF.S, Si^RIK II. TOME V. 5 



66 



JULIUS FARKAS. 



Die Oberflaclie S des Eaumes 7' wird von deu Ebenen in selir kleine 
Theile J)(t getheilt. An diesen Theilen Dt werden die Eunctionen des 
Ortes auf je ein niichstes Prismen-Centrum bezogen. 

Nun sollen die Langen Da-, J)//, Dz so klein gewahlt werden kunneu, 
dass sobald dieselben nocli kleiner sind, in den Centris der Prismen 
zwischen den Yariablen î;, >],. . und tien neuen Unbestiinmten u,, ., 
welche nur mit endlichen Werthen in Betracht kommen sollen, mit 
Pehlem, die unterhalb einer willkiirlicli gegebenen Grenze bleiben, fol- 
U'ende Ptelationen bestelien : 



i;ir 



(4) ^0? + A —ni" + ^2 "V^ + yi. 



Dx 



% 






^ + B,^ + 



^0, 



(5) 






// Bx 

u. s. w. 



wo die Coefficienten a^', a^", u. s. w. mit Dx, die Coefficienten a./, a.,", 
u. s. w, mit I)i/, die Coefficienten «,', c//' u, s. w. mit J)z nach Null 
convergiren, — an der Oberfliiclie -iS' aber in den niichsten centris 

(6) 74 + ^'^+•••^0, 
und fiir siimmtliche L(")snngen dieser Pvelationen : 

(7) Z (Xo è- + X, ^ + . . .) 7;t ^ 0, (T^r = Bx B,, l)z) 

Die Coefficienten A, B,. . , L, M, . ., X,.. sollen dabei die in 1 
aufgeziihlte Eigenschaften besitzen. 

5 Es muss Multiplicatoren geben fiir die Gleichungen (5) nnd niclit 
négative Multiplicatoren fiir die Ungleichungen (4) und ((!), so, dass 



ALLGEMEINE PIMNCIPIEN FUR DIE MECHANEK DES AETHEKS. 67 

dièse Eelationen, mit jenen Multiplicatoren versehen uncl addirt, die 
Ungleicliuiig (7) ideutisch ergebeii. Da aber in der Relation (7) die 
Uubestimmten lt.^,. . iiicht vorkomiuen, fallt der vou (5) lierstammeude 
'riicil giiuzlicli ans der Identitiit heraus. Bezeichnen wir dalier mit ^J'h 
die iiicht iiegativeu Multiplicatoren vou (4) uud mit pJh diejeuigeu 
vou (()), so liabeu wir : 

S Çi. t + A, ^ + . ..^^i)T + i:{L^+...)pn>T = 

Giebt es aucli andere eiuschrankende Eelationeu vou der Form (1) 
uud (2), so liaben wir 

(8) S Qe ^A,(b + ^ s y^, ^ + . . . ) 7)r + s (4- s Lp + 

Bei uueudliclier Verkleiueruug der Laugen Da-, Bi/, Dz verwandelu 
sich die DiH'ereuzeu-Quotieuteu laut (5) in partielle Derivirte, welche 
sicli als im Eaume T iiberall stetige Punctioneu des Ortes ergebeu. Die 
redite Seite der Identitiit (8) gelit in ein m-o1i1 bestimmtes Eaum-Iute- 
gral iiber, welclies durcli partielle Quadraturen als die Summe eiues 
llaum- uud eines Oberfiaclienintegrals dargestellt werdeu kann, wo 
dann Uerivirte der Variablen i;, yj, . . uiclit melir vorkommeu. Der 
liukeu Seite der Identitiit (8) muss nothwendig dieselbe Beschaffenheit 
zukommen. Wir liabeu also nacli Ausfidiruug der partielleu Quadra- 
turen : 



T 

(9)+| [(^2 Lp — ocXJ,Cp — (3Z A, — 7^ A, 0^^ + . . . ] JM = 



68 JULIUS PAUKAS. 

wo 0'., p, y die Eichtimgs-Cosiiiiis der nach deni Inueren des Eaumes T 
gericliteteii Norinaleu bezeiclinen. 

Daraus folgt,, dass im limeren des Eaumes T : 



'M^) i ^i\ ^r, c^Jo c» ?» c) 

I d,v CI/ dz ex Cil - ' dz 



VI) oz ox VIJ Oz 



und auf der Oberfliiche S dièses Eaumes : 



é Da hier uacli der Voraussetzung, die gegebeneu einschraukeudeu 
Eelatiouen aus lauter Uugleichuugeu bestandeu, bedeuteu aile Multi- 
plicatoren und p niclit négative Grossen. Wenn auch Gleichungen, 
oder bloss Gleichungen unter den gegebeneu einschrankenden Eelatiouen 
vorkoramen, so erleiden die ausgefuhrteu Betrachtungen nur in sofern 
eine Abanderung, als die Multiplicatoren der Gleichungen a ]U'iori kei- 
ner Bescliraid^ung uuterworfen sind. 

Wenn in dem Eaume T gewisse Fliichen fur gewisse l'uuctioneu des 
Ortes Unstiitigkeits-Oerter bilden, so muss dieser Umstand bei den parti- 
ellen Quadraturen in Betracht gezogen werden. Insoferne aber fiir die 
Unbestimraten 4', ''^j • ■ gewohuliche Unstetigkeits-Flachen vorhanden 
sind^ hat nian fur solche Eliicheu im Allgemeinen auch eiuschriinkende 
Eelatiouen zwischen diesen Unbestimmten. Dièse Eelatiouen beziehen 
sich iiberall auf die zwei verschiedeuen Werthe^ welche den Lubestimm- 
ten an der eineu und audereu Seite der Eiaclien zukommen. Dièse Eela- 
tiouen miissen natiirlich multiplicatoriscli auch in Eechuung gezogen 
werden. 

§ 2.) Zur stetigen Eaumerfiillung sclireitend^ setzen wir zugleich vor- 
ausj dass Bestaiultheile unterschieden werden miissen^ welche continuir- 
licli denselbeu Eaum erfiillen, aber verschiedeuen Zwangen gehorchen. 

Das Summatious-Zeicheu S soll sich von nun ab auf die verschiede- 
uen BcîsiaiKUheik' beziehen, welche in einein K()i'j)erin Beti-achtkommcii, 



ALLGEMiaNE PRINCIPIKN FilR UIE MECIIANIK DES AETllEUS. (59 

uiul (las Sumniatious-Zeiclieii -S" soll sicli auf die Korpcr bezielieu^ wel- 
clie uebeu einaiider gruppirt das Massen- System bilden. In den einzelneu 
Korperu solleii aile vorkommeuden Grôssen stetige Functioneii des 
Ortes iind dêr Zeit sein. 

Dann liât man in der grossten Allgemeinheit an Stelle von I (12) 
indeni man anstatt der dortigen Bezeiclinungen tlieilweise audere be- 
nutzt : 



(12) 



l + -S'v/[(P + S:|))^,,+ ((^-f £))5// + (A' + 9V;^.~]/>'^^0 



wo die Flachen-Integrale lediglicli fiir Ergel)nisse partieller Quadraturen 
/;U betrachten sind. 

l^ie Ausdi'iicke des Zwanges fiir die Eiiume r der Korper bestelien 
ans liomogeneu linearen Belationen zwisclien den Componenten der 
virtnellen Verschiebungen^ Drelinngen nnd Deformationen der in einem 
Hanmelemente entlialtenen Massenelemente der einzelnen Bestandtlieile. 
Die Zwangs-Ansdriicke fiir die Oberflaclien 7 der Korper bestehen ans 
homogenen linearen Ivelatiouen zwisclien den Componenten der virtnel- 
len Yerscliiebungen der an einem Fliiclienelemente grenzenden Massen- 
elemente der einzelneu Bestandtlieile. 

Die Torderung^ dass die Krafte der Zwangs-Zubehore, • — jetzt 
(i:/>T, §)/;r, 5/Jr) nnd {"^Iit, Ù.Dtx, ^Da), — mit geiinderten A^orzei- 
clien die Relationen der virtnellen Verscliiebungen befriedigen sollen^ 
bat jetzt im Allgemeinen keiiien Siim^ weil Derivirte der Com])onenten 
der virtnellen Yerscliiebnngen in jenen lielationen vorkommen, nnd 
die Componenten de Dr u. s. w. brauclien niclit derivirbare Functionen 
des Ortes zu sein, da die Itaumelemente JJr nach Willkilr gewalilt 
werden konnen. Es soll jetzt den Yectoren (c6, ^, 5) und C^, €l, 3v) 
die Eigenscliaft beigelegt werden, dass dieselben mit verandei'teu Yor- 
zeicben die Eelationen der virtnellen Yerscliiebungen befriedigen. Dièse 
Yerfiigung widerspricht niclit der urspriingliclien Disposition in Capitel I: 
dièse UTid jene stimmen naralicli ûberein fiir die Gleicliheit aller Hanm- 
elemente Dr (In den nacli der urspriingliclien Disposition gebildeten 
Eelationen der Krafte (^P^o", Ù.Dt, iKD^) kann das Eliiclieneleinent 
1)7 immer unterdriickt werden). 

Wenii Umwandluugen zwischen verscliiedenen Bestandtlieilen statt- 
tindeu, so nimmt die Masse gewisser Bestandtheile zu, diejeuige Anderer 



70 JULIUS FAKKAS. 

iiiinmt ab, und folgiicli gilt die sogeoïmnte Coiitiimitiitsgleichiiiig uiclit 
fur eiueu jedeu Bestandtlieil^ soudera bloss fur gewisse xiggregate der- 
selbeu. 

IV. 

§ 1.) Uuterdev Hypotliese^ dass die jedesmalige Lage der Coordiuateu- 
Axeu derart gewiihlt werdeu kauu^ dass iu eiueui uuabliiiugigen Mas- 
seu-Systeme keiue freien Krafte vorhauden sind, bezeicliueu wir mit 
(èx, ^^, ^z) die moglicheu Yerscliiebuugen. So liabeu wir mit Hiuzu- 
uahme der Yoraussetzuug, dass iu eiuem uuabhaugigeu Masseu-Systeme 
gar keiue Uustetigkeits-Plachen vorkomuien : 

(1) s/ [(^:.-ce) l.v + (/y-5?) l>j + {kz~^ l:-\ J)T ^ i), 

wo T eiueu das ganze Massen-System entlialtenden Raum bedeutet. 

Die Voraussetzuugj dass keiue Uustetigkeits-Elacheu vorkommeu, 
berulit auf der ISFotliweudigkeit, dass zu eiuem uuabhiiugigeu Masseu- 
Systeme die Greuzscliicliteu der Kcirper uubediugt biuzu gezahlt werdeu 
miisseu. Zahlt mau die Greuzschicbteu uicht zu dem Système, so ver- 
liert dasselbe schou die Uuabhiiugigkeitj uud es treteu Druckkriifte auf 
uamlich au deu Flachen^ welche uuuuielir als Uustetigkeits-Fliiclieu au 
Stelle der Greuzscliichteu ersclieiueu. Eiu eiufaches Beispiel liisst dies 
ganz allgemeiu erkenueu, Gesetzt, der Zwaug werde iiberall im llauuie 
T durch die einzige Relatiou 

s i^l^x-Y-A, -^-\-A,j^+ A, -^ + ^,^^ +• ■ • + 
ausgedriickt, so liabeu wir im ]\auuie T fiir eiueu jedeu Bestaudtliuil : 

/..- ae + A4,- Kr^+-^+-jr} 



7 



\ Ox au oz y 



ALLGKMKINE IMIINCIPIEN l'illl DIE MECIIANIK UKS AKTHKRS. 71 

Multi])licircn wir dièse Gleicliungen mit ^xI)t, ^iJ-Dt, ^zDt, addireii 
Lind integriren daim dieselbeu .mit Ausscliluss der Grenzscliichten, so 
erlialten wir nacli })artielleii Quadraturen, iiidem das Summations-Zei- 
clieii S im Siniie des vorigen Capitels (§ 2) augeweiidet wird : 

s^ /[(/•:;— 3d) ix + . + . ] /)r = s-z f Ça, ^x + J, ^^- + . . ^ Ai;T+ 

+ SZ r [{A, y^ + .4 /3 + ^k r) ^^' + . + . ] A Ih, 
uud folglich 

8-Zf \_{kx—^) \x + . + . ] Dr— 

(T 

Wir gelaugeii zu deu Ausdrilclœn der gewôhuliclieii Mechanik^ wemi 
wir ausser deu Grenzschicliteu uocli eiuzelne Bestaiidtheile des unab- 
hiingigeu Systèmes (u. a. den Aether) ausschliesseu^ andere aber bei der 
Bildung der moglichen Verschiebungen unbewegt lassen. Uer ausge- 
schlosseue TJieil soll ilusseres System, der ûbrige Theil iuneres System 
genanut werdeii^ uud um uuu zu deu Formelu der gewohulicheu Mecha- 
nik zu gelaugeu^ eutuehmeu wir aus deu lielatioueu des Zwauges des 
unabhangigen Systèmes diejenigeu, welclie uur vou A^erschiebungen im 
iuuereu Système abhiiugeu. Dièse siud eutweder iu Bereitschaft vorlian- 
deu, oder raiisseu durch Eliminatioueu auderer Yerschiebuugeu mittelst 
multiplicatorischer Additioneu hergestellt werdeu. Durch ihre Gesauimt- 
keit werdeu aber sammtliche Yerschiebuugeu^ welche iui iuuereu Sys- 
tème liberhaupt moglich siud^ bestimmt. 

Schreibeu wir zum Beweise dieser Behauptuug: 

Ai(uyA^A[-{a-i-^. .-\-Aun' ihn^U-', AiiU^-\-At2.n-2.^ . . +-^/*««*/i= ^z, 
BiA i\^Bi.{ 02-\- ■ • -\-Bi,' On = Vi, BiiOi-\~Bi2V2-\- ■ --{-Bu, Vu = r,-, 
uud betrachteu jetzt das System: 

^1 + ^'1 à^, u-i + f^'-i i 0, . . , 

i Euthiilt das System implicite oder explicite lielatioueu^ iu welclieu 



72 JULIUS FAllKAS. 

kein it vorkommt, so giebt es iu gleiclier Auzalil Sj^stenie von Multi- 
plicatoren a' und niclit negativeii Multiplicatoreu A, fiii- welche 

Sa'^' + SAZ7eeO. 

Denn^ weuu i\^ iu alleu Lusuugen des Systems ^ oder = ist, so 
giebt es Multiplicatore]i a' uud uiclit négative Multiplicatoreu '/., fiir 
welche 

2A'(^'+n+sA(^+n=^o 

woraus die beliauptete Ideutitat folgt. 

Beim Maugel einer solchen Ideutitat konueu also aus dem Système 
Relatiouen in denen keiu u vorkomrat uicht gefolgert werden; danu 
kounen die Yariableu u nicht elimiuirt werdeu. 

lu diesem Falle konueu die Yariableu o aile deukbaren ^'ertlie au- 
ueliraeu. Berechnet mau uamlicli aus deu gegebeueu Gleichungeu 
( W -\- V = 0) so viele der Grosseu //, wie moglicli als Functiouen 
der iibrigen uud der Grosseu v, uud substituirt dièse Functiouen iu deu 
llugleicliungen ( U -j- ^ = ^')^ so gelien letztere iu eiu System von 
Uugieicliungeu iiber^ welches mit dem gauzen urspriinglicben Système 
aequivaleut ist. Wir schreiben dièses System : 

Da die Variablen 7f, welche iu diesem System uoch vorkommeu, ans 
demselbeu nicht elimiuirt werdeu kchiuen^ so giebt es keine nicht nega- 
tiveu Multiplicatoreu ?., bei welcheu die Summe S A (/ ideutisch vcr- 
schwinden konute, folglich kanu zu gleiclier Zeit f/^, > 0^ Lf.j^'^ 0,. . . 
gemacht werdeu (ersichtlich aus der Beweisfuhruug iu I. 'é). Die Grosseu 
V, uud hiermit die Yariableu c kounen also nach Willkiir aile deukbaren 
Werthe anuehmen. 

t Euthalt das System implicite oder explicite Eelatiouen^ iu welcheu 
kein u vorkommt^ so konueu die Yariableu v aile die Werthe erlialten, 
welche sich mit der Gesammtheit dieser Eelationeu vertragen. 

Um uns davon zu liberzengen^ berechuen wir wiederuin aus den ge- 
gebeueu Gleichungeu ( U' -|- V = 0) so viele der Grosseu n wie mog- 
licli als Functiouen der iibrigen uud der Grosseu v, uud substituiren 
dièse Tunctioneu iu alleu Gleichungeu und Ungleichuugeu. So erhalteu 
wir im Allgemeinen eiu System von Gleichungeu 

{a) F/ = 0, 7,' = 0,... 



ALLGEMEINE PKINCIPIEN FllR DIE MIX'llANlK DES AKTHER8. 73 

iii wclcliem keine dcr Grusseii n melir vorkoinint, uiid eiii System von 
Ungleiclmngeu 

in welclieni die berecliiieten Variablen iiicht nielir vorkonmien. 

Eliniiiiireii wir uuu voi'liiufig nur eiue der uocli vorkommeiideu Va- 
riablen n, niimlich n^, ans den Ungleiclmngen {ù). Zu diesem Zwecke 
sollen die Uugieicliungeu^ welclie die Yariable ?^j euthalteu^ in der l^orm 

1 u.—P>0, M, — P, >0,... 

geschrieben werden. Eûr das Ilesultat der Eliminationen evhalten wir 
das System : 



Es ist zu zeigen, dass abgesehen voujenensonstigenRelationen, welche 
die Variable /^j nicht euthalten, die A^ariablen u.^, n^, . . , i\,v-i, . ■ aile die 
"Wertlie erlialten konnen, welche dièses System befriedigen. Uies ist abev 
offenbar der Fall^ sobald der Wertli der Grosse ?f, immer in der Weise 
gewahlt werden kann^ das derselbe niclit kleiner als das grosste F und 
uiclit grosser als das kleinste (i ersclieint. Nun giebt es laut System {c) 
keine Grossen (^, welche kleiner wareu als die eine oder andere der 
Grossen P, — folglich kann jene Bedingung immer erfiUlt werden. 

Da die Elimination einer zweiteu Variablen u zu ahnlicher Erkennt- 
niss fulu% u. s. w. , so ist der ausgesprochene Satz erwiesen. 

'i Dièse Auseinandersetzuugen konnen kraft der Beweisfiihrung in 
Capitel Iir. auch auf die Ausdriicke des Zwanges in einem continuirliclien 
Massensystem angewendet werden. Wir erlialten daher durch das ange- 
deutete Verfahren in der ïhat sammtliche Ausdriicke fiir die Verschie- 
bungen^ welche im inneren Massensystem iiberhaupt moglich sind. 

Evir dièse Verscliiebungen besteht also unter der angenommenen 
Hypothèse die Ungleichung III, (1^), wenn dieselbe auf das innere 
System bezogen wird, und die freien Krafte in derselben stammen theils 
aus denjeuigen Ausdriicken des completen Zwanges, welche ausser den 
Verschiebuna'en im inneren Système auch von Verschiebunii'en im 



74 JUTAUS FAKKAS. 

îiussereu Système abliangen, tlieils aus eventueller Verauderung tler 
Lage der Coordinaten-Axen. 

Besclirankeii wir uns auf diejeiiigeu Verschiebuugen im inneren Sy- 
steme^ welche bei Unbewegtlieit eiues Theiles desselbeu moglich sind, 
so sind wir zu den virtuelleu Verschiebuugen in dem anderen Theile 
gelangt. Jetzt enthalten die Eelationen des Zwanges und ebenso die 
llelatiou ITI^ (12) lediglicli Componenten der virtuelleu Verschiebungen, 
d, h. jeuer elemeutareu A'^erschiebungen in einem Tlieile (Haupttheil) 
des inneren Systems, welche bei Unbewegtheit des anderen Theiles 
(Nebentheil) moglich sind. Indem wir jetzt die Kriifte {dc.,^,'^) Dr, im 
Sinne des Capitel III den neuen Ilelationen des Zwanges zuordnen^ ver- 
lieren dièse Krafte ihre anfiingliche, in IV^ (1) inné gehabte Bedeutung, 
und bedeuten jetzt offenbar die Wirkungen derjenigen Zubehore ÇRei- 
bung u. s. w.) des Zwanges, welche bei der gedachten linbewegtheit 
des Nebeutheiles zur Geltuug gelangeu wilrden. 

§ 2.) In der Mechanik des Aethers sollen innere Massensysteme nur 
auf die Weise gewiihlt werden, dass die îiusseren Système ganzlich 
ausserhalb des Eaumes der inneren Système fallen, d. h. das iunei'e 
System soll aile Bestandtheile enthalten, welche iu einem Theile des 
Eaumes enthalten sind. Dann hat man nur auf passende Weise Aus- 
driicke des Zwanges fiir das innere System, und freie Druckkrafte an 
Grenzflachen zu definiren. 

In einfacheren Tallen kann dabei der ganze pondérable Theil des 
inneren Systems als Nebentheil gelten, also mûssen bloss diejenigen 
moglichen Storungen des Aethers in Betracht koinmen, welche bei un- 
bewegtem ponderablen Theile des inneren Systèmes moglich sind. So 
z. B. im Falle des sogenannten reineu Aethers, da nur unter der Vor- 
aussetzung widerspruchsfrei entsprechende Zwangs-Ausdriicke fiir den- 
selben aufgestellt werden kounen, dass derselbe in der Wirklichkeit 
kein reiner Aether ist, sondern iibcrall mit Spuren von ponderabler 
Materie gemengt vorkommt. 

Die Ausdrûcke des Zwanges beziehen sich der Natur der Sache ge- 
miiss auf kinematische Grossen (III, 2), welche entweder unmittelbar 
fur die moglichen, beziehungsweise virtuelleu, Yerschiebuugen formulirt 
in Anwendung kommen, oder aber durch die moglichen, beziehungs- 
weise virtuelleu, Yeranderungen elt'ectiver kinematischer Grossen be- 
stiinuit werden. Man gelangt z. B, zu dem mechanischen Bilde des 



ALLGEMEINE PRINCIPIEN FUll DIE MECIIANIK DIOS AKTHERS. 75 

clecti'o-inaguetisclien Kvaft-Eeldes ira ^reineii''' Aetlier^ wenii maii die 
Voraussetzung zu Gruiule legt, dass im „rciiieu" Aetlier die Dreliuugs- 
Wiiikel der kleinsten Tlieile durcli virtuelle Aeiideruiig iiicht vergrossert 
werden konneu. 

Vi'xv gewisse Korper muss angeuommeu werdeu^ dass in deiiselben 
Theile des Aethers, welche einzeln denselbeu liaura ausfiUleii, verschie- 
deiieu Zwangen uuterworfeu sind, so dass in dieseu Korpeni quasi ver- 
schiedene . Aether-Bestandtheile enthalten sind. Aussei'dem muss zuge- 
geben werden, dass Urawandlnngen zwischen diesen Bestaudtlieilen 
des Aethers vor sicb gelieu kunnen, d. h. die Masse Einzelner mit stetiger 
Abualime in die Masse Anderer ilbergeben kann. 

Die Erfabrung Aveist darauf hin_, dass die lieibung zwischen Aether 
und ponderabler Mateiie in den Grenzschichten (Oberfliichen-Eeibung) 
fiir die wahrnehmbaren Bewegungen nur ausserordentlich klein sein 
kann. Durch dièse Erfabrung ist nicht ausgeschlossen, dass sicli zwi- 
schen Aether und ponderabler Materie zumal innerlich (raumlich) eine 
betriichtliche Reibung offeubart. Dièse Moglichkeit muss auch in Be- 
tracht gezogen werden und zwar um so mehr, als derselben auch nicht 
die von Lorentz fest gehaltene Annahme widerspricht, dass der Aether 
an der wahrnehmbaren Bewegung der Korper nicht Theil niinrat. 



Eûr die Ausdriicke des Zwanges kann gar keine erklii rende Vorstel- 
lung gefunden werden, auch niclit fiir die einfaclisten vorbildlicheu, 
wie z. B. fiir diejeuige der Incompressibilitilt, — umso weniger fiir die 
Ausdriicke der Zwangs-Zubehore. Dièse Ausdriicke sind lediglich als 
grundlegende Definitionen der materiellen Beschaffenheit an zu sehen. 
Die Erklarung einer Erscheinung oder einer Erscheinungs-Gruppe be- 
steht dann darin, dass ein derartiges mechanisches Analogon fiir dieselbe 
construirt wird, in welchem bloss der angenommene Zwang sammt Zu- 
behore in Verbindung mit der priucipielleu Ungieichung IV^ (1) respec- 
tive III, (12) uuerkliirt vorkommt, ailes iibrige aber mit logischer 
Eolgerichtigkeit sich ans diesen unerklarten Anfangen entwickeln liisst. 
Dièse sind hier als die letzten Stiitzen der Auffassung zu betrachten. 

Universitiit Kolozsvar (Ungaru). 



NOTIZ ÛBER DIE FOUMEL FUR DEN D R U C K DER GASE 



LUDWIG BOLTZMAWN. 



Palis das voii den Molekûlen wii'klich evfiillte Volumeii gegen das 
gesammte Tolumeu eiues Gases uiclit verschwiiidetj erfordert die be- 
kauiite Formel fiir deu Druck des Gases eiue Correction^ deveu erstes 
Glied zuei'st von van der Waals berechnet wurde. iVuf besonders 
élégante Weise wurde der Ausdruck filr dièses Glied liernacli von 
H. A. LoRENTZ aus dem A^irialsatze abgeleitet. Ich habe uocli s])iiter^ 
iu meinem Bâche „ Vorlesnngen iiber GastheoTu" Bd. I, ])ag. 1 , eine 
Méthode zum Berechnung dièses Gliedes angegeben, \A'eIche zwar etwas 
umstiindlich ist^ aber sich dadurch aaszeichnet dass sie besonders direct 
ohne Zuhilfenahme frenîder Begrifl'e ziiin Ziele tuhrt. 

Da beziiglich des zweiten Gliedes der in Eede stehendeu Correction ge- 
wisse ZM^eifel aufgetaucht sind^ so scheintesmirnichtganzunuiitzdarauf 
aufmerksam zu macheii, dass nacli der zuletzt erwahiiten Méthode aucli 
dièses zweite Correctionsglied berechnet werden kann. Es ist zu diesein 
Behufe bloss nothwendig, sowohl bei Bereclmung des A'^olumens^ das 
einem neu hinzukorameiiden Molekiile ini gauzen Gase zur Yerfiigung 
steht, als bei Berechnung des analogcn Volunieus innerhalb des dort 
mit 7 bezeichneten Cylinders die Genauigkeit um ein Glied weiter zu 
treibeu. 

Fiir das crstere Yolumen wurde die betreffende E.echnung bereits an 
einer spiiteren Stelle meiues genaiinten Bûches durchgefidirt (pag. 167). 
Es ergab sich dafiir unter Beibehaltuug der Bedeutung der dort ange- 
wandten Buchstaben der Ausdruck : 

, , 17 G'^V- 

^-2«« + r6"r- 



NOTIZ ilBER DIE FORMEL FUR DEN DRUCK DEE, GASE. 77 

Dagegen ist die Berechnung des Rauines, welcher iiuierlialb des Cyliu- 
ders y einein ueu hinzukoinmenden Molekule zur Verfiiguiig stelit^ 
zwar ohne principielle Scliwierigkeit^ ffdirt aber auf aûsserst weit- 
schweifige Auswerthung von Integralen, welclie vollkommen analog 
gebaut sind, wie die von J. J. van Laar in einer Mittheilung an die 
Amsterdam mer Académie der Wissenschaften am 26 Jannar 1899 
behandelten. Ich liabe mit dieser Auswerthung einen meiner Schiller 
betraut_, derselbe ist aber vvegen der grossen Weitlaiifigkeit der Eechuung 
damit noch nicht fertig geworden. Ich kann daher hier auch das défini- 
tive Eesultat nicht mittheilen sondern muss mich mit diesen Andeu- 
tungeu begniigen. 



SUR LA LOI DE DISTIUP.UTION DE LA COMPOSANTE HORIZON TALE 
DU MAGNÉTLSME TERRESTRE EN FRANCE 



PAR 



E. MATHIAS. 



Depuis six aus environ, j'ai entrepris, d'accord avec M. B. Baillaud, 
directeur de l'observatoire de Toulouse, l'étude détaillée de la distribu- 
tion du magnétisme terrestre dans la région toulousaine. Gomme M. 
MouREAUX, dont j'ai suivi les errements, j'ai effectué les mesures au 
moyen de deux boussoles de voyage construites par Brûnner; les ad- 
luirables instruments qui m'ont servi appartiennent au Laboratoire de 
Physique de l'Ecole normale supérieure et m'avaient été très gracieuse- 
ment prêtés par M. M. Yiolle et Brillouin, que je prie de bien vouloir 
agréer mes sincères remerciments. 

Conformément au système de cartes que j'ai proposé en 1^97 ')^ j'ai 
raj)porté toutes les localités à une station de référence et déterininé la 
différence entre chacun des éléments magnétiques mesurés en un endroit 
X et l'élément correspondant ^) de l'Observatoire de Toulouse. A cet 
effet, je déterminais la différence {X — Parc), grâce à M. Moureaux qui 
a bien voulu me communiquer tous les éléments magnétiques du Parc 
St. Maur dont j'avais besoin, et en retranchant de cette différence la 
différence (Toulouse — Parc) contemporaine j'obtenais la différence cher- 
chée (Z — Toulouse). Cette différence étant une fonction très lente du 
temps, on peut considérer comme comparables entre eux les nombres 
obtenus à quelques années d'intervalle; l'influence de l'altitude étant 



') E. Mathias. Mém^ de VAcad. des Se. de Toulouse, 9e série, t. IX, p. 438, 
1897 et Journ. de Phys. de 1897. 

^) Les éléments correspondants se rapportent à des heures locales identiques. 



SUR LA LOI DE DISTRIBUTION, ETC. 79 

excessivement faible, il s'ensuit que les différences {X — Toulouse), pour 
un élément donné et un intervalle de quelques années, sont exclusive- 
ment fonction des différences de longitude et de latitude géographiques 
de l'endroit X et de l'Observatoire de Toulouse. 

Soit (A long.) et (Alat.) ces différences; pour une région peu étendue, 
la diti'érence (A' — Toulouse) devra pouvoir être représentée par une 
relation de la forme a- (A long.) -f- y (A lat,), x et y étant des constantes 
numériques convenables. 

Dans le but d'appliquer la méthode précédente à la composante ho- 
rizontale, j'ai réuni 70 observations faites dans la région de Toulouse 
et se décomposant ainsi: IS de M. Moureaux faites en 189.5 et 189G, 
4 de M. J. FiTTE, mon ancien assistant, faites en 1896, et 48 de moi- 
même obtenues en 1895, 1896 et 1899. La formule provisoire (1), ob- 
tenue par tâtonnements, 

(1) A^= — (A long.) — 8 (A lat.) 

a permis d'éliminer 16 ') observations se rapportant à des localités ano- 
nuiles. Les 54 observations restantes comprenaient 14 observations de 
M. Moureaux, 3 de M. Fitte et 37 de moi-môme; elles ont fourni 54 
équations à deux inconnues qui ont été résolues ])ar la méthode des 
moindres carrés ^) et ont donné la formule (2) 

(2) AH= — 1,26 (A long.) — 7,42 (A lat.) 

dans laquelle AR est la différence (X — Toulouse) pour une époque 
moyenne voisine de 1896, cette différence étant exprimée en unités de 
cinquième ordre décimal, (A long) et (Alat.) étant exprimés en minutes. 
Le tableau suivant montre avec quelle exactitude la formule (2) 
représente les observations des 54 stations considérées comme régulières: 

Th. M. = Th. Moureaux, F. = 1'itti':, M. = Mathias. 



') Voir la note au bas de la page 82. 

^) Par M. CAunKT, calculateur de l'Observatoire de Toulouse, que je remercie 
de sou précieux concours. 



80 



E. MATHIAS. 



Départe- 
ment 



Station 



A long.) j (A lat.) 



A// 

obs. 



A// 

cale. 



A 71 

(cale— obs.) 



Obser' 



A riége 



Gers 



Haute- ; 
Garonne 



Hautes- i 
Pyrénées ( 

Lot j 

Lot-et- j 
Garonne I 

Tarn j 

Tarn- ! 

et- I 

Garonne ' 



1 Eoix .... 

2 Paraiers . 

3 St. Girons 

4 Auch . . . 

5 Condom . 

6 Mirancle . 

7 Cologne . 

8 l'Isle- 

Jourclain . . 

9 Manvezin . . 
10 Miradoux. . 

llPlieux 

12Riscle 

13 St. Clar.. .. 
14'Tournecoupe 

15 St. Gaudens. 

16 Villefranche- 

de-L 

1 7 Cazères .... 

18 Fronton . . . 

1 9 Grenade . . . 

20 Montastruc- 
la-Conseillère 

21 Montréjeau. 
22St.Paul-sur- 

Savre 

23 Yidouze 

24 Gatus . . 

25 St. Géry 
20 Agen . . 
27Nérac.. 

28 Albi. . . 

29 Gaillac . 

30 Montauban- 

Beau soleil 

31 Montauban- 

Gare 



— 8',95 
— 10',05 

+19',45 

-h53',25 
-h65',95 
-h63',95 

+28',75 

+ 23',25 

+35',1 

+41',3 

+43',4 

-[-92',45 

+4r,3 

+39',0 

+44', 05 

— 15',05 

+22',4 
+ 4',4 
+ 9'/J5 

— 7',45 
+ 53',55 

+13',9 
+90',55 

+ 7',5 

— 7',4 
+ 51V55 
+67',05 
— 41',05 
—2 6', 8 5 

+ 4',25 

+ 7M 



— 39V25 +326 
— 29',65 +256 
— 37',55+255 
+ l',95— 71 
+21',15— 222 



— 5',95 
+ 6',75 

+ 0'.25 
+ 7',15 
+23',45 
+ 19',95 
+ 2',5 
+17',3 
+ 14',8 
— 29',75 

— 12',85 
—24', 7 5 

+ 13',85 
+ 10',0 

+ 6',6 
— 31',15 

+ 5',05 

— 9',45 

+ 56',6 
+51',9 
+35', 15 
+31',25 
+ 18',05 
+ 17',35 

+23',75 

+2 4', 05 



— 6 
—100 

— 32 
—110 
—236 
—201 
—153 
—179 
—192 
+ 165 

+ 143 

+187 
—105 

— 83 

— 20 
+ 134 

— 43 

— 27 

—425 
—392 
—315 
—307 

— 53 

— 87 

—160 
-164 



+302 
+233 
4-254 

— 81 
—240 

— 37 

— 86 

— 31 

— 97 
—226 
—203 
—135 
—180 
—159 
+ 166 

+ 114 

+156 
—109 

— 87 

— 40 
+ 164 

— 55 

— 44 

—429 
—376 
—326 
—316 

— 82 
- 95 

-181 

-187 



—24 
—23 

— 1 

—10 
—18 
—31 

+ 14 

+ 1 
+ 13 
+ 10 

2 

+ 18 

— 1 
+33 
+ 1 

—29 
—31 

— 4 

— 4 

—20 

+30 

—12 
—17 

— 4 
+ 16 
—11 

— 9 
—29 

— 8 

—21 
—23 



SUR LA LOI DE DTSTRIBUTION, ETC. 



SI 



Départe- 
ment 


Station 


(A long.) 


(A lat.) 


A^ 

obs. 


A^ 

cale. 


AH 

(cale— obs.) 


Observ . 




32 Castelsar- 
















rasin 


+20VS5 


+26',U5 


—195 


—219 


—24 


Th. M. 




33 id. 


id. 


id. 


—244 


—219 


+25 


id. 




34 Moissac. . . . 


+ 22',65 


+29',05 


—234 


—245 


—11 


M. 




35 Aucamville . 


-i-14',55 


+ 1]',15 


—106 


—101 


+ -^ 


P. 




36 xVuvillars . . 


+ 33',85 


+27',8 


—270 


—249 


+21 


M. 




37 les Barthes . 


+ 17',0 


+29',0 


—226 


—236 


—10 


id. 




38 Beanniont- 
















de-Lomagne 


+27',65 


+ 15',65 


—145 


—151 


— 6 


id. 




39 Bressols . . . 


+ 7',15 


+21',15 


—143 


—166 


—23 


id. 




40 Castel- 
















maja-au . . . 


+ 25',35 


+25',05 


—217 


—218 


— 1 


id. 




41 Escazeaux . . 


-i-26',25 


+ 13',15 


—113 


—131 


—18 


id. 


Tarn 


42 Esj)arsac . . . 


+ 31',35 


+ 17',55 


—163 


—169 


— 6 


id. 


et 


43 Grisolles . . . 


+ 10',25 


+ 13',0 


— 99 


—109 


—10 


id. 


Garonne 


44 Labastide 
















St. Pierre . 


+ 5V55 


+ 18M5 


—117 


—142 


—25 


id. 




45 Lafrançaise . 


+ 12',75 


+30',75 


—243 


—244 


— 1 


id. 




46 id. 


+ 13',05 


+31',1 


—260 


—247 


+ 13 


id. 




47 Lavilledieu . 


^ll/,35 


+25',05 


—202 


—204 





id. 




48 Lavit 


+32',05 


+21',05 


—169 


—195 


—26 


id. 




49 Marignac . . 


-f-31',6 


+ 13',4 


—148 


—139 


+ 9 


id. 




50Moutecli.. . 


+ 13',0 


+ 20',65 


—192 


—169 


+23 


id. 




5lSt.Arroumex 


+ 27',65 


+22',75|— 207 


—204 


+ '-^ 


id. 




52 St. Nicolas- 














de-la-Grave 


+ 26',05 


+2 7', 15— 234 


—234 





id. 




53 Valence 














d'Agen. . . 


+3 3', 7 5 


+29',55— 281 


—262 


+ 19 


id. 




54Villebruraier 


+ <»',<^5 


+ 17',85 


—121 


—133 


—12 


id. 



Le tableau précédent montre que les observations des stations consi- 
dérées comme régulières sont représentées avec une erreur généralement 
inférieure à 20 unités du cinquième ordre, c^est à-dire avec une erreur 
inférieure aux erreurs d'observation en campagne. Cinq localités seu- 
lement fournissent des différences {sll cale — Ail obs.) un peu fortes 
et à la limite des erreurs d'observation, ce sont: Albi, Villefranche-de- 
Lauraguais, Moutréjeau, Mirande et Tournecoupe. 

ARCHIVES NÉERLANDAISES, SKRIE II. TOME V. 6 



82 



E. MATHIAS. 



Le tableau suivant montre comment se comportent par rapport à [2] 
les stations éliminées ^) par la formule (1): 



Départe- 
ment 


Station 


(A long.) 


(A lat.) 


Ail 

obs. 


Ail 

cale. 


AH 

(cale— obs.) 


Observ. 


Ariége 


1 Saverdun . . 


— 7',05 


— 22',35 


+237 


+ 174 


—63 


Th. M. 




â Lectoure . . . 


+ 50',55 


+ 18',95 


—248 


— 204 


+44 


id. 


Gers 


3 S^« Marie. . . 


+ 3 5', 05 


+ 3',0 


—117 


— 66 


+ 51 


M. 




4 Solomiac . . 


+ 33',5 


+ 11',85 


— isr 


—130 


+ 57 


id. 




5 Boussens. . . 


+29',25 


—25'/) 


+228 


+ 153 


— 75 


id. 


Haute- 
Garonne 


6 Garbonne . . 

7 Gadours . . . 

8 Cox 


+ 14',75 

+ 24M5 
+ 24',9 


— 19',25 

+ ni 

+ 9',1 


+ 185 
— 34 
—155 


+ 125 

— 83 

— 99 


—60 
—49 

+ 56 


id. 
id. 
id. 




9 Muret 


+ 7>)5 


— 9',05 


+ 101 


+ 57 


—44 


Th. M. 




1 Gastelnau de 














Lot 


1 Breteuoux . 


— 22',95 


+78',5 


—520 


—554 


—34 


M. 


1 1 Gramat .... 


— 16',25 


+ 70',15 


—551 


—500 


+ 51 


id. 




12 Souillac . . . 


— l',3 


+ 76',55 


—614 


—566 


+48 


id. 




' 13 Combe- 














Tarn-et- 


1 ronger. . . . 


+ 21',0 


+ 14',95 


—104 


—137 


—33 


Y. 


Garonne 


i 14 Verdun-sur- 
















1 Garonne. . 


+ 13^,15 


+ 14'/25 


—169 


—122 


+47 


M. 


Tarn 


! 1 5 Lavaur .... 


— 21',45 


+ 5'J5 


— 44 


— 11 


+33 


Th. M. 



Parmi les ] 5 stations du tableau précédent on trouve Gasteinau-de- 
Bretenoux,, Gomberouger et Lavaur qui donnent res])ectivement ])ouv 
la ditl'érence (A// cale. — A// obs.) les valeurs — 34, — 33 et +33 qui 
sont tout à fait comparables à celles d'Albi, Villefranche-de-Laura- 
guais, etc. tandis que les 12 autres localités paraissent nettement anomales 
comme fournissant des différences égales ou supérieures en valeur ab- 
solue à 44 unités du cinquième ordre. 

La formule (2) Jie représente pas seulement la distribution régulière 



') Les stations éliminées se trouvaient d'abord au nombre de IG: une erreur 
de 10' avait été commise par niégarde sur la latitude de Lannemezan (Iltes. 
Pyrénées) de sorte que cette station qui est parfaitement régulière avait été indû- 
ment considérée comme fortement anomale. 



SUR LA LOI DE DISTRIBUTION, ETC. 83 

de l;i composante horizontale dans la région représentée par les S dé]:)ai'- 
teinents auxquels appartiennent les stations régulières qui ont servi à 
la déterminer, elle s'applique à taule la France, abstraction faite des 
anomalies bien entendu. Grâce à elle, j'ai pu retrouver avec des diffé- 
rences généralement inférieures aux erreurs d'observation la plupart des 
nombres que M. Moureaux a déterminés dans sou travail magistral suf 
la. carte magnétique de la France, nombres qu'il a ramenés tout récem- 
ment à l'époque uniforme du 1"'' janvier 1890 '). Dans ce cas, A//, 
exprimé en unités du cincjuième ordre décimal, a pour valeur 

105. iT.,.., 0—21780, 

//,,.,;)(■, étant la composante horizontale de la station 2' au l*^^' janvier 
189() donnée par M. Moureaux et 0,21780 étant la composante hori- 
/-ontale à l'Observatoire de Toulouse pour la même date "). 

Lorsque la différence absolue des AH calculés et observés est infé- 
rieure à ^30 au 35 unités du cinquième ordre, on peut considérer la 
station A comme régulière; si la différence absolue est supérieure à 10 
unités, on a vraisemblablement affaire à une anomalie dont l'importance 
est 2^1'oportionnelle à la valeur absolue de cette différence. On peut 
ainsi séparer très aisément les stations anomales des stations régalières. 

Le tableau suivant donne le résultat de cette méthode appliquée à 
dix-sept départements dont toutes les stations sont régulières. 

Les noms de stations suivis d'un ou de deux astérisques indiquent 
(pie les observations correspondent respectivement a une situation inagné- 
1i(|ue fortement troublée ou à une perturbation magnétique. 



') Tu. Moureaux, Réseau magnéti(^[ue de la France au 1^' Janvier 189(>. — 
Annales du Bureau cenlral inéléréoJtxiuiue pour 1898. 

') Obtenue en ajoutant à 0,19G0(), composante horizontale du Parc St. Maur au 
l«i" janvier 1896, le nombre 0,02180 qui est la différence (Toulouse — Parc) pour 
le commencement de 189G déduite des observations absolues faites à l'Obser- 
vatoire de Toulouse. 

Les cordonnées géographiques de l'Observatoire de Toulouse sont: 
Longitude = 0° 52', 75 ouest, 
Latitude = •43^3G',75 nord. 

6* 



84 



E. MATHIAS. 



Stations. 



(A long.) 



(A lat. 



H. 



-21780 



A// AH 

Calculé j(calc. — obs.) 



Belley. 
Bourg . , 

Nantua 



— 253'.4.5 
— 225',05 
— 249',25 



1. Ain. 



+ 128',75| 0,2113 
+155',lo 0,2090 
+1.52',45 0,2095 



Privas, 



Arcis-sur- Aube . . 
Bar -sur- Aube . . . . 

Bar-sur-Seine 

Nogent-sur-Seine. , 
Romill_y-sur-Seine 
St. Julien 



Carcassonne. . 
Castelnaudary 

Limoux 

Narbonne. . . 
La Nouvelle. 



2. — Ardèche. 

-188',85|+ fi7',25| 0,2151] 
3. — Aube. 



650 

880 
830 



2701 



630 

867 
816 



— 160',05 
— 195',45 
— 175',85 
—121', 55 
— 135',75 
— 157',95 



+ 295',25 
+277',85 
+270',25 
+293',25 
4-293',95 
+279',25 



0,1982 


—1960 


—1990 


0,1999 


—1790 


—1815 


0,2001 


—1770 


—1783 


0,1979 


—1990 


—2023 


0,1979 


—1990 


—2010 


0,1990 


—1880 


—1873 



5 4', 2 5 
29',35 
45',65 
93',05 

94',85 



4. — Aude. 



23',85 
17',85 
3 3', 7 5 
25',25 
35',55 



0,2201 


+ 230 


+ 245 


0,2196 


+ 180 


+ 170 


0,2211 


+ 330 


+ 308 


0,2207 


+ 290 


+ 305 


0,2218 


+ 400 


+ 384 



+ 14 
+13 
+ 14 



261 I + 9 



—30 
—25 
—13 
—33 
—20 
+ 7 



+ 15 
—10 

22 

+ 15 
—16 



5. — Bouches-du-Ehône. 



Aix 

Arles 

Aubagne . . 
Marseille . . 



Le Chapus. 
Jonzac. . . . 
Marennes. . 



I— 238',75|— 
-189',75|+ 
-246',35 
-2 3 6', 15 

6. — Cliarente-Inférieure. 



4', 8 5 


0,2214 


+ 360 


+ 337 


3',55 


0,2198 


+ 200 


+ 213 


18',75 


0,2222 


+ 440 


+ 450 


18',35 


0,2221 


+ 430 


+ 434 



+157',25 
+ 114',45 
+ 153',55 



+ 134',45 
+ 109',45 
+ 132',95 



0,2062 
0,2085 
0,2060 



—1160!— 1195 



— 930 
—1180 



- 957 
-1179 



—23 
+ 13 

+ 10 
+ 4 



—35 

—27 

+ 1 



SUR LA LOI DE DISTRIBUTION, ETC. 



85 



Stations. 



(A long.) 



(A lat.) 



H. 



- 21780 



Calculé 



AH 

(cale. — obs). 



liochefort 

La Rochelle 

Royan 

St. Jean d' Angel j . 
Saintes 

Beaune 

Cliâtillon-sur-Seine 

Dijon 

Is-sui--Tille 

Saulieu 

Semur 



+ 145', 5 5 

-[-158',25 
-f-148',15 
+ 117',45 
+ 125',05 



— 203',75 
— 186',75 
— 2 15', 45 
— 219',95 
— 167',75 
— 173',25 



+ 140',55 
-i-153',25 

-|-]20',55 
+ 139',45 

+ 127',65 



0,2057 
0,2046 
0,2072 
0,2062 
0,2069 



-1210—1226 
-1320'— 1336 
-1060—1081 
-1160—1182 
-1090—1104 



Côte d'Or. 



+2 04', 6 5 

+255',75 
+223',75 
+ 234', 5 5 
+ 219',65 
+ 232',35 



0,20521 
0,2013 
0,2037 
0,2032 
0,2034 
0,2027 



-1260 
-1650 
-1410 
-1460 
1440 
-1510 



—1261 
—1662 
—1388 
—1463 
—1418 
—1505 



-16 
-16 
-21 
-22 
-14 



] 



—12 

+ 22 
— 3 
+22 
+ ^^ 



Doubs. 



Baniue-les-Daraes 
Besançon . . . 
Montbéliard . 
Morteau .... 
Pontarlier. . . 
St. Hi2)poljte 



— 294',05 
— 271',95 
— 321',25 
— 309',25 
— 293',35 
— 321',75 



+224',25 
+218',05 
+234',15 
+206',95 
+ 196',95 
+222',55 



0,2046 


—1320 


—1293 


0,20)0 


—1280 


—1275 


0,2043 


—1350 


—1332 


0,2060 


—1180 


— 1145| 


0,2069 


—1090 


—1091 


0,2051 


—1270 


—1246 



+27 

+ -^ 

+ 18 
+ 35 
— 1 

+24 



9. 



Drui 



Die 

Dieulefit 

Livron'^ 

Montélimar ........ 

St. Eambert d'Albon, 
Valence 

Moutbrison 

Roanne"^ 

St. Etienne'^ 



-235',15 
-216',55 
202',55 
-197',75 
-201',55 
-205',65 



+ 6 8', 5 5 
+ 54',45 
+ 69',95 
+ 56', 65 
+101',i5 
+ 7 8', 6 5 



0,2154 


— 240 


— 212 


0,2164 


— 140 


— 131 


0,2152 


— 260 


— 264 


0,2161 


— 170 


— 171 


0,2132 


— 460 


— 496 


0,2144 


— 340 


— 324 



10. 



Loii'( 



-156',15i + 119',65[ 0,2107] 
-155',35 +li'^^',05 0,2091 
-174',95+110',95| 0,2116 



710 

870 
620 



691 

888 
603 



+28 

+ 9 

— 4 

— 1 
—36 

+ 16 



+ 19 
—18 

+17 



86 



E. MATHIAS. 



Statious. 



(A long. 



(A lat.) 



^OG 



10^^ 

— 21780 



Ajy 

Calculé 



AH 

(cale. — obs.) 



11, 



Lot. 



Caliors. . 
ligeac. . 
Gourd ou 



Ageu (1884) 

Agen (1895) 

Marmande'^ 

Nérac 

Villeueuve-suv-Lot. 



Cerbère 

Céret 

Perpignau"^"^ (1885) 
Perpignan (1887) . . 
Perpignan (1896) . . 

Prades (1894) 

Prades(1895) 



Autun 

Châlon-sur-Saûne 

Charolles 

Louhans 

Mâcou 

Tournus 



1+ 0',95 
I— 35',45 

!+ 4'.95 



+ 49', 7 5 


0,2142 


— 360 


— 370 


+ 59',65 


0,2138 


— 400 


— 398 


+ 67',55 


0,2127 


— 510 


— 507 



12. — Lot-et-Garonne. 



+ 51',55|+ 35',15 

id. id. 

+ 76',95 + 53',65 
+ 67',05 4- 31',25 
+ 45',75|+ 47',15 



13. — Pyrénées Orientales. 

-102',95 

- 75'.95 

- 85',55 
id. 
id. 

- 58',05 
id. 



0,2144 


— 340 


— 326 


0,2146 


— 320 


— 326 


0,2131 


— 470 


— 495 


0,2147 


— 310 


— 316 


0,2139 


— 390 


— 407 



70',25 


0,2244 


+ 660 


+ 631 


67',05 


0,2240 


+ 620 


+ 593 


54',65 


0.2231 


+ 530 


+ 514 


id. 


0,2231 


+ 530 


+ 514 


id. 


0,2230 


+ 520 


+ 514 


60',55 


0,2232 


+ 540 


+ 519 


id. 


0,2231 


+ 530 


+ 519 



14. 



Saône-et-Loire. 



-170',05j+200',85 
-203',75:-i-190',65 
-169',85|-fl69',25 



-225',45 
-201',95 
-206',65 



+181',05 

+ 162',85 
4-177',15 



0,2048 
0,2060 
0,2071 
0,2070 
0,2082 
0,2070 



—1300—1276 
—1180—1158 
—1060—1042 
—1080—1059 
— 960— 954 
—1080—1054 



Bressuire*"^ . 

Melle-^ 

Niort ..... 
Partlienay*. 
St. Maixent. 



15. — Deux-Sèvres. 



+117',55| + 193',45 
4- 95',55!-hl56',25 
+ 113',55| + 162',35 
+ 101',35-j-lS2',05 
4- 99',S5j4-166',55 



0,2022 


—1560 


—1583 


0,2049 


—1290 


—1279 


0.2044 


—1340 


—1347 


0,2033 


—1450 


—1478 


0,2040 


—1380 


—1361 



SUll LA LOI DE DISTRIBUTION, ETC. 



87 



Stations. 



(^ long.) 



(A lat. 



H. 



- 21780 



A// 

Calculé 



AH 

(cale. — obs.) 



16. 



Vienne. 



Cliiltellerault^ . . . 

Loudun 

Montmorillon . . . 
Poitiers (1884). 
Poitiers* (1893). 



Bellac 

Limoges 

E-ochechouart 

St. Sulpice-Lauvicre 
St. Yrieix 



+ 54',05 
+ 82',55 
+ 35',35 
+ 68',55 
id. 



+ 192V45 

4-201',45 

4-l68',25 

+ 177V55 

id. 



0/2027 


—1510 


—11951 


0,2019 


—1590 


—1621 


0,2047 


—1310 


—1292 


0/2035 


—1430 


—1403 


0,2039 


—1390 


—1403 



17. — Haute Vienne. 



+ 25',05 
+ 10', 3 5 
+ •37',55 
— l',25 
+ 14', 9 5 



+ 150',75 
+132',45 
4- 133', 35 
+ 145',85 
+ 114',05 



0,2062 


—1160 


—1150 


0,2075 


—1030 


— 995 


0,2076 


—1020 


—1036 


0,2069 


—1090 


—1080 


0,2088 


— 900 


— 865 



+ 15 
—31 

+ 18 
+27 
—13 



+ 10 
+ 35 
—16 
+ 10 

+ 35 



A côté de ces départements entièrement réguliers '), on en trouve 27 
qui ne présentent cliacun qu'une anomalie sur une moj^enne de 5 à 6 
stations par département*^); le tableau suivant donne pour ces départe- 
ments presque réguliers la comparaison des A // observés et calculés. 
Les stations anomales sont indiquées par des italiques. 



Stations. 



(A long. 



(A lat. 



/4, 



lO^i^ 

-21780 



A// 

Calculé 



AH 

(cale. — oljH.) 



1. — Aisne. 



Château-Thierry . . 
i/inm (1891).. . . 

Laon(l885) 

Laon (1891) 



— 117',25 
— 157',95 
— 130',05 
— 130',65 



+ 325',35 
+ 377',95 
+ 357',95 

+358',85 



0,19551—2230 
0,1926—2520 
0,1930 —2480 
0,1926 —2520 



—2266 
—2605 
—2492 
—2498 



-36 

-85 
—12 



') Il peut subsister un doute très sérieux sur Tentière régularité de VArch'ciie, 
dout M. MoiJKKAux n'a visité (jue le clief-lieu Privas. 

^) Le département des VWye.s fournit 2 anomalies sur un total de 1-1 stations. 



88 



E. MATHIAS 



Stations. 


(A long.) 


(A lat.) 


Ih, 


— 21780 


Ai/ 

Calculé 


AH 

(cale— obs.) 


Le Nouvioii-eu-Thié- 

rache 

St. Quentin 

Soissons 


—139', 15 
— 110',25 
— 113',05 
— 145',95 


+383',45 

+372',95 
+ 344',95 

-^372'.75 


0,1913 
0,1915 
0,1939 
0,1920 
0,1940 


—2650 
—2630 
—2390 

—2580 
—2380 


—2670 

—2628 
—2417 

—2582 
—2388 


—20 

+ 2 
—27 


Vervins 


— 2 


Yillers-Gotterets .... 


— 97',75 +338',45 


— 8 



Commentiy^ . 
Gannat^ .... 
Montluçon"^^. 

Moulins 

La Palisse"^ . . 
Yichy^ 

Barcelonnette 

Digne 

Porcalquier . . 
Sisterou 

Charle ville. . . 

Givet 

Mézières . . . . 

Rethel 

Sedan"^ 

Youziers. . . . 



- 76',75 
-105',15 

- 68',15 
-lll',75 
-130',65 
-118',95 



+ 161',35 


0,2070 


—1080 


—1101 


4-148',85 


0,2075 


—1030 


— 972 


+ 163',45 


0,2066 


—1120 


—1126 


+ ]77',25 


0,2060 


—1180 


—1174 


+ 157',45 


0,2076 


—1020 


—1002 


+150',85 


0,2079 


— 990 


— 969 



3. — Basses Alpes. 



-311',75 
-2 8 5', 6 5 
-2 5 9', 3 5 

-268',75 



+ 46',35 

+ 28',35 

+ 20',95 

+ 35',15 



0,2179 


+ 10 


H- 49 


0,2189 


+ 110 


+ 150 


0,2194 


+ 160 


+ 172 


0,2186 


+ 80 


+ 78 



4. 



Ai'dennes. 



-19 4', 7 5 
-201',15 
-194',85 
-174', 8 5 
-207',65 
-195',35 



+36 9 ',8 5 
+391',85 
-{-369',25 
-i-353',25 

+ 364',85 
+347',45 



0,1932 


—2460 


0,1917 


—2610 


0,1931 


—2470 


0,1939 


—2390 


0,1933 


—2450 


0,1917 


—2310 



—21 

+58 
— 6 
+ 6 

+ 18 
+21 



+39 
+40 
+ 12 
— 2 



2499 


—39 


2654 


44 


2494 


—24 


2401 


—11 


2446 


+ 4 


2332 


—22 



Avevron. 



Capdenac-Gare . . . 

Millau 

Rodez 

St. Afii-ique 

YiHefranclie-de-R. 



36',95 
97',75 
67',55 
86',35 



+ 57',65 

+ 29',15 

+ 45',15 

+ 20 ',4 5 



34',75 + 44',85 



0,2134 


— 44(1 


— 381 


0,2169 


— 90 


— 93 


0,2156 


— 220 


— 250 


0,2175 


— 30 


— 43 


0,2151 


— 270 


— 289 



+ 59 
— 3 
—30 
—13 
—19 



SUR LA LOI DE DISTRIBUTION^ ETC. 



89 



Stations. 



(A long.) 



(A lat.) 



tL 



10^// A7/ 
21780 Calculé 



AH 

(cale. — obs. 



6. 



Charente. 



Angoulême(1888). 
Barbezieux 



Cognac 



Ritjf'ec . 



'+ 77V85|+121',65 
1+ 96',75H-111V1'5 
+ 107',05+124/,05 
1+ 75',95|4-145V15 



0,2078|— lOOOj— 999j + 1 

0,2081.— 940j— 918 — 8 

0,2073—1050—1055 — 5 

0/20651- 1130|— 1174 —44 



Corrèze. 



Brives 
Tulle.. 

Ussel. . 



4', 15 
17',95 
51',05 



-h 92',15| 0,21101— 680 
4- 98',85 0,2107[— 710 
-f 115',65| 0,2090|— 880 



8. 



Creuse. 



678 


+ .^ 


710 





993 


-113 



Boussac. . 
Guéi'et. . . 

Belvés. . . 
Bergerac . 
Niversac . 
Nontron . 
Péri g lieux 
Rlbérac . . 

Alais .... 
Nîmes . . . 
Uzés .... 
Le Yigan 

Luclion. . 

Muret. . . 



— 42V35|+141V1'5 0,2074 



— 45',75 +164',35 
25',05-f 153',15 



0,2062 
0,20651 



-1040 
-1160 
-1 1 30 



- 996 
-1161 
-1104 



9. 



Dordoffne. 



+ 


26' 


,45 


+ 


57' 


,65 


+ 


39' 


,65 


+ 


48' 


,05 


+ 


45' 


,05 


+ 


83' 


,45 



+ 69',85 


0,2122 


— 560 


— 551 


+ 74',85 


0,2117 


— 610 


— 628 


+ 91',75 


0,2104 


— 740 


— 730 


+ 115',05 


0,2083 


— 950 


— 914 


-f 95',25 


0,2101 


— 770 


— 763 


+ 98',05 


0,2101 


— 770 


— 812 



-157',75 
-175',95 

-177',25 
-128',75 

11. - 



10. — Gard. 



+ 30',45 

+ 13',35 

+ 24',05 

+ 22',75 



Haute Garonne. 



0,2181 


+ 30 


— 27 


0,2190 


4- 120 


+ 123 


0,2184 


-f 60 


+ 45 


0,2176 


— 20 


- 6 



+ 52',25|— 49',05 
+ 7',95— 9',05 



0,2209 
0,2188 



+ 310 

4- 100 



+ 



298 
57 



+-1.4 
— 1 
+26 



-f 9 
— 18 
+ 10 
+ 36 
+ 7 
—42 



—57 
+ 3 
—15 
+ 14 



—12 
—43 



00 



E. MATIIIAS. 



Stations. 


(A long.) 


(A lat.) 


^OC 


10^^ 

— 21780 


AiT ^H 

Calcule (cale. — obs.) 


St. Gaudens 

Toulouse (1884) 

Toulouse* (1895). . . 
A^illefrauche-de-L. . . . 


+ 44', 05 




— 15',05 


— 29',75 




— 12',85 


0,2194+ 160 
0,2175— 30 

0,2182+ 40 
0,2192+ 140 


+ 166 




+ 114 


+ 6 
+30 
—40 

—26 



12. — Gers. 



Auch. , 

Coudoin 

Lecto'wre 

Miraude 

Arcaclion 

Bazas 

Blaye'^' 

Bordeaux 

Laugon 

Lesparre 

Libourne 

La Réole 

Argeuton 

Le Blanc 

Cliâteauvoux . . . 
La Châtra (1892) 
La C/uUre (1893) 

Issouduu 

Mers 

Grenoble 

St. Marcellin.. . . 
La Tour-dii-Pin. . 
Vienne 



+ 53',25 

+ 65',95 

+ 50',55 

+ 63',95 



+ l',95 


0,2170 


— 80 


— 81 


+ 21',15 


0,2155 


— 230 


— 240 


+ 18',95 


0,2153 


— 250 


— 204 


— 5',95 


0,2177 


- 10 


— 37 



13. — Gironde. 



+ 157',55 
+ 100',75 
+ 126',55 
+ 118',85 
+ 103',15 
+ 144', 5 6 
+ 101',55 
+ 90',15 



+ 62',45 


0,2114 


— 640 


— 661 


+ 48',95 


0,2130 


— 480 


— 490 


+ 91',15 


0,2096 


— 820 


— 835 


+ 73',35 


0,2110 


— 680 


— 694 


+ 56',75 


0.2124 


— 540 


— 551 


+ 101',35 


0,2090 


— 880 


— 934 


+ 77',75 


0,2109 


— 690 


— 704 


+ 58',75 


0,2125 


— 530 


— 549 



14. — Indre. 



4',] 5 
23',45 
14',55 
3l',75 
32',05 
30',95 
25',05 



+178',85 
+ 181',45 
+191',55 

+ 178',65 
+178',55 
+200',55 
+ 183',25 



15. — Isère. 



0,2042 


—1360 


—1322 


0,2038 


—1400 


—1376 


0,2039 


—1390 


—1403 


0,2075 


—1030 


—1285 


0,2067 


—1110 


—1284 


0,2031 


—1470 


—1449 


0,2044 


—1340 


—1328 



-256',45|+ 93',85 
-231',65!+ 92',65 
-239',85| + 117',05 
-204',65+lll/,95 



0,2138 


— 400 


— 373 


0,2136 


— 420 


— 395 


0,2118 


— 600 


— 566 


0,2114 


— 640 


— 594 



SUR LA liOT 1)10 DISTRIBUTION, ETC. 



91 



Stations. 



{A loug.) 



(A lat.) 



IL 



lO^Hl Air 

- 21780 Calculé 



(ealc. — oby.) 



\Q. — Jura. 



(îlianipaguole .... 

Bole 

Lons-le-Saulnier . . 
St. Claude 



— 267',55 
—242', 15 
— 245',35 
— 264',45 



+ 187',85| 0,2072 
+209',35| 0,2049 
+ 183',55[ 0,2073 
-f 167',45| 0,2086 



1060 


—1056 


+ ^i 


1290 


—1248 


+42 


1050 


— 105^>. 


— 2 


920 


— 909 


+ 11 



17. 



Laudes. 



JJax 

Mont-de-Marsan . . . 

Morcenx 

St. Martin-de-Hiux . 
St. Sever 



+ 150',55 
+ 117',85 
+142',95 
+163',55 
+ 121',55 



+ 
+ 

+ 

+ 



6',25 


0,2150 


— 280 


— 236 


16',25 


0,2154 


— 240 


— 269 


25',25 


0,2140 


— 380 


— 367 


l',75 


0,2161 


— 170 


— 192 


8',65 


0,2158 


— 200 


— 217 



+ 44 
—29 
+ 13 
—22 
—17 



18. 



Loir-et-Cher. 



lîlois (1891) 1+ 8',35 

La Motte-Beuvrou . . |— 33',55 

Romorautiu j — 16', 5 5 

Vendôme + 23',45 



+238',25 
+238',65 
+224',45 
+250',55 



0,2001 
0/2006 
0,2013 
0,1995 



1770 
1720 
-1650 
-1830 



-1778 
-1728 
-1644 

-1888 



- 8 

- 8 
6 

-58 



19. 



Lozère. 



Marvcjols 
Mendê.. . 
nihforl. 



-109',85|+ 55',75 
-121',75+ 54',15 

-148',0'5,+ 'J'>'.0'J 



0,2150 


— 280 


— 277 


0,2150 


— 280 


— 248 


0,2154 


— 240 


— 185 



+ 3 

+ 32 
+ 55 



20. — Haute Marne. 



Bologne^ 

Boui'bonuc les-Bains. 
Cliauinont (1884). . . 
Chaumont (1891). . . 
J oinville-sur-Marne"^^ 

fjtaigres 

St. Dizier 

Wassy 



— 220',35 
— 258',25 
— 220',35 

id. 
— 221',25 
— 23l',95 
-210',65 
-208',45 



+275',75 
4-260',45 
+269',55 

id. 
+290',25 
+254',95 
+302',75 
+ 292',95 



0,2001 


—1770 


—1768 


0,2014 


—1640 


—1607 


0,2005 


—1730 


—1722 


0,2005 


—1730 


—1722 


0,1988 


—1900 


—1875 


0,2013 


—1650 


—1599 


0,1984 


—1940 


—1981 


0,1986 


—1920 


—1911 



+ '^ 

+ 33 
+ '^ 
+ H 
+ 25 

+51 
—41 
+ 9 



92 



K. ^[ATinAS. 



Stations. 



:a long.) 



(A lat.) 



H. 



— 21780 



AH 

Calculé 



AH 

(cale. — obs. 



CluUecm- (tou lier 
LavaF(18S8).. 
Laval (1889).. . 
Mayenne 



La l'ièclie 

Mamers 

Le Mans (1885) 

Sablé 

St. Calais 



Annecy 

Bonneville 

Cluimonix 

Emau-lcs- Bailla. 
St. Julien 



Albi . . 

Castres 
Gaillac 
Lavaur 



21. — Mayenne. 



+ 12S',65-[-253',15 

4-132',85-i-267',65 
4- 133', 7 5 
+123',75 



0,1979 

0,1964 

4-268',35| 0,1964 

+281',35| 0,1956 



-1990 
-2140 
-2140 
-2220 



-2039 
-2153 
-2159 
-2243 



'>,'', 



Sarthe. 



+ 92',35 
-h 66',05 
+ 76',55 
+108',75 
+ 43', 5 5 



+244V15 


0,1989 


—1890 


—1929 


+ 284',! 5 


0,1961 


—2170 


—2191 


+262',45 


0,1975 


—2030 


—2044 


+254',05 


0,1982 


—1960 


—2021 


+258',85 


0,1982 


—1960 


—1975 



23. — Haute Savoie. 



-279',35 

-297',85 
-325', 15 
-307',45 

-277',85 



+ 137', 15 


0,2108 


— 700 


— 665 


+ 148',05 


0,2104 


— 740 


— 723 


+ 138',65 


0,2113 


— 650 


— 619 


+ 166',95 


0,2100 


— 780 


— 851 


+ 151',85 


0,2098 


— 800 


— 776 



24. 



Tarn . 



41',05 
46', 3 5 

26',85 
21',45 



+ 18',05 
— 0',45 
+ 17',35 
+ 5',15 



0,2172 


— 60 


—82 


0,2188 


+ 100 


+62 


0,2169 


— 90 


—95 


0,2173 


— 50 


-11 



25. 



Vendée. 



Fontenay-le'Comie . . . [ + 134',65 

Lu(;on -|-158',15 

La lIoche-sur-Yon. . . +173',95 
Les Sables d'Olonne. | + 194',35 



+ 170',75| 0,2039 
+ 17r,35 0,2033 
+ 183',45| 0,2022 
+ 173',65j 0,2026 



Bruyères . 



26. — Vosges. 
-316',75 +275',65 0,2015 



-1390 
-1450 
-1560 
-1520 



1630 



14361 

-1470| 

-15801 

1533 



—49 
—13 
—19 
—23 



—39 
—21 
—14 
—61 
—15 



+ 35 
+ 17 
+31 
—71 

+24 



22 

— 38 

— 5 
+40 



-46 
-20 
-20 
-13 



1646 —16 



SUR LA LOI DE DISTRIBUTION, ETC. 



93 



Stations. 



(A long.' 




10^7/ 


AiT 


- 21780 


Calculé 


-1550 


—1493 


-1740 


—1759 


-1680 


—1698 


-1660 


—1639 


-1640 


—1656 


-1570 


—1579 


-1750 


— 1733 


-18.30 


—1797 


-1570 


—1559 


-1570 


—1572 


-1630 


—1660 


-1560 


—1483 


-1680 


—1707 



AH 

(cale— obs.) 



Biissang 

Charmes 

Contrexéville 

Darnej 

Epiual 

Gérardmei' 

Mirecourt 

Neiifcliateau 

Plombières 

Remiremont 

St. Die 

Sf. Maurice {l^S^D . 
Vittel 



-324', 15 
-290',85 
-2 6 5 ',7 5 
-276',05 
-298',45 
-324',85 
^280',05 
-2 5 3', 7 5 
-301 ',2 5 
-309M5 
-329',95 
-3 2 2 ',05 
-2 6 8', 9 5 



+256',35 

-f286',45 
4- 2 7 4', 05 
+267',75 
+27.3',95 
4-267',95 
+ 281',15 
+285',35 
+ 261',25 
4-264',45 
+279',75 
-f-254',55 
-|-275',55 



0,2023 
0,2004 
0,2010 
0,2012 
0,2014 
0,2021 
0,2003 
0,1995 
0,2021 
0,2021 
0,2015 
0,2022 
0,2010 



27. — Yonne. 



Auxerre 

Avallon 

Joigny 

Nuits-sous-Havières. 

Sens 

Tonnerre 

Villeneuve-l'Arche- 

.■5f 



-127',35 
-147',35 
-116',25 
-164',95 
108',] 5 
-150',95 



vêque'^ , — ^125',75 



+ 250',25 
+233',35 
+26l',45 

+247',05 
+274',95 
-[-254',45 

+ 277',45 



0,2007 


—1710 


—1696 


0,2023 


—1550 


—1545 


0,2000 


—1/80 


—1793 


0,2018 


— IbOO 


—1625 


0,1988 


—1900 


—1904 


0,2013 


—1650 


—1696 


0,1989 


—1890 


—1899 



+57 
—19 
—18 
+21 
—16 
— 9 
+ 17 
+33 

+11 

.2 

—30 

+ 77 



+ 14 

+ •"> 
—13 

—25 

— 1. 
— 1,6 

— 9 



Le total général des départements entièrement on presque entièrement 
réguliers est donc de 41-, présentant 19*^ stations régulières contre 28 
anomalies; si l'on y joint le Tarn-ef-Garoune, d'après mes propres me- 
sures, on peut considérer ([ue l'aire de la distribution régulière de la 
composante liorizontale dépasse notablement la moitié de la surface delà 
France, cette aire de distribution régulière étant en très grande pai-tie 
située au sud du 47" parallèlle. 

Par contre, il est des départements entièrement ou presque entière- 
ment anomaux; c'est le cas du Fhihlere, des Cofes-dn-Nord, de Vllle- 
ef.-Vilaine, de la Manche, du Calvados, de V Eure, de VEure-el-Loir, de 
la Seine- Inférieure, du Pas-de-Calais, du Nord, du Fui/-de-Bôme, du 
Cantal et de la Haute-Loire. 



94 



E. MATHIAS. 



Comme un assez grand nombre de ces départements anomaux sont 
limitrophes de déj^artements réguliers ou presque réguliers, il s'ensuit 
que Tanomalie de ces départements est bien réelle et n'est pas due à 
une insuffisance de la formule (2). D'ailleurs, ces départements font 
partie d'anomalies signalées depuis longtemps, celle du |ilateau central 
{Pui/-de- Borne, Cantal, Haute-Loire), celle de la Bretagne et la grande 
anomalie du bassin de Paris découverte en 1890 par M. Moureaux et 
qui se manifeste particulièrement en Normandie et dans les départe- 
ments du Nord et du Pas-de-Calais. 

11 est assez curieux de voir que Fensemble des départements de la 
Mayenne, de la Sartke et du Loir-et-Cher forme une aire régulière qui 
limite au sud-ouest l'anomalie du bassin de Paris et qui pénètre comme 
un coin entre l'anomalie de la Bretagne et celle de la Normandie. A 
cette bande régulière appartiennent encore les arrondissements de Fou- 
gères et de Yitré (dans V 1 Ile-et-Vilaine) qui obéissent à la formule (2). 

Il est intéressant de voir, dans des régions entièrement anomales, de 
véritables îlots réguliers; c'est ainsi que, dans le Morbihan, la région 
qui comprend Auray, Groix, Yannes, Belle-Isle, Quiberon, Questembert 
est parfaitement régulière et s'étend vraisemblablement dans la Ijoire 
Inférieure jusqu'à S*. Nazaire, à l'emboucliure de la Loire: 



Stations 



(A long.) 



(A lat.) 



IL 



W^.H 

— 21780 



/\H 

cale. 



(Ci 



A// 

le. — ol»s.) 



Auray 

Ile de Groix ... 

Guillac 

Josselin 

Lorient^ (1893) 
Lorient (1896) . 
Palais (Belle-Isle^ 
IHoërmel (1888) ' 
'Ploërrml{\%^^) 
Pontivî/ {\^^^) . 
Pontivy (1889). 
Questembert. . . 
Quiberon (1893) 



+267V1'5 
4-291/, 2 5 
+236',65 

-f240',25 
+289', 15 
+289',75 
+ 276',95 
4-230',95 

id. 
+ 26.y,25 
+26l/,95 
+ 234',15 
+274',45 



Morbihan. 

+ 241.', 2 5 
+241 ',85 
+259',55 
+260',55 
+248',85 
+ 249',05 
+224',25 
-f 259',05 
+259',15 
+266',65 
+266',85 
+244',55 
-f232',05 



0,1962 


—2160 


—2149 


0,1962 


—2160 


—2164 


0,1969 


—2090 


—2223 


0,1968 


—2100 


—2236 


0,1960 


—2180 


—2211 


0,1942 


—2360 


—2213 


0,1975 


—2030 


—2013 


0,1969 


—2090 


—2212 


0,1965 


—2130 


—2214 


0,1941 


—2370 


—2312 


0,1945 


—2330 


—2313 


0,1970 


—2080 


—2090 


0.1969 


—2090 


—2067 



+ 


11 


— 


4 


— 


133 


. — . 


136 


— 


31 


+ 


147 


+ 


17 




122 


— 


84 


+ 


58 


+ 


17 


— 


10 


+ 


23 



SUR LA LOI DE DISTRIBUTION^ ETC. 



95 



Stat 



ions. 



'A loDi 



(A lat.) 



^o 



10 ^/i 

- 21780 



Uiûberou (1896) . . 
Vannes (1893) .. . 



xVuceuis 

C/idff.imbriui/l . . . . 
Natdes (ISHi). . . . 
jVantes{lS,Hrj),. . . 

I^aules llS96) 

Pai7nboenf {1S9 S). 
Pam/joe///{lS96). 

Pornic 

St. Nazaire 



+274/^25 
+252;75 



+281',85 
+24'3',65 



0,1965| 
0,1965| 



A// 

Calculé 



Loire-Inférieure. 



+ 1 
+ 1 
+ 1 



58',55 

70', 7 5 

SO',95 

id. 

id. 

09',55 

08',35 

13',25 



+ 225',55 



+246^15 

+ 217',95 

id. 

id. 

220',45î 0, 

220',25' 0, 

210',05l 0, 



0. 



+2 

H-220V3O +219',45: 0, 



1989 
1978 
1999 
1998 
1987 
1979 
1997 
199G 
1987 



-2130—206(5 
-21301—2126 



-18901—1873 
-20 00 '—2361 
-17901-1815 

-1800'— 1845 
-1910—1845 
-1990—1900 
-1810—1896 
-1820|— 1827 
-1910—1906 



A// 

(cale— obs.) 



+64 
+ 4 



+ 17 
—364 

— 55 

— 45 

-f 65 
+ 90 

— 86 

— 7 
4 



+ 



Il semble donc bieu q/t^ou doive considérer les avGiii.alies de la compo- 
saufe horizonlale comme se projefaul sur wi fond, régulier donl lad/slri- 
buiiou esl donnée par la formule (2). 

Toutefois cette formule, si satisfaisante en ce sens qu'elle démontre à 
la fois l'admirable régularité des mesures de M. Moureaux et la préci- 
sion des mesures faites dans la région de Toulouse, n'est pas définitive, 
car les différences entre les nombres calculés et observés sont négatives 
dans Vouest et dans le nord de la Prance et positives dans Yesl et le 
sud-est; les valeurs absolues des coefficients de (A long.) et de (A lat.) 
sont donc légèrement trop grandes. 

Le calcul des corrections à apporter à ces coefficients sera fait par les 
moindres carrés en utilisant 400 stations régulières, visitées par M. 
Moureaux ou moi-même, et appartenant à toutes les régions de la 
Trance, C'est la formule ainsi obtenue qui permettra le triage détinitif 
des stations régulières et anomales et donnera, eu grandeur et en signe, 
la valeur des anomalies pour la composante horizontale. On pourra, 
alors seulement, poser relativement à la constance et à Tintensité des 
anomalies de la composante horizontale dans le temps, des problèmes 
qui devront être résolus ultérieurement. 



IIBER DIE Mr)GLTCIIKETT EINER ELEKTROMAGNETTSCTTEN 
BEGRÛNDUNG DER MEGIIANIK 



W. WIEN. 



Herr H. A. Loeentz liât vor kurzern (Koninkl. Akad. v. Wetensch. 
te Amsterdam 81 Marz 1900) die Gravitation auf elektrostatische An- 
ziehungen zwischen den aus louen bestehenden Elementeii eines Kur- 
pers zuriick zu fiihren gesucht. Er macht zu diesem Zweck die Annahme, 
dass die Anziehung zwischeu positiver nnd negativer Elektrizitat die 
Abstossung zwischen gleichnamigen Elektrizitïiten ilberwiegt. Icli bin 
dadurcli angeregt worden^ Betraclitungen liber denselben Gegemstand zu 
verofi'entlicheu, die icli sclion vor liingerer Zeit angestellt habe^ wobei 
ich indessen iiber den LoRENTz'schen Standpunkt noch hinaus gehe. 

Es ist zweifellos eine der wiclitigsten Aufgaben der theoretischen 
Physik die beiden zumichst vollstandig isolirten Gebiete der mechani- 
schen und elektroniagnetisclien Erselieinnngen mit einauder zu ver- 
knûpfen und die fur jedes geltenden Differentialgleicliuugen aus eiuer 
gemeinsamen Grundlage abzuleiten. Maxwell und Thomson und 
anschliessend Boltzmann und Hertz haben den zunachst siclierlich 
naturgemiissen Weg eingeschlagen^ die Mechauik als Grundlage zu 
wahlen und aus ihr die MAXWELL'schen Gleichungen abzuleiten. Zalil- 
reicbe Analogieen, die zwischen elektrodynamischen und hydrodyuami- 
scheu sowie elastischen Vorgilngen bestehn^ schienen immer wieder auf 
diesen Weg hinzuweisen. Die HKRïz'sche Mechauik scheint mir ihrer 
ganzen Anlage nach dafiir ersonnen zu sein nicht nur die mechauischen 
sondern auch die elektroinagnetischen Erscheinungen zu umspannen. 
Dass eine mechanische Ableitung der MAXWELL'schen Elektrodynamik 
moglich ist, hat Maxwell bekanntlich selbst gezeigt. 



ilBEll DIE MÎJGLICHKEIT ETNKR EI-KKTROMAGNETISCHEN, U. S. W. 97 

Dièse Untersuchimgen habeu zweifellos das grosse A'erdienst, nacli- 
gewiesen zu liabeii;, dass beiden Gebieteii etwas gemeiiiscbaftliches zu 
(Jrunde liegen muss, und dass die gegeuwïirtige Trennung iiiclit in der 
Natur der Sacbe begrûndet ist. Andererseits aber scheint mir aus dieseii 
]îetrachtungeu mit Sicherbeit hervor zu geben^ dass das System unserer 
bisberigen Meclianik zur Darstellung der elektromagiietiscben Vorgaiige 
ungeeignet ist. 

Niemals wird man die complizirten raecbaiiisclien Modelle, die den 
tur spezielle tecliniscbe Zwecke ersonnenen Mascbinen nacbgebildet sind, 
als eiu endgiiltig befriedigeiides Bild fiir die innere Zusammensetzung 
des Aetbers anerkeimen. 

Ob die HEiîTz'scbe Mecbanik, deren Auf bail in der Tbat fiir die Auf- 
nabme sehr allgemeiner kinematisclier Znsammenbange besonders geeig- 
net ist^ zweckmrissigeres leistet, muss dabingestellt bleiben. Vorlaufig 
bat sie aucb uicbt die allereinfacbsten Vorgange^ die ausserbalb der 
Kiuematik liegen^ darzustelleu vermocbt. 

Yiel aussicbtsvoller als Grundlage fiir weitere tbeoretiscbe Ai-beit, 
sclieint mir der umgekebrte Yersucb zu sein, die elektromagnetiscben 
(Irundgleichungen als die Allgemeinereu anzusebn, ans denen die me- 
ciianiscben zu folgern sind. 

Die eigeutliclie Grundlage wiirde der Begriff der elektriscben und 
maguetiscben Polarisation im freien Aetber bilden, die durcb die Max- 
wi-jj^'scben Ditferentialgleicbungen mit einander zusammenbiingen. Wie 
dièse Gleichungen am besten aus den Tbatsachen abgeleitet werden 
kiinnen, ist eine Erage mit der wir uns hier uicbt zu bescbiiftigen 
babeu. 

Neuneu wir A', Y, Z die Componenten der elektriscben, //, M, N die 
der maguetiscben Polarisation, ./ die rezi})roke Lichtgeschwindigkeit 
./', //, ..- die reclitwinkligeu Coordinaten, so habeu Avir 



1) 



Als Integrationsrestanten ergebcm sich hieraus das elektriscdie und 

AKCniVES NÉERLANDAISES, SÉlUE If. TOME V. 7 



c>X dM cW 

^^ H ~ àz àij 


(>7v_c>;^ dY 

H djf dz 


dY cW (>// 

df. ~ dx dz 


dM dX dZ 

dt ~ dz dx 


dZ dL dM 


dN dY dX 


^^ cV ~ d>j dx 


dl ~ dx d// 



98 ^V. WTEN, 



magnetische Quautuni;, weim wir die Gleicliuugen 1) bezielientlich nach 
u; //, .z diffevenziren und addiren. Es ist daim nainlich 



also 

cU' f^r '^z , c>z. , dM , djv 



^) i. + ^ + <ç = -*"-^' s^ + i^ + <b=-*"" ■ 

wo ç und m von der Zeit unabhiingig, also zeitlich imd veninderliclie 
Quanten sind. 

, . X Y Z 

Multiplizirt man die erste Eeihe der Gleichungen 1) )nit —, —, —, 

die zweite mit —, —, —, und addirt sie sammtlicli, so erhidt man 

477" 477 'Ji/T' 

nacli partielier Intégration iiber einen geschlossenen Raum, dessen Ober- 
fliichennormale n und Oberfliicheuelement dS sein m('ige, den Satz 

3) ^ f^ j j j rlr dy dz {.V + r~ + ZJ -\- I? + J/^ + N''-) 

=jdS [( YlV—ZM ) cas (.rw) + [ZL—XN) eus («^) +(A'i/— Y L) cos [iiz)] 

Verschwinden au der Oberfliiche entweder A", i', Z oder L, M, N so 
liaben wir 

4) ^jjj dx dy dz (X2 -f jn ^Z'-^V- + M"- + iV 2) = const. 

Den linksstehenden, iiber eiuen genilgend grossen Eaura summirt 
immer constant bleibendeu Ausdruck, nennen wir die elektromagnetische 
Energie. 

Wir macben imu die Amiahme, dass die mecbauiscben A'orgiinge 
aucb elektromagnetiscber Natur sind, sicb also aus den betracliteten 
Gruudlagen entwickeln lassen. 

Wir nelimen hierfûr zuniiclist an, dass das als Materie bezeicbnete 
Substrat aus positiven und negativen elektrischen Quanteu zusammen- 
gesetzt ist und zwar aus solcben Elementarquanteu, die wir einfacli als 
Convergenzpuukte elektrisclicr Kraftliuieu auzusebeu babeu. 



ÛBER DIE J\[()GLICHKEIT EINER ET-EKTR0MAGNET1SCHEN_, U, S, W. 99 

Wir mûssen iiidesseii eiiiein solchen Elementarqiuintum eiue gewisse 
Ausdeluiuiig beilegeii, weil soust der hierdurcli repriisentirte Energie- 
vorrath uueiuUich gross iiu Vergleich mit dem Quantum selbst wilre. 
Da die gaiize Materie sicli ans dieseu Quaiiteu auf l)aiieu soll^ so miissen 
dièse so kleiii angeuomineu werdeu, dass die Atomgewiclite gauze A'iel- 
fache derselbeu siud. Das ]30sitive Elementarquantum ist feriier alsdurcli 
eiue gcAvisse Ivleine Strecke voni uegativen eutferut auzuselm. 

Dass die Materie aus solclieu Dij)olen sich zusanimeusetzt^ ist kaum 
eiue besondere Anuabme, sondern wohl von allen Physikern gegenwiir- 
tig zugegebeu. Bislier nahm man uun ausserdem noch pondérable Sub- 
stauz an^ die wir mit diesen Quanteu ideutiiicireu wollen. 

Die Aussage^ dass sowohl die Materie als die Elektrizitiit atomistiscli 
aufgebaut ist^ ist uach unserer hier vertreteneu Anschauung gleich be- 
deuteud. 

Der Aether selbst ist nach dem Yorgange von Lorentz als ruheud 
auzuseheu. Ortsveriinderuugen konnen nur bei den elektrisclien Quan- 
teu vorkommeu^ von einer Beweguug des Aethers zu sprechen wiirde 
nach dem hier zu verfolgeuden Grundsatz keiueu Sinn haben. 

Aile Khifte siud auf die bekannten elektromagnetischen, im Sinne 
Maxwkll's also auf Spannuugen im Aether zurilckzufiUireu^ obwohl der 
der Elastizitatslehre entuommene BegriH' kaum noch bedeutungs- 
voll ist. 

Bei kleinen Geschwindigkeiten der bewegteu Quanten siud es elek- 
trostatisclie Kriifte die zvvischen den Quanten wirksam siud. 

Ob eiue Zuriickfidirung der Molekularkriifte auf seiche Krafte mcig- 
lich ist, muss zuniichst dahingestellt bleiben. Klar ist nur, dass man 
durch verschiedene Gruppirungen von positiven und negativen Quan- 
ten in verschiedeneu Entfernungen sehr complizirte Wirkungen erhal- 
ten kann. Durch dièse Annahmewûrde man die Schwierigkeitverringern, 
welche der MiCHELSON"'sche Interferenzversuch der Théorie ruhenden 
Aethers bisher gemacht hat. 

Herr H. A. Lorentz hat darauf aufmerksam gemacht (Versuch einer 
Théorie der elektromagnetischen Erscheinungen in bewegteu Kurpern 
Leideu 1895), dass die Ltinge eines KiJrpers in der Kichtung der Erd- 
bewegung durch die Geschwindigkeit v dieser Beweguug im Verhaltuiss 
V 1 — A^v^ verkiirzt wird, wenu die Molekularkrafte durch elektrosta- 
tische Krafte ersetzt werdeu konnen. 

Damit ware das MiciiELsoN'sche Ergebuiss erkliirt, wemi mau von der 

7* 



100 



W. WIEN. 



Molckularbeweguug selbst Abstand nelimen kauii. Wie weit dies zu- 
trifft muss durch gastheoretische Untersucliungen gezeigt werden. 

Yi'w die Ei-klarung der Gravitation miissen wir, wie Louentz aus- 
cinander gesetzt bat, zwei verscbiedene Arten elektrisclier Pobirisationcii 
amiebmen. Jede geniigt fiir sicb deii MAXWELi/scbeii Gleicliuiigen. 
Ausserdem ist bei statiscbem Feldc 

X = 

uiul die Energie 

1 ///..;. (g) v(i)V(i!)^ 

\erscbwindet û oder— an der Oberfiacbe des Raumes, so ist die Energie 



c>CD 


c>^ 




dcb 


—i- 




z— 


'. 


cy 


^V 




dz 



=-fJI !'''"'■"''-- ^^^- 



Nnn ist nacb 2) A0 = — 4<7rç, Cp = | | | -^ — '■ — —, also ist das 
Tnteo-ral 



^çç' dx dy dz dx dy dz' 



r 
Befinden sicli in der Entfernmig r zwei gleicbnamige Qnaiiten 

(? = ç dx dy dz 



so ist die Energie 



e = ç dx dy' dz 

5) ^=-k*^ 

dièse Energie ist dnrcli Arbeitsleistung bervorgebraebt gegen eine zwi- 
scben den Qnanlen wii-kende abstossende Kraft im Betrage von 



ilBER niE MOGLTCHKEIT EINEll ELEKTROMAGNETISCHEN, U. S. W. 10 L 

Hierdurcli ist die zwischen zwei Quauten wirkeiicle Kraft definirt. 

Dies Gesetz inuss fur jede der beldeu Polarisationen gelten. 

Treten positive und négative Q.uanten in Wechsehvirkuiig^ so ist die 
LoKENTz'sclie Ainialiine die, dass die danii auftreteude auziehende Kraft 
in einem bestimmten Verluiltniss griisser ist, als die abstossende zwischen 
gleichnaniigen. Auf gnissere Eutfernuugen wirlîen die Dipole so, als ob 
das positive und négative Quantum an derselben Stelle liige. Also erhiilt 
nian durcb die Gesainmtwirkung der negativeii und positiven Quanteu 
auf einen zweiten Dipol einen Ueberschuss in der Anziehung. 

J^iese Erkliirung der Gravita,! ion bat die unmittelbare Consequenz, 
dass ihre Storungen sicli mit Liclitgescliwindigkeit ausbreiten und sie 
selbst eine Modification durcb die Bewegung der sicli anziebenden Kor- 
])er erfabren muss. Lokentz bat- untersucbt, ob dièse Modificationen 
der Gravitation die Auomalieu in der Bewegung des Merkur erkliiren 
konuen, bat iudessen ein négatives Eesultatgefunden. Einzelne Astrono- 
men baben lur die Ausbreitung der Gravitation eine griJssere Gescbwindig- 
keit als die Lichtgescbwiiuligkeit annelimen zu miissen gegiaubt. A^on 
einer Ausbreitungsgescbwindigkeit der Gravitation selbst, als einer sta- 
tisclien Kraft, kfinn mnn iudessen uicbt sprecben. 

Dies wiire nur daun sinngemiiss. Avenu man die Gravitation stiirken 
oder scbwiicben und daun die Ausbreitunggescbwindigkeit der bierdurcb 
bervorgerufeuen Storungen beobacbten kcinute. 

Da aber die Gravitation immer uuveranderlicb wirkt, so konnen nur 
die ausserordentlicb kleinen Aenderuugen in Erage kommen, welche 
durcb die Bewegung bervorgerufen werden, die wie Lorentz gezeigt 
liât, von zweiter Ordnuug sind. 

])ie Tnigbeit der Materie, welcbe neben der Gravitation die zwei te 
unabhiingige Définition der Masse giebt, liisst sich oline weitere Hypo- 
tbeseu aus dem bereits vielfacb benutzten Begrifi" der elektronuigneti- 
scben Triigbeit folgern. 

Das elektriscbe Elemeutarquantum deuken wir uns als einen elek- 
trisirten Punkt. Die von einem solcben bewegten Punkt ausgebendeu 
Kriifte und Polarisationen sind von Heavîsidk (Electrical papers Band 
II) abgeleitet. 

Da sich immer gleicb grosse positive und négative Quauten zusammen 
bewegen, so beben sicb, in einer Entfernung die gross gegen ihren Ab- 
stand ist, die von ibnen ausgehenden Kriifte, abgesebn von der obeu 
bes])rocbeneii Gravitation, und die Polarisationen auf. Docb nebmen 



102 W. WIEN. 

wir im folgenden die Ausdehuung der Quanteu selbst so klein gegen 
iliren Abstaud an, dass die Energie jedes einzelnen so gross ist, als ob 
das zweite niclit vorhanden wtire. 

Nach eiiier Bereclmung von Searle (Phil. Mag. 44 S. 340 1897) 
gehen dieselben Polarisationen von einem EUipsoid ans, das in der 
Richtuug seiner Axe a mit der Gescliwiiidigkeit v bewegt wird, dessen 

andere beiden Axen =^ sind, und das dieselbe Ladung auf sei- 

1/1 — ^2^2 

ner Oberfliiche tnigt. Das A^erhiiltniss der Axen hangt daher von der 
Geschwindigkeit ab. 

Die Energie eines solchen Ellipsoids ist nach Searle 

Das EUipsoid mit denselben Axen liât im Zustand der llulie die 
Eners'ie 



v£ = ; arc sm Av. 

2a A V 

Nun darf naturgemiiss (^, die Energie des ruhenden Ellipsoids die 
Geschwindigkeit v nicht entlialten. 

Es ist also, da e unveranderlicli ist, a variabel 



e~arcsiuAvVl — A'^v- 

-"= 1^ 

1^1 — A^v/^arcsinAv 
oder durcli die lleilieuentwickelung 

7) . i^^=a; (1+1.^2,2+ 1^6 ^4,4 ) 

Die durcli die Bewegung liervorgebrachte Energievermehrung ist 
also in erster Nalieruug 

also die triige Masse m = 4 S A"^. 



ilBER DIE MOGLICHKEIT EINER ELEKTROMAGNETISCIIEN, U.S. W. 103 

Hiernach wiire die durch ïriiglieit delinirte Masse nur bei kleiiien 
Geschwindigkeiteii constant und wiirde mit grusser wevdender Gescliwin" 
keit zunehmeu. Da die Traglieit der Auzahl der Quanten^ aus denen 
sich ein Korper zusaininensetzt^ proportional ist, ebenso die von diesem 
Kor])er ausgehende Gravitation, so folgt, dass die durch die Tragheit 
delinirte Masse der durch die Gravitation bestimraten proportional sein 
muss. Lassen wir einen Korper, dessen Masse m = | ^' ./^ ist, bis in die 
Entfernung r von einem Kih-per von der Masse M anziehen, so ist der 
elektromagnetische Energievorrath der Gravitation um den Betrag 



vermindert, wo £ die Gravitationsconstante bezeichnet. 

Dièse Energie ist zur Herstellung der Geschwindigkeit v in Bewe- 
gungsenergie verwandelt, Wir haben also 

o lo r 

oder da v =^ ^- ist 
ai 

Hierfiir lilsst sich schreiben 

Wiirden sich die Massen M und /// nach deni WEBER'schen Gesetz 
anziehen, so hatte man 



m 



(Pr smM I Â-/(lr\^ . ^.dh'j 



(le- r'- 1^ 2 \iW '^'^\U'\ 



dr . . 

Multipliziren wir mit — - und integriren so haben wir 

(l V 

\/dr\^ sMr^ A^/àr 



- 



') ~'7\ Y\dt) \' 



%\dU r L 



104 VV. WIEN. 

wobei die liitegrationscoiistaiite so besliinint \st, dass dcr Kih'per iu 
unendliclicr Entfernung in ilulie ist. 
Sclireibeii wir dièse Gleicliung. 



so stimmt dieselbe bis auf den Takior \*} statt 1 mit der Gleichung 9) 
ùbereiii. Durcli die Bemcksichtigmig der zweiteii Nalierung fiir die 
Tragheit erhalten wir also annahernd dieselbe AVirkuiig zwisclien den 
beiden Massen, als wenu die Massen selbst unveranderlicli waren, dafiir 
aber anstatt des NEWTON'schen das WEBER'sche Gesetz gelten wiirde. 

Bekanntlich ist das WEBER'sche Gesetz mit gewissem Erfolg auf die 
Théorie der Merkurbewegung angewandt worden. 

Eine genaue Priifung dieser Untersuchungen uud Erweiterung durch 
Anwendung auf andere schnelUaufende Himmelskcirper wiirde uns zu 
einer Vergleicliung unserer Ergebnisse mit der Erfahrung fidiren. Doch 
ist liierbei zu beriicksichtigen^ dass neue Glieder gleiclier Ordnuug durch 
die Bewegung in gekriimmter Bahn hinzukouiinen. Die Eechnung 
wîire daher noch fiir einen in elliptischer Balm sicli bcwegenden K()rj)er 
zu erganzen. 

So grosse Geschwindigkeiten^ wie sie notig sind damit das Quadrat 
der Geschwindigkeit mit dem der reziproken Lichtgescliwindigkeit mul- 
tijjlicirt^ niclit zu klein wird, haben wir nur bei den Kathodenstrahlen. 

Die schnellsten, bisher erzeugten Strahlen haben 4 Lichtgeschwin- 
digkeit. Hier ware die scheinbare Zunahnie der Masse etwa 7 °/o ; 
die geringste Geschwindigkeit ist ^^jyLichtgeschwindigkeit{VgL Lenari) 
Wien. Ber. Okt. 1899)^ die eutsprechende Zuuahme der Masse betruge 
hier nur 0/37 "/q. Eine Vergrosserung der Masse im Vergleich zur elek- 
trischen Ladung bei Katliodenstrahkui grosser Geschwindigkeit ist in 
der That in den LENARu'schen Beobachtungen enthalten. (Wied. Ann. 
64 S. 287 189S u. a, a. 0). Doch sind die von Lexaud gefundeuen 
Unterschiede viel zu gross um ihre Erkhiruiig nur in der elektrouiag- 
netischen Tragheit zu linden. 

Indessen sind dièse quantitativeu Messungcu noch nicht alscndgiltig 
auzusehn. 

Beschriinken wir uns auf kh;ine Geschwiudigkeiten^ so haben wir fiir 
die Bewegungsenergie denselben Ausdruck^ den die Mechanik fiir die 



ilBKR DIE MUGLICllKKIT ELNER ELEKTR0MA.(1NETISCHK.V^ U.S.W. 105 

lebeiulige Kraft aufstellt. Die Grosse der Besclileiinigimg liisst sich 
aber iiiclit ohiie Weiteres liier ans ableiten. 

Die Beschleuiiiguug setzt eine Veriinderlichkeit der Geschwiudigkeit 
voraus. Die Ausdriicke fiir die elektromaguetisclie Energie sind aber 
nur uiiter der Voraussetzuug eines von der Zeit mnibhiingigeu Wertes 
der Gescliwindigkeit al)geleitet. 

l'ûr verauderliche Geschwiudigkeit ist dus Problem eines bevvegten 
clektrischen Quantums strenge bisher nicht gelost worden. 

Doch kunnen wir ans deu MAXVvELL'sclienGleicliungeneinKriterium 
liber die Grosse des Fehlers gewinnen, den wir niachen^ wenu wir die 
Ansdriicke filr die Energie auch fur veriinderliche Geschwindigkeit be- 
nutzen. 

Die elektrisc'lien nnd inagnetischen Polarisationen sind in unserem 
Fall wenn die Beweçi'ung in der lliclitung x vor sich o-eht 

du du 



Dabei ist dns Coordinatensj'stem mit dem bewegten Pnnkt fest ver- 

bnnden. 

Dièse Ausdriicke geuiigen deu MAXWELi/scheu Gleichungeu^ wenu 

d à . 

t: = — i' \-^ ^^^} ^""i tiihrcn zu der Gleiehung 

dt Ox ° 

Ist aber o von / abliiingig, so habeu wir 

d _ C> f) 

~dl~"d/~'^Xc: 
Soll miser Wert fiir ,/■ allgemein gelten, so inuss also 

"v; Kiein gcgen v -.— sein. 
fV ° ^ dx 



106 W. WIEN, 

Nu]i ist 



nlso muss 



-^T- = ^ — ^ ty ( i — .7- (■-) 



^ nW,. .. .n., . c)2^, 



oder 

.^-.<; — - kleiii ffeffeu 1 — A"V" seiu. 
cl;! ^ ^ 

Ebeiiso ergebeu die Werte voii Y, Z und 31, N dass 

(1_,^2 ,2) ^, J^ (1 _..i2,2) ,2)] I __ [2 .-2- (1 - J2 ,2) ,2J ^2 ,2 ^ 

klein gegeii 3 u; (1 — A'V") o- sein muss. 

Dièse Bedingung ist erfilllt^ weuu die Uimeusioueu des Raumes, in 
Avelchem die Energie wesentlich in Betracht kommt, geniigend klein siud. 
Denu die zu vernacliliissigenden Glieder enthalten aile die Liueardi- 

mensionen in einer lioheren Potenz als die zweite. Doch darf - niclit 

(It 

zu gross und die absolute Gescliwindigkeit v niclit zu klein sein. 

Wenn dièse Vernaclilassigung zulassig ist, so konnen wir fur die 

Aenderung der Bewegangsenergie setzen. 

Wenn K die elektrisclie Kraft bezeiclmet. Wir haben auf dièse Weise 
das erste und zweite Newton^scIig Bewegungsgesetz erlialten, 

Denn wenn keine aussere Kraft einwirkt, so ist das Traglieitsgesetz 
einfacli das Gesetz der Erlialtung der elektromagnetisclien Energie und 
das zweite NEWTON'sche Gesetz sagt hier aus, dass die widireud /If von 
der Kraft geleistete Arbeit gleicli der entspreclienden Aenderung der elek- 
tromagnetischen Energie ist. 

Das dritte NEWTON'sche Gesetz, das die Gleichheit von Wirkung und 
Gegenwirkung behauptet, gilt fiir aile elektrostatisclien Kriifte zwisclien 
elektrisclien Quanten. Die meclianisclien Kriifte mûssen von unserm 
Staudpunkt aus mit solchen Kraften identificirt werden. Da wir die 



ilBER DIE MOGLICHKEIT EINER ELEKTROMAGNETISCHEN, U. S. VV. 107 

Annalime rahendeu Aethers macheu, so gilt das Gesetz fiir die allge- 
meinen elektromaguetischeu Kriifte nicht. 

Der Satz vom Parallelogramm der Krafte ist in imseru Grundlagen 
in sofern enthalten als er fiir elektrischen Polarisationen und fiir die 
zwisclien zwei elektrischen Qnanten wirkenden Kriifte gilt. 

Was schliesslich die festen Yerbiudnngen anlangt^ die zwisclien meh- 
reren elektrischen Massen existiren kiinnen, so wiirde es solche streng 
genoinraen Yon unserm Standjiunkt ans nicht geben. Es kounen nur 
Kriifte auftreten die sich gegenseitig ini Gleichgewicht halten. Weuu 
z. B. ein Pendel schwingt, so wirkt die Schwerkraft so lange dehnend 
auf die Pendelschnnr^ bis die hervorgerufenen elastischen Kriifte gleich 
gross geworden sind. Solche Kriifte, welche keine Arbeit leisten. sind in 
der bekannten LAORANaE'schen Porni einzufiihren. 

Man kann die hier skizzirte Begriiudungder Mechanik als der Hertz'- 
schen diamétral entgegengesetzt bezeichnen. Die festen Verbinduugen, 
welche bei Hertz zu den Voraussetznngen gehiJren, zeigen sich hier als 
Wirkuug verwickelter Einzelkriifte. Ebenso ist das Gesetz der Triigheit 
eine verhiiltnissmiissig spiite Consecjuenz ans den elektromagnetischen 
Yoraussetzungen. Wiihrend die HERTz'sche Mechanik oiVenbar darauf 
abzielt, die elektromagnetischen Gleiclmngen als Folgerungen zu liefern, 
ist hier das Yerhiiltnis gerade umgekehrt. In Bezug auf logischen Auf- 
bau, kann sich natiirlich eine elektromagnetisch begriindete Mechanik 
mit der HEUTz'schen nicht messen, schon Aveil das System der Maxvvell- 
sclien Differentialgleichungen iiberhaupt noch keine genau kritische 
Bearbeitung gefunden hat, aber sie hat, wie mir scheint, einen sehr 
erheblichen Yorzug, dass sie nilmlich, yvie gezeigt wurde, iiber die ge- 
wohnliche Mechanik hinausgeht, die hiernach nur als erste Niiherung 
zu bezeichnen ist. Dadurch ist die Moglichkeit gegeben fiir oder gegen 
sie durch die Erfahrun»' zu entscheiden. 



UEBER DIE LAGE UEll VOLUMEN- UNI) ENEllGIEFEllGlIE ELXES 
KllYSTALLS UND SEINER SGIIMELZE 



G. TAMMANN. 



Ziir Priifung der fmlier voui Yerfasser beschriebenen Lage der Yo- 
liuneutlaclieii eiiies Krystalls uiid seiner Sclimelze war es erwiluschtj 
die Uiiterscliiede der specifisclien Volumeii eines Krystalls und seiner 
Sclimelze nicht nur fiir Zustaudspiinkte in der Nalie der Schinelzcurve 
kenneu zu lernen, sondera dieselben aiich ins Znstandsgebiet der unter- 
kiihlten Fliissigkeit, so weit als moglicli, zu verfolgen, um \vo raoglich, 
wena auch nur durch Extrapolation die Lage der Curve^ in der sich 
die beiden Yolumenflaclien schneiden^ zu erfahren. 

Zu diesem Zweck wurde die Bestimmung der Diti'erenz der specifi- 
sclien Volumen zweier Stotl'e^ des Benzo])lienons und des Piperins^ deren 
spontanés Krystallisationsvermogen gering ist^ uuternommen. Bei der 
Bestimiuung der Scbmelzcurven stellte sicb aber heraus, dass das Piperin 
bei ïemperaturen iiber seinem Scbmelzpunkt 128° im Laufe einiger 
Stunden eine theilweise Yeriinderung erleidet, die eine genauere Pest- 
stelluug seiner Scbmelzcurve und der Yoluraenanderuugenbeim Schmel- 
zen auf derselben unmoglich macbt. 

1. Bestimmung der Volumendnderung Ay heuti, Hc/imelzei/- de-s Beu- 
zopkenons Muter de?n Druch 1 hgr. pro 1 qcm. 

Nur bei der Krystallisation von wenig nnterkidiltcn Scbmelzen bilden 
sich vollkommen klare Krystalle^ die keine Holilriiume entbalten. Die 
Tliatsachc wurde zur Bestimmung von \c zu verwerteu gesuclit^ indem 
man zuerst die Lîlnge des ein cylindrisches Rohr ganz ausfiillenden 
Krystalls und dann die Siiulenlauge seiner Schmelze maass. 



UKBETl DIK LAGE DER VOLUMRN- UND ENERGIEELaCHE, U. S. W, 109 

Tu Rohreii vom iiinereu Eadins p = 2.1 mm. wurdc Beu/oplienou 
vom Scliinelzp. 17. S° g-esclimolzen. Nacli Evacuinuig nnd Scliliessniig 
lier liolircu wiinlcu tliesellx'U in ciiiem Tlierinostaten^ desseu ïeinperatur 
16° betrug, seukreclit aiifgestellt. Zur Besclileuniguiig des Eiutrits spon- 
tanev Krvstallisatioii eiitliielten die llohren je ein Stiickchen Platindratli, 
von dem ans die Kvystallisation im Laufe eiuiger Stunden erfolgte. 
Nacli dreimal 2-1 Stunden war eiue Siiule von gegen 100 mm. krvstal- 
lisirt. Die Beiniengungen, die das Priiparat enthielt, verbliebeu zum 
grossten Tlieil in den obersten Fliissigkeitsschichten, die sich mit dev 
Zeit sogar triibteu. iJurcli dièse Aureicherung der Beimengungen in 
der Fliissigkeit wurde die Krjstallisatiousgescliwindigkeit selir erheb- 
lich verringert. Nach Oeffnen der Rohren wurde der fliissig gebliebene 
Tlieil entfernt und das polj^edriscbe Ende des Krystalls mit einem er- 
wiirinten Metallcjdinder von ebener basis zur Messung der Krystalllange 
geebnet. Nacli Schmekung des Krystalls uud Abkiililung der Schmelze 
auf die Temperatur, bei der die Lange des Krystalls gemessen wav, be- 
stimmte mau die Lange der Eliissigkeitssaule bis zum Meniscus und die 
H(")he des Meniscus {/i). Um die Lage der Elûssigkeitssiiule mit ebener 

Oberflache zu erlialten^ hat man zur crsteu Lans:e nocli — ^ — ^ zu 

2 b p- 

addiren. Bei 44.° 7 wurde die Liiuge der Flûssigkeitscylinder in zwei 

Ptohren zu 157.5 und 159.1 mm. und die Contraction dieser Cylinder 

bei der Krystallisation za 14.4 und 14.9 mm. bestimmt. Hieraus ergiebt 

sicli die Yolumenanderuug bei der Krystallisation pro 1 cbcra. fltissigen 

Benzoplienons^bei 44. °7 zu 0.0914 und 0.0936 cbcm. und die Yolu- 

menanderung pro 1 gr. zu 0.0832 und 0.0S52 cbcm., weun das speci- 

fiscbe Gewiclit des tliissigen Benzoplienons bei 44°. 7 1.0988 betragt. 

\on diesen Volumenanderungen ist die zweite als riclitiger zu betrach- 

ten, da in diesem Ealle die Krystallsiiule felilerloser ausgebildet war 

als im eisten. 

Dièses Verfahren der Bestimmung von A/' ist uiclit allg'^.meiu an- 

wendbar, da in' vielen Eiillen niclit^ein sondern melirere, von einander 

durcli Eliissigkeitsscliicliten getreunte^, Krystallfiiden entstehn, zwisclien 

denen sicli bei weiterem Eortschreiten "der Krystallisation Hohlniume 

bilden. Durcli Verengeruug des Rohrluiuens wird die Krystallisations- 

gescliwindigkeit ceteris paribus stark herabgesetzt, walirscheinlicli weil 

sich hier die Convectionsstrome^ welclie die an Beimengungen reicheren 

SchichteuanderKrystallisatiousgrenzefortschanen,s(;bwierigerausbilden. 



110 G. TAMMANN. 

Krystallisirt man uuter lioheren Drucken^ so findet aucli bei tieferen 
Unterkûhlungen die Bildung von Hohlrauineii im Krystall niclit statt. 
Krystallisirt man Benzophenon im Glasrolir bei 20° unter dem Schmelz- 
punkt nnd unter Drucken liber 300 kgr.^ so ist ein Unterscliied in der 
Durclisiclitigkeit des Fliissigen und Krystallisirten nicht niehr bemerk- 
bar, Deshalb giebt die Bestimmung von _\r bei hc'ilieren Drucken leicli- 
ter richtige Werte als die bei gewobnlicliem Druck. 

2. Die Isobareii des fiissigeu und kri^slaUisirten BenzopJiei/ons beim 
Dmck 1 kgr. pro 1 ([cnh. 

Von Herrn Y. Kultaschepf wurden die Yolumen des fliissigen Ben- 
zopbenons pro 1 gr. zwisclien 0° und 87° im Dilatometer bestimmt. 

Tab. I. 



/ 


V',jeî. 


v'hor. 


AXIO 


0.00 


0.87418 


0.87418 





14.64 


0.88649 


0.88558 


— 91 


48.79 


0.91343 


0.91332 


— 11 


60.40 


0.92305 


0.92317 


+ 8 


68.79 


0.93022 


0.93031 


+ 9 


87.38 


0.94651 


0.94653 


+ â 



Die Werte ?4„, wurden mit der Pormel v = 0.87418 + 0.0007691 1 
+ 68 X 10-" /- bereclmet. 

Ebenfalls von Herrn V. Kcltascheff wurden folgende Teinperatur- 
(juotienten der Volumen des krystallisirten ]3enzopbenons bcstiinnit. 



AnV 



AT 

Zwiscben 0.0 und 14.7° 94 X 10' 
14.7 „ 34.9 188 X 10' 
34.9 „ 45.6 214 X 10" 



Wie gewfihnlicli^ wenn das Priiparat nicht von besonders liolior llein- 

lieit ist, wachsen die Quotienten -^ bei Anniiherung an den 8chmelz- 

punkt, weil durcli partielle Sclimelzung die Ausdehnung vergrossert 
wird, in Folge dessen ist der zwisclien 6° und 1 5° bestinimte AVert der 
richtio-ste. 



TTEBKll DTE LAOE DKR VOLUMEN- UND ENERGIEFLâCHE, U. S. W. 111 

Ans diesen Daten uiid don A/'-Wert O.OSy'3 cbcm folgt, weiiu raan 

'-^ — '-~J^T= \c sct/t, A7' = 1:31°, oder dass bei 131° miter 

dein tSclimelzpunkt, also bei — S3°, Ar durcli den Ntillwei-tgeht,indein 
sicli bei dieser Tein])eratur die Isobareii des Kiyslails und seiiier Schmelze 
lïir deii Druck ^j = 1 kgr. schueiden. 

3. Die Schmehciirve des Benzopheiioi/s. 

Das 5-mal aus Weingeist umkrystallisirte Beiizophenon batte den 
Schmelzpunkt -iS-^ll beira Druck ^j = 1 kgr. 31.5 gr. dièses Priipa- 
rates wurden iin Glasgefass unter Qaecksilberabschluss m den Iloblranui 
eines Drnckcylinders gestellt und von Quecksilber uuigebeu, uni den 
Wiirniefluss wiihrend der Zustandsiinderung zu beschleunigen. Nachdem 
bei einer Temperatur liber 50^ ungefahr die Halfte des Benzophenons 
gescbmolzen war^ wurde der Druck ûber den der Badtemperatur ent- 
sprecbenden Sclimelzdruck geboben, worauf der Druck zum Gleiclige- 
wichtsdruck liin tieL Darauf wurde nacli 10 Minuten der erreiclite 
Enddruck notirt und der Druck erniedrigt^ worauf der Druck zum 
Gleicligewicbtsdruck stieg. Nacb Erreicbung des Enddrucks wurden die 
willkiirHcben Druckiinderungen unter Beobachtung der erfolgenden 
Druckreactionen innerbalb des Druckintervalls der beiden ersten End- 
drucke wiederbolt. Die Mittel aus diesen zweiten Enddruckeu sind in 
der folgenden Tabelle nacb Anbringung der Manoinetercorrection unter 
Pr.ir. verzeicbnet. Neben ibnen iindet man im Klaniniern die Ditlerenzen 
der zweiten Enddrucke, zwischen denen die wabren Schnielzdruckcîliegen, 

Tab. IL 



f'cr. 


Pror. 


kgr. 


A;j 


f'cnr. 


Pror. 


kgr. 


A;j 


48.11 


1 




38.0 


90.01 


1051 


(12) 


41.4 


55.01 

00.00 


274 
456 


(7)1 
(7)| 


95.02 
100.43 


1877 
2110 


(15) 1 
(11) 1 


44.5 


05.01 


057 


(9) 


38.6 


110.01 


2587 


(15) 1 


49 . 2 


70.01 


843 


(10) 




119.91 


3009 


(15) ) 


74.99 


1023 


( 9 ) ; 




129.92 


3559 


(22) 


49.0 


79.97 


1236 


(«) 


38.2 










85 . 00 


1436 


(7) 


i 











112 0. TAMMANN. 

Die Formel 7J = 36.45 (/ — 48.1) -f 0.087 (/— 4S.1)2 giebt die 
Schmelzdnicke der Tab. II mit einem mittleren Eeliler von 10 Icgr. 
mul die Formel / = 48.14 -]- 0.02757 ;; — 0.000001 30 /y- giebt die 
Sclimelztemperatureii der Tab. Il mit einem mittleren Feliler von 
0.27° wieder. 

4. JJle Volwmnàndenlngen helm Schmelze.v cm f der Schnielzcurve. 

Zur Bestimmung der Volumeniinderungen beim Schmelzen in Zu- 
standspunkten^ die der Scbmelzcurve nahe liegen^ wurden 31.436 gr. 
Benzophenon im Glasgefasse unter Quecksilberabscliluss in ein druck- 
festes Gefâss gebracht. Das Gefiiss commnnicirte mit einem Mnnometer 
und einem Cylinder, in dem ein diclitscliliessender Kolben bewegt wer- 
den konnte. Durcir Druckerniedrigung mit Hiilfe des Kolbens wurde 
bei constanter Badtemperatur geschmolzen und nacli Wiederherstellung 
des ursprilnglichen Drucks die zur vollstandigen Schmelzung des Ben- 
zophenons notliwendige Kolbenverschiebung A S^ bestimmt. 

In derselben A¥eise wurde bei der Bestimmung der zur vollstandigen 

Krystallisation nothwendigen Kolbenverschiebung A /SV- verfahren. Das 

Mittel ans A>S,, und à.Sh multiplicirt mit dem Querschnitt des Kolbens 

0.5945 qcra, giebt die wahre Yolumenanderung At'„,j,.or. bei der Zu- 

standsilnderung, da^ falls der Kolben auch nicht ganz dicht schloss, 

A /Sx um den Filtrationsverlust zu gross und A -S'/, um denselben zu klein 

ausgefallen sind. Dièse A olumeniinderungen beziehen sicli nicht genau 

auf die Punkte der Schmelzcurve sondern auf gegen 40 kgr. Inihere 

Drucke. Um diesell)cn auf die Schnielzdrucke zu reduciren^ liât man 

ihiien nocli eine Correction zu zufiigen, die gleich ist dem Producte 

. , . d'i^v 

ans der Dill'erenz der Quotienten — r— der Fliissitïkcit und des Kwslalls 

dp 

und jeiicr DruckdiU'eronz. 

Tab. III. 



' car . 


p cor. 


A S, 


A A/,. 


A?' unrrtv. 


'^-' cor . 




kgr. 


cm . 


cm. 


cbm.pro 1 gr. 


cbm. pro 1 


55.02 


313 


4.47 


4.49 


0.0847 


0.0853 


65.00 


69 S 


4.20 


4.22 


0.0796 


0.0802 


75.00 


1058 


3 . 88 


3.91 


0.0738 


0.0743 


,S5.00 


149 s 


3.77 


3.S() 


0.0717 


0.0726 


95.02 


1910 


3 . 55 


3.59 


0.0675 


().067î) 



UEBER DIE LAGE DER VOLUMEN- UMD ENEUGIEELaCHE, tJ. S. W. 113 

Die A^oluinoiiiindei'ungeu A/' iiehineii auf der Schinelzcurve mit stei- 
gender Temperatur proportional dcrselbeu ab. Sv = O.OS8'3 — 0.0004L 
f/ — 48.1). 

Keducirt man die § 1 gefuiideiie Yoluineniinderung auf deii Scliinelz- 

piinlct 48. °1 (die Ditfereuz der Quotienten -J^, des fliissigen uiid Kiys- 

tallisirteu betragt 0.000(37) so ergiebt sicli Av zu 0.0875 cbcm, widirend 
jet/t die Extrapolation ans deii bei hoheren Drucken bestiminten Av 
0.0883 cbcni ergiebt. 

5. /)/e Helimdzwarme auf der Hcliiiielzcni've des Bet/zophenons. 

Uie Formel r = — -- (-:,„] giebt, da die Av- nnd ( ,7.,VWerte be- 
43 \dTy "^ ' \dlV 

kauiit sind^ die Schinelzwarmen auf der Schmelzcurve. Die Werte 
i — yj Tab. IV Avurdeu der Tab. Il fiir die Badtemperatureu, bei deueu 

die Av bestimmt Avurden^ eiitiiommen. Die ^Vpi'tef^ ) wurden mit 

llillfe der ersteu luterpolatiousformel § 3 und schliesslich die AVerte 

r — - j mittelst der zweiten Interpolationsformel § 3 berechnet. Nach 

EiufiUirung dieser Werte erhalt man die in Tab. LV zusammengestell- 
teu Schmelzwarmen r, gemessen in gr. Calorien. 



Tab. lY 



r berechnet mit : 



A£ /dij\ ^dT\ A£ ^dp\ ^flT\ 
dT KdTj \dpj AT KdfJ \dpj 

48.11 321.1 — 3G.4 0.0276 — 24.1 23.8 

,55.02 328.0 35.2 37.0 0.0268 22.9 24.5 24.2 

05.00 338.0 38.7 39.4 0.0258 24.3 24.8 24.4 

75.00 348.0 39.4 41.1 0.0248 23.7 24.7 24.2 

85.00 358.0 41.4 42.9 0.0237 24.9 25.8 25.4 

95.02 368.0 44.5 44.6 0.0225 25.8 25.9 25.8 

Die Schraelzwiirme des Benzophenons nimmt also mit steigender 
Temperatur auf der Schmelzcurve um 0.2 pet. pro 1° zu, wahrend 
die Volumenanderung beim Schmelzen um 0.5 pet. pro 1° abnimmt. 

ARCHIVES NÉERLANDAISES, SÉRIE II. TOME V. S 



114 G. TAMJIANK. 

Die fiir ^^ = 1 kgi"- berechnete Schmelzwarme unterscheidet sich von 
dein calorimetrisch beiin selben Druck bestimmten AVerte 23*4 gr. Ca- 
lorieii uur wenig. 

6. Die isotherme Âbhangigiceit der Volumenaiiderw/g he'im Schnehen 
vom DrticJc. 

Lflsst sich eine Eliissigkeit tief unterkiihlen^ ohiie sjiontau zu krys- 
tallisiren^ so kaiin die A^olumeuanderung beim Schmelzeii bei constanter 
Teniperatur in Abbangigkeit vom Druck bestimmt werden, indem man 
die Stellungen des beweglichen Kol})ens bei verscbiedeuen Drucken be- 
stimmt, wahrend der Stoft' vollstiindig krystallisirt ist, und nach dem 
Schmelzen dièse BestiïTiraungen wiederholt. Die Diff'erenzen dieser Kol- 
benstïinde bei gleicben Drucken, multiplicirt mit dem Querscbnitt des 
Kolbens, geben die Yolumenanderungen beim Scbmelzen. Da das Ben- 
zophenon in Beriibruug mit Metallen leicht spontau krystallisirt, so 
wurden 13.80 gr. desselben unter Wasserabscliluss im tlûssigen Zustande 
in eiuem Glasgefiisse in den Druckcylinder gebracht. Um unter dem 
Druck von 500 kgr, zu krystallisiren, war ins fllissige Benzophenon ein 
Capillari'ohrchen mit einem Krystallsj)litter von Benzophenon im zuge- 
sclimolzenen Ende des Rohrchens gebracht, an dem das flûssige Benzo- 
phenon bei der Drucksteigerung gepresst und so geimpft wurde. In 
dieser Weise wurden fiir Benzophenon die At;-Werte bei zwei verschie- 
denen ïemperaturen bestimmt. Bei 0° konnten die Bestimmungen niclit 
iiber 1100 kgr. ausgedehnt wexden, da bei weiterer Drucksteigerung bei 
drei verschiedenen Yersuchen spontané Krystallisation eintrat. 

Tab. Y. 



/ = 


= 40° 








i = 


:0° 




Peur. 

kgr. 


Av A 2' A 
cbcm. dp 


-X 


10" 


Pcor. 

kgr. 


A. ArA. 
cbcm. à.p 


300 


0.0788 














500 


0.0750 




19 










800 


0.0698 




17 




300 


0.0603 


14 


1100 


0.0672 




9 




500 


0.0560 


14 


1340 


O.0622 




21 




800 


0.051 s 


5 


1640 


0.0584 




13 




1100 


. 0502 




1940 


0.0535 




16 










2240 


0.0500 




12 











UEBER DIE LAOE DEll VOl^lUIEN- UMD ENEllGIEFLïiCIIE^ U. S. W. 115 

Im Mittel betragt ^^^' bei 40° 14 X lO"*^ und bei U° 11 X 10"^ 

Die isothenneii Aenderuiigen von A^' siiid^ ceteris paribus, wie zu erwar- 
teii^ grosse]' als die Aenderungen von Au auf der Sclimelzcurve, und 
nebuieu mit der Temperatur ab. 

Setzt man in erster Annidierung voraus^ dass Ar proportional der 
Drucksteigerung abnimmt, so wiirde A^'bei 40° undungefiilirGOOO kgr. 
und bei 0° und gegen 5700 kgr. durcb den NuUwert gehen. 

Ausserdem wurde noch ein brauclibarer Versuch mit Piperin Sclimelzp. 
128.°4 ausgefiihrt. Das geschmolzene Piperin wurde so in einen Glas- 
cylinder gefuhrt, dass es in einer glasigen Scliiclit an den Wilndeu des 
Ojlinders erstarrte^ worauf das Gefiiss mit Quecksilber gefiillt und in 
den Drackcylinder gebracht wurde. Nach Bestimmang der Kolbenstande 
bei den Drucken der Tab. VI und / = 0° wurde das Piperin bei 
800 — 500 kgr. und 90° 1 Stunde lang im Gebiet seines maximalen 
spontanen Krj^stallisationsvermogeu erlialteu und darauf nach AbkiUi- 
lung auf / = 0° abermals bei den Drucken der Tabelle YI die Kol- 
benstiinde bestimmt. 

Tab. YI. 





^ = 




Pcor. 


Av 


AtAv 


kgr. 


cbcm. 


Ap 


100 


0.0498 


20 


400 


0.0437 


6 


700 


0.0418 


4 


1000 


. 0405 


4 • 


1300 


0.0393 


2 


1600 


0.0388 


1 


1900 


0.0384 


1 


2200 


0.0380 





7. Eictrapolatio7ien. 

Tragt mau senkrecht auf der {p T) Ebene Strecken auf, die propor- 
tional den A^olumen der Gewichtseinheit eines Krystalls und seiner 
Schmelze sind, so gehen durch die Endpunkte dieser Strecken die Volu- 



116 



G. TAMMANN. 



ZOO 



100 



meiifliiclien des Krystalls uncl seiiiev Sclimelze. lu der Sclinittcurve.bei- 
dei- Eliicheu aiidern die Volumenditl'erenzeii \v ihr Yorzeiclien. 

Die Lage der Projection dieser Schnittcurve auf der [p T) Ebene 
kann ans deu gegebeneu Daten fiir Benzophenon aiigeiiahert bestimmt 

werden. Die Coordinaten dieser 
Curve sind : \) p=\ kgr. und 
/ = — 83°(§2), 2)/;=5700 
kgr. und/î = 0°, 3)y) = 6000 
kgr. and / = 40° (§ 6) und 4) 
folgt ans dem Yerlauf der 
Schmelzcurve fiir die Coordi- 
naten des Maximums derselben 
^j= 10000 kgr. und /= 190° 
(§ 3). Die Curve selbst iiber- 
sieht mail auf Tig. 1^ Curve 
ÂB. In alleu Punkten des 
ZustandsfeldeSj die oberhalb 
AB liegen, ist A y positiv und 
in den ûbrigen negativ. 

In diesem Diagramm findet man noch eine audere Curve^ CD, von 
analoger Bedeutung, dieselbe ist die Projection der Schnittcurve der 
Energieflaclien des Krystalls und seiner Sclimelze auf die der (;? 7') Ebene. 
Auf dieser Curve andert die Schmelzwarme ilir Yerzeiclien, oberhalb 
CD ist dasselbe positiv^ unterhalb negativ. Die Temperatur, bei der 
r = wird uuter dem Druck p = \ kgr.^ ergiebt sich aus der 
Schmelzwarme des Benzophenons bei 18°^ 23.4 gr. calorieu, und den 
specifischen Warmen des tliissigen 0.369 und des krystallisirten Benzo- 
23.4 




~p 3,000 kgr. 6000 

Fis. 1. 



/2000 15000 



phenons 0.271 zu. 



238° unter dem Schmelzpunkt, 



0.369—0.271 
also zu — 190°. Da die Schmelzwarme auf der Schraelzcurve sich weni- 

ger andert^ als dem Quotienten -~, entspricht, so ist der Quotient -y-^ 

negativ. Deshalb ist die Curve CI) bei wachseuden Druck zu Iniheren 
ïemperatureu steigend gezeichnet. 

Man ersieht, dass sich die Curven AB und CD, auf deneu \i: = 
und r ^ sind^ im Gebiete positiver Drucke nicht schneiden, und dass 
die Rûckkehr der Schmelzcurve zu kleinen Drucken vom Punkte, in 
dem sie die Curve CD schneidet^ unwahrscheinlich ist. 



UEBER DIE LAGE DER VOLUMEN- UND ENERGIEPLa.(îHE^ U. S. W. 117 

Docli ]iieht in alleu Fiilleii liegeii die Verhaltnisse wie hier. Ans deii 
Uiitei'sucliungen von Carl Barus ') ;un Diabas^ der hauijtsiiclilicli ans 
A agit bestelit^ ergiebt sicli, dass die vSclinielzwai'me desselljen bei / = 
800° durch den Nnllwert geht, wiilivend bei p ^ 1 kgf. bis zu 7'= 
das Yolumen des krjstallisirten Diabases kleiner bleibt als das des 
amorplien. Demnach wiirde in diesem Ealle die Curve^ auf der At' = 
wird, die p Axe bei eiiiem liolien p Wert schueiden und die beiden Cur- 
ven, auf denen Av = und y =; sind^ wiirdeu sich bei einem liohen 
Druck und einer reclit holien Teuiperatur sclineideu. Dieser Schnitt- 
punktj in dem ;• und A" beide gleicli Null sind, kann aber niclit auf 
der Schmelzcurve liegen. In diesem Falle liegeu die A^erhiiltnisse, die 
eine Eiickkehr der Schmelzcurve zu kleineu Drucken erniflglicheu-, giin- 
stiger als beim Benzophenon. 

14 Ocfoùer 1900. 



') Carl BAiius-Bulletin of tlie Geological Survey N 103 p 25—55 1893. 



EINIGE THERMODYNAMISCH ABZULEITENDEN BEZIEHUNGEN 

ZWISCHEN DEN GRÔSSEN, DIE 

DEN PHYSIKALISCHEN ZUSTAND EINER LÔSUNG CHARACTERISIREN 



N. SCHILLER. 



Bezeichuet man fur eine gegebene Temperatur 

durch «7q das specifische Volumeu eines reinen Lôsungsmittels 

unter dem Druck p^, 

„ <T das specifische Yolumeu des obeuerwalmten Lôsungs- 
mittels^ wahrend dasselbe eine Lôsung von einer Con- 
centration Ç unter dem Druck p^ bildet^ 

„ jiQ den Elasticitatscoefficienten des reinen Lôsungsmittels, 

„ y, den Elasticitatscoefficienten der Lôsung, 

„ (i den osmotischen Druck in der Lôsung, wahrend die- 

selbe unter dem Druck des daraus sich entM'ickelnden 
Dampfes sich befindet, 

„ c/j den osmotischen Druck in der durch den ausseren 

Druck P(j -|- ^j zusammengedriickten Lôsung von der- 
selben Concentration t wie oben, 

„ o-j das dem Druck p^ -f- q^ entsprechende specifische 

Volumen des in der Lôsung vorhandenen Lôsungsmittels, 

„ Pfy die Damfspannung des reinen Lôsungsmittels, 

„ /; die durch den osmotischen Druck geanderte Dampf- 

spannung desselben, 

„ t die Concentration der Lôsung, d. h. das A^erhaltniss 

der Menge des gelôsten Stoffes zu der des Lôsungs- 
mittels, 



EINIGE TIIERMODYNAMISCH ABZUL. BEZIEHUNGEN, U. S, VV, 119 

so lasscu sicli folgencle Beziehuiigen feststelleu_, indein mau die Wei'tlie 
von der Grusscuordimiig -^ vemaclilassigt : 






woraus folo-t: 



(T 



i 



worin C eine willkûrliche von ^ unabhangige Constante bezeichnet^ die 
je nacli der Erfalirung beliebig klein und sogar gleich Null ausfallen 
konnte. Dazu kommt: 



^1 — C ^ — S = — ^ (^0 + 'h) (^K 

und 

Po H % ~ + ^0 0^0 + <1 — P) + ^ (7^0 + 'l —P? = 0, 
worin -s„ das entsprecliende specifisclie Volumen des Dampfes bezeichnet. 



Zum Beweis des Obenerwahnten braucht man den nachfolgenden 
isothermischen reversibleu Kreisprocess zu betracliten. 

Mau stelle sich ein cjlindrisches^ an seinen beiden Enden mit beweg- 
liclien Kolbeu verselienes Gefiiss vor; dasselbe sei niittels einer lialb- 
durchdringlicheu, den beiden Kolben parallelen nud unbewegliclien 
Membran in zwei Abtbeilnngen eingetlieilt;die Volumengrossenderletz- 
teren mogen beziehuugsweise mit fQ. und ^'bezeichnet werden. Iu^'q befin- 
det sich ein reines Losungsmittel vom speciiischeu Volumen ît'q; i' enthalt 
dagegen eine Losuug, darinuen das specifische Volumen desselben Lo- 
suugsmittels schon eine audere von der Couceutration ^ abhiingige 
Grosse t' haben moge. Auf jede Flacheneinheit des den Eauminhalt 
Vq abschliesseuden Kolbens wirkt ein unveriinderlicher Druck n -\- pQ, 
der ûberhaupt nicht kleiner als die Spaunkraft pQ des aus dem reinen 
Losungsmittel sich zu bildendeu Dampfes sein darf ; auf jede Flacheu- 



120 N. SCHILLER. 

einlieit des aiidereu Kolbeus miiss claiiu der Dvuck n -j-jh) + 7' wirkeii, 
damit das gauze System in Gleichgewicht gehalten werde; dabei be- 
zeiclinet q die Grosse des betreffeiiden osmotischen Drucks. 

1. Es trete nun eiiie Quantitat dm des Lusuugsmittels aus dem 
Volumenraum v^ in v liinein. Die Arbeit clL^, welclie dabei gegen 
die ausseren Kràfte geleistet wird^ walirend die Grossen ?',, und v uni 
dv,., und do sicli unendlich wenig iiudern^ liisst sich in der Torm aus- 
drùcken : 

dL, = (n +^„) de, + (n +y;o + q) do (l) 

Es ist aber 

dOf^^= d{)i)^^'j^^') und dv ^= d{m<j'), (2) 

wo Mq und m die Mengen des Losungsmittels in den Volumenraumen 
■y,) und V bezeichnen; ausserdem sollen die Bezieliungen besteben: 



— 0-S> ^-0-^) («) 

und 

r/yy/f, -\- dm, = 0. 

Daraus folgt : 

do,= -U,-^;'\-{)d,j>, (4) 

do = (7 -\- m ^ jdm. (5) 

Bezeichnet man durcb a eine unveranderlicb bleibende Menge des 
gelosten Stoffs im Yolumenraum ^',*so wird die Concentration Ç' der 
Lôsung in deraselben Baume durcli den Brucb 

? = - (6) 

m 

bestimmt^ woraus folgt : 



EINIGE ÏHERMODYNAMISCII ABZUL. BIOZIKHUNGEN^ U. S, W. 121 

uutl somit, nacli (5): 



AVOl)ei^ nacli [oj : 

dn' 

Um cleu Wertli vou --zr zu ermittein muss mau davauf Riicksicht 

nehmeii, dass die Menge des gelosten Stoti's im Voluinenraum v immer 
niiveriindert bleibt uud desshalb der Wertli vou q', bei constanter Tem- 
pérature uur vou der Grosse des erwiihuteu Yolumeus abliaugt, uud 
zwar iu der Weise, Avie die Sjiauukraft eiues Gases mit dem Yolumeu 
des letztereu sich iludert. Daruui muss mau schreibeu 



Da alier 



Q 



dq' dq' d v 



ai 

V = VlIT = -y, 

(^o\ ai' mi' 

/'^v\ a 



(10) 



;ii) 



uud 



so ist 



c*y /'f'^'N , /^c^o\^i' 



^-(B+Gîdw—x(^'-^V^ '>^' 



oder, uach (3) : 

f^y' àq jiir 7 , _ ^i'~\ 



^f[-ï("+'')-??]- '^^) 



122 N. SCHILLER. 

Elimiuirt man ^ aus cleii Gleichungen (1-3) uucl (9)^ so erlialt luaii : 

oder, indem man die Glieder von der Grossenordnunff -^ und somit 
aucli das Glied 

(7 






'^ J'I y^ 



vernachlassigt ; 






Ans den Gleichungen (16), (4) und (1) berechnet man schliesslich; 



1 = — (n +iJo) ^o' ^''«^ + (n + p^ + ?') (^^' + ^»' Y^y*' 



^^ 



+ 



:n+.o+.')|(.-?|)(i->|;)-(n+.')(~-r|)!^A^^.(nr 



Um die von n abliiingigeu Glieder vollsttindig von den iibrigen zu 
trennen muss man in (17)' den Werth vou (/ durcli den von q^ und n 
ausdriickenj wobei der AVertli */„ dem auf die Losung ausgeiibten tius- 
seren Druck p^^ entspricht. Werden aber die kleineu Grossen zweiter 
Ordnung, wie friiher, vernachlassigt, so darf gesetzt werden : 

= ïo — ^»^(n + y„)i (IS) 



ausserdem ist auch 

(T ^q' 17 f^^/o cr , (7 (y' (t 

y, ov X c>v' ■/, ^ y,^^' y, y 



EINIGE TlIEllMODYNAMISCH ABZUL, BEZIEHUNGEN, U. S. W. 123 

zu setzen, Infolge des Obenerwahuteu gelit der Ausdrack (17)' iu den 
foltreudeii fiber : 









-(n + .yj(.-.r|)^^-'^"^^/-- (17) 

'èq' 
I)a der Wevth vou ^ im obiffeu Ausdruck iiur auf die Weise vor- 

kommt^ dass derselbe mit eiiier selir kleiueu Grosse - iramer multipli- 

cirt wird, so dûrfte man die eiufachste Zustandsgleichung fiir Gase 
aufnehmen und 

— ^--L = ^;;, - '^i*l = _i = _ ^ 

% ^v y, ^f y. y. 

setzeu. 

Der Uebergang der Meuge dm des Losungsmittels in deii Volumen- 
raum v hat die Verdilimung der Losung um dm und somit die Aende- 

runs: des osmotischen Drucks a' um t^ dm zur Folge. Desslialb muss 
*= ' dm. ° 

cV/' 
aacli der iiussere Druck n -j-;;,, +7' ^im v^ d'/i geundert werdeu, damit 

Om 

das ganze System in Gleicligewicht bleibe. 

3. Die naclifolgende Stufe des betrachteteu Kreisprocesses kommt 
zu 8tande, indem man die halb durclidringliclie Membran durch eine 
feste Wand ersetzt, was oline Auf w and irgend einer Arbeit erreicht 
werden kann. Darauf fiihrt man die Grosse des auf die Losung wirken- 

den iiusseren Drucks von n -{-;;„ -j- q' -[- -^ dm bis auf p herab^ wobei 

p die Spannung des aus der Losung zu bildenden Dampfes bezeichnet. 



124 N. SCHILLER. 

Bei diesem Verfalireii delmt sicli die Elûssigkeit elastiscli aus inid dereii 
specifisclies Yolumen wird allmalig kleiuer^ bis es die Grosse cr" erreiclit. 
Bezeiclmet mau durcli F den iiusseren Druck^ der aiif jede l'iiiclieueiu- 
heit der sicli elastisch ausdelinenden Lusungsinenge m -p dm wirkt, so 
llisst sicli die eutspreclieude gegeu die iiassereii Krafte geleistete Arbeit 
folgenderweise bereclmeu : 

L.,=[m-\-(h»)\Fd7'. (20) 

-\ ' 

dm 
Da imu 

^' = 7 — -(/'— ^>„) iiiid d'7' = — -(]F, (21) 

so liât mail: 

/' 

L^=—{ni+d)»)\FdF 

= ^ [(n + A) + î'P— r] (>/^+^M + ^(n+y;o + ^/) ">'^/'^>'- 

Es ist aber 

beriicksiclitigt man ausserdem die Gl. (16) uud vernaclilassigt mau die 
selir kleineii Grossen zweiter Ordnuiig, so erhidt mau 

-»^ — =-■;/^--- fer — <,-=-]; (23) 

der Ausdruck (22) geht desslialb iu deu folgeudeu ûber: 

+ (n +^^, + y.,) ^ ^« '1^ (^ - ? |)^«'- (24) 



ETNIOE TIIERMODYNAMISCH ABZUL. BEZIEHUNGEN, U. S. W. 125 

3. Wahreucl miii die Liisung noc]i iiiiiner vora reineii Losungsmittel 
isolirt bleibtj lasse uiaii eiiie Menge diii des Losungsmittels ans der 
Losuiig bei coiistanter ïemperatur sich verdampfeu. Die dabei gegen 
die ilussereii Kriifte geleistete Arbeit ergiebt sicli gleicli 

dL.=pdv, (25) 

wovin p die betreffende Dampfspaiinuiig und dv den Yoliunenzuwachs 
der ganzen Menge /// -f- dm bezeichnet. 

Damit inan den Werth von dv durch den von dm. ausdriicken kihinte, 
rauss man den Yerdanipfungsprocess einer Losung etwas eingeliender 
in Betracht zielien. 

Bezeichnet man durch M die Menge des in der Losung sich belinden- 
den Losungsmittels^ durch /z die Menge des aus derLiisung abgedampf- 
ten Losungsmittels^ durch c-" und s die den beiden Mengen M und ,a 
cntsprechenden specifischen Volumina_, so hat man : 

i^ = M <j" + ,a.y , diJ. + d M = , (26) 

woraus folgt, indem man nur den Eall, wo ,a = 0, betrnchtet: 

d,^ = s dy. — ((t" + M -^ ^ dy; (27) 

setzt ïnan aber, wic iriiher : 

^ M' (>M M' 



so erhiilt man: 



l)a aber 



ist, so folgt ; 






sdy, — Q" — c:0dy. (28) 



^" = ^-]-~{p,—p) (29) 






126 N. SCHILLER. 

wo q deii Wertli des dem Druck p entsprecliendeii osmotisclien Drucks 
bezeichnet. Man erhalt weiter auf dieselbe Weise^ wie iii (1-3), indein 
man M = m -j- dm setzt : 



(7 

-(yA,-7^)(^-:^^)Mv. (33) 

uiid schliesslich^ indein man 

(7 àq dp cr cVyo dp 

- V^ T- = - ~- -;, — î ^//vi == (/m 

z do ôq z ('V cqQ 

setzt : 

(IL. ' ^ " - 



?i^3 =7^ *' ( 5" " ^ -^t } ^'^^^''' 



<>^ 



Nachdem die Dampfmenge dy. = dm ans der Losuug sich ausge- 

dp 
schieden hat, andert sich die Damjjfspaunung um die Grosse dp = y- dy; 

um so viel muss aucli der iiussere Druck vergrossert werden^ um das 
System iu Gleichgewicht zu lialten. 

4. Auf der vierten Stufe des betrachteten Kreisjjrocesses wird die 
aus der Losung erlialteue Dampfineuge d/a durcli eine feste Waud von 
der Elûssigkeit abgesclilossen, wodurch der Eiufluss des osmotischen 
Drucks auf die Dampfspannung beseitigt wird ; darauf wird der Dampf 
Solange isothermisch zusammengedriickt^ bis die Spannuug desselben 



MNTGE THERMODYNAMISCH ABZUL. BEZIEHUNGEN^ U. S. W. 127 

von der Grosse p -\- dp bis auf die Grosse ;?„ liiiiaufsteigt^ wobei das 
entsprecheiide specifische Yolninen gleicli ^„ wird. D;i nun angenomraen 
werdeii darf^ dass 

ps=p^,s,,, (35) 

so liisstsicli die eutsprechende Arbeit dL,^ auf folgeiide Weise berechnen: 

dL;^ = d.jn \p ds =Pq s^^ Uj — dm. (3C) 

5. Tu der feruereu rortsetzung des betrachteteu Kreisj^rocesses kommt 
es nun darauf au die nach der erfolgteu Yerdampfuug vou dm. zuriick- 
gebliebeue Losuugsmeuge ui zu dereu Aufaugszustaud zuriickzubriugeu. 
Zu diesem Zwecke wird die Losuug solauge elastiscii zusammeugedriickt 

bis der eutspreclieude iiussere Druck von seiner Grosse ;; -1- .— du. bis 

auf die frùhere Grosse H -|- ^v^ -|- ([ hinaufsteigt. Die dabei gegeu die 
iiusseren Kriifte geleistete Arbeit ergiebt sicli gleich 

F=:n + p„ + r/' 



L-=mJF.d^' (37) 

--F=p + l^<J, 
\vo F aus der Gleichung 

zu berechnen ist. Man erhiilt auf dièse Weise : 

= ^^ \_ir—[n +p, + /)^] m + ^ mp£^ dy. (38) 

Bezeiclmet man durch q den dem Druck p und dem specifischen 
Volumeu t" entsprecheuden osmotischen Druck, so ist 

dp^dp^^dj_^_dpdq^dp^dq 
à y. dq dfx dq dm àq m f>^' 



128 N. SCHILLER. 

woriu (hn deu Zuwaclis des Losuugsmittels in der LcJsung bezeiclinet. 
Da nuu nacli (31) : 

und da 

crcVy 7cVy„ fr"_7 1 cV"_U<V 

y,ov y, pv y, z z c'^ z ('v, 

gesetzt werdeii darf^ so erhiilt mau scliliesslicli : 

indem man dy. durch dm ersetzt. 

6. Es kommt nun die secliste Stufe des fortschreitenden Kreispro- 
cesses vor. Die schou bis zur Maximalspauuung zusauimengedriickte 
Dampfmenge wird nun unter dem Drucke p^^ weiler zur Flûssigkeit 
zusammengedrûckt. Die gegen deu Druck p^^ geleistet e Arbeit ergiebt 
si cil gleicli : 

dL^ = —A ('^0— ^o). (4^) 

wo .^0 das specifisclie Yolumen des Dampfes ûber dem reinen Lusungs- 
mittel bezeichnet. 



7. Die erhaltene Menge dm des iiiissigen Losungsmittels wird immer 
weiter bis auf dessen frilheres specifisches Yolumen o-,,' elastiscli zusam- 
mengedrilckt. Der ilussere Druck steigt dabei von />»„ bis auf H -\- p^f 
hinauf, und die gegen denselben geleistete Arbeit ergiebt sicli gleicli : 

dL,=^[p,'--{n+p,r]dm. (43) 

Somit schliesst sicli der betraehtete Kreisprocess, weil aile Theile des 
Systems zu ilirem Anfangszustand zurilckgefilhrt worden sind. 



Da dem zweiten thermodynamisclien Hauptgesetze gemiiss 
dL^ + Zo + d/.. + dL, + L. + dLf, + d/., = 



EINTGE TIIERMODYNAMISCH ABZIIL. BEZIEHUNGEN, tî. S. W. 129 

soin muss, so erlinit mau^ indem iiiau die Ausdrilcke (17), (24), (34), 
{•Mi), (41), (1.2) uiid (43) beimtzt: 

-(n+/>o)(.o-^;;)-(n+,j(.-:|)^4^ 
+ [n+.o+.o][(.-:J)(i-^.4)-(n + ,.)(^-:^)] 



oder 



(n + A.) (^0 - ^ n) - (n + ./,,) Q - ? |) ^ «^^ ^ 



.^<r 



c>" . 



+ (n+/.o + ^7o)[^-?|-(n+7o)(^-:^')" 



+ f [(n + A. + vo)^ -7>^] + .V "- [/Ar - (n +;a,)-] +p^ 



Dillereiizirt man die obio'e Gleichunçï (45) nacli n, so ei'hiilt man: 



"Ê^-h<:-^è]+(-4)O-r''^:0-- 



^'- 



+ ^ (/^ + ^yo)-(y^ + H.) (;^ - : ;0 = <», 



(46) 



ARCHIVES NEERLANDAISES, SERIE II. TOME V. 



130 N. SCHILLER. 

uiid nacli iioclimalio-ein Diffevenzireri: 



,>^ 



woraus folgt: 

^ = '^+Crs (48) 

wo C eine voii ^ unabhriugige willkiirliclie Constante bezeiclniet^ die 
je uacli der Erfalming beliebig klein oder sogar glcicli Nnll ausfallen 
kiinnte. 

Infolge der Gleichuug (47) geht der Ausdruck (46) in deu folgendeu 
liber : 

Fiihrt man in die obige Gleidmng dasjenige speciiiscbe Yolumeu 
des L()sungsmittels cr, ein, welches dem iiusseren Drucke /j,, -|- */, ent- 
spricbt^ so muss man 

'y = <y,-V\ci, (50) 

setzen; alsdann erhalt man: 
oder da, wie in (13)^ 



ist nnd da 



;c ^v % ^v' y. x' y y 



gesetzt werden darf, so bat man^ iu dem man (47) beriicksicbtigt: 



EINIGE THKRMODYNAMISCH ABZUL. BEZIEHIJNGEN^ U. S. W. 131 

dem gemiiss liisst sich die GleicJiuug (19) in die folgende verwandelu: 






' ^'> = ^^^" + ^'<ê„-0 (^^) 



oder, nacli (48) : 



■,-:^-^o=-0^o+?,)iCs-. (55) 



Witre imn die Bezieliuiig zwisclien dem osraotischen Dnick und dem 
von dev Ltisung eingenomraenen Yolnmen bekannt^ so konnte man die 
Gleiclumgen (Ô5) oder (49) integriren uud somit die Abliiingigkeit des 
specitisclien Volumen von der Concentration ermitteln. Da aber ^, in 
dei" Gleichung (45) mit C't '- multiplicirt wird^ dessen Grosse fur aile 

Wertlie von ^ mindestens von der Ordnung - ist^ wie es ans der Glei- 

chmig (48) einleuchtet^ so darf man eine angeniiherte l^orm der Zustands- 
gleichung auf den vorliegenden Eall anwenden und 

'hlL=consf. = Q (56) 

setzen. Da nun i'iir den Fall C = U mau aus (55) 

^,=^0(1+^0 (•j7) 

bereclmet, wobei a, willkiirlich bleibt, so kann man devselben Gleichung 
(55) in allu'emeiiuTem Falle mit dem Intégral 



^1 



=^(1+^.:)+.. (58) 



geniigen, worin ./■ fiir aile Werthe von ^ eine Griisse von der Ordnung 
r/^'^ darstellt. Yernaclilassigt man die Grossen von der Ordnung 
.vCs^--, ,r- u. s. w., so kann man aus (55) die folgende Gleicliuug 
erlialten : 

woraus folgt : 



132 



und soinit 



■=Cl 



N. SCHILLER. 



â 1 



(60) 



^,=^,(i+^:) + c:r-7;„ç-^+-,-i-ar^.^^v/^^:] (ei 



Fiilirt mnn wieder 



I ""i 



ein, so erlialt mau 



^ = ^o(î +^'C) + 



(^ 



-^ c 



Ji.) 1 + ^'Ç 



f62l 



l^ùlirt mail seliliesslicli die Grosse t' ein^ die einem iiusseren IJruck P 
entspriclit und setzt maii : 






[(>^) 



SO erhalt mau 



7' = 7 ^{F-p,)-C:^{P-p,^ 



L7y \i -\-x(, Yx y 



(64) 



Es bleibt uuu nocli die Gleichung (45) in Betracht zu zielieu. Die- 
selbe lilsst sicli folgeudermassen transformiren, iudeiu mau die Bezie- 
liungeu (47) und (4!)) beaclitet uud iufolge derselbeu die iu (45) mit TI 
uud n- multiph'cii'teu Glieder gleich Null setzt : 



EINIGE THERMODYNAMISCH ABZUL. BE/.IEHUNGEN^ U. S. VV. 138 

— y\) ^0 + 'h ^(. + 1~ (/A) + ^l^— i~po — Vo ( ov + ^ ) 



+ ^ i/'o-\-'h)?—p~ 



-2J.S 



—p ^ih —i^ (or + o7 ) + /'" '^'o ^^ f ~^^' ("'o ~ ^o) = ^ ^ ('^•■ 

daraiis erhiilt iiiaii : 






(66) 



Nuii koinint es darauf an deii Werth von y^ durcli den von ^y aus- 
zudrûcken. Da aber die beideu erwiilmten Wertlie bezieliungsweise àen 
auf die Losnng wirkenden ausseren Druckkrilften y;,, nnd p entsprechen^ 
so liisst sicli y„ als eine Punction von ;; -|- (/;„ — p) betrachten. Dem- 
zufoliîe hat inau 



wobei die Concentration ^' als constant betraclitet wird ; da aber 



(67) 






cV 



///, IllUl 



so erlralt inan 



%='!— J^">■-\lh)~-li)■ 



m 



l'iihrt man diesen Werth in die Gleicliung (66) eiu^ und vernachlassigt 
man die kleinen Grossen zweiter Ordnuug, so erhalt man 

( ^\^ + V —p) ^0 + i-'- { Pu + '/ —p) + po ^^ h^ = ^, (69) 

~^o Po 



l;3i N. SCHILLER. 

iniabluiiigig von 7 uncl folglicli uiialjliiingig voii Bezielmiigeu, die 
zwischeu q uud (j bestelieu koiinten. 



Um eine bessere Einsiclit iu die vou der Gieichuug (69) dargestellte 
Beziehung zu gewinnen, betraclite raan deii folgenden Tall. 

Es sie ein tlierraod3aiainisclies System gegeben, das ans einer Elûssig- 
keit uud dereu gesattigteuDauipf zusamineugestelltwird; iiussere Krafte_, 
die das System iu Gleicligewiclit lialteu solleu, seieu folgeude: ein auf 
die Oberfiache des Dampfes wirkeuder Druck j>;, eiu auf die Treunungs- 
oberflaclie wirkeuder Druck q uud ein nebeu den beiden ersteren notli- 
wendiger Druck p -\- q, der auf die Oberfiache der Elûssigkeit wirkt. 
Der Druck q sei nach innen in die Elûssigkeit gerichtet. 

Bezeichuet mau beziehuugsweise durch i\ uud v., die vou der Fliissig- 
keit uud dereu Dampf eiugeuommeueu Volumeuraume, so ergiebt sich 
die Arbeit^ die gegen die iiussereu Krafte bei uuendlicli kleiueu Aeude- 
ruugeu (h\ uud dv^ geleistet wird^ gleicli 

dL = {p-\-q)dv,-^pdc,, (70) 

oder^ indem mau die Bediuguug dp^ -\- do.^ = dv beachtet: 

dL=pdc~\-qdi\. (71) 

AVill ma-u y als eiue uuîibliiiugige Variable betracliteu, so muss mau 

setzen^ uud demzufolgc erbidt mau : 

.//. = (y> + y^)./.+y^./y, (78) 

wobeij nach dcm zweiten thermodynamischen I[auj)tsatz^ 

sein musS; d. h. : 

T^ = -f- (75) 

oq dv 



BINIGE THERMODYNAMISCir AUZUL. BTCZIEHUNGEN, TT. S. W. l.'3ô 

13ezeiclmet man diircli t uud *• die specifisclieii Voluiniua der Eliis- 
sigkeit und dereu gesuttigten Dainpfes, so bestelit bekaniitlicli die Be- 
zieliung 

1 = cotm., t\ -\- 1\, = V , 

cr s 

worauSj bei coiistanter Teinperatur uud bei dq = 0, l'olgt: 

àiJj (7 

^v s — (t' 

uud^ uach (75): 

Cq S 13" 

Bezeichnet mau durch p^^, 6-^ uud o-,, diejenigeu Werthe, welclie /j, v 
uud (7 fur deu Eall ^ = annelimen, so darf mau 

P^=Po-h (77) 

setzen; ist ausserdeui die betrett'eude Eliissigkeit elastiscli zusamuieu- 
driickbar, so muss 

seiu^ woriu z^^ deu euts])reclieudeu Elasticitiitscoefficieuteu bezcicliuet. 
Setzt mau die aus deu Gleichuugeu (77) uud (78) bestimmlen Werthe 
vou * und 7 iu die Gleicliuug (70) eiu, so liisst sich die letztere iutegii- 
reu uud mau erhtilt alsdauu : 

(ieht al)ci' die Tlichtuug des Drucks y iu deu Dampf hiueiu^ so muss 
uiau in der obigeu Gleichuug (79) q durch — q ersetzen, uud mau 
erhiilt : 

Pi) *o ^!J - + ^0 (/A. + '1 —[') + ,,.- ( Ao + '1 -^py- = 0; (80) 
d. 11. die Gleichuug (<i*J). 



136 N. SCHILLETl. 

Daraus diirfte mau aber niclit etwa scliliessen^ dass die Beziehung (78) 
aucli die Aenderang des specifischen Yolumens eines Losuiigsmittels 
durcli den dariu gelossten Stoff ausdriickeu miisste. Die Identitat der 
Gleicliungeu (80) und (69) weist nur darauf liiii^ dass die Dampfspau- 
nung eiues Losuiigsmittels auf dieselbe Weise durcli deu gelosteii Stotf 
geandert wird^ wie die DamjDfspanuung eiuev diircli eiuen iiegativen 
Druck elastiscli deforniirten Pliissigkeit; was aber die Frage betrifft, 
auf welche Weise die Diclitigkeit des Losuiigsmittels dabei sicb andeTt, 
so lasst die envalmte Ideutitiit die Autwort darauf beliebio- ausfalleu. 



Dui'cli eiiie passende Abauderuug des vorlier betrachteteu Kreispro- 
. cesses kaiiu mau die Spauuuug der aus eiuer Lcisuug sicli eutwickeludeu 
Dampfes aucli fur deu Fall ermittelii^ wo ausser dem osmotisclien Drucke 
eiue iiussere Druckkraft auf die TrenuuugsoberHiiclie der Elûssigkeit 
wirkt. 

lu seineiu ersteu Stadium vevlaufe der ueue Kreisprocess auf dieselbe 
Weise^ wie der vorige. Die eutspreclieude Arbeit dlJ^ wird alsdanu 
durcli deu Ausdruck (17) gegebeu. 

Das zweite Stadium lasse mau^ iu Vergleicli mit dem des vorigeu 
Processes, dadurcli abgeiiudert werdeu, dass- mau die yoiu Raume Vq 
abgesouderte Losuug allmahlig uuter der Wirkiug eines Drucks /J -f- tî" 
herabfiihrt. Die entsprecheude Arbeit der elastisclieu Kriifte lasst sich 
dabei folgendermasseu ausdriickeu : 

L, = 1;^ [(n -tp, -I- q,f — {tt +pY^ [m + .A//) 

+ (n +7^0 + .yj { ^» ^(^-n^)^^^''- (81) 

Wabreud nuu weiter eiue Dampfmeuge d'/. = dm aus der Losuug 
verdarapft, lasse mau deu Druck - uur auf die Trenuuugsobertlacbe der 
PHissigkeit M'irkeu. Die eutsprecbeude Arbeit ergiebt sich gleicb 

dL,=pd{[j.,) + {77 +7>) diUT"), (82) 

wobei 

7" = ^ + ^(y,^ _;-_^4r/,v. + du = 0, (83) 



EINIGE ÏHERMODYNAMISCH ABZUL. BEZIEHUNCEN, U. S. W. 187 

sein inuss; dnraus folgt : 



llLn^ 



p , diM - (^ + 1) (^"-: ^) dij., (84) 

und inaii erhalt auf ahnliche Weise, wie iui Falle (81) : 

Eiir das vierte Stadium erlitilt man wie fridier: 

dL^ = p^s^lg^. (86) 

Pq 

Tm fiinften Stadiuin des Kreisprocesses wird die ûbriggebliebene 

Menge n/. des fliissigen Losungsmittels sammt gelustem Stoff vom Drucke 

àp 
'^ -\- p -\- Y- dy. zLim Drucke Y\ -\- p^^ -{- q herabgefuhi't. Die entspre- 

clieude Arbeit ergiebt sich gleich 

^5 = f [( /^ + ^)— (n +^^ + vT] >>'- 

Die sechste uud die siebente Stufe des betrachteten Processes bleiben 
dieselben, wie ira friiheren Falle. 

Setzt man die Summe der Werthe der auf jeder Stufe des obigen 
Kreisprocesses geleisteteii Arbeit gleich Null, und ditfereuzirt man die 
crhaltene Gleichung zweinial nach n, so erhiilt man dieselben Glei- 
cliungen (47) und (49), wie fridier^ das lieisst: 

?^ 
T y y- 7 

"5 ^ 






jc K 2% ' 2%„ 



138 N, SCHILLER. 

Sel/i mail in der erwillmteii Arbeitssuinme n = i), iiiul hcnicksich- 
tigt mail, (lass ebeuso, wie im Ealle (18) 

(h ='I—~f^ '^{Po—^—p)^ (88) 

so erhïilt inaii leicht : 

{p. + ^1-^-pk + f- {Po + 7-^-/^)- + Po -s-o //7 ^ = <». m 

Wird der aussere Druck tt so g(!\v;ililt, dass tt = f/ ist, so luuss j»; =j\t 
werdeu ohne aber die Gleichheit von a-" und Tq zur Tolge zu haben. 

Es ist auch zu bemerkeu, dass die Porm des Zusaminenhangs zwischeii 
// und V keinen Einfluss auf die erhaltenen Eesultate (89) oder (69) hat. 
Darans folgt, dass aile Bemûhungen, die ei'wahnteEorin ausdein Abrech- 
nen iilmlicher isotlierinischer Kreisprocesse wie oben zu ermitteln, als 
fruclitlos zu betracliten sind. 



Man kann nocli zu einigen weiteren Beziehungen zwisclieii deii den 
Zustand einer Losuug cliaracterisirenden Grdssen koinmen, iiidein man 
die Warinemengen ermit.telt, die auf jeder Stufe der vorlierbetrachteten 
Kreisprocesse dem System zugefûhrt werdeu miissen, damit die Teinpe- 
ratur derselbeu unveranderlich bleibe, 

Um die betreff'endeu Berechnungen einleuchtender zu maclien hat 
man zuerst Folgeudes zu beacliteu. 

Wird eine gegen aussere Krafte auf reversiblem Wege geleistete 
Arbeit in der Eorm ausgedriickt : 

(IL = Pdm + KdÔ, (90) 

worin dô die Aenderung der absoluteii Temperatur ô be/A'i<'liiiet, so 
liisst sicli die dabei dem System zugeiïihrte Wilrmemciige tlQ folgender- 
weise darstellen : 

dQ = Cdô -{- âdm, (91) 

wobei, falls dQ, in mechanisclien Einlieiten ausgedriickt werdeu soll : 

, ,/dF f>A\ dC J AU^ f>Â\ 



EINIGE THERJ[ODYNA:\riSOH AB/.IJL. BEZIEHUNGEN, U. S. W. 139 

Xiiii wolleii wir den letzteu Kreisprocess, als eiiieu allgemeiiiereu 
Fall^ iu Betraclit ziehen. Dabei wird es uns uur darauf ankomraen die 
Ausdriïcke fur h zu finderij da die Temperatur immer constant bleiben 
soll. 

Fiiugt nian mit dem ersten Stadiumdes Kreisprocesses au, so hat inan 

cV'\ 

(Uj. ^ — (n4-yvn)cr,/^////4-(n4-yA, + 7')( cr' + /y/ ,- ) ////. 



= — (n+/vo)^(.''^^'''+(n+j'A.+'7')(^'+^>''^;J 



f^a"'n / , V , fV 



+ [^^'0 ^ (n -f -/A,) + y>^ '}^ (n +yA, + v')] >^'^ , m 

woraus folgt : 



wobei n so abgeiiudert wei'deu kauu, dass n -f-;^ iuiuier constant bleibe. 
Weiter erg'iebt sicli : 

_ = _„«. (n + ,„) + _ (n +,„ + ,/) + » ^,^ - (n + ,„ + ,, ) 

Ist die Bezielmng zwihclieu (/ und v iu der l'ovm gegeben : 

4) (,/^ r) = R /) r/. //.. 4) [q\ rm) = m, (!> 7) 

so eriijiebt sicb : 



dq' _ ^45 _ ^ V\ 1_ 

dq 
àq ^^ f ' _X_ ^^\ A. 



(US) 



140 N. SCHILLER. 

iiifolge dessen der Ausdruck (96) in den folgeiiden ilbprgeht 






(99) 



'(i 



oder nacli (16), (L7) uiid (49) : 

"■=|[(-ï|)o->i:)-("+'/)(-:-^^'l)] 



CD 






(h 
Um deu Werth voii — - durch r/,, auszudnicken verfahrt mau auf iihn- 



liche Weise, Avie iin Falle (18), luid man setzt 






^ ^ •''/ ='/u 







c>^' 



f>^^2 ^,, ^^' ^ (n + ^y) 



(n + ^yj, 



'y =(h 



oder eiiifach ; 



10 r 



da es leicht zu erseheii ist, dass der M^ertli voii 



Y. Clj~ 



als eiiie CJnisse vou der .Ordnuiig ~^- sich ergiebt. Infolge des (101) 
verwaiulelt sich (100) in 



T:INIGE TllEinlODYNAMrsCH ABZUL. BEZIEHUNGEN, U. S. \V. 141 



^?0 



'^h 



T\ + .l,)^,-m~f. (102) 



Der Wertli voii //, stellt bckaniitlich die Grosse (1er sogeiiannteu 
Vei'diinimiigsM^arine dar. Veniachliissigt man die elastischeii Eigen- 
schafteii der Eliissigkeit ii.dein maii x = ;c„ = X) setzt und niinuit man 
fur stark verduiiiite Losuiigeu *2) = ly,, v an^ so erh;ilt man ganz eiufach: 

^A ird nun die Liisung im zweiten Stadium des Processes durch die 
Druckkraft F elastisch deforrairt, so ergiebt sich die dem zuwachs r/s-, 
entsprecliende Arbeit gleich : 

(IL, = Fch' {m + dm), ( 103) 

woraus folgt: 

dF 

//, = {m -f dm) —, da 1.'= ist, (104) 

und die der ganzeu Aenderung eutsprechende latente Wrirme ergiebt 
sich gleicli 



f ^F , 

kl, = {m + dm) lO-w; rh • (105) 



Da aber 



1'=-^ + Po + 'l + Vu''"'- 



^' = ^—''-{F—p,) + ^i2{ù — ù,) (106) 



gesetzt werden darf, wo /3 den Wiirmeausdehnungscoeiïicienten bezeicli- 
net und a schon als unabhiingig von Û zu betrachten ist^ bat man fiir 
d^' = : 

und ausserdem^ fiir dù = : 

drr' = — ^ dF; (108) 



142 

demzufolffe erhiilt rnau 



N. SCHIT.LKK. 



a, = - {m + ^^'^) [^ ^ ^ f{J'~Pn) dF-^ô(j2.+ '- '^ )/'/^'] 



+ ^[j|(n + v') + ^. + ^t}] 

(1:1 aber iiuch (23) 

rr dq fj dq / ^^fj^ 



h' ; 

w T— dm; 
cm 



;io9) 



gesetzt werden darf^ so erhiilt maii : 






+ ^ 






:n + ^yo) + /3^ + 



\ 



K àÙ J d 



.d7 



Im, (110) 



wobei die Gi'osseu von der Ordiiuug - veriiachliiss^igt werden. 

Die dem dritten Stadiuin ents])recliencle Arbeit liisst sich nach (S2] 
auf folgende Weise darstellen : 

(Uj^^ =jjd [;j^.s) -f ( ^; -f ;j-) d (M 7") 






,lu. 



:iii) 



woraus folii-t : 



EINIGE THERMODYNAMISOH ABZUL. BEZIEHUNGEN, U. S. VV. 143 

5;; =^Jâ^ - (;' + '^) -5^ + ,-i^ (^/^ ^ + M -^J) + ,v. j^^ 
+ ('' + '^)'^£' 

uiul fi'ir (len Eall, wo [j. = ist : 

/,^ = ô ^7 ( ,^ — 7 —Mr— )~ Ô -^ ^M ^, (118 



wo q dera Drucke p -^ "tt eiitspriclit. Es ist aber 






und man hat uach (31 



desslialb gelit die Gleiclmng (113) iii die folgende liber: 

(^(5 \àù dû dq dvj\ ' Ky 



Filr das vierte Stadium liât man : 

flQ.^ = /J(j .^0 Ig — dm, (1 1 ï^) 

Eiir das fiinfte Stadium bereclmet inan auf dieselbe Weise wie fiir 
das zweite: 



144 



N. SCHILLER. 



Q. = tri \Ù— (h 












dabei ist zu beacliten, dass 



da 









Fur das secliste Stadium ergiebt sich leicht: 

und schliesslich hat man fur das siebente Stadium : 

f ^^' , 

dil- = dii) \() -y, '^'^ {), 

^'o = ^0 — - i^'—P.) + /3o ^0 ^.^ — ^o)- 



;]i7) 



;ii8) 



(119) 



wobei 



120) 



;i2i) 



Demzufolge ergiebt sich : 

^0 '\ 1 rr> 



dUy 



=-4£:^?."^+'<'-»+£:lO]*'- (^-) 



EINIGE THERMODYNAMISCH ABZUL. BEZIEHUNGEN, tJ. S, W. 145 

Nach dein zweiteii thei-modynamischen Hauptsatz miiss die Summe 
//i dm + Q. + /^,, dm + dQ, + Q^ + /^c (^»>' + ^-^Q? 

gleicli Null werdeii. Auf dièse Weise erhiilt man, indem man M = m 
uiid dfz = dm. setzt : 



I [.,+(..+.,)(!:;-£)- "G^+è 



!n+î„).„|f«-^ 



'îo 






(7n ^%n 1 






= 0. 



Differeuzirt man die obige Gleicliung uacli n, so erlitilt mau : 



(138) 



^^0 



+^?^-^(-^i)-^5;i"-^(^-»+::t)=°-(^^^': 



7 f>Z c\/„ 

Das noclimalige Differenziren ergiebt : 



(7 C>x (Tq C>Ko 



oder bis auf die Gvossen zweiter Ordnuiig: 



àùKzJ dô\z,J 



(135; 



:i25') 



Benutzt man scbliesslich die Gleichungen (124) und (135) so kann 
inan die Gleichung (133) folgendenveise transformiren : 

ARCHIVES NKEULANDAISES, SERIE II. TOME V. 10 



146 



N. SCHILLER. 



Wollte mau r/,, diircli q ersetzen, so milsste man, wie im Palle(lOl), 
die Beziehuiig 

benutzen nnd ausserdem 

^ = '^, /3.7 = /3.7o u.s.w. 

setzen. 

Um Gleichuiig (126) uocli weiter zu vereinfachen, differenzire man 
zuerst die Gleiclmng (89) iiacli ù iind das erhaltene Résultat raultiplicire 
man mit ù ; es ergiebt sicli alsdann 






+^[4 



ù " àè J 






(128) 



Zieht man die Gleichring (128) von der Gleiclinng (12(i) ab nnd be- 
rncksichtigt man (127)^, so erhalt man^ iiidem mau u" — ^ tt aul die- 
selbe Weise wie in (85) aiisdrii(;kt : 



EINIGE THERMODYNAMISCH ABZUL. BEZIEHUNGEN, U. S. W. 147 







Es ergiebt sicli abev ans cler Cileicluiiig (97) : 



(130) 



iiiid-, nach (11 7) ^ erliiilt nian ans (180): 

ausserdem darf nian in dcm mit - multiplicirten Gliedern devGl. (129) 

Cp = qv setzen. Auf dièse Weise liisst sicli die Gl. (129) in die folgende 
Form bringen : 

Neben der letzten Gleichung bestelit noch die Gleichung (124), die 
infolge (12.")) und bei Cp = qr in die folgende ûbergebt: 

Kieio, September 1900. 

10* 



LlBEn DIE SCIIWINGUNGSAMPLITUDE DEU ELEKTRONEN 



W. KAUFMANN. 



1). Betrachtet man die Schwiugungeii eines leuclitenden Molekûls ge- 
miiss der vou Herrri H. A. Lokentz ') zuerst angegebenen Anscliauungs- 
weise als hervorgebracht durcli die Bewegungeu der mit Elektricitut gela- 
denen materiellen Atome, so fiilirt die quantitative Untersucliung des 
ZEEMAN'schen ^) Phanomens zuder notwendigen Consequenz, dass ausser 
deu gewohnlicheii, sogenauuteu chemisclien, Atomen nocli kleinere, stets 
uegativ geladene Teilchen vorhandeu sein miissen, dereu Masse nur 

etwa derjeniffen des //-Atoms betnigt. Einen naliezu identisclieu 

1700 •' ^ 

Wert erhielt Verfasser ^) bei Untersuchmig der Katliodenstralilen. 

Piir das Eolgende werde der vou Hemi S. Simon '') bestimmte Wert 

-^ = lyS65.10' zu Grunde gelegt (f = Ladung, m = Masse eines 
m 

Teilchens). 

Es soll uun im Eolgenden versucht werdeu, deu Wert der Scliwiu- 

gungsamplitude dieser Teilchen der sogenannteu „lUe]ctronen'' zu be- 

rechnen; u. zw., wie gleicli hier bemerkt werden soll, einen oberen 

Grenzwert. 



') H. A. LoRENTZ, Leiden 1895. 
') P. Zkeman, Phil. Mag. 1897 Sept. p. 255. 
') W. Kaufmann, Wied. Ann. 62, p. 59(3; 1897. 
") S. Simon, Wied. Ann. 6Î), p. 611; 1899. 



ilBEK DIE SCHWINGUNGSAMPLITUDE DER ELEKTRONEN. 149 

2). Es sei m die Masse eiiics Elektrons. 

n die Zalil der in einem Atome vorliandenen schwingeuden 

Elektronen. 
iV die Zalil der Atome iu eiiiein Grammilquivalent. 
ç die Sclnviiigungsainplitude eines Elettroiis. 
r die Sclnvinguugszeit. 

Nimmt niau die Scliwinguiigen als kreisformig an^ so ist die Ge- 

2 TTp 

^cliwiudio-keit — -^luid die kinetische Energie eines eiuzehien Elektrons: 



se 



s^ 



4 9r-|û^ 111 '•iTr'^p^m 

Die kinetische Energie siimtliclier Elektronen in einem Grammaqui- 
valeut ist demnacli : 

nnn ist 

(3) — =lyS65.10S 

m 

ferner, wenn s' die Ladung und 3Ih die Masse eines //-Atoms be- 
deutet : 

(4) . ^ = 9650. 

Setzt man^ wie ja meist gescliieht, s = s', so ist 

Es ist also : 

m N=AfHN.rj, 19. IQ-'' 

undj da MhjS^, d. i. die Gesamtmasse eines Grammaquivalents Wasser- 
stotl', gleich 1 : 

(6) m iY= 0,19.10-^ 

sodass : 



150 W. KAU1''MANN. 

und: 

(8) ?'- 



37r2/^5,19.10-4 



Bezeichnct man mit C^ die specifische Wiirme bei constantem Volu- 
men^ mit [j^ das Molekulargewiclit eines einatomigeii Gases^ z. B. des 
iVrt-Dampfes, so ist Cy [j. = ?>g-Cal ^) = 1,26 .10" Absol. Einh. 

Ist T die absolute Temperatur^ so ist die Energie eines Grammilqui- 
valents: 

(9) K^ = TC,iy.= \,^.QA{)\T. 

Dièse Energie bestelit zum weitaus grëssten Teil in fortschreitender 
Bewegung der Molekiile, sodass die Energie der Schwinguiigen der 
Elektronen jedenfalls klciiier ist als 7v'y. Bezeichnet a, eincn uchten 
Bruclij so ist demnach : 

(10) K=o'.K^ = x.\.'2Q.l{)\T. 

Die Scliwingaiigszeit r des Licliies der 7>Liuien ist : 

(11) T=1,9G.10-'^M-. 
sodass wir erlialten: 



(1,) Ji/.. A/ \,'i&-.w-^>.\,te, 



,10« 

4 



2,18.10- 



setzen wir 7'= 2000" der nngefiiliren Temperatnr des Bunseiibrenners, 
so wii'd : 



(13) ,^ = 9,70. 10 -'^j/ 



oder angenidiert : 



') F. RiciiARz, Yerlidl. D. pliys. Ges. 1. p. 17; 180'.). 



iiUEll DIE SCHWINGUNOSAMPLITUDE DEK ELEKTllONEN. 151 



y 11 



Hierbei ist x<^\, u^\; folglicli —<^\, sodass wir aucli scbreibeu 
kouuen : 
(M) p<10-Sm. 

Wabrscbeiulich is ç von dieser obereii Greiizc sebr weit entfernt, da 
ja ans dein Werte des Verbiiltnisses C,,\C^, der specifiscbeii Warmeii fiir 
ciiiatomige Gase folgt, dass x sebr klein sein muss. Da der sogenannte 
liadius der Wirkungss])bai'e eiiies GasinolekiUs von der Ordnung 10 ~''^ 
istj so folgt ans obigem Résultat jedeufalls^ dass die Scbvvingungsweite 
(k'r Elektrouen viel kleiner ist als der Molekubirradius. 

GUtthtgeii, Oktober 1900. 



ETUDE EXPERIMENTALE SUR LE RESONATEUR DE HERTZ 



A. TUUPAIN. 



Le circuit métallique en forme de cerceau qui constitue le résonateur 
électrique de Heutz est sans contredit Tinvention la plus ])ersonnelle et 
la plus originale de toute l'oeuvre expérimentale du physicien de Bonn. 
Par quel mécanisme un excitateur en activité agit-il sur un résona- 
teur placé dans son voisinage? Pourquoi une étincelle tantôt vive, tan- 
tôt faible et presqu 'imperceptible se manifeste t'elle au micromètre du 
résonateur? En un mot, quelle distribution électrique s'étage le long du 
fil qui forme le résonateur? 

Pour qu'un résonateur disposé dans un champ liertzien concentré par 

deux fils parallèles é^n'ouve des alterna- 
tives de fonctionnement et d'extinction, 
il faut donner à l'appareil soit un mou- 
vement de translation en maintenant le 
plan du résonateur perpendiculaire au 
plan des fils de concentration, soit un 
mouvement de rotation dans son plan, 
mouvement qui fait décrire au micromè- 
tre la circonférence même du résonateur. 
Les diverses théories de la résonance 
électrique s'accordent à reconnaître un 
noeud d'ondes stationuaires électriques à 
chacune des extrémités en regard du résonateur constituant les deux pôles 
de son micromètre, et elles indiquent comme siège d'un ventre de ces ondes 
la région du résonateur diamétralement opposée au micromètre (fig. 1). 




Fie. 1. 



ETUDE EXPERIMENTALE SUR LE RESONATEUR DE HERTZ. 



153 



Cette division du résonateur hertzien en deux concaménitions succes- 
sives est en accord avec la loi expérimentale suivante qui rend compte 
de l'observation du mouvement de translation donné au résonateur: „La 
longueur cVonde des oscillations électrh[ues (pu excitent un résonateur 
jUifornie donné est égale, (abstraction faite de la perturbation micro- 
métrique) au double de la longue^ir du résonateur^ ') 

Comment cette distribution s'accorde t'elle avec les phénomènes que 
présente un résonateur qui^ placé dans une section ventrale du champ, 
est animé d'un mouvement de rotation de 360° dans son plan? 

On constate pendant ce mouvement de rotation la production au 
micromètre de deux: étincelles de longueur maximum. Ces étincelles se 
produisent lorsque le micromètre est à l'une ou l'autre extrémité du dia- 
mètre du résonateur j^erpcndicu- 
laire au plan des fils de concen- 
tration. Entre les positions de ces 
maxima s'observent deux posi- 
tions pour lesquelles une extinc- 
tion à peu près complète se pro- „ 
duit au micromètre. Ces positions /n/n"!" 
sont aux extrémités du diamètre 
du résonateur contenu dans le 
plan des fils de concentration. 

Le diamètre correspondant aux 
azimuts de maximum d'étincelles 
est donc en croix avec le diamètre 
qui correspond aux azimuts d'extinction, ainsi que l'indique la figu-re 2. 

Ces phénomènes semblent assez difficiles à interpréter en admettant 
la distribution électrique théorique précédemment indiquée. Que l'on 
admette, en effet, qu'à une étincelle de longueur maxima correspond un 
ventre, ou bien qu'on voit dans cette étincelle l'indication d'un noeud, 
l'observation précédente n'en semble pas moins montrer la succession 
de quatre concamérations le long du circuit du résonateur. 

Bien que cette nouvelle distribution soit manifestement en désaccord 




Fiff. 2. 



') H. PoixcAKÉ. Les oscillations électriques, p. 237. (G. Carré, Paris, 181)4). — 
A. TuRPAiN. Sur le résonateur de Hertz. (Comptes rendus de l'Académie des 
sciences de Paris, 31 janvier 1898). — Recherches expérimentales sur leso scil- 
lations électriques, p. 93 (A. Hkrmann. Paris 1899). 



154 



A. TURPAIN. 




avec la loi qui lie la longueur d'un résonateur à la longueur cVonde des 

oscillations qui Texcitent, elle paraît 
cependant confirmée parTobservation 
des ])liénomènes que présente un réso- 
nateur à (quatre micromètres ') situés 
aux extrémités de deux diamètres rec- 
tangulaires (iig. 3). — On observe^ 
en eiht, que pour un réglage conve- 
nable des micromètres une rotation 
de 90° imprimée à Fappareil est suivie 
de l'extinction des deux micromètres 
/!/, M primitivement étincelants et de 
la mise en activité des micromètres n, 
u qui étaient éteints avant la rotation. 
Il y a quelques années j'ai inontré ") qu'un résonateur circulaire de 
Heutz qui présente une coupure (tig. -i) indépeiulemment de celle otl'erte 
par l'interruption micrométrique fonctionne aussi aisément (ju'un réso- 
nateur complet. 

Le lois qui régissent le fonctionnement du résonateur à coupure sont 
des plus simples et peuvent toutes se résumer dans Ténoncé suivant : „ Dana 
un résonateur à coupure la coupure joue le 
rôle (pue jouait le micromètre dans le réso- 
nateur çorjipilet''\ 

En particulier^ en ce qui concerne les 
positions d'extinction qu'on observe par 
rotation du résonateur dans sou plan ou 
constate que: „Pour obtenir l'extinction il 
faut amener le milieu de la coupure dans 
l'un des deux azimuts (pie devrait occuper 
le micromètre pour donner le même résultat 
si le résonateur était compjlet" . 

Ce fait expérimental rapproché de la loi 
de distribution qu'éuoucent les diverses théories de la résonance élec- 
trique assigne comme position des noeuds des ondes stationnaires d'un 




Fi Si-. 4. 



') A. Tl'RPaix. — Recherches expérimentales etc p. 84. 

") „ — Sur les expériences de IIkut/.. Société des Sciences physiques 

et naturelles de Bordeaux, 4 avril 1890). 



ÉTUDE EXPÉRIMENTALE SUll LE llÉSONATEUll DE HERTZ. 155 

résouateur à coupure les extrémités de la coupure et comme position 
du ventre des mêmes ondes le point du résonateur également éloigné 
des deux extrémités de la coupure. 

Cette distribution électrique le long du résonateur à coupure semble 
en parfait accord avec l'observation suivante. 

Par un artifice de construction facile à imaginer on rend la coupure 
d'un résonateur à coupure mobile par rapport au micromètre de telle 
sorte que l'arc qui sépare le milieu de la coupure du micromètre puisse 
croître depuis une valeur voisine de 50^ jusqu'à 1 80°. — Disposant 
alors le résonateur de manière à ce c|ue la coupure soit constamment 
situé dans un azimut de maximum d'etfet, on fait varier l'arc d'écart 
entre le micromètre et le inilieu de la coupure. — Pour chaque arc ou 
relève la longueur maximum d'étincelle qu'on obtient au micromètre. — 
On constate que Pintensité de l'étincelle au micromètre croît avec l'arc 
compris entre la coupure et le micromètre. 

Si Pou admet que l'étincelle du micromètre d'un résonateur coupé 
mesure Pintensité du mouvement vibratoire hypothétique dont ce réso- 
nateur est le siège au point oii se trouve le micromètre^ cette observation 
confirme la distribution électrique précédemment indiquée. Le résonateur 
à coupure se présente alors comme ayant un noeud de vibration aux 
deux extrémités limitant la coupure et un ventre au point diamétrale- 
ment opposé au milieu de la coupure. 

Toutefois cette observation semble eu contradiction avec le fait 
suivant : Si au cours de cette même expérience on vient à rapprocher 
Puue de Pautre les deux extrémités de la coupure jusqu'à ce qu'une 
étincelle jaillisse entre elle on constate que cette étincelle présente une 
longueur sensiblement égale à la plus grande de toutes celles observées 
jusque là au micromètre du résonateur coupé^ c'est à dire égale à celle 
qu'on observe au micromètre lorsque l'arc séparant le milieu de la 
coupure du micromètre atteint 180°. 

D'ajH'ès riiypothèse admise que l'étincelle du micromètre mesure 
l'intensité du mouvement vibratoire on est amené à supposer l'existence 
d'un ventre de vibration au point même oii l'on admettait précédemment 
un noeud. 

D'autre part le rapprochement de ces deux expériences ainsi que la 
comparaison des lois régissant les positions d'extinction d'un résonateur 
complet à celles régissant les positions d'extinction d'un résonateur à 
coupure conduisent à se demander quelle distinction on doit faire entre 



156 A, TURPAIN. 

le micromètre d'un résonateur complet en activité et le micromètre d'un 
résonateur à coupure en activité. 

En définitive si l'observation du résonateur complet comme celle du 
résonateur à coupure conduisent toutes deux à des lois expérimentales 
simples^ ces lois ne ])araissent pas en accord avec la distribution élec- 
trique que les diverses théories de la résonance électrique assignent à 
ces deux sortes de résonateurs. Bien plus^ alors que certaines expériences 
semblent confirmer la distribution électrique qu'indique la théorie, 
d'autres expériences non moins nettes que les premières Tinfirment. 

C'est dans le but de rechercher les causes de ce désaccord, et de 
coordonner, si possible, ces différents faits à première vue contradic- 
toires que j'ai entrepris les expériences que je vais décrire. 

Je me suis proposé d'ap])liquer à cette recherche une méthode c[ui 

permette de se rendre compte, au même 
instant, de l'état électrique des divers 
jîoints du résonateur tout le long du con- 
ducteur qui le constitue. A cet effet j'ai 
renfermé tout le résonateur, sauf le mi- 
cromètre, dans un tube de verre t de 
forme circulaire dans lequel Tair est suffi- 
samment raréfié pour permettre au con- 
ducteur du résonateur de produire la lu- 
minescence de cet air raréfié (fig. 5). Si 

^. r, la raréfaction est convenable le résona- 

Fig. 5. 

teur décèle les états électriques qui se 

succèdent le long de l'arc conducteur qu'il forme par la luminescence 
que ce conducteur produit aux divers points du tube. La luminescence 
ainsi produite peint aux yeux par son éclat plus ou moins vif, plus ou 
moins estompé l'état électrique des divers points du résonateur en acti- 
vité qui la produit. 

Il est à craindre dans l'emploi de ce dispositif que la luminescence 
de la gaine gazeuse qui enserre le résonateur ne provienne pas de la 
seule action du conducteur qui forme le résonateur. Il peut arriver 
que les fils qui concentrent le champ produisent eux mêmes directement 
la luminescence du tube à gaz raréfié. Les phénomènes qui doivent 
déceler la distribution électrique le long du résonateur se trouvent 
alors troublés. 

Le degré de raréfaction qui convient le mieux pour que le résonateur 




Étude expérimentale sur le résonateur de hertz. 157 

produise seul la luminescence est celui qui correspond à une pression 
de Tj^y de millimètre. 

Les expériences suivantes montrent qu'alors la luminescence est pro- 
duite seulement par le résonateur : 

1*^. — Si Ton déplace un pont le long des fils, la luminescence dis- 
parait ou réapparaît suivant que le pont atteint une position nodale 
ou ventrale des oscillations qui excitent le résonateur. Pour admettre 
l'influence directe des fils sur la luminescence produite il faut supposer 
que la gaine gazeuse admette exactement la même longuer d'onde que 
le résonateur. 

2°. — La luminescence cesse com])lètement lorsqu'on ferme le mi- 
cromètre du résonateur. 

3°. — La luminescence produite accompagne le résonateur lorsqu'on 
le déplace dons son plan. 

4^. — Enfin le tube de verre circulaire privé du conducteur formant 
résonateur et amené au même degré de raréfaction ne devient pas lu- 
mineux bien qu'il soit disposé dans le champ dans les mêmes conditions 
que lorsqu'il contenait le conducteur métallique. 

Les observations faites à l'aide de cette méthode dont l'emploi est 
ainsi légitimé, ont porté sur le résonateur comj^let, sur le résonateur 
comjilet a deux spires, sur le résonateur à coujmre et sur le résonateur a 
deux micromètres. Elles ont donné les résultats suivants : 

Eésonateur complet. — Le micromètre est placé dans un des deux 
azimuts de maximum d'étincelle, (voir fig. 5). La luminescence ne se 
produit pas tant que le micromètre est fermé. Dès qu'il est ouvert elle 
se produit très faible aux environs immédiats des pôles du micromètre, 
elle est nulle dans toute autre région. A mesure qu'on augmente la 
distance explosive du micromètre, la luminescence qui se produit in- 
téresse de part et d'autre des pôles du micromètre des arcs égaux de 
plus en plus grands. Quand les pôles du micromètre sont trop éloignés 
pour qu'il se produise entre eux des étincelles, la luminescence est 
maxima; elle intéresse alors de part et d'autre des arcs de 120° à 1.50°. 
La seule région qui reste obscure est la région diamétralement 
opposée au micromètre. La luminescence décroît d'ailleurs et s'estompe 
depuis du micromètre oii elle est la plus intense jusqu'à la région 
obscure. 

Si l'on déplace le résonateur dans son plan le micromètre d'un azimut 
de maximum à un azimut d'extinction, la luminescence accompagne le 



158 A. TURPATX. 

mouvement du résonateur. Les deux arcs lumineux diminuent de gran- 
deur lorsqu'on se rapproche de Taziraut d'extinction, La luminescence 
cesse complètement dès qu'on atteint cet azimut. 

EÉsoNATEUR à DEUX SPIRES. — Ce rcsouateur est constitué par un 
tîl d'aluminium disposé suivant Taxe d'un tube de verre qui est recourbé 
de manière à former deux spires circulaires. Les deux extrémités du fil 
d'aluminium sortent du tube au([uel elles sont soudées àTaide de mastic 
Galaz et aboutissent aux ])nles d'un microinctre placé à l'extérieur du 
tube de verre. 

Le résonateur est disposé de telle sorte que le plan des spires est per- 
pendiculaire à la direction des fils qui concentrent le cliamp. Le rayon 
qui passe par le micromètre est normal au plan des fils. 

On constate que la luminescence qui se ])roduit autour du til d'alu- 
minium est d'autant plus vive que le micromètre est plus ouvert. Elle 
intéresse de part et d'autre du micromètre des arcs de 1S0° environ. Le 
reste du résonateur est obscur. La luminescence cesse dès qu'on ferme 
le micromètre. 

On aurait pu espérer en employant un semblable résonateur consti- 
tué par deux spires circulaires que la luminescence indiquerait une divi- 
sion du résonateur en quatre concamérations successives au lieu de deux 
seulement. Pourquoi n'obtient-on pas le deuxième harmonique de la 
vibration que décèle un résonateur de môme longueur contourné en une 
seule spire circulaire? 

Ainsi que le fnit prévoir la mesure de la longueur d'onde des oscil- 



iV+ A^- N* 7V+ 




Fio;. G. 




latious (pii excitent un résonateur à deux spires, l'expérience montre 
une division de ce résonateur en deux concamérations seulement. 



ETUDE EXPERIMENTALE SUR LE RESONATEUR DE HERTZ. 



159 



Il est ù remarquer d'ailleurs qu'en admettant qu'où parvint à 
déterminer la division d'un résonateur en quatre concamérations suc- 
cessives, le procédé d'observation basé sur la production d'une étincelle 
an micromètre ou d'une luminescence d'un tnbe-envclop])e doit être 
impuissant à montrer le 2 ''"^ harmonique ainsi que tout harmonique 
de rang pair. — En effet dans la division (pi'indique la théorie et 
dont les expériences de luminescence démontrent l'existence, les deux 
noeuds de vibration situés aux pôles du micromètre sont de signes con- 
traires (fig. 6). Pour une division en quatre concamérations (2''"^^ har- 
monique) les pôles du micn'omètrc seraient les sièges de noeuds de mêmes 
signes, (fig. 7). Or il est fort possible que l'étincelle, comme la lumi- 
nescence, n'est due qu'à l'existence de noeuds de vibration voisins et de 





signes contraires, et qu'aucun phénomène lumineux n'accompagne 
l'existence aux pôles du micromètre de noeuds de mêmes signes. 

Toutefois c'est là une assertion que l'expérience seule, si on parvient 
à la réaliser, pourra vérifier. 

RÉSONATEUR à COUPURE. On a inséré les arcs métalliques dans les 
tubes de verre à air raréfié de trois manières ditt'érentes: 

Les deux arcs coiulucteurs constituant le résonateur sont placés dans 
un même tube circulaire de telle sorte que la coupure est à l'intérieur 
du tube, dans l'air raréfié, (fig. 8). Ou bien encore les deux arcs sont 
contenus chacun dans un tube circulaire épousant sa forme. Dans ce 
second cas, les extrémités de la coupure se trouvent à l'intérieur, (fig. 9) 
ou à l'extérieur, (fig. 10) des tubes de verre. Le micromètre est dans 
tous les cas disposé à l'extérieur des tubes. 

Coupure dans Va'ir raréfié, (fig. 8). - — Les azimuts d'extinction et de 
maximum d'eflét sont les mêmes que pour un résonateur à coupure dans 



160 



A, TURPAIK. 




Fis. 10. 



l'air. Les maxima ont lieu lorsque la coupure est dans l'azimut 0" ou 
dans Tazimut 180° (voir fig. 2). La coupure étant disposée dans l'azi- 
mut 180° et le micromètre étant fermé, on observe une sorte d'effluve 
entre les deux extrémités de la coupure et une luminescence assez intense 
le long de chaque conducteur sur un arc de 40° à 50°. Tout le reste du 
résonateur est obscur. — Dès qu'on 
ouvre le micromètre une étincelle s'y pro- 
duit^ l'effluve diminue d'intensité entre 
les extrémités de la coupure et les arcs 
lumineux deviennent moins longs et 
mois intenses. Dès que le micromètre^ 
graduellement ouvert cesse de donner 
des étincelles^ on observe jjIus ni effluve 
ni luminescence. — Si l'on déplace le 
résonateur dans son plan la luminescence 
accompagne le résonateur et Tintensité 
du phénomène décroît lorsque la cou- 
pure s^approche d'un azimut d'extinction (90° ou 370°) pour lequel 
aucune luminescence ne persiste. 

Coupure dans Vair, les extrémifés de la coupure comprises (fig. 9) on 
non comprises (fig, 10) dans les tubes a air raréfié. — On observe les 
mêmes phénomènes que précédemment. L'effluve qui se produisait entre 
les extrémités de la coupure est seule absente. La luminescence intéresse 
de part et d'autre de la coupure des arcs plus étendus que précédem- 
ment. 

On voit que l'aspect présenté par un résonateur complet dont le 
micromètre est aussi ouvert que possible concorde avec l'aspect présenté 
par un résonateur à coupure dont le micromètre est fermé. Le premier 
présente une luminescence maximum au voisinage du micromètre, le 
second au voisinage de la coupure. Les deux appareils sont en eflet les 
mêmes: ce sont deux résonateurs a coupure sans micromètres. La pré- 
sence du tube à air raréfié permet eu effet de se rendre compte du fonc- 
tionnement des appareils sans avoir à consulter les micromètres. — Ces 
expériences expliquent que les lois du résonateur à coupure soient celles 
qui régissent le résonateur complet à condition de faire jouer à la cou- 
pure le rôle dévolu au micromètre du résonateur complet. 

RÉSONATEUR à DEUX MICROMETRES. — Ce résouatcur est constitué 
par deux tiges métalliques en forme de demi-circonférences, placées à 



ETUDE EXPERIMENTALE SUR LE RESONATEUR DE HERTZ. 



161 




rintéi'ieur de tubes de verre semi circulaires dout l'air a été couvenable- 
ment raréfié. Chaque tige porte à Tuue de ses extrémités une vis micro- 
métrique qui vieut buter contre l'extrémité libre de l'autre tige: le 

résonateur se trouve ainsi muni de deux 
micromètres diamétralement opposés. La 
course des vis raicrométriques est de lon- 
gueur telle qu'elle permet de produire 
une coupure dans la région qu'occupe 
le micromètre. 

On place le plan du résonateur per- 
jjendiculaire à la direction des fils de con- 
centration et de sorte que le diamètre 
([ui passe par les micromètres soit per- 
pendiculaire au plan des fils f de con- 
centration. Soient vi et (j. les deux mi- 
cromètres (fig. 11). On constate les phé- 
nomènes suivants: 
7)1 et /y- sont fermés: On observe aucune luminescence. 
m est peu ouvert, [z est fermé: L'étincelle qui se produit au micro- 
mètre m est accompagnée d'une faible luminescence de la partie des arcs 
avoisinnaut 7n. 

m. est très ouvert, (j. est fermé: L'étincelle n'éclate plus eu m.. La 
luminescence devient très vive et intéresse une partie notable (120° 
environ) des arcs se terminant en m. 

m est très ouvert, on ouvre graduellement fi. — La luminescence dimi- 
nue lorsqu'on fait croître l'ouverture du micromètre pi. Elle cesse com- 
plètement dès qu'aucune étincelle ne se manifeste plus entre les pôles 
du micromètre [/,. 

m et [z sont peu ouverts. — Si les deux micromètres sont ouverts de 
manière^ à ce qu'il éclate des étincelles à l'un et l'autre, pour un réglage 
convenable, la luminescence se manifeste tantôt le long de portions 
d'arcs avoisimiant m, tantôt le long de portions d'arcs avoisinant /z. 

m et (/, sont très ouverts. — Les deux micromètres forment alors deux 
coupures; on observe aucune luminescence. 

Interprétation des expériences. — On peut interpréter les expé- 
riences ci-dessus dont quelques-unes ne sont que la répétition des expé- 
riences précédentes en admettant qu'un résonateur en activité est le 
siège d'un courant électrique oscillatoire cheminant alternativement 

archives néerlandaises, série 11. TOME V. 11 



162 



A. TUllPAlN. 



cVune des extrémités vers Tautre. — Soient A et B les extrémités de la 
coupure, le courant chemine de A vers 7i pendant U2ie demi période et 
de B vers A pendant la demi période suivante. 

Les valeurs de la densité électrique en A et B au cours d'une période 
T sont: 



Temps 



Densité en A 





r 
i 

T 

2 
T 

T 



û 



Densité eu ]> 

. . . . (7 



+ ^ 



Au point M (lig. 12) également distant de A et de B la densité élec- 
trique reste constamment nulle. 

Si la coupure est assez grande pour qu'aucune étincelle ne puisse la 
traverser, la densité électrique acquiert 
eu A et en E, à la fin de chaque demi 
période, la plus grande valeur possible, 
(valeur absolue). — La luminescence est 
la plus vive. 

Si on diminue la grandeur de la cou- 
pure de telle sorte qu'une étincelle puisse 
éclater entre les deux extrémités, la va- 
leur maxima de la densité électrique en 
A et en B devient o-' <C 5- et la lumines- 
cence est moins vive. 

Si on ferme complètement la coupure, 
aucun courant ne circule plus dans le circuit fermé que présente le 
résonateur. La densité électrique est nulle en tout point de ce circuit 
à chaque instant. Aucune luminescence ne se manifeste. 

Une coupure AB existant dans le résonateur, on ouvre progressive- 
ment un micromètre jdacé en M. — L'étincelle qui se manifeste en M 
et qu'une luminescence voisine n'accompagne pas doit être attribuée au 
])assage du courant cheminant alternativement de A vers B et de B vers 




Fis. 12. 



ÉTUDE EXPÉRIMENTALE SUR LE RÉSONATEUR DE HERTZ. 163 

A. On conçoit que la présence du micromètre abaisse la valeur maxima 
qui limite la variation de densité en A et en B. La luminescence au 
voisinage de A et de B doit donc diminuer par l'ouverture du micro- 
mètre situé eu M. — Tant qu'une étincelle peut jaillir en M le courant 
peut circuler entre A et B, la luminescence s'observe au voisinage de A 
et de B et présente une plus ou moins grande intensité. Dès que l'ouver- 
ture du micromètre en M est telle qu'aucune étincelle ne s'y produit 
plus, aucun courant ne peut plus s'établir. La présence de cette 
seconde coupure doit donc faire cesser tout phénomène de luminescence. 

Si la coupure AB et l'ouverture du micromètre JM sont d'égale gran- 
deur et susceptibles Tune et l'autre de permettre la production d'une 
étincelle il j)eut arriver que l'étincelle éprouve une plus grande diffi- 
culté à se produire à l'une des interruptions qu'à l'autre; cela peut 
avoir lieu tantôt à l'une, tantôt à l'autre des interruptions. La plus 
résistante des interruptions joîiera le rôle de coupure. Les portions voisi- 
nes des conducteurs qui y aboutissent seront entourés de luminescence, 
alors que l'autre interruption ija moins résistante) sera seulement le siège 
d'une étincelle produite par le courant circulant dans le résonateur. 

C'est dans cette interprétation de l'expérience, qu'il faut voir la dis- 
tinction à faire entre le micromètre d'un résonateur complet en activité 
et le micromètre d'un résonateur à coupure en activité. 

En résumé si Ton conçoit le mouvement électrique hypothétique le 
long d'un résonateur filiforme en activité à la manière dont se produit 
le mouvement de l'air dans un tuyau sonore, le résonateur peut être 
comparé à un tuyau sonore fermé à ses extrémités, et présentant dans 
sa longueur deux concamérations. Le résonateur doit donc être consi- 
déré comme aijant un ventre de vibration an milieu de sa longueur et deux 
noeuds de signes contraires a ses deux extrémités. 

On admet dans cette interprétaion que la luminescence produite dans 
le tube à air raréfié qui contient le résonateur est la plus vive aux noeuds 
c'est-à-dire aux points où la variation de la densité électrique est la plus 
grande, et qu'elle est nulle aux ventres. 

Bordeaux., 15 octobre 1900. 



Il' 



Ûber die von einem elliptisch sciiwingenben ton emittirte 
und absorrirte energie 



MAX PLANCK. 



TJnter clen Yorstellungen^ welche mau sich gegeuwartig voii den 
Vorgiiiigen bilden kann, die in den Centven der Emission und der 
Absorption der Licht- und Warraestralilung sich abspieleu^ besitzt durch 
ihre Einfachlieit und Verwendbarkeit die grôssten Vorzûge die nament- 
licli von H. A. Lorentz ausgebildete Annahme^ dass die Q,uelle aller 
Strahlungserscheinungen in scliuellen Scliwingungen diskreter elektriscli 
geladener Tlieilchenj der lonen oder Elektronen, bestelit^ welche ihre 
Scliwingungsenergie durch Ausstrahlung dem umgebenden Aether 
raittheilen, und umgekehrt durch Absorption von ihm empfangen 
konnen. In den gewohnlichen ponderabeln Korpern hat man sich dièse 
scliwiugenden lonen sehr nahe aneinanderliegend zu denken, so dass 
die unrnittelbar benachbarten mit sehr bedeutenden Kraften auf ein- 
ander wirken werden. Aber die Fahigkeit eines schwingenden Ions, 
Energie zu emittiren und aulfallcnde Strahlung zu absorbiren, ist ihrem 
Wesen nacli uicht nothwendig an das A^orhandensein benachbarter 
lonen, sondern vielmehr an die Schwingungsvorgiiuge des Ions selbst 
gebunden; und wenn mau auch aus der Emission und Absorption eines 
einzelnen Ions noch keineswegs unrnittelbar auf die entsprechenden 
Grossen in einem System von dicht aneinander gelagerten lonen schlies- 
sen kann, so dilrfte es doch als Yorarbeit fiir die Behandlung zusam- 
mengesetzter Ealle niltzlich sein, die quantitative Berechnung der von 
einem einzelnen schwingenden Ion emittirten und absorbirtcn Energie 
auszufiihren. 

Zuniichst soll iiber die Schwingungsform des Ions gar keine specielle 



ÙBEll DIE VON EINEM ELLIPTISCH SOHWINGENDEN ION, U. S, W. 165 

Aimalime geinacht werdeu. Die eiuzige Voraussetzung, von der wir 
ausgelieii, ist, dass das iiii Yakimm befindliclie Ion, mit eiueni anderen 
rulienden Ion von gleielier und entgegeugesetzter Ladimg zu eineni 
Molekûl vereinigt, sclmelle Scliwingungen ausfiihrt und daher. in jedein 
Augeublick mit jenem zusainrnen einen elektrisclien Dijiol vorstellt, 
von schnell wechselndem Moment, und dass die Dimensionen dièses 
Dipols bestandig klein sind gegen die Liinge der von ilim in das Yakunm 
ausgesendeten Welle, oder, fiir unperiodisclie Vovgiinge, gegen diejenige 
Liinge, welche erlialten wird, wenn man die Eortpflanzungsgescliwin- 
digkeit des Lichtes im Vakuum dividirt durcli die „verliilltnissmiissige 

. . . l (^X , . 

Geschwindio'keit" — ^^^ der Schwine-ungcn des Ions, wobei A" ii'ffend 

eine Scliwingungscompouente bedeutet. Nur unter dieser Voraussetzung 
ist niinilicli der elektrisclie Zustand des Molekiils durcli sein elidctrisclies 
Moment als vollkommen bestimmt anzuselien, da soust die elektrisclie 
Kraft eine merkliclie Zeit brauchen wiirde, um sich von einer Stelle 
des Molekiils zu einer anderen fortzupflauzen, und nur unter dieser. 
Yoraussetzung kann man die elektrisclien Yorgiinge im umgebenden 
Felde immer in bestimmtem Sinne in eine „primiire", von Ausseii auf 
das Ion fallende und dasselbe erregende, und in eine „sekundiire'", vom 
Ion als Centrum ausgeliende Welle zerlegen, ebenso wie ancli nur danu 
die gesammte vorliaudene Energie sich zerlegen lasst in einen Theil, 
der von dem augenblicklichen Scliwingungszustand des Ions abliiingt, 
und den wir die Scliwingungsenergie des Ions neimen wollen, und in 
einen anderen Tlieil, den wir die Energie des umgebenden Eeldes nennen, 
Wir wollen uns zuiiiiclist mit der „sekundiiren", vom scliwiugenden 
Ion ausgeliendeu Welle bescliilftigeu, iudem wir etwa annebmeu, dass 
gar keine erregende Welle vorhanden ist und nur einfaches Abkliugen 
stattfindet. Es handelt sich dann um die Berechnung der von dem 
schwingenden Ion emittirten Energie. Sei der Yektor, welcher das 
elektrische Moment des im Anfaugspunkt der Coordinaten betindlichen 
Dipols darstellt, mit m bezeichnet ') ; dann ist die von dem Molekiil 



*) Die Bezeiclmungen schliessen sich ganz denen von H. A. Lorentz in seinem 
„ Versucli einer Théorie der elektrischen und optisclien Erscheinungen in bewegten 
Korpern" an, mit der alleinigen Ausnalime, dass icli hier, nm den Zusammenhang 
mit meinen friiheren Arbeiten aufrecht zu erhalten, das elektrostatische Maass- 
system benutze. 



166 MAX PLANCK. 

sicli nacli Aussen fortpflanzeiide elektromagiietische Welle an irgencl 
einem Ort x, //, z, dessen Eutferiiuug r vom Molekûl gross ist gegeu 
die Dimensioneu desselbeu, zu irgend einer Zeit t gegebeu durcli die 
Compoueuteu der elektrisclieu Kraft : ') 



-. 0^ /nî.,.\ 



uud der inau'iietisclieji Kraft 






1 /^à lU: 



lft'^_l^^^^^ (1) 



Hierbei ist 



à m,. t^ m,, (^ lU- 

,S'=_— J —î^-! — ^ (i)\ 

àx r ^ à>j r ^ dz r ^'^' 

iiud in m,,;, ttX,/, m- istj wie aucli iiberall im l'olgenden, statt des Argu- 
ments t der A¥ert t — j- {F Liclitgescliwiudigkeit) zu sctzen^ so dass 

jede dieser drei Grossen l\iiiktion von /■ ïf ist. 



Bedenkt inan, dass ; 






so kaini nian aucli sclireiben : 



und erkentitj dass in der Niilic des Dipols^ \vo die Glieder mit der ersten 



^) H. A. LoRENTZ, l.c. p. 53, woselbst die Liisung fiir den allgemeineren ¥all 
gegebeu ist, dass das Bloleklil eine Translationsgeschwiiidigkeit y besitzt. 



ilBEll D[E VON EINP^M ELLIPTISCH SCHWINGENDEN ION, U. S. W. 1G7 

Poteiiz von r iui Neiiner gegcu die mit lioliereu Potenzen verschwiiideu, 
die elektrische Kraft % eiii Potential liât, vom Wertlie : 



8= — 






lierriUireud von dem elekli'isclieu Moment lU des Dipols. 

Miidttlrle F/iienjle. 

Um die von dem schwiugenden Ion nacli allen Eiclitungen emittirte 
Energie zu crhalten, legen wir um das Molekill eine Kiigeltliiclie mit 
dem gegen seine Dimensionen grossen, aber gegen die Wellenliingc 
kleinen Puidius r, uiid bereclmen nacli dem PoYNTiNo'sclien Satz die in 
der Zeit dt nacli Anssen stromende Energie : 



4<7r J 



Der Ausdrnck hinter dem Integralzeiclien bedeutet die in der Ricli- 
tung der ilussereii Normale n von th, d.h. des Kugelradius r, genommene 
Componente des A''ektorj)rodukts ans elektrisclier nnd magnetisclier 
Kraft. Ordnen Avir dicî (Uieder nacli den Comj)onenten ^j-, %ij, ^- der 
elektrisehen Kraft, so ergiebt sicli : 

oder, mit Penntznng der ans (1) und (2) folgenden Identitiit: 

Dièse in der Zeit df. dnrcli die Kugelflaclie nacli Anssen stWhneude 
Energie dE ist aber nicht identisch mit der in derselbeu Zeit emittirten 
Energie. Denu sie enthrdt gewisse, und zwar sehr grosse, Glieder, welche 
sicli als vollstiindige Differeutialquotienten nach der Zeit darstellen uud 



168 MAX PLANCK. 

cleren zeitliclies Integra! dalier niir von dem augenblickliclieii Scliwin- 
guiigszustand des Dipols al)liiingi;, d. h. ebeiiso wie das elektrische 
Moment m bald zu uiid bald abiiiimut. Dièse Energie stronil also durch 
die Kngeltliiche hin niid ber, abweebsehid nacli der eineu und nacb der 
anderen Seite, sie ist daher nicbt der einittirteu Energie, welcbe den 
Dipol dauernd verlilsst und in das umgebeude Eeld ilbergebt, sondern 
der Eigenenergie des Molekiils zuzurecbnen, die sicb abweelisebid auf 
gnissere und kleinere Eutfernungen vom Dipol hin verbreitet. Da es 
sieb liier nun ledigHcb uni die Berecbnung der endgiUtig emittirten 
Energie liandelt, so sind in detn Ausdruek von dl'] uHe diejenigen 
Glieder wegzulassen, welcbe als vollstilndige Diirerential(|uotientcn der 
Zeit dargestellt werdeu konnen. Allerdings liegt in dieser Abspaltung 
einzehier Glieder eine gewisse Uubestirnmtheit, aber die damit verbun- 
dene AVillkûr wird uni so geringer, fiir je grcissere Zeiten inaii die 
cmittirte Energie bereclmet. Bei der Liclit- und Warniestrahluiig spielt 
dieselbe wolil niemals eine Ivolle, da hier fiir die emittirte Energie 
innner nur solclie Zeiten in Betracht konnnen, die gegen die Dauer 
einer Scliwingung ungeheuer gross sind. 

Ersetzt man nun in dem letzten Ausdruek von dE die elektrisclie 
Kraft 5.r, S/y? %- durch ihre in (3) angegebeneu Werthe, so erhiilt man 
hinter dem Integralzeichen zuniichst das Glied: 






welches sich bei naherer Untersuchung als ein vollstandiger Dill'eren- 
tialquotient nach der Zeit t herausstellt, und zwar als der DiH'erential- 
(juotient der Euuktion : 

wie man auch durch Differentiation dieser Eunktion nach / unter 
Berûcksichtiguug des Ausdrucks (2.) von 8 erkennen kaun. 

Nach den obigen Ausfiihrungen liefert dièses Glied keinen Beitrag 
zur emittirten Energie und kann daher weggelassen werden. 

Der Rest von dE betragt : 



ÛBER DIE VOS EINIOM ELLIPTISCII SCHWINGENDEN lON^ U. S. W. 109 
Nuil iî^t 



Tolfflicli 



<^ m., 


_ _ m ,. 


1 >"j- 


dr r 


•> 


r ;• 


(^ ntj, 


m, 


1 m,,. 


dr r 


- ,.2 


r r 



^l') 



Die Eiuset/Aiiig dièses Werthes iii deii Eiiergieansdruck ergiebt uber- 
mals eiu Glied^ welches eiiieii vollstiliidigen Dillerentialausdruck iiach l 
darstellt, niimlicli das G lied: 



r r" 

uiid daller wegzulasseii ht. Es bleibt iibrig : 

^—3 j r/(7 1 ml, + ml, -r m^ -f FSi,v m,, -[-^ m, + ,~ m,) j 

Eiidlicli fiiliren wir die Compouente des Moments m in der Eiclitung 
r ein : 

W . Il . z 

m r - + m,, - + m- - = m,. 

r r ' r 



Dann ist 



.l' m,, -}- // m,/ -}- .J m: = r m,- 



imd mit Berûcksichtigung von (2) und (4) : 

■ d m., . ^ m,y , (^ m- 
f\i? r c'y r f'^ r 

m;. 1 m,. 



Energie in der Form ergiebt 



wodnrch sicli, uuter Weglassung eines weiteren Gliedes, die emittirte 
Form ergiebt: 

^^y3^j^/7(ml, + ml, + m2,— ml.) 



170 MAX PLANCK. 

oder kûrzer gescliriebcu : ') 

dt 



4t 






Hier konnen m nncl m,-, statt als Funktioiien von f. — —, als Tunk- 

tionen von / allein angeseheu werden, da nach der A'^oranssetzuug r 
kleiu ist gegen die Wellenliinge. Dies Ilesnltat liisst sicli folgender- 
massen in Worte fassen : 

Die von einem elektrisclien Dipol mit dein veriuiderliclien Moment 
nt nach irgend einer Richtung r emittirte Energie ist proportional dem 
Quadrate der senkreclit zu r genommenen Componente des Vektors m. 
Da ferner m durcli das Prodnkt der unveriinderlichen Ladung des 
l)ewegliclien Ions und seiner Entfernung von dem entgegengesetzt 
geladenen als ruhend angenommenen Ion gegeben ist^ so wird die Aus- 
stralilung in der B-iclitung r bedingt durcli die senkreclit zu r genora- 
mene Componente der Beschleunigung des bewegliclien Ions. 

Znr Berechnung der Gesammt-Emission setzen wir den Winkel, 
welchen die liiclitung des Yektors m mit r bildet, gleicli ^, und 

Dann folgt fiir die ganze in der Zeit t/l voin scliwingenden Ion 
emittirte Energie : 



Trr'JJ 



2 df- ■■ 
si II S" d^ d:p m 2 s m 2 S- = - -—- m^ 



= |y^(ml.+ m\ + m2,) (5) 

Die nach allen Eiclitungen emittirte Energie setzt sicli also additiv 
zusammcn ans den von den drei lineai'en Sclnvingungen m.,., m,,, m.- 
emittirten Energieen. 

Vorsteliendes Résultat wird sich jedcnfalls nocli leichter ableiten 



') m bedeutet nicht den zweiten Differentialquotieiiten der Grusse des Vektors 
111, sondern die Grosse des Vektors, welclier die Componeiiten lll.r,lll)/,lll: besitzt. 
CH. a. Lorentz, 1. c. p. 10). 



ilBEB, DIE VON EINEM ELLIPTISCH SCHWINGENDEN lON^ U. S. W. 171 

lasseiij weiui maii statt der reclitwiiikligeu Coordiuateii .r, jj, z von 
vornelierein Polavcoordinaten beuutzt. 



Âbsorhlrte Energie. 

Weuu das betraclitete Ion von einer im umgebenden Felde fort- 
sclireitenden elekti-oniagiietischen Welle getrotfen wird, so wird auf 
seine Ladnng eine Kraft ausgeiibt und dadurcli Energie iibertragen 
werden. Dièse Energie, welclie den Schwingungen des Ions zugefiilirt 
wird, gelit der erregenden, primiiren Welle verloren und ist dalier als 
von deni Ion absorbiert zu bezeicbuen. Die Bereclmung derselben ist 
selir einfach. Nennen wir jetzt §,t., %,i, %- die Coniponenten der elek- 
trisclieu Kraft der erregenden Welle am Orte des Ions, wobei wir wieder 
voraussetzen, dass die Dimensionen der Balm des Ions so klein siud, 
dass dièse Grossen einen bestimmten Sinn haben, so ist die Arbeit, 
Avelclie die erregende Welle an dem bewegten Ion in der Zeit df leistet, 
nacli unserer bisherigen Bezeichnung : 

(Sx-m., + S,'ym, + S, m,).// (6) 

und dies dalier aucli die von dem bewegten Ion in der Zeit dl. absorbirte 
Energie. In der Liclit- und Wiirmestrahlung wird dièse Grosse gewolin- 
licli als wesentlich positiv angesehen; das ist aber nur danu zutreffend, 
wenn die absorbirte Energie niclit fiir ein Zeitelement, sondern fiir eine 
im Verhaltniss zu einer Schwingungsperiode grosse Zeit genommen 
wird. 

EUipflsch scJtwingendes Ion. 

Die vollstilndigen Bewegungsgleichungen des Ion konnen erst dann 
aufgestellt werden, wenn die Ablulngigkeit seiner Scliwingnngsenergie 
von seinem elektrischen Moment ni und dessen zeitlichen Ditlerential- 
({uotienten m bekannt siud. Der einfachste Eall, den wir wegeu seiner 
Bedeutung fiir die Licht- und AViirmestralilung im Eolgeuden noch 
kurz betracliten wollen, ist der der naliezu elliptischen Scliwingung. 
Dieser Vorgang ist nahezu periodiscli; er wird streng periodisch, wenn 
Energie weder emittirt noch absorbirt wird. Bei angenilherter Periodi- 
citiit maclien sich die Einiliisse der Emission und Absor2)tion von Energie 



172 MAX PLANCK. 

nur verhultuissmiissig langsam^ erst iiacli Ablauf einer grossen Anzahl 
von Scliwingmigeu, merklich gelteud. Selieu Avir zuniiclist von diesen 
Einfliisseu gauz ab^ so ist die Energie des scliwingendeii Ions constant 
zu setzen. Der Ausdrnck derselben liât in dem betracliteten Ealle die 
einfache Eorm : 

l K (ml, + m^, -h m^,) + J Z (m^., + m^, + m\) 

wobei K nnd Ij Constante. Die Bewegnngsgleichungen des schwingen- 
den lons^ olme Dampfnng nnd oline Erregung, sind dann : 

A'm.,,-f ^^"U = 0, 



Die Schwingungsdaner bethlgt : 



ï'=2V4 



Ziehen wir iiun die durch Energie-Emission vcrursachte Dilmpfnng 
in Betraclit. Die Dilni])fnng bedingt in der Schwingungsgleicliung ein 
Zusatzgliedj so dass dieselbe lautet: 

K m, , + L m,., -{-Mm^. = 0, ( 7 ) 

Das letzte Glied entspriclit der Dampfnng nnd ist bei angenidierter 
Periodicitilt klein gegen jedes der beiden ersten. Der Wertli der jjositiven 
Constanten M ergiebt sicli durch folgende Reclmung. Die in der Zeit 
7' einer Schwingung verlorene Schwingungs-Euergie betriigt : 

K L ■ . -1 f + r 



t + T 

= — j{K nu m^. + . . . + i/ m.,, m.,. + . 



nnd nacb (7) : 



t+ T 

--JM{m\, + ...)di 



ilBER DIE VON EINEM ELLIPTISCH SCHWINGENDEN ION, U. S. W. 173 

Aiiclererseits ist iiach (5) die in der Zeit einer Période emittirte Energie : 



t + T 



oder dnveli jiartielle Intégration : 

t + T 

t 
oder, da nacli (7) angenahert: 



A' 



3J 



t + T 

f 



Da nun die Diinipfung nur durcli die Emission bedingt sein soll, so 
ist dies zugleich auch die verlorene Schwingungscnergie, und dalier : 

Die Schwingungsgleichung lautet mitliin : 

2Â' • 

Die ausdriicklicli eingefiUirte Voraussetzung, dass das Diimpfungs- 
glied klein sein soll gegeu jedes der beiden anderen Cilieder, erfordert, 
dass 

K klein gegen F^ I?. 

» 

Wird endlicli das Ion vou Aussen lier zii Scliwingnngen augeregt, 
so kommt noch die Absorption von Energie hinzu, und damit vervoll- 



174 MAX PLANCK, ilBER DIE VOX EIXEM ELLIPTiSCH, U. S W. 

stiindigt sich die Schwinguugsgleiclmiig mit Eiicksicht auf (0), wie 
leicht einzusehen, iu folgender Weise : 

Km^-\- Zma;+ ^Y^mœ=^j , . . . 

Dièse Gleicliuug stellt also die Bewegung eines nahezu elliptisch 
schwingendeu Tous vor, welches seine Energie durch Stralilung emittirt 
und zugleich ans auffallender Stralilung Energie absorbirt. Sie ist 
eine Yerallgemeinerung einer frilher von mir auf anderem Wege fur 
eiue geradlinige Schwingung abgeleiteten Gleicliung. ') 



Wied. Aim. Bd. GO, p. 592, 1897. 



DESCRIPTION n'UNE SIMPLE PAL ANGE MAGNÉTIQUE 



G. GUGLIELMO. 



J'ai décrit au coinmencement de cette année un aréomètre ayant la 
masse asymétrique qui plongé complètement dans un liquide et appuyé 
par un bout contre un plan horizontal^ prend une inclinaison qui 
dépend de son poids et de sa forme ainsi que de la densité du liquide^ 
et qui varie suivant une loi trèssimple lorsqu'une force vient à agir 
sur Taréomètre. Si celui-ci est plus lourd que le liquide qu'il déplace, il 
doit être appuyé imv son bout inférieur sur le plan horizontal, s'il est 
moins lourd il doit être appuyé par le bout supérieur sous et contre 
le même plan. Afin que Taréomètre puisse s'incliner au dessus et au 
dessous de l'horizon il faut que le bout jmr lequel il est appuyé soit 
replié à angle droit du côté du ^\a.n, et que ce plan (une bande de 
verre accrochée par des fils en laiton au bord du récipient) se trouve 
à mi-hauteur du liquide. Enfin pour que l'azimut de l'aréomètre de- 
meure constant pendant que l'inclinaison varie, il faut que le bout 
par lequel l'aréomètre est appuyé soit en forme de T, avec les bouts 
des deux branches effilés, repliés perpendiculairement à son plan, et 
fondus. 

Le frottement qu' é])rouve cet aréomètre dans la rotation sur ces 
deux pointes d'appui me paraît tout à fait inappréciable et je crois donc 
que cet aréomètre pourra servir à la mesure exacte de forces très 
petites; c'est pourquoi j'ai cherché à l'appliquer à la détermination des 
composantes horizontale et verticale du magnétisme terrestre, de la 



17G G. GUGLIELMO. 

densité et de la masse de très petites quantités d'un solide et à celle de 
la constante de la gravitation (^). 

Si J, B, C, sont le jioint fixe^ le centre de gravité et le centre de 
poussée de Faréomètre, il sera nécessaire pour l'équilibre que ces trois 
points soient dans un même plan vertical^ que B et C soient du même 
côté de la verticale menée par A et que AB soit au dessous de AC. 
Si P et Q sont le poids de Taréomètre et la poussée dans l'eau, d la 
densité du liquide,, L et L^ les distances Byl, CA des centres de gravité 
et de poussée du point fixe, ^ et ^' les angles que BA et CA font avec 
l'horizontale dans la position d'écjuililjre, il faudra que: 

PB cosô = QdL' cosû^ 

Si L cos ô <^ B^ cos ^' il faudra que P > Qd, l'aréomètre descendra 
dans le liquide et devra venir s''ap])uyer sur un plan horizontal; si B 
cos ô ^ /y^cos^' il faudra que P <^ Qd, l'aréomètre tendra vers 
la surface du liquide et devra venir reposer sous et contre le même 
plan. La pression contre ce plan sera d'autant j)lus petite que la diffé- 
rence entre P et Qd est moindre. 

Si une force vient à agir sur Taréomètre en équilibre, il déviera d'un 
certain angle a. et si m est le moment de cette force dans la nouvelle 
position d'équilibre il viendra : 

PB cos {oi ±Ô)'{- m = QdL^ cos {où±Ô') 

et en divisant cette égalité par la première on aura: 

m == PB cos ô (tang ô — tang ô ') sin y. = k sin o>. 

oii k est une constante de Taréomètre ])0ur un même liquide; on 
pourra la déterminer aisément en observant la déviation produite par 
un poids connu. 

Si Taréomètre porte un barreau aimanté et s'il peut s'incliner dans 
le 2)lau du méridien magnétique, si et i:p' sont l'azimut de la ligne 
des pôles relatif au méridien magnétique et Tinclinaison de cette ligne 



(') Pour cette détermination j'ai fait usage d'un gros ballon de deux litres de 
capacité, lesté par un petit ballon rempli de mejcure, le tout immergé dans l'eau, 
où son poids apparent était de 0,5 gr., et suspendu par un fil de cocon, long de 
1 mètre qui se trouvait dans un tube rempli d'eau. 



DESClilPTlON d'une SIMPLE BALANCE MAGNETIQUE, 177 

sur riiorizo;!, si M est le moment maguétique du barreau et V et H 
les composautes verticale et horizontale du magnétisme terrestre, le 
moment de Faction magnétique terrestre sera MH sin 4^' -{- MV 
cos Cp cos 4^'. 

Pour déterminer les jiroduits MH ai MV 'yû suivi les méthodes de 
ToPLER qui uront paru les plus directes et les plus simples. Si Y on veut 
déterminer seulement MH il convient de faire usage d'un aréomètre 
formé d'une tige mince pourvue à un bout d\me boule de grandeur suffi- 
sante et à l'autre bout des pointes d'appui; il doit aussi être pourvu au 
bout libre d'un couteau de balance (ou d'une lame mince) avec le tran- 
chant (ou le bord) perpendiculaire à Taxe et horizontal pour y poser les 
poids connus équivalents à l'action magnétique, qui devront être en fil 
de platine et auront la forme de cavaliers. Si l'aréomètre avec le barreau 
est moins lourd que le liquide qu'il dé^jlace, les pointes d'appui et le 
tranchant du couteau sont tournés du même coté, ce qui rend plus aisée 
la mesure indispensable de leur distance. 

Le barreau aimanté doit être fixé de façon qu'il soit perpendiculaire 
à Taxe de Taréomètre, à la ligne des pointes fixes, et que dans la position 
d'équilibre en ajoutant quelques petits poids il soit vertical. Si alors 
on fait tourner le récipient de 180° autour d'un axe vertical le moment 
des poids qu'il faudra ajouter ou ôter à l'aréomètre pour rétablir l'exacte 
verticalité du barreau est égal au double du produit MR. 

Pour fixer le barreau j'ai fait usage de cire à caclieter, mais il vaut 
mieux se servir de deux ressorts cylindriques soudés à angle droit dont 
l'un embrasse la tige de l'aréomètre et l'autre le barreau aimanté. De 
cette façon en approchant ou en éloignant le barreau des pointes fixes 
on obtient l'équilibre dans les conditions requises; en soulevant ou 
abaissant le même barreau on augmente ou diminue la sensibilité, et 
enfin en le tournant deux fois de 90° autour de son axe et en détermi- 
nant chaque fois MH, on peut corriger l'erreur causée par un défaut de 
parallèllisme de la ligne des pôles et de l'axe du barreau. 

Pour observer les déviations de l'aréomètre j'y ai fixé un petit miroir 
dans lequel j'observais de la façon usuelle avec une lunette l'image 
d'une échelle divisée verticale; si les parois du récipient étaient trans- 
parentes et planes j'observais à travers d'elles et le miroir était vertical, 
si les parois étaient opaques le miroir avait son plan horizontal et je 
disposais au dessus un prisme rectangulaire, qui lui renvoyait les rayons 
venant de l'échelle. Dans cette dernière disposition le tremblement de la 

ARCHIVES NÉEllLANDAISES, SERIE IF. TOME V. 12 



178 G. GUGLIELMO. 

surface du liquide et celui de rimage fatiguent beaucoup Toeil et il sera 
utile d'immobiliser cette surface en y posant une lame de verre à parois 
planes. 

Au lieu de faire tourner le récipient de 180° autour d'un axe vertical, 
on peut retourner bout à bout l'aréomètre en Tappuyant sur une 
bande de verre accrochée a la paroi opposée. Il faut toujours deux 
lunettes et deux échelles ou deux positions de la même lunette avec 
l'échelle pour observer dans les deux directions opposées. Afin que les 
divisions des deux échelles ou d'une échelle dans les deux positions se 
correspondent exactement, je me sers d'un deuxième aréomètre, avec 
miroir mais sans aimant, disposé près du premier de façon que les deux 
images de l'échelle soient visibles en même temps dans le champ de 
la lunette. Lorsque l'on fait tourner le récipient, ce deuxième aréomètre 
ne cliange pas son inclinaison, qui peut servir de repère. 

Pour déterminer 317 il convient de faire usage d'un aréomètre formé 
d'un tube en verre mince de volume tel que la poussée qu'il éprouve 
dans le liquide soit peu ditférente de son poids avec le barreau, et pourvu 
à un bout des pointes d'appui et à l'autre du couteau pour les poids 
connus. Le barreau pas encore aimanté doit être fixé parallèllement à 
l'axe de l'aréomètre à l'intérieur ou à l'extérieur de façon qu'en ajoutant 
quelques petits poids dans la position d'équilibre la ligne des pôles soit 
exactement horizontale; il faut aussi qu'elle soit perpendiculaire à l'axe 
de rotation. Après, l'on aimante le barreau au moven d'un courant 
électrique, et le moment des poids qu'il faudra ajouter ou ôter pour 
rétablir l'exacte horizontalité de la ligne xles pôles sera égal à 311. 
Dans cette détermination il faut que le plan dans lequel peut tourner 
l'aréomètre soit ^perpendiculaire au méridien magnétique; ainsi l'action 
de la composante horizontale est nulle, soit parce que le barreau est 
horizontal, soit parce que cette composante est perjjendiculaire au ])lan 
de rotation, ce qui est utile pour diminuer les erreurs causées par une 
imparfaite position de la ligne des jjôles. 

Quelquefois j'ai fixé le barreau à l'intérieur de l'aréomètre sur la 
paroi inférieure ou coaxialement ; ces dispositions ont l'avantage qu'une 
fois que le barreau est fixé solidement avec de la cire à cacheter, il 
n'est plus sujet à des variations dans son poids ou chms sa position ; 
parfois j'ai aussi fixé le barreau à l'extérieur au mo_yen de deux ressorts 
cyliiulriques soudés près de ses bouts, dans lesquels j'introduisais l'aré- 
omètre, en le fixant avec de la cire à cacheter. 



DESCRIPTION d'une SIMPLE BALANCE MAGNETIQUE. 179 

En introduisant cet aréomètre avec son barreau déjà aimanté dans un 
ressort cylindrique pourvu d\ine tige perpendiculaire à son axe et 
aboutissant aux deux pointes d'a])pui déjà décrites, on pourra aussi 
déterminer de la façon déjà indiquée le produit MH et calculer la 
A'aleur de l'inclinaison magnétique; cette inclinaison j^ourra aussi être 
déterminée directement avec un aréomètre dont le centre de gravité 
tombe sur la droite AC, ce qu'il faut véritier avant d'aimanter le 
barreau. 

Il serait théoriquement possible de déterminer iJ/// et il/ F en retour- 
nant seulement le barreau aimanté bout à bout puisqu' ainsi l'action 
magnétique change de signe, mais il faudrait que fût nulle ou bien 
connue la variation qu' éprouve le moment pondéral du barreau, et je 
ne sais si cela est possible avec une exactitude suffisante. 

Les avantages de cet aréomètre sur la balance usuelle dont a fait 
usage ToPLi;ii me paraissent les suivants. 

Le frottement est très-petit soit parce que le liquide interposé entre 
les pointes et le plan d'a])pui en empêche l'adhérence et agit comme 
lubrificateur, soit parce que la pression que ces pointes exercent sur le 
plan d'appui est assez petite et peut être diminuée autant que l'on 
veut; toutefois lorsqu'elle est très petite l'aréomètre est très sujet à se 
déplacer et à tomber de la bande de verre sur laquelle il est appuj^é. 

Dans la balance usuelle la sensibilité peut en théorie être accrue tant 
que l'on veut en soulevant le centre de gravité du fléau, mais dans la 
pratique le frottement et les imperfections du couteau posent des bornes 
à cette accroissement, puisque l'imparfaite rectilinéité et l'épaisseur du 
tranchant deviennent d'autant plus sensibles que le centre de gravité en 
est plus proche. Dans l'aréomètre à inclinaison variable la sensibilité 
peut être accrue indéfinement en théorie et eu pratique, en ap])rochant 
AC de AB, et les défauts des pointes d'appui ne modifient pas d'une 
façon appréciable cette sensibilité. 

Cet aréomètre ne contient aucune jnèce de précision, peut être con- 
struit très aisément et n'est pas très sujet à des dégâts. 

Un désavantage assez grave consiste dans l'influence de la tempéra- 
ture, qui en faisant varier la densité du liquide et la poussée fait aussi 
varier l'inclinaison de l'aréomètre. Toute fois on peut remédier à cet 
inconvénient de plusieurs façons; on peut exécuter les déterminations 
dans des locaux où les variations de la température soient assez lentes 
et régulières ; on peut aussi adopter les appareils connus qui ralentissent 

12* 



180 G, GUGLIELMO. DESCRIPTION u'uNE SIMPLE BALANCE^ ETC. 

OU empêchent ces variations, et on peut corriger les erreurs qu'elles 
produisent de la façon usuelle, avec déterminations alternatives, ou en 
observant l'effet qu'elles produisent dans un temps connu. Enfin l'on 
peut faire usage de deux aréomètres ])areils disposés l'un près de Tautre, 
de façon que les deux images de l'échelle qu'ils produisent soient visibles 
en même temps dans le champ de la lunette. Les variations de la tem- 
pérature agissent également sur ces deux aréomètres, et si Tun d'eux 
est pourvu d'un barreaa non magnétique et partant n'est pas sujet à 
l'action magnétique, son inclinaison pourra servir de repère auquel il 
faudra rapporter les inclinaisons de l'autre aréomètre. 

J'ai cherché aussi à éviter l'influence de la température en construi- 
sant des aréomètres dont le centre de poussée se trouvait sur la verticale 
menée par le point d'appui A, mais leur position d'équilibre était 
sujette à se déplacer saus cause apparente, peut-être à cause de Timper- 
fection des pointes d'appui. 

Je ne crois pas que ces aréomètres, bien qu'il soient très sensibles, 
puissent remplacer les magnétomètres usuels dans la détermination de 
Ml H et MjV. J'ai fait aussi des expériences au moyen d'un aréomètre 
avec aimant horizontal, appuyé par une seule pointe et jmr conséquent 
pouvant aussi tourner autour d'un axe vertical; toutefois le frottement 
dans cette rotation n'étant pas aussi petit que dans celle autour de l'axe 
horizontal, le barreau ne se disposait ])as toujours exactement dans le 
méridien magnétique et j'observais des différences allant jusqu'à 10'. 

.l 'ai fait bien des épreuves et des expériences avec ces aréomètres pour 
contrôler leurs avantages et leurs désavantages mais je n'ai ])as fait des 
mesures magnétiques exactes, d'autant plus que je n'avais pas de mag- 
nétomètre; avec des appareil construits de façon provisoire et assez 
imparfaits j'ai obtenu une précision allant au moins jusqu'au centième 
de milligramme, mais quelquefois jusqu'au cinq-centième. Des résultats 
numériques sur la précision que l'on peut obtenir avec cet aréomètre 
dans la mesure de forces très petites seront publiés dans une note 
prochaine, sur la détermination des densités et des masses de quantités 
très petites d'un solide. 

Cagliari, Cabinet de jihysique de V Université. 



UEBER CIIARACTERISTISGHE CURVEN BEI DER ELECTRISCHEN 
ENTLADUNG DURCH VERDUNNTE GASE 



EDUARD RIECKE. 



1. Die Erscheinungeu cler stroraeiicleii Electricitat boten der Uuter- 
sucliuug vou Aufang an zwei verscliiedene Seiteu dar. Man konnte 
einmal den Strom als etwas gegebenes betrachten und nacli den Wir- 
kungen fj-agen^ die iu der Umgebung des Stroraes in seinem Eelde, sich 
vollziehen. Man konnte andererseits die Prage nach der Natur des 
Stromes selbst nacli seiner Abhiingigkeit von den in seinem Leiter wir- 
kenden Kriiften uud von der Bescliaffenlieit des Leiters zum Gegenstand 
der Untersuclinng machen. 

Die Wirkungen in dem Eelde des Stromes liaben in der Maxwell- 
HERTz'schen Théorie ihre. einfachste Darstelluug gefunden. Von dem 
Yorgang der galvanisclien Stromung selbst schien die alte Yorstellung 
Coulomb's noch immer ein besseres Bild zn geben. So entwickelte sich 
auf der einen Seite die Théorie des electromagnetischen Teldes, welche 
den Eanm als ein Continuum betrachtet^ anf der anderen Seite die Théorie 
der electrischen Stromung in Leitern^ insbesondere in Electrolyten und 
Gasen, welche von der Annahme electrisch geladener Theilchen ausgeht, 
die durch weite Zwischenriiume getrennt das Innere der Leiter erfùllen. 
Obwohl die Kluft zwischen der alten und der neuen Théorie durch 
Helmiioltz nach verschiedenen Eichtungen hin ûberbriickt worden 
war, neigte sich doch die Meinung dahin, dass die Yorstellung von 
selbstandigen materiellen Theilchen, wie sie der Eluidumstheorie eigen- 
thumlich war, mit der MAXWELi/schen Auffassung uuvertraglich sei. 
Dass dièse Meinung eine irrige war, dass erst aus der Yerschmel- 
zung der beiden Yorstellungeu ein voUstandiges und einheitliches Bild 



182 EDUARD RIECKE. 

der electromagueiisclien Ersclieinuugeu sicli ergiebt liât ziierst iu be- 
wusster uud konsequeuter Durclifiihnmg H. A. Lorentz gezeigt. Zu- 
gleicli aber liât die Vorstellung vou der Existent materieller electrisclier 
ïheilclien voii lonen oder Electroiien^ vou experimenteller Seite lier eiue 
glauzeude Bestatiguug gefuiideii durcli die Ersclieiuuugeii der Kathodeii- 
stralilen und durch das directe ZEEMAN'sche Phiinomen^ das von Lorentz 
auf Grund seiner Théorie in so auscliauliclier und eiiifaclier \^'eise ev- 
klart worden ist. 

Die Vorstellungen der Jonentheorie haben zu einer Théorie der Ent- 
ladimg in lioch verdiiniiteii Uiiumen gefiihrt^ welche der Erfahruug voll- 
staiidig entsprichtj sie haben aucli auf die Erscheiuuugen der electrischeu 
Leitung in Luft von atinosphtirischem Druck eiue weitgelieude Au- 
wendung gefuuden. Sie sind ohne Zweifel auch fur die uocli fehlende 
allgemeine Théorie der Entladungen von grosster Bedeutung. Bei den 
Eutladungserscheinungen in Gasen von uiittlerem Druck handelt es sich 
aber niclit blos um eiue Liicke in der Théorie, sondern auch uni Liicken 
in der Eeihe der experimeutellen Thatsachen; der weitere Eortschritt 
wird also ebenso von experimenteller wie vou theoretischer Seite zu 
fordern sein. Zu unserer Kenntniss von der Natur der Kathodenstrahlen 
hat das Studiuin ihrer Veranderungen im Magnetfeld weseutlich beige- 
trageu. Eine zusammenhangende Untersuchung iiber die Wirkung des 
Magnetfeldes auf die Entladung bei beliebigem Druck des Gases diirfte 
daher auch fiir die Entwicklung der allgemeinen Théorie von Nutzen 
sein. In diesein Sinne enthalten die folgenden Mittheilungen eiue Er- 
gauzung der vorliegenden experinientellen Untersuchungen. 

2. Wenu ein electrischer Stroin durch eiue mit einem verdiinnteu 
Gase gefiillte GEissLEu'sche llohre hindurchgeht, so tritt an Stelle des 
OHM^schen Gesetzes eiue sehr viel compliciertere Beziehung zwischeu 
der Stroinstiirke und der Spanuungsdiiferenz der Electroden. Es ist bis 
jetzt nicht moglich bei gegebenerSpannungsdifferenz die Stroinstiirke aus 
der Natur des eingeschlossenen Gases, dem Grade seiner Yerdilnnung, 
aus der Eorm des Gefasses mit Hlilfe allgemeiner Eormeln zu berechncu; 
inau ist vielmehr in jedem einzelnen Ealle auf die empirische Ermitte- 
luiig jeues Zusammeuhanges angewiesen. Bei einer gegebenen liohre 
wird inaii so fur jeden Grad der A^erdiinnung eiue Curve konstraicïren 
koiinen, durch welche die SpannungsdilFerenz der Electroden als Eunc- 
tiou der Stromstarke gegeben wird. Mit Beniitzung einer in der Electro- 



UEBER CHARACTERISÏISCHE CUllVEN, U. S. W. 183 

techuik gebriiuchlicheii Bezeichiiuiig kaiiu inan eiiie solche Curve eiue 
„Characferisfik'''' der llohre iieuuen. ') Die folgenden Uutersuchungen 
beziehen sicli auf die Ahhàurjlgkeit der Chafacierhflk von der Verdiin- 
uung uud auf die Verduderuiigeii welche sie im Magneffelde erleidet. 
Die Eesultate gelten natiirlich zimiicbst uur fur die bestimmte, bei deii 
Versucbeu beuiitzte Er»bre; nadi dem^ was wir ilber Gaseutbiduugen 
wissen, wird man ihuen aber eine etwas allgemeinere Bedeutung in 
qualitative!" uud zum Tbeil aucb in qaantitativer Hinsicbt zuscbreiben 
diirfen. 

o. Die bei deîi Vevsucben beuiitzte Robre batte die Gestalt einer 
Kugel von 5/J cm. Radius. Deii verticaleu Durcbmesser der Kugel 
bezeicbneu wir als ihre Axe, deu Grosskreis, dessen Ebene zu der Axe 
senkreebt stelit, als ibren Aequator. In einer Meridianebene der Kugel 
liegt eine feste, kreisformige Electrode so, dass ibr Mittelpunkt in der 
Ebene des Aequators sicli befindet. Die Ebene der zweiten Electrode 
gelit ebenfalls durcb die Axe, aucb ibr Mittelpunkt liegt in der Ebene 
des Aequators; sie ist aber mit Hiilfe eines Schlitî'stiickes um die Axe 
di'ebbar. Bei deu im Folgenden bescbriebenen A^ersucben war die dreli- 
bare Electrode so gestellt, dass ilire Ebene mit der Ebene der festen 
einen Winkel von 90'^ bildete. Die Entfernung der Mittelpunkte der 
beiden kreisfiirmigen Electroden betrng dann etwa 0,5 cm. Die Rolire 
war mit Luft gefiillt. 

]'. Um deu Eiujlass élues Magneffeldes auf deu Verlauf der Cliarac- 
teristiken zu uutersucben, wurde ein cylindrisclier Electromagnet so vor 
der Eobre aufgestellt dass seine Axe mit dem Radius Vector zusammen 
tiel der von dem Mittelpunkt der Kugel zu dera Mittelpunkt der dreli- 
bareu Electrode ging. Die Abmessuugen im Einzelnen ergeben sicb ans 
der Eig. 1, welcbe im natiirlicben Maassstab gezeicbnet ist. 

5. Es wurden zuniicbst die Characteristiken der Ptobre bestimmt, 
olme dass der Electromagnet erregt wurde. Wir werden sie im Folgen- 
den als iieutrale Cbaracteristiken bezeiclinen. Als Stromquellen dieu- 
ten, nacb dem Grade der Verdiinnung, eine ïoPLEu'scbe Influeuzma- 
scbine mit -10 Plattenpaaren uud ein Hocbspannungsaccumulator von 



') W. Kaukjiann. (iott. Nachr. 18'J9. S. '243. 



184 



EDUARD RIECKE. 



1008 Eleraenteu, Zur Reguliermig der Stromstarke cliente ein Satz von 
lodcaclmium-Widerstauclen. Die Stromstiirken Avurden tlieils mit einer 




Tangentenbussole^ tlieils mit einem Ampermeter gemessen_, die Span- 
nungsdifferenzen der Electroden mit einem BRAUN'sclien Electrometei'j 
dessen Eeductioiisfactor auf Volt 1/225 betrug. Zu den Druckmessungen 
wurde die von Bessel-Hagen augegebene Méthode beniitzt. Die Resul- 
tate der J3eobaclitungen sind in der folgenden Tabelle 1 zusammen- 
gestellt : 



UEBER CHARAC'l'ERISÏlSOHE CUllVEN^ U. S. W, 

Tabelle I. 



185 





Spannungsdifferenz V der Electroden in Volt fur den 


iXio' 


Druck iu mm. Quecksilbev. 


Ampev. 


14.6 


10.2 


5.0 


1 
2.531.26 0.54 0.38 

t 1 


0.21 


0.085 0.033 


5 




















955 


10 






922 


575 


400 








597 


1220 


20 






560 


453 


320 


311 


360 


360 


755 


1680 


40 






433 


385 


317 


359 


404 


434 


947 




80 






417 




322 


440 


517 


578 


1330 




120 


738 


612 


425 


370 


352 


546 


622 


723 






160 


740 


618 


440 


368 


392 


660 


700 


875 






200 


755 


630 


445 


369 


412 


710 


760 








600 














1235 








700 












1120 










1100 










754 












1200 






493 


513 















6. Die Art uud Weise^ wiedie Aeudenmg der CharakteristiJc in einem 
Magnetfelde untersucht wurde^ muge an einem Beispiele ei'lautert werden. 

Dev Druck in der Kugel betrug 0^45 mm. Es wurde nun ein be- 
stimmter lodcadmium-Widerstand vorgeschaltet^ und der Strom der 
Accumulatorenbatterie durch die Kugel geschlossen; dabei war die 
Electrode A der Fig. 1. Kathode. Es ergaben sich die zusammengeho- 
renden AVertlie von Stromstarke und Spannungsdifferenz : 

i = 11,77 X 10 -■' Amper., e^ = 330 Volt. 

Nun wurde, wiilirend der Widerstand im aeusseren Kreise derselbe 
bliebj tler Electromagnet erregt^ und zwar so^ dass sein Nordpol stets 
der Kugel zugewandt blieb. Es wurden dabei vier verschiedene Strom- 
stiirken, zuerst iu aufsteigender, dann in absteigender Ordnung ver- 
wandt^ und jedesmal die zugehorigen Einstellungen des Voltmeters ab- 
gelesen. So ergaben sich die folgenden zusammengeliorenden Werthe 
der Starke / des magnetisierenden Stromes und der Spannungsdifferenz 
e der Electroden : 



186 EDUAllD RIECKE. 



/. (A.np.) 


0.5 


1.7-1. 


3.83 


5.38 


3.90 


1.77 


0.5 


e. (Volt.) 


330 


356 


368 


4-16 


371 


361 


350 



AVurde der inagnetisiereiide Strom uuterbrocheii, so stellte sicli die 
Stronistiirke wieder auf 11.78 X 10^"' Amper^ die Spannuugsditfereiiz_, 
(?„ der Electroden auf 328 Volt. 

Dieselben Beobachtungeu wurdeu uuii mit audereii vorgesclialteten 
lodcadraiuiii-AViderstanden wiederholt. 

Eiiie zweite Beobaclituiigsreilie wurde aiigestellt^ bei welcher die 
Electrode A als Auode diente. 

Bei einer dritten Beobaelitniigsreihe Avurde die Electrode A wieder 
zur Katbode gemacbt. 

Nach dem Abscbluss der Beobacbtungen wurde der Driick in der 
Kugel von neuem bestinimt; er war auf 0.38 inm. gesuukeii. Im Mittel 
kaiiu also filr die vorliegendeu Beobacbtungen der Diuck gleicb O.-ll 
mm. gesetzt werden. Bei boberen Drucken war eine solcbe Veriinderung 
der Gasdichte durcb deu Strom selbst niclit beobacbtet worden. 

Die Cbaracteristiken der Kugel fur die verscbiedenen Magnetfelder 
konnen mit Hiilfe eiiier einfacbeu Coustrnetiou gefuuden werden. Be- 
zeiclmen wir die Klemmenspaunung der Accumulatorenbatterie durcb 
s, die Sjjanuungsditferenz der Electi'oden durcb e, deu aussereu AYider- 
stand dnrcb w, die Stromstiirke durcb /, so ist: 

s — loi = e. 

Wir beniitzen nun die l als Abscissen, die e als Ordinateu eines 
recbtwirddigen Coordiuatensjsteins. Wenu s iiud w konstant bleiben, 
so liegen aile zusammengeborenden Wertbe von e uud i auf einer 
Geraden^ welcbe durcb deu Punct £ der g-Axe hindurcli gelit. Eiu 
weiterer Punkt dieser Gcraden ist aber dadurcb gegebeii, dass bei 
iiiclit erregtem Eelde zwei zusanimengeborende AVertbe von l und e 
bestimmt worden sind, z. B. i = 11.77 X 10~*' Amper, e^^ = 3:!1_) 
A'olt. Verbinden wir also den Pnnkt s der S])annungsaxe mit dem 
durcb die Wertbe i und e^ gegebeneu Punkt^ so liegen aile Punkte, 
welcbe bei gleicbem iv zusammengeborende Wertbe von i und e dar- 
stellen, auf der Verbindungslinie. Wir erhalten somit Punkte der 
Cbarakteristiken fiir die verscbiedeneu Magnetfelder wenu wir auf jener 
Verbindungslinie die Puidcte sucben deren Abstande von der Axe i 
gleicb den beobacbteten SjjaunuugsdilTerenzen (^ sind. 



UEBER CHAUACTERISTISCHE OURVEN, U. S. W. 



187 



Die Eesultate der Beobaclituugeu siiid iii deii folgeiideu Tabelleu 
zusamiueiigestellt; dabei siiid die Spauimiigsdiirerenzeii, welebe deii 
verschiedenen Magiietfeldeni eiitspi'eclion, auf gieiche Stiiikeu des Ent- 
laduugsstroines i redociert. 

Tabelle II. 
Electrode A Anode. Druck 0,11 luiii. 



iXio^ 


StJivke des magnetisierenden Stronis iu i 


imper. 


Amper. 





0,5 


1,7 3,8 


5,3 


20 


393 


393 


405 


475 


500 


40 


438 


438 


460 


500 


540 


80 


530 


530 


547 


567 


620 


120 


632 


632 


632 


624 


670 


IGO 


704 704 


698 


678 


700 


200 


753 753 


73S 


713 


720 


600 


1180 


1130 


1093 


933 


912 



ïabelle Tll. 
Electrode ../ Katliode. Druck 0,41 inni. 



iXio^ 


Stiirke des magnetisiereuden Stroms in 


Amper. 


Amper. 





0,5 


1.7 


3,8 


5,3 


20 


356 


356 


352 


380 


420 


40 


392 


382 


362 


392 


435 


80 


490 


417 


400 


423 


468 


120 


587 


505 


455 


460 


512 


1()() 


687 


600 


502 


498 


547 


200 


753 


658 


559 


527 


561 


(iOO 


1288 


960 


700 


597 


607 



Eine graphisclie Darstellung der Beobachtungen ist in den Eiguren 
2 uud 3 gegeben. Dabei sind die Curveu, welche dem niclit erregteu 
Eelde, der neutraleu Characteristik eutspreclien, stark ausgezogen. Die 



188 



EDUARD RIECKE. 



schwacli ansgezogeiieii Curveii gelioreu zu dei" Stromstarke 0,5 Amper^ 

Zu / = 1,7 Amper geliort die Curve ;, zu / = 3,8 die Curve 

, zu / = 5,3 die Curve 



( v^olt) 



1000 



800 



(300 



400 



200 







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y / ^^ 


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y / y 


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y_ 


^•:^" 






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■■'''" 






/\ /' / 


Fig.2. 














/ f 








\/l 










Electrode 


A Anode 












d'il 


Druck 


0,h1 mm 




'' /7 

























200 



400 



600 



1 xio' 

(Amper) 



UEBEll CHAllACTEPISTISCHE CURVEX, U. S. W 



189 



(Volt) 



1000 



800 



GOO 



400 




200 



A 

Druck 



KathocU 
OfUlmm 



200 



400 



600 



1X10' 
(Amper) 

Die Eiiiwirkung des Magnetfeldes auf die Characteristisclie Curve 
kauu man, wie der Anblick der Tigureu lehrt, dadurch beschreibeu 
dass mail sagt : 

Die ohie Magnetfeld anftretende Curve e^ loird durch ein Magnetfeld 
ivi Sinne des Uhrzeigers gedreht. Die Dreliwig nimmt zu mit der Sldrlce 
des Feldes^ and gleichzeitig rilckt der Drehuugspwikt, der Pmikt in dem 



190 EDUARD RIECKE. 

die IFirkw/g des Magnelfeldes verscliwivdet, auf der Carre e^ mi Sinne 
wnchsende.r SfdrJceii des Eniladimgssif ornes fort. 

Der Yergleich der Curven der Piguren 'l iind 3 zeigt dass die Dreli- 
mig der Characteristik sehr viel stiirker ist wenn A zur Katliode geinacht 
wird. Zugleich liegen in diesem Italie die Drelipmikte der Curven dem 
Aufangspuukte der Axe i selir viel niiher. 

7. Die im Vorliergeheudeu raitgetheilten Beobaclituugen legen die 
folgenden Schlilsse iialie. Der Eirijluss des Magnetfeldes sefzt sich ans 
zwei Theïlen zusarmnen von denen der eine auf den anodischen^ derandere 
auf den katliodischen Thei! der Entladung zu bezielien ist. lïie JFir- 
kung cmf die positive Entladung bedingt eine Erliohuiig des Entkidungs- 
potentiales, die auf die négative Entladung eine Yerminderung. Beide 
Wirkungeu hangeu von der Stjirke des Eutladungsstromes in verscbie- 
dener Weise ab, so dass bei scb.wachen Stromen die erboliende Wirkung 
auf die positive Entladung, bei starken Stromen die erniedrigende Wir- 
kung auf die négative Entladung iiberwiegt. 

Es giebt daher stets eine bestinimte Stiirke des Eutladungsstromes 
bei der das Maguetfeld keinen Eintluss auf das Entladuugs])oteutial bat. 
Die hierzu erforderliche Strorastarke waclist mit der Eeldintensitat. 

Die Wirkung des Magnetfeldes auf die positive Entladung bestelit 
in einer Yerlaugeruug der Strombahn, unter Umstanden auch in einer 
A-^erkleinerung ihres Quersclinittes. Beide tFmstande bedingen eine Yer- 
grosserung der Spannungsdifferenz. 

Die Wirkung des Magnetfeldes auf die négative Entladung besteht 
in einer Contraction des Katbodendunkelraumes und des Glimmlicli- 
tes, welclie bei stiirkeren Eeldern sehr bedeutend ist. Damit muss eine 
Verkleinerung des Katbodengefalles Hand in Hand geben. 

8. Die im Yorhergelienden gewonnenen Satze werden durcb BeohacJi- 
tungen bei anderen Graden der Verdilmmng bestatigt und ergiinzt. 

Bei hoheren Drucken batte das Maguetfeld nur einen kleineu Ein- 
tluss auf das Entladuugspoteutial. V>q\ dem Drucke von 14,6 mm. wurde 
das Poteutial um 6 Yolt vergrossert ^Yenn die Stiirke des magnetisiereur 
den Stromes 1/7 Amper betrug. Bei einem Drucke von 10,2 mm. batte 
derselbe magnetisierende Strom eine Erbohung des Potentiales um 16 
Volt zur Eolge. 

Aus einer lieihe von Beobaclitungen, die sich auf kleinere Dichteu 



UEBER CHAIiACTERISTISCHE CURVKN, U. S, ^\'. 



191 



der eingeschlopseiien Luft bezogeii, mogen diejeiiigeii hervorgehoben 
werden, welclie sicli auf die Druckc von 5 min., 1/20 iiiiii., O^OS inm. 
bezielien. Die liesultate siiid, auf gleiche Stiivken der Eulladmigsstroine 
bezogeii, in den folgenden Tabellen zusamniengestellt. 

Tabeile IV. 
Electrode A Anode. Druck 5,0 mm. 



iXio^ 


Stïirke des magnei 


isierenden Sti 


'oms. 


Amper. 





1,8 


2,7 


3,8 


20 


560 


037 


670 


725 


40 


433 


530 


581 


635 


80 


417 


407 


490 


545 


120 


425 


465 


478 


508 


100 


440 


525 


520 


563 


200 


445 


526 


528 


563 


1200 


493 


550 


572 


570 



Tabeile Y. 
Electrode A Kathode. Druck 5,0 mm. 



?;xio^ 


Stilrke des magnetisierendeu Sti 


•oms. 


Amper. 





1,8 


2,7 


3,8 


20 


560 


748 


791 


829 


40 


433 


624 


683 


745 


80 


417 


604 


643 


703 


120 


425 


563 


600 


647 


100 


440 


518 


555 


595 


200 


445 


520 


556 


597 


1200 


493 


530 


587 


628 



193 



EDUARD RIECKE. 



Tabelle VI. 



Electrode  Anode. Druck 1,2G mm. 



iXio^ 


Starke des magnetisiereudeu Stroins. 


Amper. 





1,8 


2,8 


3,8 


20 


320 


358 


368 


377 


40 


317 


365 


374 


408 


80 


322 


370 


400 


444 


120 


352 


410 


465 


487 


160 


392 


431 


505 


542 


200 


424 


490 


546 


596 


1000 


700 


700 


736 


739 



Tabelle VII. 



Electrode  Katliode. Druck 1,26 mm. 



^Xio^ 


Stiirke des magnetisiereudeu Sti 


ouïes. 


Amper. 





1,8 


2,8 


3,8 


20 


320 


378 


422 


482 


40 


317 


378 


426 


490 


80 


322 


378 


465 


520 


120 


352 


416 


477 


518 


160 


392 


466 


496 


551 


200 


424 


478 . 


512 


558 • 


1000 


700 


600 


600 


628 



UEBER CHARACTERISTISCHE CURVEN, U. S. W. 

Tabelle VIII. 
Electrode A Anode. Druck 0/)8 mm. 



193 



iXio^ 


St 


ài-ke des magnetisierenden Stromes. 


Amper. 





0,5 


1,7 


3,8 


5,3 


10 


597 


577 


557 


615 


661 


20 


755 


699 


639 


689 


748 


40 


947 


882 


816 


795 


842 


80 


1330 


1250 


1077 


947 


990 



Tabelle IX. 
Electrode A Katliode. Druck 0,08 mm. 



/Xio^ 


SI 


iirke des maguetisierendeu Sti'oms. 


Amper. 





0,5 


1,7 


3,8 


5,3 


10 


597 


478 


465 


540 


600 


20 


755 


588 


568 j 613 


659 


40 


947 


730 


686 690 


720 


80 


1330 


955 


890 


792 


825 



Die Zahlen der Tabelleii VI — IX sind in den Eiguren 4 — 7 gra- 
phisch dargestellt. Curven und Stiirken des magnetisierenden Stroms 
sind einander in folgender Weise zugeorduet. 

Stromstarke: , 0,5 , 1,8 , 2,8 , 3,8 , 5,3 
Curve : — , — , , , — . .. 



9. Die Beobachtmigen geben Veranlassung zu den folgeuden Be- 
merkungen. 

Bei liolieren Dracken zielit sich das négative Glimmlicht auf eine 
diinne Schichte zusammen, welclie die Kathode nur tlieilweise bedeckt. 

AllCniVES NÉERLANDAISES, SÉRIE II. TOME V. l'é 



194 



EDUAllD IIIECKK. 



Man wird also vermuthen, class iu diesem Falle wesentlich nur die 
Wirkung ziir Geltung komme, welche von dem Magnetfeld auf deii 
positiven Theil der Entladung ausgeûbt wird. In der That ergiebt 
sich bei dem Drucke von 5 mm. , und deun bei einem Drucke von 
2^5 mm., nitr eine Vergrosseriing der EidtadaïKjssimintniKj dnrcli den 
Magnet. Dasselbe ist auch noch bei einem Druck von l.'ZO mm. der 
Fall, Solange A Anode ist. Wird aber in diesem letzteren Ealle A zur 



(Volt) 



600 



400 



200 





^ J'; 


-'-'''' ^— - 


1^ 


/ 

/ y 
// / 

/ / / 
' ,' / y 

' ; / / 

/ / / X 


z^"" ^y"^^^ 


%,^. 




■' / / / 
' '' y / 
-'' / / 
-^ / 


A 
Druck 


Anode 
1,26 mm 













250 



500 



750 



1 X 10^ 

(Amper) 

Kathode gemaclit,, und dadurch die Wirkung des Feldes auf dem 
kathodischen Theil der Entladung verstiirkt, so tritt bei etvva 500 X 1^"'' 
Amper Entladestvom eine Verr'mgenmg der Spanmii/gadlfferenz durcli 
das Magnetfeld ein. Innerlialb der Grenzen der Beobaclituug verlaufen 
aber die magnetiscli gestorten Characteristiken immer noch so, dass sie 
bei grosserer Eeldstarke uach oben riiekcn. Daraus folgt aber weiter 
mit Nothwendigkeit, dass innerhalb der Grenzen unserer Beobachtung 
eine Eeldstilrke existiren muss, bei welcher die magnetùche Stunmg der 



UEBEli CIIAKACTEUISTISCHE CURVEN, U. S. VV. 



191 



C tir ce ^0, der neutralen Characteristik, eiii Maxim nui, ist, Der Aublick 
cler Figur zeigt, dass dièse Feldstiirke in der NiUie deijenigen liegen 
muss, welclie durcli die Strciine von 1,S und 2^8 Aniper erzeugt werden. 
Bei der Betraclitung der Eiguren 4 und 5 fiillt nun aber ein Umstand 
auf, der mit uuserer Auffassung in einem gewissen Widerspruch zu 
stelien scheint. Die Vergrosserung der Entladespannimg durch den 
Magnet ist erlieblich stiirker, wenn A Kathode ist als wenu ./ ziir Anode 
gemaclit wird. Dasselbe Yerhiiltniss ers-ab sicli bei allen Beobaobtungen, 



(Volt) 




250 



500 



750 



1 X 10* 
(Amper) 

die bis Drncken gn'isser als O^M mm. angestellt worden waren. Erst 

Yon diesem Druck an kehrt sicb die Sacbe uni; von da an war allge- 

mein die anfilngliche Vergrosserung der Entbvdespannnng kleiner_, wenu 

A Katliode^ als wenn A Anode war. 

Das zuerst erwidmte Verliilltuiss, welcbes in den Fig. t und 5 sehr 

deutlicb ausgeprilgt ist, weist auf eine As^mmetrle der WirJmiigeu \\m, 

die sicb auch in der Entwicklung der Licbterscbeinung zeigt. Bei einem 

Druck von 5 mm. war die Licbterscbeinung im allgemeiuen auf zwei 

13* 



196 



EDUARD RIECKE. 



dûune LichthLiutcheu beschriuikt, welche einen Tlieil der Electroden- 
oberlliichen bedeckten ; der Zwisclieuraura zwisclien deu Electroden war 
dunkel. Nur wenn die Electrode A Kathode war^ traten bei schwacheren 
Stromeiij bis zu 30X10"""' Amper, im Magnetfelde Bûscliel auf^ welche 



(Volt) 



1000 



800 



GOO 




1X10' 
(Amper) 

stark uacli uuteu gebogeu die Electroden verbandeu. Bei kleiuerem 
Druck traten unter deuselbeu Bediuguugen Biischel aucb dann auf, 
wenn die Electrode A Anode war; die Biischel waren nach oben ge- 
bogeu, aber die Abweichung von der geradliuigen Bahn war geringer 
als in dem vorhergehenden Ealle. Es wiLre hiernach muglich, dass die 



IIEBER CIIARACTERISTISCRE CURVEN', U. S. W. 



197 



erwilhiiten Unterscliierle in der Entladespannang in einer verscliiede- 
nen Lilnge der Stroinbalin iliren Grund hiltten. 

Die DurcJiIn-eiizMJig der Charaderl^f'il-cn welche zuerst bei dein Druck 
von 1,26 mm. beobaclitct wuvde, und zwar nur, wenn ./ Katbode war, 



(Volt) 



1000 



800 



(ÎOO 









/ 




Flg.T 






A 


Kathode / 






Druck 


0,08 wm/ 




/ 






y^ / 


y 








" 




/^.-; 






V ^-/^ 


-'''^ X '''^ 






/ / y 

y / ^ 
■ / / 

/ // 








/ / 

1/ 









50 



1X10^ 

(Amper) 



trat bei den folgenden Verdilnnungen unter alleu Umstauden ein. Die 
FigLireu 2 und 3, welche dem Druck von 0,41 mm. entsprechen, bieteu 
hiefûr ein Beispiel. Da aber die Kreuzuugspuukte mit abuehmeudem 
Druck uach der Seite der kleiueren Stromstarkeu sich verschiebeu, so 
entzielien sie sicli bei sehr kleinen Drucken wiederum der Beobaclituug. 



198 EDUAllD RIKCKE. 

Bei dem Druck von 0^,08 mm. treten inuerlialb der Beobachtungsgreiizen 
imr uocli zwei Kreuzungspuiikte auf wenn A Auode^ iiiu' nocli eiiier^ 
wenn A Katliode war, und zwar eutsprcchen dièse Punkte den stiirksten 
Magneifeldem. Bei noch kleinereu Drucken wurdeu dei' Kveuzungs- 
punkte niclit melir beobachtet. 

10, Bas rjesamude Verhalten hanii auf Grnnd der hesprochenen 
Beohachtimcjen i)i folgender Weise charakferisieri loerdev.. 

Die Cliaracteristik, welche olme Magnetfeld erhalten wird, werde mit 
(?„ bezeichnet. Wenn man von kleinen Stromsturken zu imraer grusseren 
fortschreitet^ so uehmen die Ordinaten der Cliarakteristik e^^ erst ab, dann 
zu. Die Cliaracteristik ^„ nennen wir die neutrale. Die Stiirke des Entla- 
dungsstromes bezeichnen wir durch i, die des magnetisierenden durcli /. 

Die im Magnetfeld erhaltenen Cliaracteristiken e liaben _///>• scJncacJie 
Eniladungsstrdme i grossere, fïir sldrkere EnUaduugssfruuie kleinere 
Ordinaten aïs e^. Bei Ideïnen Sfronisturîcen i liegen die Ciirveu e tivi so 
hôher, bei grossen %m so fie fer, je grosser die Feldintensitdt. 

Bei gewissen mittlereu Stromstiirken durclikreuzen die Characteris- 
tiken e im Magnetfeld die neutrale Cliarakteristik e^^. In den Durcli- 
kreuzungspunkten, den neulraJen Punklen, ist der Einfluss des Maguet- 
feldes Null. 

Bei konstantem Druck verscliieben sicli die neutralen Punkte mit 
zunelimender Eeldstarke im Sinne der waclisenden i. 

Bei abnelimendem Druck verschieben sioh die neutralen Punkte im 
Sinne der abnehmenden i. 

Aus der Verschiebung der neutralen Punkte bei konstantem Druck 
folgt mit Notliwendigkeit, das auch die Cliaracteristiken e, welche ver- 
schiedenen Feldintensitaten entspreclien, sicli wechselseitig in mannig- 
faclier Weise durclikreuzen miissen. Da die neutralen Punkte der Clia- 
racteristiken e mit wacliseuder Feldintensitilt nacli der Seite der wacli- 
senden i, nach oben riicken, so miissen die Durclikreuzungspunkte der 
e immer unter der neutralen Curve e^^ liegen; d.li. die Durclikreuzungs- 
punkte der e liegen aile in dem Gebiete der erniedrigten neutralen 
Spannung e„. In dem Punkte^ in dem zwei Curven e-, und ei-, entspre- 
cliend den Peldintensitaten J^, und .Ç>/,, sich durchkreuzeu, erniedrigen 
die Eeldwirkuugen das neutrale Potential e^ um deuselben Belrag. Fiir 
■ eine zwisclien J^, und ^Ç)/. liegende Feldintensitiit muss daim die Eruie- 
driguug ein Maximum seiu. 



UEBEIJ ClfAllACTKUJSTISClIE ClIRVEN, U. S. W. 199 

Aile dièse Scliliisse werdeii durcli die Beobaclituugen in vollen Um- 
fange bestiltigt. Auch von Paalzow nnd Nkesen ^) sind die erwillinten 
Maxima der Wirkung beobachtet wordeu. 

11. Der Charader der Enlhubingen wurde m\i ç\\\ç.vù. rotierenden 
Spiegel und durcli Einschaltuug eines sehr empfindliclien, lautsprechen- 
den Teleplioues von Sikmi:ns untersucht. 

Die positive Entladnng erzeugte im rotiereudeu Spieyfd, unter allen 
Umstilnden eiuen ruthlichen liing von vollkommen gleiclimiissiger Hel- 
ligkeit. Nur in den bei den Drucken von 5 mm. und 2,5 mm. erwiihn- 
ten Fallen, wo bei kleinen Stromstarken i im Magnetfelde biischelfor- 
mige Entladnngen auftraten, iinderte sich das Bild. Zu dem rothlichen 
Ringe traten nocli scharf getrennte Ennken; ihre Zalil konnte leicht 
bestiinmt werden, indem man gleichzeitig mit dem Bilde der Entladnng 
das Bild einer singenden Elamme in i\e\\ rotierenden Spiegel beobach- 
tete; sie betrng 100 — 300 in der Secnnde. 

Anch der blaue Ring, der durch das Kathoden-Glimmlicht im rotie- 
rendeii Spiegel erzeugt wurde, zeigte in der Regel eine vollkommen 
gleichmilssige Helligkeit. Nur wenn bei hoheren Drucken das bekannte 
Elackern des Glimmliclites eintrat, zeigten sich auf dem gleichmiissigen 
Grunde des Liclitringes, melir oder weniger regelmiissig vertheilt, hel- 
lere Punkte. Ilire i\_nzalil in der Secnnde schwankte von 50 bis iiber 
2000. Es ergab sich aber dabci noch eine eigenthûmlicheBeobachtung. 
Das Glimmlicht blieb nicht auf der Eliiche der Kathode beschrankt son- 
dern ging beinahe immer auch auf die andere Flache hiniiber. Man 
konnte nun in dem rotierenden Spiegel entweder die der Anode zuge- 
wandte Vorderseite, oder die davon abgewandte Rûckseite der Kathode 
beobachtcn. Im letzteren Ealle ervvies sich das Glimmlicht unter allen 
Umstanden als stetig; hellere Punkte im Lichtkreise traten nur auf der 
Vorderflache der Electrode auf. 

Die Untersuchung mit dem Telephon zeigte, dass die Entladungs- 
'strome doch nur in verhultnissmiissig wenig Ealleu wirklich stetig waren. 
Bei hoheren Drucken schwieg das Telephon nie still, sondern erzeugte 
je nacli der Art des Entladungsstroraes ein ziemlich lautes Brausen, 
oder ein leises, gleichmiissiges Summen. Erst bei einem Druck von 0,41 
mm. schwieg das Telephon in der Regel bei mittleren Stromstarken; 



') Wied. Aiin. Bd. 63. p. 209. 



200 



EDUARD RIECKE. 



docli stellte sich auch da zuweilen eiu leises Summen eiii, Bei dera iJruck 
von 0/21 mm. wareu die Entladuiigen meist stetig; nur in wenigen 
Eallen wnrde ein leises Summen des Teleplions geln'irt. Aucli bei den 
Di-acken von 0/J8 und 0,03 mm. liatteu die Entladungen iin Wesent- 
liclien den Charakter der Stetigkeit. 

12. Ueber die Be.scïia(fritJieii des MagueffddeH giebt Eig. 1 Aus- 
knnft. Die ausgezogenen Linien, welche die Kraftlinien durclischneiden 
sind Linieii gleicher Feldstiirke. Die Wertlie der Feldstarken, dereu 
Messung ich Berrn Dr. Stark verdanke sind fiir die liauptsaclilich 
verwandten magnetisierenden Strome in der folgenden Tabelle zusam- 
mengestellt. 

Tabelle X. 



Intensittits 


Stiirke des 


magnetisierenden Stromes 


/. Amper. 


Curve. 


0,5 


1,7 


3,8 


5,3 


I 


15 


139 


322 


455 


II 


33 


105 


233 


333 


III 


22 


72 


161 


227 


IV 


15 


50 


111 


155 


V 


11 


33 


78 


111 


VI 


8 


25 


61 


83 



Die Beobaclitungeu wiirdeu dadnrcli gepriift dass die Werthe der 
Eeldintensitïiten fiir die mit den Zalden 1 — 5 bezeiclmeten Pnnkte der 
Intensitiitscurven mit Hiilfe der bekannteu Eigenschaft der Potential- 
flaclien aus den in der Axe gefundenen Werthen abgeleitet wurden. Es 
ergab sich so die folgende Zusammenstellung berechneter und beobach- 
teter Eeldintensitaten S^ fiir einen magnetisierenden Strom von 5,3 
Amper. 





1 


2 


3 


4 





p berechnet 


477 


336 


231 


138 


113 


.p beobachtet 


455 


333 


227 


155 


m 



UEBEIl CHARACTERISTISCHE CURVEN, U. S. W. 201 

Gelit raau liiugs der betracliteteiiKraftsriihreii fort^ so ergiebt sicli aus 
flem Verhiiltniss cler Quersclmitte : 

^Ç>, i •Ç'r. = '3,9, 
dagegen aus den Beobaclitungen : 

^?. I ^Ç>5 = 4,1. 

Die Uebereinstirainung ist eine fiir die Zwecke der vorliegeiideu Ar- 
beit geiiûgeude. 

An der Electrode A laufeu die Kraftlinien mit der Fliiclie der Elec- 
trode parallel. Die Feldintensitiit in der Mitte der Electrode liât fur die 
verscliiedenen raagnetisiereuden Strome / die folgenden Wertlie : 

/Amper 0,5 1,7 3,8 5,3 

Eeldstarke 47 114 335 473 

Eiir den Mittelpunkt der Electrode B ergiebt sicli die folgeude Zu- 
saramenstellung : 



/ Aniper 


0,5 


1,7 


3,8 


5,3 


Ganze Eeldstiirke 


19 


62 


138 


194 


Componente parallel 
zur Electrodeuflaclie 


9,5 


31 


69 


97 


Com])onente senkrecht 


16,5 


54 


119 


168 



INDICES DE RÉFRACTION DE SOLUTIONS DE CHLORURE DE CALCIUM 



G. J. W. BREMER. 



§ 1. Le but de cette recherche est de contribuer à \a détermination 
du rapport entre la réfraction de la lumière par les solutions salines et 
la concentration des solutions. 

M. B. Walter ') conclut des observations de plusieurs savants et 
de quelques-unes faites par lui-même, ({ue Tindice de réfraction aug- 
mente proportionnellement à la concentration, exprimée par le poids du 
sel anhydre p, dissous dans 100 grammes de la solution. Soit u Tindice 
de réfraction de la solution saline, w^ celle de Teau pour les mêmes 

rayons de lumière, on trouve que ^ est constant. 

Les observations citées en preuve se rapportent à des rayons déter- 
minés pour chaque sel. 

Il me semblait à désirer que les oliservations fussent étendues à des 
rayons de diH'érentes longueurs d'onde, afin de contrôler la relation 
trouvée par M. Walter pour différents rayons, mais surtout dans le 
but de déterminer le pouvoir réfringent de solutions à différente con- 
centration et pour différents rayons lumineux. 

^^3 — 1 

Le pouvoir réfringent fut calculé par la formule - , ., . ^, - = con- 

^ ^ ^ {n'-\-2)d 

stant, déduite de la théorie électromagnétique de la lumière par 



*) Wai-tkr. Ueber die Brecliungsexponeiiten von Salzlôsungen. Wied. Ann. 
38. p. 107. 



INDICES DE llÉFRAOriON DE SOLUTIONS, ETC. 203 

IL A. LoitENTZ 1), flniis la quelle n = indice de réfraction et r/ la 
densité de la substance. 

§ 2. Pour la mesure des indices de réfraction je me suis servi d'un 
spectromètre de Schmidt und Haensch de Berlin. 

Le cercle est divisé en demi-degrés. Aux deux bouts d'un diamètre 
se trouvent des verniers, qui permettent de mesurer les minutes. 

L'indice de réfraction fut calculée par la déviation minima. 

Les liquides sont enfermés dans un prisme de verre creux, fermé par 
des glaces parallèles. 

Pour s'assurer du parallélisme des glaces, on fit rcfiecter la lumière 
par les parois du prisme et on l'observa par une lunette. Puis on versa 
du mercure dans le prisme, et on vit que l'image ne fut pas déplacée. 
De ])lus on constata que les rayons transmis par le pi-isme vide ne furent 
pas déviés. En mesurant l'angle réfringent du prisme, il fut constaté 
qu'il demeurait constant, quand on fit varier l'angle d'incidence des 
rayons eu tournant la plate-forme centrale sur laquelle le prisme est fixé. 

Les indices de réfraction furent déterminées pour les trois raies du 
sjiectre d'Iiydrogèue II x^ Ili2 et Ily, et pour la raie jaune de sodium. 

Par-dessus j'ai calculé, par la fonnule de Cauchy ;/^a-f- 7-, l'indice 

de réfraction a pour une longueur d'onde infinie en employant la mé- 
thode des moindres carrés. 

§ 3. La réfraclion dans Veau. D'abord j'ai déterminé l'indice de ré- 
fraction de l'eau. 

L'angle réfringent du prisme fut trouvé ./ =51° 45'. 
La température de l'eau était 16'^. 
Les déviations ï) furent : 

pour la raie rouge d"hydrogène Ux 19° 15' 30" 
la raie de sodium 1) 19° 24' 30" 
la raie verte d'hydrogène 7/|3 19° 39' 
la raie bleue d'hydrogène Ey 19° 45' 30" 



') H. A. LoRKXTz. Wied. Ann. 9. p. 641. La même formule fut donnée par L. 
LoRENz. Wied. Ann. 11 p. 70 en adoptant l'action de forces particulières entre 
les particules de l'ether et celles de la matière. 



204 G. J. W. BREilEll. 

. AA- n 



sm 



2 

Par la formule n = on trouve: 

. A 
sm — 



Hcc V = 1,3308 
B 1,3332 

H^ 1,3371 

Hy 1,3389 

Les longueurs d'onde, qui correspondent à ces raies, sont : 

},ll^ = 0,0006562 mM. 
AD = 0,0005892 „ 
;,//^ =0,0004861 „ 
Uly = 0,0004340 „ 

Par ces valeurs on trouve jiour les constantes h et a de la formule 

n = a -] z^à = 0,26984 X 10 "« et a = 1,32505. 

Quand on calcule les indices de réfraction en employant ces constan- 
tes, on obtient une concordance satisfaisante entre les valeurs calculées 
et celles qui résultent de Tobservation: 

calculé observé ditférence. 

uHc, 1,3313 1,3308 + 0,0005 

nD 1,3328 1,3332 — 0,0004 

uH(3 1,3363 1,3371 — 0,0006 

nHy 1,3394 1,3389 + 0,0005 

jg2 1 

Le pouvoir réfringent 7— ^ — ; ^ — - est donc: 

^ ^ {ir ~\- 2) d 

A = 00 Ilcc J) Hj3 Hy 

0,20143 0,20466 0,20603 0,20819 0,20921 

. n^ 1 

11 est évident que Texpression j—^ — - — — — augmente, si n accroît et 

par conséquent si la longueur d'onde diminue. 



INDICES DE RÉFRACTION DE SOLUTIONS, ETC. 205 

§ 4. Les Solutions de cJdornre de calcium. Le sel anhydre, aussi bien 
que les solutions privées d'air par ébullition, est pesé dans des flacons. 
Toutes les pesées sont réduites au vide. Pour ce but il fallut mesurer 
la densité du sel_, ce que j'ai effectué par un voluménomètre, et celle des 
solutions, pour laquelle me servait le procédé du flacon. La densité du 
sel anhydre fut trouvée 1,6951 '). 

Le sel cristallisé pur fut assez prudemment déshydraté de sorte que 
le résidu était exempt de réaction alcaline. En titrant une solution du 
sel anhydre avec une solution de nitrate d'argent la quantité de chlore 
fut trouvée 6o,G7%_, tandisque théoriquement elle doit être 03,90/4,. 

En outre l'absence du fer, du magnésium et des métaux alcalins fut 
prouvée par les réactions connues. 

§ 5. SohUiou I. Le poids de Cad, dissous dans 100 grammes d'eau 
était 24,4050 grammes, ou dans 100 grammes de la solution 19,6505 
grammes. Ce dernier nombre, la quantité centésimale du sel, est repré- 
senté parj';. 

La température de la solution était 13°. 

L'angle réfringent A ^51° 42' 35". 

La déviation des rayons B : 

lU 22° 22' 30" 
n 'l'l° 29' 30" 
H^ 22° 49' 
Hy 23° 3' 

Par conséquent les indices de réfraction : 

uHcc = 1,38137 

nD 1,38323 

nu^ 1,38842 

nHy 1,39223. 

Les constantes de la formule de Cauchy se trouvent alors : h ^= 
0,36749 X lu "^ a = 1,37277. 



') BuEMER. Solutions salines. Recueil des trav. cliim. des Pays-Bas Vlll p. 268. 



206 G. J. VV. BREMEK. 

Les indices de réfraction calculées sont donc: 

Calculé observé différence 

uHcc 1,38130 1,38137 —0,00007 

^^i) 1,38335 1,38323 -f 0,00012 

;^iï/3 1,38832 1,38842 —0,00010 

7^ffy 1,39228 1,39223 +0,00003 

La densité de la solution à 0" était: ^/q = 1,17824 

à 13" d =1,17210 

n^ — 1 
Le pouvoir réfringent .-^rn — rv^, se calcule donc à : 

(yr+2)r/ 

A = co Hx Hd H^ Hy 

0,19427 0,19826 0,19912 0,20151 0,20327 

Les différences des indices de réfraction pour les mêmes rayons de la 
solution T et de Peau évaluées en quatre décimales sont : 

A=-x) m n H^ H fi 

n — n^ 0,0477 0,0506 0,0500 0,0513 0,0333 

Les différences causées par un gramme du sel anhydre dans 100 gram- 
mes de solution : 

n Un A = 30 Ha D Hy Hy 



p 0,002428 0,002574 0,002544 0,002609 0,002712. 

§ 6. Solution IL Dans 100 grammes d'eau il était dissous 15,0594 
grammes de Ca Cl.^, d'où p ^^ 13,0881 grammes dans 100 grannnes de 
la solution. 

La température = 16". 

L'angle réfringent A = 51 '',43'. 

La déviation des rayons D: 

Ha 21° 17' 50" 
n 21° 26' 20" 
Hfi 21° 43' 50" 
Hy 21'^ 57' 30" 



INDICES DE RÉFÎlACriON DE SOLUTIONS^ ETC. 207 

Par cela les indices de réfraction : 

niicc = 1,36405 
UD 1,36631 

uH^ 1,37100 
njiy 1.37474. 

h 

Les constantes de u = a -\ 

/, = 0,3519S X 10-^ a = 1,35605. 

Par suite : 

calcule observé différence 

iiHx l,3642:i 1,36405 -f 0,00017 

UD 1,36619 1,36631 — 0.00012 

uH^ 1,37095 1,37100 — 0,00005 

nljy 1,37474 1,37474 0. 

La densité à 0° d^ = 1,11865 
à 16o d = 1,11139 

;^2 1 

Le pouvoir réfringent . ^ . ^. ., : 

A = 00 Ect D H^ Hy 

0,19660 0,20058 0,20170 0,20441 0,20585 

Les différences des indices de réfraction avec celles de l'eau pour la 
même longueur d'onde : 

A = oc Ra D H^ Hy 

u — n,, 0,0310 0,0332 0,0331 0,0339 0,0358. 

Les ditrérences causées par un gramme de substance dans 100 gramme 
de solution : 

n — ^0 A = co Hx D H§ Hy 

~f~ 0,002368 0,002537 0,002529 0,002590 0,002735 

§ 7. SuluUon [IL II était dissous dans 100 grammes d'eau 13,1291 
g. de Ca Cl^, donc p = 11,7576 y dans 100 grammes de la solution. 



208 .G. J. W. BREMEK,, 

La température de la solution était 20°. 



L'angle réfringent. 
La déviation D : 



A =51° 4.2' 11" 
Hcc 21° 3' 52" 
B 21° 10' 45" 
H^ 21° 26' 7."5 
Ily 21° 38' 15" 



d'oii les indices de réfraction: 






1,36040 
1,36225 
1,36637 
1,36962. 



Les constantes de ?^ = « -[- 



A^ 



h = 0,30819 X 10 -8 et a = 1,35330. 



Par cela ; 



calculé 


observé 


différence 


jiHcc 1,36046 


1,36040 


H- 0,00006 


HD 1,36218 


1,36225 


— 0,00007 


uH^ 1,36634 


1,36637 


— 0,00003 


UHy 1,36966 


1,36960 


-f 0,00004 



La densité à " 4 = 1,10612 
à 20" d = 1,09727. 



Le pouvoir réfringent 



^n^^'Z)d 



X= CO H ce B H^ Hy 

0,19776 0,20133 0,20226 0,20432 0,20593. 



Les différences des indices de réfraction avec celles de Teau pour les 
mêmes rayons: 



INDICES DE RÉFRAC'l'ION DE SOLUTIONS, ETC. 209 

i^ 0,0283 0,0296 0,0291 0,0293 0,0307 



?/g A = -o lix D Rg, H' 



y 



p 0,002403 0,002517 0,002475 0,002492 0,002611. 

§ 8. SuIiUioH IV. La quantité de CaCl.^ dissoute dans 100 grammes 
d'eau était 12,2954 grammes, et celle dans 100 grammes de solution 
;j = 10,9744 r/. 

Température de la solution = 17". 

Angle réfringent A = 51" 47' 54' 

Déviation des rayons 1) : 

Ih 20° 57' 

D 21° 1' 30" 

i//3 21° 21' 

Hy 21° 35' 

Par cela les indices de refraction: 

nUc, = 1,35776 
oiB = 1,35897 
nH^ = 1,36419 
oiuy = 1,36793 

Les constantes de n = a A r : 

A'- 

h = 0,35077 X 10 "^ «' = 1,34928. 

Et par suite. 

calculé observé différence 

niicc 1,35743 1,35776 —0,00033 

HD 1,35939 1,35897 + 0,00042 

HH^ 1,36413 1,36419 — 0,00006 

uHy 1,36790 1,36793 -f 0,00003 

La densité de la solution à 0" d^ = 1,09719 
à 17° d = 1,09053. 

,^3 \ 

et alors le pouvoir réfringent . „ , ^^ , : 

AKCniVES NÉERLANDAISES SKRIE II. TOME V. 14 



210 G. J. W. BUEMER. 

A = oo Ha. V Hfi Hy 

0,19695 0,20124 0,20344 0,20449 0,20637 

Les différences des indices de réfraction avec celles de l'eau pour les 
mêmes rayons : 



A= 00 


Hcc 


1) 


H^ 


Hy 


u — ;/„ 0,0242 


0,0270 


0,0258 


0,0271 


0,0290 


et 










■n :;/(, A = co 


Hoc 


I) 


H^ 


Hy 


p 0,002213 


0,002466 


0,002357 


0,002475 


0,002649 



§ 9, Sulntio'ii V. La quantité de Ca Cl^ dissoute dans 100 grammes 
d'eau était 10,2742^. et celle dans 1 00 grammes de solution^^ = 9,3 168^, 
La température de la solution =17" 



L'angle réfringent A =^ 51" 49' 45" 



La déviation des rayons H : 



Hcc 20° 42' 

D 20° 48' 

//,3 21° 6' 

Hy 21° 20' 



Donc les indices de réfraction 



nilx = 


= 1,35349 


iiD 


1,35510 


i/J]^ 


1,35992 


niiy 


1,30418 



Les constantes de la formule ;/ ^^ a A ^ 

A- 

h = 0,36071 X 10-^ a = 1,34488. 



Par cela : 










calculé 


observé 


dill'érence 


nu oc 


1,35325 


1,35349 


— 0,00024 


UD 


1,35527 


], 35510 


-h 0,00017 


nnf3 


1,36011 


1,35992 


+ 0,00019 


lllly 


1,36403 


1,36418 


— 0,00015 



INDICES DE liÉFIlACïION DE SOLdTIONS, ETC. 211 

La densité à 0" d^ = 1,08145 
à 17« d = 1,07990. 

Le i)ouvoir reiniiffeiit , , , — r^-- 



A = ce 


Hcc 


D 


H^ 


Hy 


0,19644 


0,30104 


0,20187 


0,20482 


0,20650 



Les ditiereuces des indices de l'éfraction avec celles de Peau pour les 
mêmes rayous : 

A=CO Ha D 11^ H y 

n — n^ 0,0198 0,0227 0,0219 0,0228 0,0253 

et 

n — ?/o A=co Ha D H^ Hy 

~^~ 0,002129 0,002437 0,002351 0,002447 0,002716. 

§ 10. Solution VI. Dans 100 grammes d'eau il était dissous 7,5396 
g. de Ca CL^ et par suite dans 100 g. de solution 7,0110 ^ = />. 
La température était 20°. 

L^mgle réfringent. A = 51° 52' \" 

La déviation I): Hx 20° 17' 

D 20° 33' 10" 

//^ 20° 48' 30" 

Ry 21° 2' 30" 

Alors les indices de réfraction sont : 

uRoc = 1,34914 
UD 1,35089 
nH(2 1,35491 
HHy 1,35866. 

r ^ , b 

Les constantes de n = a ~\ 

A- 

b = 0,31568 X 10-^ a = 1,34173. 

14* 



•m 




G. 


J, W. BE-EMER. 




D'où 














calculé 


observé 


différence 




UHa 


1,34908 


1,31914 


— 0,00006 




riD 


1,35085 


1,35089 


— 0,00004 




nH^ 


1,35513 


1,35491 


+ 0,00022 




nHy 


1,35854 


1,35866 


— 0,00012 



La densité de la solution r/„ = 1,06432 
à 20° d = 1,05389. 

Le pouvoir réfringent -r^^y^- 



0,20675 



• My 

0,20871 



A = (X) Rci D 

0,19981 0,20372 0,20464 

Les différences des indices de réfraction avec celles de Teau pour les 
mêmes rayons; 



A = oc 


Hcc 


D 


^/3 


Hy 


0,0167 


0,0183 


0,0177 


0,0178 


0,0189 


A= co 


m 


D 


^/3 


Hy 


0,002379 


0,002610 


0,002525 


0,002539 


0,002696. 



P 

§ 11. Coudimons. Les résultats de ces observations sont résumés 
dans le tableau suivant. 
On voit: 
1°. Le pouvoir réfringent des solutions du cblorure de calcium. 



exprimé par la formule de Lorentz -j-^ 



%)d 



ne dépend pas, pour les 



mômes rayons, de la concentration, et il diffère peu de celui de Teau. 

2°. Les différences entre les indices de réfraction d'une solution 
déterminée du chlorure de calcium et celles de l'eau calculées pour les 
mêmes rayons, sont à peu près de la même grandeur pour des ondes de 
différente longueur. 

3°. Pour les solutions du chlorure de calcium ces ditférences sont 

proportionnelles à la quantité de sel anhydre dissoute dans 100 grammes 

de la solulion. 

le. 29 Octobre. 1900. 



INDICKS DE REFRACTION DE SOLUTIONS, ETC. 



213 









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n3 













LA TENSION DE VAPEUR DE MELANGES TERNAIRES 



r. A. H. SCHREINEMAKERS. 



I, La surface Ç. 

Au moyen de la surtace \p de van der "W aals on peut se rendre compte 
des phénomènes qui^ dans les systèmes à deux constituants, se présen- 
tent entre deux phases liquides ou entre liquide et vapeur. Dans quel- 
ques mémoires précédents ') j^ni discuté, au moyen de la surface ^, les 
phénomènes que Ton peut prévoir dans des systèmes à trois consti- 
tuants, lorsque deux phases liquides ou davantage se trouvent en équilibre 
mutuel ou avec des phases solides. 

Jusqu'ici j'ai toujours exclu de mes considérations la présence de 
vapeur; dans ce qui suit nous traiterons des systèmes se trouvant sous 
la pression de leur propre vapeur. Comme pour la discussion complète 
de ce problème l'espace disponible dans ce recueil serait beaucoup tro]) 
restreint, je ne donnerai ici qu'une courte esquisse de la manière dont 
la question peut être traitée, tout en me proposant d'élaborer ultérieure- 
ment plus en détail les points de vue divers qui se présenteront. 

Représentons de la manière connue une phase ternaire de composi- 
tion déterminée dans le plan d'un triangle équilatéral. En laissant hors 
de considération l'état solide, on peut en général, se figurer cette phase 
sous trois états, savoir l'état liquide, l'état gazeux et l'état instable. 
Dans chacun de ses états, la phase pour des valeurs données de P et 7' 
a un potentiel déterminé que nous désignerons par ^/, c^v et ^m. Elevons 



') Arch. Néerl., série II, T. I. 411—454: T. II, 144—173. 



LA TENSION DE VAPEUR DE MELANGES TERNAIRES 215 

niaiiiteiiaiit sur le plan du triangle au point qui indique la composition 
de la phase une perpendiculaire, sur laquelle trois points par leur dis- 
tance au plan représentent les valeurs t^, <^v et ^m. Cette construction 
répétée, P et 7' restant les mêmes, ponr tous les autres points situés 
dans l'intérieur du triangle, fera naître trois surfaces qui ensemble con- 
stitueront la surface ^. 

Cette surface a donc trois nappes que pour abréger nous nommerons : 
nappe liquide, nappe (jazeuse et nappe inskible. Si l'on admet pour une 
phase ternaire l'équation d'état connue de van der Waals, dans 
laquelle a et h doivent alors être considérés comme fonctions des trois 
constituants, on sait que, ])our des valeurs données de T et P, V jjeut 
avoir une ou trois valeurs. S'il n'y en a qu'une seule le mélange ne 
peut présenter qu'un seul état, soit liquide, soit gazeux. Dans le second 
cas on peut s'Imaginer que le mélange, pour des valeurs données de P 
et T, présente les trois états. 

En étendant le raisonnement précédent à tous les mélanges des trois 
constituants qui peuvent être obtenus, on reconnaît facilement qu'il 
peut se présenter les cas suivants: 

1°. La surface ^ consiste en une seule nappe. 

2°. La surface t consiste en trois nappes. 

Dans le premier la nn])pe unique est soit une nappe gazeuse soit une 
nappe liquide, en général une nappe liquide sous pression très élevée, 
une nappe gazeuse sous pression très faible. 

Dans le second, les trois nappes peuvent avoir, l'une à l'égard de 
l'autre, des positions très différentes; toujours cependant la nappe insta- 
ble est la plus élevée parce que tni est toujours plus grand que (1,1 ou 
^'V. Quant à la position relative des nappes liquide et gazeuse on peut 
démontrer que tantôt l'une, tîintût l'autre sera située le plus bas et 
({u'elles peuvent aussi se couper. De plus il est facile de voir que par 
rap])ort à l'étendue des trois nappes également divers cas sont possi- 
bles. Ainsi par exemple toutes les trois peuvent s'étendre jusqu'aux 
plans limites, c'est-à-dire jusqu'aux plans menés perpendiculairement au 
triangle par ses trois côtés; mais d'autres cas encore sont possible. 
En effet, si sur le plan intérieur du triangle nous élevons une perpen- 
diculaire que nous promenons sur divers points du triangle, il pourra 
arriver que dans certaines positions elle ne rencontre qu'une seule nappe, 
p. e. la nappe liquide, dans d'autres positions soit seulement la nappe 
gazeuse, soit les trois nappes à la fois. On peut se représenter facile- 



216 F. A. H. SCHREINKMAKKIIS. 

ment les diiiers cas si l'on observe que la nappe instable est toujours la 
plus élevée. 

Une variation de température ou de pression fait varier la position 
et la délimitation mutuelles des trois nappes. 

Comme^ en général, si nous faisons abstraction d'actions critiques 

entre liquide et vapeur, ce ne sont que les nappes liquides et gazeuses 

qui jouent un rôle, nous ne considérons que ces deux dernières. 

d ^i à i^ 

On a . "— = Vi et =^ = Vf>, et comme / ,.> Ji il en résulte qu'une 
(' P dF 

élévation de pression fait monter les nappes liquides et gazeuses la nappe 

gazeuse toutefois plus rapidement que la nappe liquide. Aux basses 

pressions la nappe gazeuse est donc généralement située toute entière 

au-dessous de la nappe liquide. En élevant la pression on détermine 

d'abord une intersection des deux nap])es, ])uis la nappe gazeuse s'élève 

entièrement au-dessus de la na])])(! liquide. 

Comme -^777 =■ — yic t't — ^, = — -/ir, on peut de même déterminer quel 
à 1 f' L 

sera l'effet d'une élévation de température sur les deux noppes de la 
surface. Lorsque l'une des trois substances, p. e. A, n'entre pas dans la 
composition de la vapeur et que celle-ci par conséquent ne contient que 
B et C, on peut considérer la nappe gazeuse comme réduite à une courbe 
gazeuse dans le plan limite BC. vSi la vapeur ne contient qu'une seule sub- 
stance C on n'aura, au lieu de la nappe gazeuse, qu'un seul point situé 
dans la perpendiculaire an point C du triangle. Quant à la forme des 
nappes on démontre facilement que la nappe gazeuse est toujours con- 
vexe-convexe vers la bas : c'est ce qui arrive également dans la nappe 
liquide lorsque, avec les valeurs considérées de V et T, toutes les phases 
liquides restent homogènes; si, au contraire, il se produit deux ou trois 
couches liquides, la nappe liquide montrera un ou plusieurs plis, ainsi 
que je l'ai fait voir dans des mémoires précédents. 



LA TENSION Di; VAPEUR DE MÉLANCiES TERNAIRES. 217 

ir. MÉLAN(;es HOMOGÈNES. 

Dans ce cas ce n'est pas seiilenuMit la nappe gazeuse, mais encore la 
nappe liquide qui en chaque point est couvexe-convexe vers le bas. 
Parmi les divers cas possibles, notammeut qu'il n'y ait qu'une seule 
napiie, ou qu'il 3- en ait trois, pouvant oui ou non s'éteudre jusqu'aux 
plans limites, ou enfin que les nappes liquide et gazeuse se coupent 
ou non, nous ne considérons ici que le seul cas oi^i les nappes liquide 
et gazeuse se coupent. Il y a même dans ce dernier cas bien des possi- 
bilités diverses ; la sécante peut être ])ar exemple complètement fermée, 
elle peut également s'étendre dans un ou plusieurs des plans limites. 

Considérons ce dernier cas; soit, dans le fig. 1 a.^ h.^ la projection en 
pointillé de la cou])e des deux nappes. Supposons ensuite qu'au 
dessus de la portion Ca.^ h., la nap])e gazeuse soit située le plus bas, 
et qu'au-dessus de la portion a.^ h, B A il en soit de même de la 
nappe liquide. On peut maintenant faire rouler un plan bitangent 
le long de la surface t de telle sorte que l'un des points de contact 
soit situé dans la nappe gazeuse, et l'autre dans la nappe liquide. 

Soit encore ah la projectio]i de la sur le plan du triangle courbe de con- 
tact sur la nappe gazeuse et a^ b^ celle de la courbe sur la nappe liquide. 

Le triangle ABC est 
maintenant partagé en 
trois champs; si nous 
prenons un mélange ter- 
naire, d'une telle compo- 
sition qu'l soit donné 
par un point dans la 
portion Ca ù, le mélange 
ne pourra, sous les F et 
T considérés, prendre 
naissance que sous forme 
gazeuse. Si nous suppo- 
sons un mélange exprimé 
par un point compris 
dans la portion A Bb, a, 
ce mélange ne pourra exister qu'à l'état liquide. 

11 en est autrement pour les mélanges dans la ])ortiou ah b^ a^ ; ces 
mélanges se séparent, aux P et T cojisidérés, en liquide et vapeur. Dans 




218 F. A. H. SCHREINE.MAKERS. 

la fig. Ijles lignesjoigiiant les ])oiiits de ^/(^ aux points de «j ô, , représentent 
les projections des génératrices de la surface réglée^ formée par le mouve- 
ment du plan bitangent. Deux points conjugués pareils expriment les 
phases susceptibles d'être mutuellement en équilibre. C'est ainsi qu'un 
mélange de coinpositiou d se séparera en un liquide c, et vapeur c; le 
mélange // en liquide/, et vapeur/; h.^ se scindera en liquide h^ et va- 
peur h; etc. 

La figure permet de prévoir aisément ce qui se passera si l'on ajoute 
un constituant par exemplec au système de liquide et vapeur. 
C'est ainsi que par addition de C le liquide passera lentement à 
rétat de vapeur; l'addition de A ou B, d'autre part^ entraînera une 
transformation de vapeur en liquide. Il est clair que pendant une trans- 
formation pareille la vapeur et le liquide modifient continuellement 
leur composition. 

Cependant on peut transformer un liquide en vapeur ou inversement 
de telle manière que pendant cette transformation ils ne changent ni 
Tun ni l'autre de composition. Cela arrivera pour le com])lexe d, par 
exemj)le, si l'on y ajoute un mélange binaire, dont la composition est 
donnée ])ar le point d'intersection de la génératrice cc\ avec le coté du 
triangle. 

Soit ^ le potentiel d'une jdiase vapeur de composition 1, x et ij, et 
Çj celui de la phase liquide de composition 1, i\ et y, . 

On trouve sans peine, pour l'équilibre de ces deux phases: 

y K K . ^c, K, 

s — •'■ Â — y s~ = <~i ~- •*'] "^i y\ \ — 



C'./' 



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C'est-à-dire, pour P et T constants, trois équations et quatre varia- 
bles. D oii l'on déduit sans peine, considérant également P et 7' comme 
variables 

[y- (j-, — ./•) + s (y, — ^)] dx 4 [* (j-i — .'•) -|- / {y, —y)] du = Vi .0 dp—^^ .q dT 






LA TENSION DE VAPEUR DE MELANGES TERNAIRES. 219 

î^i -0 = î^i — î^ + (•'•— ^'i ) y^, + (j/—J/i ) ^ et 

''^1 -0 = '-îi —^1+ (•'— ■'•! ) ^^^. + (.y — j'i ) ^• 

Cette équation est relative à la courbe de vapeur nb; on peut en 
déduire une analogue pour la courbe liquide c/j ÏJ^. 

La tig. 1 s'a])plique à une température et une pressiou déterminées. 
Si l'on change un des paramètres l(;s deux courbes se déplacent, l'une 
et l'autre toujours dans la même direction. On montrera sans peine; 

„que rélévatiou de la pression dé2)lace les courbes liquide et gazeuse 
dans une direction telle que le champ du liquide devient plus grand, 
celui de la vapeur plus petit. L'iuverse a lieu quand la pression 
s'abaisse. 

Ou a de même: 

//que rélévatiou de température déplace les deux courbes dans une 
direction telle que le cliani]) de la vapeur devient plus grand et celui 
du liquide plus petit. L'inverse a lieu quand la température s'abaisse. 
Les deux lois précédentes se laissent déduire de difîerente manière, 
p. ex. du mouvement des deux nappes de la surface ^, et encore 
de Féquation ditf'éreutielle ci-dessus mentionnée, des courbes a/j et ^/j/!i,. 

Moditions la pression, 
la température restant 
constante, et ne considé- 
rons que la courbe liqui- 
de; à mesure que la 
pression s'élève , cette 
courbe se meut vers le 
point c, et coïncide à une 
pression détermijiée P,-,. 
avec c. Quand la tempé- 
rature s'abaisse, la courbe 
se meut dans la direction 
opposée. Cejieudant il y 

„. ^ ■"a ici plusieurs cas ima- 

Fig. 2. ^ 

giuables, dont nous n'en 
mentionnerons qu'un seul, très simple, représenté par la fig. 2. Soient 
Fa la tension de vapeur du constituant ./ à la température T, Fo celle 




220 F. A. II. .schrkini;ma.kers. 

de B et P,- celle de C. Posons de plus P,. > Pij ^ P„. La succession 
des courbes des liquides pourra être alors telle que le montre la tig, 2^ 
et la pression augmentera dans k; sens de 1 vers 8. Tous les liquides, 
exprimes ])ar les points d'une même courbe de liquide, ont la même 
tension de va])eur. C'est aiusi que la tension de vapeur de tous les liqui- 
des situés sur la courbe 3 est Pt , c'est-à-dire la même que celle du con- 
stituant 13. Sous cette pression, tous les mélanges exprimés ])ar des 
points situés du même côté de 3 où se trouvent les courbes 2 et 1, ne 
se rencontrent qu'à Tétat li(|uide. 

Partons à présent, à la température 7', il' une pression suj)érieure à 
P,.; dans ce cas les mélanges ne j)ourront se rencontrer exclusivement 
qu'à l'état liquide. Abaissons la pression jusque P^; seul le constituant 
B peut se trouver en équilibre avec de la vapeur. Abaissons la pression 
davantage; alors les liquides pouvant être en équilibre avec de la vapeur 
sont représentés ])ar exemple par la courbe liquide 8, et à mesure que la 
pression continue de s'abaisser, ce sont successivement les liquides des 
courbes 7, 6, 5 etc. qui peuvent être en équilibre avec de la vapeur, 
tandis que simultanément, ainsi qu'il résulte de la tig. 1, le domaine 
liquide se rétrécit et le domaine gazeux s'étend. Si finalement on dimi- 
nue la ])ression jusqu' au-dessous de P,,, la courbe liquide dispa- 
raîtra et les mélanges ne pourrons plus se rencontrer que sous forme 
de vapeur. 

On étudiera par la même méthode Pinfluence d'une modification de 
la température ou de la pression sur les mélanges ternaires. Je dois 
toutefois me borner à mentioimer ici simplement le mode de déduction. 
Considérons à cet effet une modification de pression sous tenq)érature 
constante, et prenons la vapeur c et le liquide Cj de la fig. L Supposons 
en outre le liquide et la vapeur dans une proportion telle que le com- 
plexe soit représenté par d. 

Aussi qu'on peut le déduire des deux nappes de la surface Ç, une 
modification de la pression ne déplace pas seulement les courbes ab et 
a^ />,, mais aussi, d'une manière générale, lesgénératrices. Abaissons p. ex. 
la pression; alors sous cette pression diminuée la nouvelle génératrice 
hk^ par exemple, ])assera par d; li se trouve sur la nouvelle courbe de 
vapeur, et h^ sur la nouvelle courbe de liquide. Au lieu du liquide c, 
et de la vapeur c, nous obtenons donc un autre liquide //j et une autre 
vapeur /i. C'est donc à dire (|ue par la modification de pression le liquide 
et la vapeur, non seulenu^nt moditient l'un et l'autre leur composition, 



LA TENSION DE VAPEUR DE MELANGES TERNAIKES. 221 

mais que de plus la quantité de ces deux phases change. En comprimant, 
la condensation sera terminée, en d'autres termes, la totalité de la va- 
peur aura disparu, quand on a élevé la pression jusqu'à ce que la courbe 
liquide passe par le point d. Inversement l'évaporation continuera 
jusqu'à ce que la pression a diminué de telle sorte que la courbe de 
vapeur appartenant à cette température passe par (L Prenant donc une 
pression intermédiaire entre les deux précédentes, on aura de la vajieur 
en présence de liquide; élevant la pression au-delà de la pression maxi- 
mum, ou l'abaissant au-dessous de se valeur minimum, d restera un 
mélange homogène, à l'élat liquide dans le premier cas, à l'état gazeux 
dans le secoiul cas. 

Quand le mélange d s'est séparé en phase vapeur et liquide, la mo- 
dification de jiression changera, ainsi que nous l'avons vu précédemment, 
la couiposition de ces deux phases. L'une et l'autre parcourent alors 
des courbes, dont les points initiaux ou terminaux sont en d, et dont les 
points conjugués sont situés de telle manière que les lignes de raccor- 
dement passent toujours par d. 

Les ])hénomènes prenant naissance lors de la distillation d'un mélange 
ternaire se laissent également déduire ])ar ce procétlé. Je me contenterai 
de mentionner le fait. Or on peut opérer une distillation de deux ma- 
nières princi])ales: sous pression constante ou à température constante. 
Supposons ce dernier cas, et soit c, (fig. 1) le liquide à distiller. Partons 
à présent, la température étant maintenue constante, d'une pression 
très élevée. Le point ^, est alors situé dans la domaine li(|uide et il ne 
peut donc se former de la vapeur. Abaissons la pression, nous finirons 
par atteiiulre une pression telle que la courbe du liquide passe par le 
point c^, et que par suite la formation de vapeur commence. La vapeur 
qui se dégage a en ce momeut la composition <\ Enlevons cette va2:)eur. 
Le liquide restant n'a plus à présent la composition c^, mais est exprimé 
par un nouveau point sur la ligne a^, dans le voisinage immédiat de 
Cj dans le domaine liquide. D'où il résulte que la distillation cesse donc, 
à moins ([u'on ne modifie la jiression de telle manière que la courbe 
liquide passe encore par le point nouveau. Il faudra donc abaisser la 
pression. Nous trouvons par conséquent que lors de la distillation la 
tension de vapeur du résidu diminue continuellement. 

Si Ton a abaissé la pression de telle manière que la courbe liquide 
correspondant à cette pression passe ])ar le nouveau point, la vapeur 
qui se dégage de nouveau aura uuc composition dift'érente de c; la 



222 F. A. H. SCHREINEMAKERS. 

vapeur et le liquide sout eu effet toujours exprimés par des poiuts con- 
jugués des courbes de vapeur et de liquide correspondant à une même 
pression. 

Le résidu liquide de la distillation parcourt donc dans sa composition 
une courbe: la courbe de distillation qui part de Cj, et le long de la- 
quelle la pression diminue continuellement dans le sens oii elle est par- 
courue pendant la distillation. Il est bien clair que par cliaque point 
du triangle A B G il passe une courbe de distillation_, et que dans le cas 
de la lig. 1 on obtieiidra un faisceau partant de C et se rejoignant en A 
De même^ dans le cas de la lig. t, il est aisé de se figurer les courbes de 
distillation, si Ton considère qu'elles doivent couper successivement des 
courbes liquides de tension de vapeur de plus en plus basse, c'est à dire 
successivement 8', 7, 6 . — . 2, 1 . 



III. MÉLANGES HETEROGENES, 

Quand tous les mélanges liquides que l'on peut former aux dépens 
des trois constituants, au lieu de rester homogènes, peuvent offrir une 
scission en deux ou trois phases liquides, la nappe liquide de la surface 
Z, cesse d'être en chaque point convexe-convexe vers le bas. Il apparaît 
alors dans la nappe liquide un pli, et des plans bitangents peuvent déjà 
être menés à la nappe liquide elle-même. 

Parmi la grande variété de cas que Ton peut attendre ici, je me con- 
tenterai maintenant d'en esquisser un seul. 

Supposons une température déterminée, et soit d'abord le cas oii la 
pression est si grande, que la nappe liquide de la surface t occupe dans 
toute son étendue la position la plus basse. Tous les mélanges imagi- 
nables ne sont dans ce cas possibles qu'à l'état liquide, ^partiellement à 
l'état homogène, partiellement, dans les limites oii ils sont compris 
dans la ligne binodale, séparés en deux phases liquides. 

Quand la pression s'abaisse, les nappes liquide et vapeur descendent, 
la nappe vapeur toutefois plus rapidement que la nappe liquide, de 
telle manière qu'il y a finalement intersection des deux nappes. Eai 
sons à présent rouler une surface bitangente le long de ces deux na23pes. 
Parmi les divers cas ])ossibles, nous su2)posons que la courbe du 



LA TENSION DE VAPEUR DES MELANGES TERNAIRES, 



223 




FiiT. 



liquide a^ h^ (fig. 3) n'a aucun point de commun avec la ligne binodale. 
Dans la fig. 3 on a de nouveau trois domaines. Tous les mélanges, situés 

dansTintérieur delà por- 
tion Cab, sont gazeux 
à cette pression et à cette 
température; les mélan- 
ges compris dans la por- 
tion «Vy/^, a^ se scindent en 
va])eur et liquide; ceu"x 
compris dans la, portion 
.//)' h^ r/j sont tous à 
l'état liquide et demeu- 
rent homogènes pour au- 
tant qu'ils sont situés en 
dehors de la courbe bi- 
'B nodale; les mélanges 
compris dans l'intérieur 
de la courbe binodale se 
séparent toutefois en deux phases liquides. 11 est digne de remarque qu'à 
cette pression il ne peut y avoir deux phases liquides en équilibre 
avec de la vapeur. 

Sila pression est abais- 
sée encore davantage, la 
courbe liquide ^z, Z», de 
la fig. 3 se déplace da- 
vantage; vers le domaine 
du liquide; la courbe bi- 
nodale change aussi de 
position, mais très peu 
cependant. Parmi les cas 
très nombreux qui peu- 
vent se présenter ici, je 
me contenterai de con- 
sidérer celui de la fig. 4. C 

La courbeliquide«j/!'j 
coupe la courbe binodale 

aux deux points L^ et L.^, qui sont Tun et l'autre des points conjugués. 
Taisons rouler un plan bitangent le long des deux nappes de la surface 




Fis:. 4. 



224< F. A. H. SCHUEINEMAKERS. 

Ç ; il jireiulra naissance une courbe liquide et une courbe gazeuse. Dans 
une j^osition déterminée toutefois le plan bitangent devient tritangent^ 
c'est la position r L-^ L.,; le point c est situé sur la nappe vapeur, et les 
deux points L^ et L.^ sur la nappe liquide. Partant de cette positiou, 
ou peut faire rouler le plan tritaugeut dans trois directions_, de manière 
que ce plan reste encore bitangent; il est alors, dans deux directions, 
tangent aux nap])es vapeur et liquide, de telle sorte que prennent nais- 
sance les courbes vapeur et liquide ; dans la troisième direction, le plan 
né se meut que le long de la nappe liquide, do telle sorte que c'est la 
courbe binodale avec le point de plissement /5 qui })rend naissance. 
Comme une étude des portions moins stables nous conduirait actuelle- 
ment trop loin, je ne les ai pas représentées dans la ligure. Il suffira de 
faire remarquer que ni la courbe binodale ni la courbe du liquide ne se 
terminent aux deux points //j et //.>, et que les deux fragments av 
et bv de la courbe vapeur se rejoignent en / en formant un angle 
entre eux. 

Il est facile de voir dans la iigure quels sont les mélanges qui pren- 
dront naissance sous forme liquide ou gazeuse; il est tout aussi clair 
quels sont les mélanges qui se sépareront en vapeur et eu liquide. On 
voit encore que parmi tous les systèmes possibles de deux phases liqui- 
des, capables d'exister à la température et à la pression données, seul 
un système, h^ -\- /y.,, pourra être en équilibre avec de la vapeur. 
Si Ton prend donc un mélange dont la composition s'exprime par un 
point à l'intérieur du triangle V L^ A.,, ce mélange se sépare à la tem- 
pérature et à la pression considérées en les deux liquides //, et h.,, outre 
le vapeur / . 

La figure l nous a servi à reconnaître l'influence exercée sur un 
mélange ternaire c[uand nous ajoutons un constituant nu complex ou bien 
que nous changeons la température ou la pression. La même figure nous 
a permis de reconnaître les phénomènes qui s'observent lors de la dis- 
tillation. Or on peut, pour les figs. 3 et 4, s'y prendre d'une manière 
analogue, mais on remarquera que les choses se compliquent par l'ap- 
parition des deux phases liquides. Je ne traiterai brièvement qu'un seul 
système, celui dans le([uel deux liquides sont en équilibre avec de la 
vapeur. Dans la fig. 4 ces faits sont représentés par les deux liquides 
Z/j et 7/2 ^^GC la vapeur V, de telle sorte que nous devons considérer 
le plan tritangent de la surface Ç. Il est facile de voir qu'à une tempé- 
rature et une pression déterminées, il ne peut prendre naissance qu'un 



LA TENSION DE VAPEUR DE MELANGES TBRNAIKES. 



99S^ 



nombre limité de plans tritangents. Pour rester dans le cas de la fig. 4, 
nous nous bornerons à un seul de ces plans. 

Modifions légèrement la température ou la pression; alors le plan 
tritangent changera également de position; il en est de même des trois 
points de contact, puisque V vient se placer sur la nouvelle courbe 
de vapeur, et que Aj et Z/., sont les points d'intersection de la nouvelle 
courbe du liquide avec la nouvelle courbe binodale. Admettons à pré- 
sent pour fixer les idées, que la tenij)érature deuieure constante tandis 
que la pression varie. Lors de cette modification de pression les trois 
points //,, L., et V peuvent décrire trois courbes, ainsi que le montre 
la fig. 5. Les ])oints conjugués deux à deux des deux branches otL^ (3^ 
et iZi L.^ /jj re]n-ésentent les liquides qui peuvent être en équilibre entre 
eux. Avec chaque liquide //., de Tune des branches se trouve en équi- 
libre un liquide déterminé L^ de Tautre branche; et les deux liquides 
sont en équilibre avec une vapeur déterminée V de la branche ot J (3. 
La position des trois points L^ L.^ et V dépend de la pression; quand 
cette dernière s'élève, ils se meuvent dans la direction des flèches, quand 
elle s'abaisse, ils se meuvent eu sens contraire. Si nous voulons encore 
donner à la courbe ot^ //, /3, //._, le nom de courbe binodale, il y a cepen- 
dant entre cette courbe 
et celles des figures -3 et 
4 une grande différence. 
Dans ces deux derniers 
cas en effet on peut par- 
ler d'uue courbe bino- 
dale, à tem})ératnre et 
sous pression constan- 
tes; dans la fig. 5 tou- 
tefois nous parlerons de 
courbe binodale sous ten- 
sion de vapeur propre et 
à température constante. 
^. , Dans la fig. 5 labran- 

che 0!, 7/3 est entièrement 
située en dehors de la courbe binodale; elle peut naturellement couper 
aussi la courbe binodale, ainsi que je Tai trouvé dans le système; eau, 
phénol, aniline. 

On peut maintenant tirer des figures diverses conclusions. On peut 

ARCHIVES NÉEULANDAISBS, SiiRIE II. TOME V. 15 




226 1'. A. H. SCHREINEMAKERS. LA TENSION DE VAPEUR, ETC. 

p, ex. se demander ce qui arrivera quand ou distille un complexe des 
deux jîhases liquides Zj et L.^ ou que Ton comprime un complexe des 
deux liquides L^ et L.^ avec la vapeur V. Comme pour la discussion 
de ces problèmes Tespace disponible dans ce recueil est trop restreint, 
je ne les discuterai pas ici plus loin. 



SL'U lA THEORIE EEEGTUODYNAMIQUE DE HE]>MHOLTZ ET LA 
THÉORIE ÉLEC'lllOMAGNÉTIQUE DE LA LUMIÈRE 



P. DU HEM. 



Daus notre euseiguemeut, cloimé à la l'acuité des Sciences de Bor- 
deaux en l'année scolaire 1899 — 1900^ nous avons essayé de montrer que 
la théorie électrodjnamique de Helmholt/.^ complétée eu un point, donne 
une théorie électromagnétique de la lumière pleinement satisfaisante; 
nous lions proj)Osous d'indiquer brièvement ici les résultats obtenus, en 
remettant les démonstrations et les calculs à un mémoire plus étendu 
(jui sera ultérieurement publié. 

Hi'iLMUOLTZ a écrit toutes ses formules dans le système électrostatique 
d'unités; ce -choix a de graves inconvénients pour la discussion des ré- 
sultats obtenus; aussi écrirons nous nos équations dans un système 
arbitraire d'unités. 

Deux charges électriques q et (l^, placées à la distance r, dans un 

milieu impolarisable, se repoussent avec une force s —,,-, oii s est un 

coefficient positif. Ce coefficient est pris égal à 1 par Helmholtz. 

Nous désignerons pari'' le coefficient de polarisation diélectrique d'une 
substance; s F correspondra donc à ce que Helmholtz désigne par s. 
Le ])ouvoir inducteur spécifique de la substance considérée sera 

15* 



228 p. DUHEM. 

Le coefficient d'aimantatiou sera désigné par f, en sorte que la per- 
méabilité magnétique sera 

1^' = 1 + 4 tt/. 

Le coefficient des actions électrodjnamiques sera désigné par à^; il 
sera lié au coefficient A^ employé par Helmholtz par la relation — = Â"-. 

£ 

La constante K aura le même sens que dans les écrits de Helmholtz. 
Si Ton suppose les observations faites au sein d'un milieu susceptible 
de polarisation diélectrique^ maù iucapahh d< polar ÏHailon 7uagnéti(pie, 
le rapport entre le coefficient des actions électrostatiques et le coefficient 
des actions électromagnétiques a pour valeur 



(1) 



a'(l+4;r570 

// ni/ a aucune for iimle simple donnant la valeur de ce rapport si le 
milieti est susceptible de polarisation magnétique; si le milieu est très 
faiblement magnétique ou peut regarder la formule précédente comme 
approximativement exacte; il revient au même, dans ce cas de regar- 
der comme approximativement exacte la formule 



{\tns) 



,2 — 



t2(l-f 4;rfi^Ml+4^/) 



Dans un diélectrique non conducteur, les flux de déplacement longi- 
tudinaux se propagent avec une vitesse 



:'^) ^-}V' 



'^TTSF 



Les flux déplacement transversaux se propagent avec une vitesse 
(3) T= ^ 



V' 4 7r.A'(l + 4 7r/) 



Ces formules sont celles qu'a données Helmholtz. 

Soit /' la vitesse de la lumière dans l'éther du vide, milieu que nous 



SUR LA. THÉORIE P^LECTRODYNAMIQUE DE HELMHOLTZ, ETC. 229 

désignerons par l'indice 0. \] pxpénence montre que Ton a_, exactement 
n approximativenien t, 

(4) V=v,. 

D'autre part^ la, possibilité d'une théorie électromagnétique de la 
lumière est subordonnée à Thypotlièse suivante: 

Première loi de Maxwell. Dans Véther du vide, les Jiux de dépla- 
cement transversaux se projjageut avec la vitesse métne de la lumière: 

(5) T, = r. 

Les égalités {^b'/s), (3), (4) et (5) ne sont pas rigoureusement compa- 
tibles, car elles entraîneraient l'égalité absurde 

1 



l+47rf7^; 47r/V 

Mais elles deviennent approximativement compatibles si l'on admet, 
comme IIelmholtz Ta indiqué, que le produit s I\, qui est indépendant 
des unités ado])tées, a une valeiir 'Jiannriqne extrénem,e'iit grande ; \iO\u 
des raisons historiques qu'il serait tro]) long de développer ici, nous 
désignerons cette proposition sous le nom à' hypothèse de Faraday et de 
Mossotti, et nous la représenterons symboliquement par l'égalité 

(6) sF,=c^^. 

1 + 4 TT f i'' 

La mesure du rapport - — ; — ~ est accessible à l'expérience: i)our 

^ ^ 1 + 4 TT f i^ 

tous les corps connus, la valeur de ce rapport est comprise entre 1 
(éther du vide) et 64 (eau). Donc, p)Owr tous les corps diélectriques, le 
[iroduit s F a une valeur numérique très grande, ou, sjjmboliqiienienl, 

{Uis) sF=oi. 

L'égalité (3) donne alors la deuxième loi de Maxwell: 

Si \ et 'i sont deux diélectriques quelconques, on a exactem.ent ou appro- 
ximativement: 



T, __ V\\ + 4^£jg (1 + 4.7rf \) ^ Vj\j^ 
'l\ 1/(1 + 4 T f i^'2 ) ( 1 + 4 tt/J Vi\ y,; 



230 p. DUHEM. 

Les égalités {Ibis) et (3) donnent alors aussi cette proposition : 

On a, dans tous les milieux diélectriques, V égalité, exacte ou approchée, 

(8) T=v. 

Tout ce qui précède est conforme à ce qu'a écrit Helmholtz. 

Helmholtz a laissé indéterminée la valeur de K. Il a remarqué 

seulement que si la valeur de a~ KF demeure finie, tandis que la valeur 

de s F est très grande, L devient infini et les diélectriques ne ])euvent 

être le siège de flux de déplacement longitudinaux, ce qui s'accorde 

avec les idées de Maxwell. C'est ce point que nous allons modifier. Nous 

s 
allons donner de Â' une détermination selon laquelle le raj)port-2-^ 

est fini. 

Dans un corps conducteur, de conductibilité p, les flux de conduction 
longitudinaux dépendent de l'équation aux dérivées partielles de la 
conductibilité calorifique; pour ces flux, il ne saurait être question de 
vitesse de propagation. Les flux longitudinaux dépendent de l'équation 

^ ' érra-^Kot a^ k àtA 

Le théorème d'HuGOXiOT montre que, pour ces flux, il ne peut être 
question de vitesse de propagation. Mais Téquation (9) peut s'écrire 



[ 



(^^-) ^n+^^^°^^^ 



?2 



Les égalités (1) et (4) donnent 



4 7r «^ 



r,1 



Pour le mercure, pour lequel p a la plus grande valeur, on trouve 



éira^ r- 



SUR LA THÉORIE ELECl'llODYNAMIQtlE DE HELMHOLTZ, ETC. 231 

P 
4 TT (Z 

Comme {l -\- i< tt s J'\^) a une très grande valeur, on voit que 

est extrnordinairement petit et récjuation {dù/s) devient sensiblement 

ct2 
^— A0— .r^ = U, 

c'est à dire ce que serait l'cciuation (D) si l'on posait p = 0. 

Dafis tons les corjis conducteurs, les jlux longitudinaux se propagent 
sensihleimnt comme dans un conducteur parfait, avec la vitesse 

(10) N=- 1/ _i_. 

Nous interpréterons les expériences de M. Blondlot sur la vitesse 
de propagation de l'électricité le long d'une ligne télégraphique comme 
établissant la loi suivante : 

La vitesse de propagation des jlux longitudinaux dans un conducteur 
est égale a la vitesse de la lumière dans le vide: 

(11) N= r. 

Les égalités [Ihis), (4), (10) et (11) donnent alors l'expression sui- 
vante de la constante A'; 

(12) A=(l + é7r./;)(l + 4^/„). 

]ja constante K de Helmholtz est le produit du pouvoir inducteur 
spécifique de V éther par sa jjermJabilité magnétique. 

D'autre part, en vertu de l'hypothèse de Faraday et de Mossotti, 
l'égalité (2) devient 

(13) L = ^/'_1^=N. 

a V A 

Dans tous les diélectriques^ la vitesse de propagation de h jlux longitu- 
dinaux est égale a la vitesse de la lumière dans le vide. 



232 V. DUHEM. 

Pour voir si la théorie précédeute est compatible avec la théorie 
électromagnétique de la lumière, il importe de traiter le problème de 
la réflexion et de la réfraction des ondes électromagnétiques planes à la 
surface de séparation de deux milieux diélectriques. Par des décompo- 
sitions simples, le cas général se ramène aux trois cas particuliers 
que voici : 

1^ Cas. — Le champ électrique incident est longitudinal.. 

I est le milieu oii se propage l'onde incidente, 2 Tautre milieu. 

II se produit simplement une onde réfléchie longitudinale et une 
onde réfractée longitudinale. 

Si i, s, (T, sont les angles d'incidence, de réflexion, de réfraction, ou a 

Siii i Siu s S'm cr 



(14) 



L, L, 



Si les vecteurs électriques sont portés respectivement suivant les 
directions de propagation corres^^ondantes, les vecteurs réfléchi et ré- 
fracté ont même phase que le vecteur incident. 

Si ^1, A\, Â.^ sont les amplitudes respectives des vecteurs incident, 
réfléchi, réfracté, on a 



15 



, ( 1 -f- 4 îT f T'^ ) cos i fi'm fj — ( 1 -[- 4 TT f i'\) eos a sin i 

' ' ( 1 -j- 4 ;r f -Fj ) cos i sin tr -\-[\ -\- 4^7r s F^) cos a sin i ' 

2 ( J -f- 4 îT f i', ) cos i sin i 



A,=A, 



(1 -f- 4 X f i'^i ) cos i sin (t -\- {\ -\- ^ tt e F^) cos o- sin i 



Ceci est général. 

Si nous admettons les égalités {'obis), (12), et par conséquent (13), 
les égalités précédentes deviennent 



[lUis] 



^ = i- = cr . 



(15H a^'=.a/A^^^ a, = A, ^^' 



F,+F,' ■' 'i\+F, 



SUU LA TllKOlMK ÉLKCTUODYNAMIQU F, I)K IIELM 110f;rZ_, ETC. 233 

2^ Cas — Le champ éekctiîique incident est transversal — il est 

KKCTILIGNi: ET NOllMAL AU PLAN d'iNCIDENCE. 

Il se forme seulement uii champ réfleclii et un champ réfracté; tous 
deux sont transversaux^ rectilignes, normaux au plan d'incidence. 
Si i, r, p sont les angles d'incidence, de réflexion et de réfraction, on a 

Sin i 8'm r Siu p 
(16) 



7\ T, 7 



Si Ton compte les trois champs électriques suivant la même direc- 
tion, la rétlexion et la réfraction ont lieu sans changement de pliase. 
Si By, B/, B.,, sont les am])litudes des trois champs, on a 



(17) 



, ( 1 4~ 4 Tïf.^ ) cos i sin p — (I ~|- 4 tt f\ ) cos p sin i 

' ^ {\\- ^^Trf^cosisinp ^{\^ '^'Kf^cospsini ' 

2 (1 -[- 4 tt/^ ) cos i sin p 

' ' ' (1 -|- 4 tt/Î ) cos i sin p -|- ( 1 -j- 4 tt/Î ) cos p sin i 



Ceci est général. Si les deux milieux sont assez peu magnétiques 
pour que l'on puisse ])oser approximativement 

les égalités (17) deviennent 

( 7-»' 7^ ^'-'^ ^ ^'''"' ^ ^''^* ^ '^^'^ ''' 

I '^ 1 ^^ ^1 ■ '■ I '■ •} 

\ COS t sm p -f- cos p siu t 

{lUis) . 

I 2 cos i sin p 



cos i sin p -\- cos p sin i 



Ce sont les formules données par Tresnel pour le cas oi^i la lumière 
incidente est polarisée dans le ])lan d'incidence. 

3^ Cas — Le champ électrique incident est transversal. 

Il est bectiligne 

et a l'intersection de l'onde et du plan d'incidence. 

Ce cas est le plus compliqué. 

Il se forme un champ réfléchi et un champ réfracté qui sont trans- 



234 p. DUHEM. 

vevsanx, rectiligues, et dont cliacuu est à l'iutersection de l'onde corres- 
pondante et dn plan d'incidence; mais en outre^ il se forme un champ 
réfléchi longitudinal et un champ réfracté longitudinal. 

Soient: i l'angle d'incidence; r, p, les angles de réflexion et de réfrac- 
tion pour les champs transversaux; *, (t, les mêmes angles pour les 
champs longitudinaux. On a 

Sin i Siu r Siu p S in s Sin u 
(18) 



T, 1\ T, L, L 



Comptons les trois champs transversaux suivant des directions ayant, 
sur la surface de séparation, même projection que la direction de pro- 
pagation de Tun c|uelconcjue des cliamps réfléchis. Comptons les deux 
champs longitudinaux suivant les directions de propagation correspon- 
dantes. 

Les réflexions et réfractions se feront toutes sans changement de phase. 

Soient: 0, l'amplitude du chamj) incident; C\, C.^, les amplitudes 
des champs transversaux réfléchi et réfracté; v,, v.^, les amplitudes des 
champs longitudinaux réfléchi et réfracté. 

Nous aurons, en premier lieu : 

I „ . y ( 1 + -i 77 f\ ) siu pcosp — (1-1-4 ^/j ) du i cas i 
' ''^ {\~\-^ TV f\) sin pcosp -\-[\-\-^7r f^) sin icosi' 

i ^ ^ ^, 'l{l^^7rf^)siupcosi 

! ^" '* (1 -}- 4 7rf\ ) siu pcosp-\-{\ -|- 4 tt/^ ) sin i cos i' 

Ceci est général. Si les deux milieux sont assez peu magnétiques 
pour que Ton puisse faire 

les formules (19) deviennent 

, sin p eus p — sin i cos i 

' ^ sin p cos p -T- sin i cos i ' 

(19^à) { . 

2 sin p cos i 
(y-i = Oj —. . -. : . . 

sm p cos p -f- sin i cos i 

Ce sont les formules données par Presnel pour le cas où la lumière 
incidente est polarisée perpendiculairement au plan d'incidence. 



SUll LA. THÉORIE ÉLECTIÎ.ODYNAjMIQUE DE HELMIIOLTZ^ ETC. 235 

Nous aurons^ en second lieu, 

{It^ /y^i siifi i — D<, [Ji,.^ 6'ifi^p) sin c,. 
y^^j co-î -s s/n (7 -[- 1).^ sin s cas œ 



2 f/,.2 sin p cos i 



•0) 



{fi2 sin, p cos p -\- fZy sin i cos i) iJ,^ sin i' 



^ ( D^ pij shr i — JJ2 y-i sin"^ p) sin s 
^ jQj cos s sin cr -|- D-i «^'"^^ ^ <^^* ^ 



1^2 siu p cos l 



{f/^2 ^^'^^ P ^^'^ P 'T' y-'l ^^^^ * ^^^ ^l ^'^^ ^ 



Ces formules sont générales. 

Les égalités (18) permettent cVécrire 

n, ^, si.'^i- A ^, si»''p=^^ {/\ y, TC~-JKy2 n-). 

Si Ton admet l'égalité [(Sbia) et, partant, l'égalité (7), 

et les formules (20) deviennent 

(20/^/,5-) 7i=0, 7-1 = (^. 

Le champ électrique réfléchi et le champ électrique réfracté sont alors 
purement transversaux. 

On voit donc : 

1°. Que l'on peut traiter complètement, dans la théorie de Helm- 
noLT/,, les lois de la réflexion et de la réfraction des ondes électricjues 
au contact de deux milieux diélectriques. 

2^. Q,ue, moyennant l'hypothèse de Pauaday et de Mossotti, les 
lois trouvées s'accordent avec les lois de la réflexion et de la réfraction 
de la lumière à la surface de contact de deux milieux transparents, et 
cela bien qu'en noire système^ caractérisé par V égalité {^%\ les jlux élec- 
triques longitudinaux ne soient ims exclus. 

Pour plus de brièveté, nous nous sommes bornés à traiter les phéno- 
mènes de réflexion partielle : les divers phénomènes de réflexion totale 
conduiraient aux mêmes conclusions. 



236 p. DUHEM. SUR LA THEORIK RLECTRODYNAMIQlIPJj ETC. 

Helmholtz avait déjà remarqué ') que, lorsqu'on fait riiypothèse {6), 
sa théorie, comme celle de Maxwell, donnait les lois connues de la réflexion 
et de la réfraction de la lumière; M. Lorentz^) avait développé cette 
indication. 11 nous a semblé intéressant de donner d'abord la solution 
générale du ])roblème de la réflexion et de la réfraction et de iTintro 
riiypotlièse (6) que dans les résultats. 

Cahrespme^ le 18 Octobre 1900. 



■■) Helmholtz, Abhandlungen, Bd. I, s. 68, Fus?i]ote. 

'; H. A. LoRENTz, Zeitsclivift fiir Mathematik iind Pliysik, Bd. XXII, s. 25; 
3877. 



WEITERES ZUR UNSYMMETRISCHEN 
AENDERUNCt DER SPECTRALLINIEN IN EINEM MAGNETFELDE 



P. ZEEMAN. 



1. Von YoiGï ') ist theoretiscli entdeckt worden, dass die Triplets in 
welche durch die Einwirkung eines Magnetfeldes, bei Beobaclitung 
senkrecht zu den Kraftliuien^ viele Spectrallinien zerlegt werden in 
schwachen Peldern eine Dissymnietrie zeigen miissen. ]^ie nacli Rot 
hin liegende Componente soll die stiirkere sein, der Abstand aber der 
nacli Yiolett hin licgenden Componente von der mittlereu grosser, als 
derjenige der nach liot liin liegenden. In starkeu Feldern sollen beide 
Dissyminetrien verscliwinden. 

Icli habe an einigen Eisen- und Zinklinien dièse Eesultate der Théorie 
gepriift und^ wie ichglaube^ bestiitigtgefunden.-jDa indessendie gefuu- 
dene Dissjininetrie ausserordentlich gering ist, soschienesuiirerwûnscht 
die Untersucliung fortziiselzen und noch weiter die Ilealitiit ciner Er- 
scheinung zu bestiitigen, welche zu den Theorien von Lorentz und 
von YoiGT in einem besonderen Yerhiiltnisse steht. "') 

Dissymmetrien in deniselben Sinne sind auch von Rekse '') gelegent- 
lich einer nicht absichtlich daranf gerichteten Untersuchung beobachtet 
wordeu. 



') VoiGT. Ueber eine Dissymetrie der Zi:iiMAN'sclieunormalen Triplets. Duude's 
Aniialen. 1. p. 376. 1900. 

') In VoiGT 1. G. p. 3HG. und Proc. Kon. Ak. v. Wet. Amsterdam 30 Dec 1899. 

') VoiGT 1. c. p. 384. LoRENTz. physik. Zeitschr. I, p. 39. Rapport intern. Con- 
grès Paris, p. 33. 1900. 

") Reese. Astrophysical Journal. Vol. 12. p. 134. 1900. 



238 p. ZEEMAN. 

Nacli Abfassung meiuer obengeuaunteu Arbeit habe ich noch viele 
Messungeu an Négative angestellt^ woraiif sicli Triplets vorfaiideu und 
ira Allgemeineii die friiheren Eesultate bestatigt gefuudeu. Die Négative 
wurden mit einem EowLAND'scheii Gitter aiifgeiiorameii welches nach dem 
EowLAND'sclien Plane aufgestellt war. DerFunken dessen Spectmmer- 
zeugt wurde^ sprang in einem mciglichst homogenen l'elde iiber^ und es 
wurden dann Négative bei einigen wenigen Feldstarken aufgenommen. Es 
liegt aber gerade darin ein Nachteil der befolgten Méthode. Es kominen 
namlich auf einer Platte immer nur selir weinige ïriplets vor, die eheu 
zerlegt sind^ wobei also die Dissymmetrie am ersten zu erwarten ist; 
die breiteren Linien sind noch nicht, die feineren schon zu weit getrennt. 

Es scheint fiir unseren Zweck daher besser eiue ausgedehute Licht- 
quelle zu beuutzen^ welche iu ihren verschiedeneu Teilen verschieden 
starken magnetischen Kraften ausgezetst ist. 

Man kaun dann das Spectrnm der verschiedenen Teile der Quelle 
uutersuchen indem man ein Bild derselben auf dem Spalt des Spectral- 
apparates entwirft. Als solcher ist aber Rowland's Apparat nach dessen 
Plane aufgestellt das ungeëigneteste Instrument, welches man wahlen 
kann, da es die in einigen Hinsichten gerade so vorteilhafte Eigen- 
schaft besitzt das von einem Punkte des Spaltes ausgehende Liclit zu 
einer Linie auszudelmen. Wegen dièses Astigmatismus mischt es aber die 
Spectra der verschiedenen Stelleu der Quelle wieder durcheinander. 

2. EuNGE und Paschen ') habeu darauf aufmerksam gemacht, dass 
wenn parallelles Licht auf das Concavgitter fallt, und sich also der 
Spalt im Brennpunkt einer Linse belindet, man die Dispersion etwa 
auf die Halfte reducirt aber eine vervierfachte Helligkeit bekommt und 
zugleich den Yorteil liât, dass in der Nidie des Breunpunktes das Bild 
des Spaltes, wie die Gittertheorie zeigt, stigmatisch ist. 

Nach Rowland^) ist der Eadiusvector der Eocalkurve 

R p cos- (z . 



R (cos [/, -j- cos y) — p cos- y 
falls der Ursprung in der Mitte des Gitters gewiihlt wird. Es bedeuten 



*) KuNGE und Paschen. Ueber die ISerienspectra der Elemente SauerstoflF, 
Scliwefel uud Selen. Wied Anu. Ed. 61 \>. (Ul. 1897. 
') Rowi.ANi). Phil. Mag. Vol. IG. p. lUT. 1883. 



WEITERES ZUR UNSYMMETRISCIIEN AENDERUNG^ IT. S, W. 2.'39 

iu dieser Eormul, ^a der AVinkel zwischen ;■ und dem Kriimmuugsradius 
ç des Gitters; B. uud y sind die Coordiuaten der Lichtquelle. 
13ei dcM- Aiioi-dmiiig von IIungio uiid Paschen ist /*' = oc, also 

,= ^^'Q ^'^-^- (2) 

cos [z -\- cos 7 

]Jie Halbliiiige c des astigmatischeii Bildes ist ') 



c = — z-^zy'''^^^^l±^^l^-l (3) 

woselbst ~ die halbe Seliiie ist eiues Durclischnittes des Gitters mit 
einer Ebeue^ welche durcli deu Kriiinmuiigsmittelpuiiktj die Mitte des 
Gitters und parallel den Eurchen gelegt ist. 
Es wird (3) filr R ^ oo 



(4) 



oder iiacli (2) 

c = — ^ -f- ^ cos [y. (5) 

c kaiin also Null werdcu und zvvar îi'w fz = i), d. h. l'alls nuin in der 
Normale des Gitters beobaclitet, 

3. Ein grosses liowLAND'sches Gitter von 15 cm. Dnrchmesser und 
etwa 6,5 M. Eadius habe ich iu der augegebeueu Weise aufgestellt. 
DaseiufallendeLichtbilndel wardadiircli parallel gemaclit, dass der Spalt 
im Brennpunkte eines lloblspiegels angebracht wnrde^ ^) wodurcli die 
chroniatische Aberration uud die Absorption beseitigt wird, Als Hobl- 
spiegel diente ein Teieskopsjjiegel von 15 cm. OeU'uung und 2.20 M. 
Eadius. Man muss dafiir Sorge tragen^ dass das Licht moglicbst normal 
den Spiegel triti't sodass das vom Spiegel retlectirte Licht genau parallel 
wird. Abweichuugen von der Parallellitat machen sicli gleicli in eiuer Ver- 
scliiedenheit des Eocus IVir horizontale und verticale Linien bemerkbar. 



') MiTciiKLL. Johns Hophins Un. Circvilars. Nr. 13f^. p. .^)7. 1898. 
') Paschen. Wied. Ann. Bd. 48. p. 272. (1893). 



240 p. ZEKMAN. 

Es ist eiu Nachteil dieser Anordiiuiig, dass Gitter uud Caméra iiiclit 
melir fest verbuiiden sein kfimieu. Mau inuss fur jedeii Teil des Spec- 
trums die richtige Position der Caméra von Neuem aufsuchen. 

4. Sehr intéressant ist es mit der beschriebenen Aufstellung eine 
zwischen den Magnetpolen befindliclre und sicli ausserlialb des Zwischen- 
raumes fortsetzende Natriumflamme zu beobacliten. 

Sehr geeignet dazu ist dieGas-sauerstofi'flammej welcliebei selirgeriu- 
gen Querdimensionen eine grosse Liinge und docli grosse Stabilitjit haben 
kann und worin man die Quantitilt des Natriums leiclit durch Einflili- 
rung eines gliihenden Glasstabs regulirt. In verscbiedener Hohe des 
Gesichtsfeldes sieht man die verscbiedenen Phasen des Phiinomens bei 
Anderung der Peldstârke. Nach Beseitigung der mittleren Linien des 
Quadruplets der Linie D, durch einen Nicol kann man die Intensitiit 
der iiusseren Linien vergleichen. Ich habe bisweilen gegdaubt einen 
Unterschied der Componente in der von der Théorie geforderten llich- 
tuno- direct beobachtcn zu konnen. Es ist nun aber allbekaunt vvie 
kncht man bei ahnlicheu Beobachtungen Selbsttiiuschungen ausgesetzt 
ist. Ich hatte noch keine Gelegenlieit Négative der D-Linien unter den 
beschriebenen Umstande anzufertigen. 

5. Ausser Elammeu eignen sich auch Metalklampfe in GEissLEiischen 
Rohren vorziiglich zuunserem Zweck. Ich habe Versuche mit evacuir- 
ten Rohren angestellt, worin sicli ein Tropfen Quecksilber befand und 
deren Kapillare etwa S cm. Lange hatte. Bei Erhitzung mit einer kleineu 
Elamme gcben dièse Rohren sehr liclitstarke Spectra., die hauptsiichlich 
ans einer blaueu, einer griinen und zwei gelben Linien bestehen. 

Die bhiue Linic (4359 A. E) habe ich sehr leicht photographiren 
konnen. Leider aber findet die VoiG'r'sche Théorie darauf keine An- 
wendung weil die Linie in sehr comphcirter Weise durch das Magiietfeld 
beeinflusst wird. ') 

6. Versuche mit Cadmiumrohren sind im Gange. Sehr lange Eunkeu 
zwischen Cadmium und Zinkelectroden konnte ich uicht erhalten ohne 
zu gleicher Zeitdie Querdimensionen griisser als die Ausdehiumg mcines 



') RuNGK u. Pasciien. Pliysil; Zeitschr. 1. p. 480. 1900. 



WEITERES ZUR UNSYMMETRISCHEN AENDERUNG^ U. S. W. 241 

Magnetfeldcs zii inaclien^ wodurch die gewiinschte Homogenitat des 
Eeldes in einer bestimmten Eichtung stiii-eud wird. 

Wohl aber gelingt es die Punkenlaiige hiiireicheiid gross zu wahleii 
uni verschiedene Trennung der Componenten beobachten zu konneu. 

Nach Beseitigung der niittleren Coniponente durch eineu Nicol 
gelingt es danii bei den blauen und gninen Zink- und Cadmium-Linien, 
die icli in einer A^otc zu nieiner vorigen Mitteilung nannte '), direct 
eine Dissymmetrie der Intensitilt zu beobachten. Eine Ausniessung der 
Xeo'ative muss nock stattiiuden. 



') Proc. Kon. Ak. v. Wet. Amsterdam, p. 301. 1899/1900. 

ARCHIVES NÉERLANDAISES, SÉRIE II. TOME V. 16 



TOUPIE MAGNÉTOCINÉTIQUE ; 
ILLUSTRANT LES PHÉNOMÈNES PARA- ET DIAMAGNÉTIQUES 



H. DU BOIS. 



L'Existence de corps diamagnétiques avait été mise en doute par 
M. Parker et M. Duhem; or M. Siertsema a pu démontrer^ en partie 
à force de raisonnements dûs à M. Lorentz^ qu'en prenant la théorie 
de Maxwell comme point de dé])art^ l'on n'arrivait plus à déduire 
l'absurdité d'une aimantation négative des corps. ') Ce parodoxe écarté, 
le diamagnétisine;, fait expérimental au-delà de tout doute possible, ne 
se trouve donc plus en contradiction avec les lois de la tliermod^niamique, 
pas plus d'ailleurs que TefCet magnéto-optique de Pakaday, également 
considéré paradoxe ]mv quelques physiciens. ^) 

Cette difficulté surmontée, on reste en présence d'un pliénomène 
aussi général qu'il est singulier ; on ne saurait prétendre qu'un lien 
sur ait été établi entre le diamagnétisme et les autres efl'ets magnétiques. 
Car la théorie bien connue de W. Webkr ne ])araît guère satisfaisante 
aujourd'hui, au moins dans la forme qu'on doit à son auteur; n'insistons 



') J. Pakkrr, Phil. Mag. (5) 27 p. 403, 1889 ; 30 p. 124, 1890; 32 pp. 192, 253, 

1891. — 0. J. LoDfiE, PhiL Mag. (5) 30 p. 201, 1890. — P. Duhem, de Paimanta- 
tion par influence, Thèse No. 642, Paris 1888; Compt. Rend. 106 p. 736, 1888; 
108 p. 1042, 1889; mém. des fac. de Lille 1889; Leçons sur l'Eleetr. etc. Paris 

1892. — JouRiN, Compt. Eend. 106 p. 735, l'888. — J. Koeni(;sbi-:r(;er, Wied. 
Ann. 66 p. 728, 1898. — L. H. Siertsema, Verh. Kon. Acad. v. Wetensch. 
5 p. 16, 1896. 

') W. WiEN, Wied. Ann. 52 p. 143, 1894. — Voir par contre M. Planck, 
Verh. Deutsch. physikal. Gesellschaft 2 p. 206, 1900. 



TOUPIE MAGNÉT0CINÉTIQ,UE_, ETC. 248 

pas sur la question de savoir si l'on pourrait la rendre plus vraisem- 
blable en la modifiant soas certains rapports. 

Nos connaissances expérimentales à ce sujet sont dès aujourd'hui 
assez complètes^ à l'exception des propriétés thermomagnétiques des 
gaz diamagnétiques^ difficiles à étudier. 

J'ai essayé récemment de résumer les rapports entre les propriétés 
dia , para- et ferromagnétiques de la matière pondérable '); une généra- 
lisation s'impose surtout, que j'ai proposé de désigner comme la loi de 
Curie. Elle exprime le fait expérimental que pour certaines matières 
la susceptibilité spécifique varie en raison inverse de la température 
absolue, c'est à dire de l'énergie cinétique translatoire du mouvement 
thermique désordonné. L'oxygène liquide et gazeux par exemple paraît 
suivre cette loi dans l'intervalle considérable entre — 182° C. et 
-|--1"52°C. Par contre la susce])tibilité des substances diamagnétiques, 
solides et liquides, diminue en chaufiant à un degré bien moindre, 
quelquefois même d'une manière presque insensible. Du reste il s'agit 
probablement d'une loi limite que tend à suivre l'allure de la suscepti- 
bilité spécifique de toute substance paramaguétique ; et en outre, lorsque 
la température est suffisamment élevée au-dessus de celle de la transfor- 
mation, celle de tout corps ferromagnétique. 

La théorie de ce dernier groupe de substances, également due à 
W. Weber, et dont G. Wiedemann, Maxwell, Hughes, et dernière- 
ment M. EwiNG ') ont marqué l'évolution, fournit une image générale 
assez exacte des phénomènes ferromagnétiques, relativement très com- 
pliqués. Les magnécules ^) j^réexistantes, qu'admet cette théorie, doivent 
pouvoir tourner autour d'axes difierant de leurs axes magnétiques, afin 
de présenter le phénomène essentiel de l'alignement dans le champ. 
M. EvviNG a pu écarter les couples directeurs quasi-élastiques ainsi 
que le soi-disant frottement moléculaire, qui encombraient la théorie, 
mais il retient les couples nmtuels iutermagnéculaires et insiste sur leur 
grande iniportance pour l'explication des principaux faits. 



') H. DU Bois, Rapp. Congr. internat, de physique, Vol. 2, Paris 1900. 

') J. A. EWINC4, Phil. Mag. (5) 30 p. 205, 1890. 

') L'Emploi (le ce diminutif de „magnes" présente l'avantage de ne point 
préjuger la question très délicate de l'identité des plus petites particules ainian- 
tines individuelles avec les molécules (diminutif de ,, moles"), qu'admet la 
chimie. Plusieurs auteurs ont préconisé l'idée d'une gémination, voir même 
d'une polymérisation de ces dernières. 

16* 



244 H. DU BOIS, 

Eu somme cette théorie promet de rester très satisfaisante au point 
de vue ferromagnétique; il y a lieu de se demander si elle ne saurait 
expliquer aussi les propiétés para- et diamagnétiques bien plus simples 
de tant de substances solides^ liquides et gazeuses. Leur susceptibilité 
étant presque incomparablement plus faible, le rôle des couples inter- 
raagnéculaires s'effacera dans leur cas, ce qui simplifiera la question. 
Mais d'autre part, le côté cinétique des phénomènes gagnera une im- 
portance qu'on ne lui a pas assignée jusqu'ici ; en effet il ne fut guère 
question que de l'équilibre maguétostatique qu'atteint finalement un 
système de magnécules. En vérité, même pour le modèle macroscopique 
qu'a construit M. Ewing, quoique assujetti à des résistances assez consi- 
dérables, il se passe un temps très-appréciable avant que les vibrations 
des petits aimants se soient entièrement dissipées. 

On voit bien qu'en somme, la question reste encore assez compliquée; 
car même pour une seule magnécule elle constitue le cas particulier 
magnétocinétique du problème généralisé de rotation, modifié ainsi qu'il 
suit : Déterminer le mouvement non translatoire autour du centre de 
masse d'un corps rigide polarisé, soumis à l'action directrice d'un 
champ uniforme. 

Je vais d'abord tenter d'attaquer une partie de ce problème en exami- 
nant comment se comporte un aimant invariable dans un champ uni- 
forme, lorsqu'il peut tourner autour d'un pivot, formant avec l'axe 
magnétique ainsi qu'avec la direction du champ des angles quelconques. 
Q,uoiqu'il sufiise d'appliquer les procédés ordinaires de la mécanique à 
la question ainsi posée, j'ai crû devoir chercher en outre à réaliser le 
cas eu construisant un appareil modèle, qu'on peut appeler une 
toupie magnétocinétique. 

Le barreau aimanté consistait d'acier au tungstène à cliamp coercitif 
de 75 C. G. S.; il va sans dire que l'axe magnétique coïncidait avec 
l'axe principal du moment d'inertie minimum. 

Le pivot principal ainsi que son volant équatorial étaient construits eu 
nickeliue et percés d'une fente méridienne laissant intacte la jante toroï- 
dale; l'aimant pouvait tourner autour d'un pivot transversal en traver- 
sant la fente. La toupie était montée dans un système annulaire de 
Cardani à la façon des gyrostats de Bohnbnberger; le champ sensi- 
blement uniforme était dû à deux bobines égales et coaxiales montées 
selon la métliode de Gaugain, modifiée par Helmholïz; généralement 
sou intensité ne dépassait guère 15 C. G. S. 



TOUPIE MAGNÉTOCINBTIQUE^ ETC. 245 

On pouvait faire filer le volant à Taide d'un électronioteur; sou éner- 
gie cinétique est ') alors donné par l'expression 

L'incrénieut >T d'énergie potentielle électromagnétique selon que la 
direction de l'aimant est égale ou inverse à celle du cliani]) est, 

?Dî étant considéré entièrement indépendant de J^ et de dSp j dT. 



PRINCIPAUX RESULTATS. 

Je ne saurais résumer sommairement que quelques cas particuliers^ 
surtout ceux oii les vecteurs (i, S^ et ?9? coïncident on foi'ment des 
angles droits; distinguons pour plus de clarté les difllereutes configura- 
tions les plus simples : 

I. L'aiiuaut n'est soumis à aucuiie coutraiute, autre que celles, qui 
s'ensuivent du mécanisme décrit. 

1. L'aimant est „polai re" ; il coïncide donc au début avec le pivot 
[(53?, (J) = U ou tt]. Mais connue son mouvement rotatoire manque de 
stabilité cinétique, Taimant tend à se détourner de la position axiale et 
occupera bientôt celle qui est dirigée dans le ])lan du volant, de sorte 
que son axe principal stable coïncidera avec le pivot et A'' égalera 
son moment d'inertie maximum. Sans autres précautions on se trouvera 
donc bientôt en présence du cas suivant : 

3. L'aimant est équatorial, c'est à dire perpendiculaire au 
pivot [(93t, (£) = ;r/2] ; dans le champ le problème est dès à présent 



') Notations: 5?. intensité du champ; ÎOî, moment magnétique; Mff, com- 
posante moyenne „iniluite" parallèle au champ; (£, vitesse angulaire du volant 
(le vecteur (£ indique aussi la direction du pivot, relativement à laquelle le 
volant tourne dans le sens positif; l'angle entre deux des vecteurs est dénoté 
comme (ÎDÎ, 5?) par exemple. A', K\ „moment d'inertie polaire" du volant et de 
l'aimant autour du pivot; £, /, énergies cinétique et potentielle; T, temps. 



^46 H. DU BOIS. 

analogue à celui du pendule composé coni(iue; on peut encoie distin- 
guer deux cas simples : 

A. Le picot coïncide avec le cliamp [mouvement du pendule dit cen- 
trifuge, {^, 'Ç)) = ou tt] ; dans un cliamp intiniment faible on a d'al)ord 
(5)?^ Jp)) = tt/ 3; lorsque Tintensité augmente l'aimant dévie en deliors 
du plan du volant. Eu renforçant de plus en plus le champ la direction 
de Taimant se rapproche peu à peu de celle du vecteur .Ç) et la valeur 
de ?Dî// de sa limite asymptotique -j- ?0î; tant que le volant tourne elle 
ne saurait atteindre cette dernière que dans un champ d'intensité infinie. 
A vitesse angulaire coustante Fangle (53?, ^) ne varie pas; la compo- 
sante induite est donc constante; on a 

^/, = ^,ij = ^1 cos {^Tk, ^). 

Tant que (?•}?, ^) ne diffère que très peu de ^/ 2 le cosinus positif de 
cet angle est proportionnel à Tintensité du champ, mais en raison in- 
verse du carré de la vitesse angulaire, dont le signe est donc indifférent. 
On voit bien qu'il y a réciprocité entre les deux variables indépendantes, 
JÇ) et /*;'. Le quotient ^///.Ç), toujours j^o*/'///^ correspond à une polarité 
paramagnétique ; il est indépendant de JÇ), du moins au début ') , et en 
raison inverse de l'énergie cinétique rotatoire, pour autaiit que ?0i ne 
dépend point de cette dernière. 

Ou a là tout au moins une analogie avec la loi de Cuiiiio, dont on ne 
saurait dès à présent dire si elle n'est que superficielle. Pour de plus 
grandes déviations de l'aimant ces relations deviennent plus com])liqu- 
ées, mais on peut les représenter par des fonctions trigonométriques. 

B. Le pivot est perpendiculaire au champ [mouvement du pendule 
plan (S, J^) = Tvl'i] ; l'aimant reste toujours dans le plan du volant, 
contenant la direction du champ. 

Tant que l'intensité reste infiniment faible, l'angle (?0i, -Ç>) varie d'une 
manière uniforme; l'intégrale /" îOi cos (?0i, -Ç)) dT entre les limites 



') D'après les ess^ais provisoires avec la toupie cette indépendance du cliamp 
H lieu dans d'assez larges limites; il paraît facile d'affaiblir l'aimant ou d'accélérer 
la vitesse angulaire de façon à l'étendre vers la limite expérimentale établie 
aujourd'hui, c'est à dire r)(H)()0 C. G. S. environ, en supposant toujours l'aiman- 
tation rendue absolument «rii^ide." 



TOUPIE MAGNÉTOCINÉTIQUE, ETC. 247 

d'une période, et partant la valeur de ^h, ne diffère pas de zéro. Lors- 
que l'intensité augmente, la rotation est retardée aux alentours de la 
position labile ; les éléments correspondants de l'intégrale ont une va- 
leur prépondérante et Tintégration étant étendue à la durée d'une période, 
on obtient une valeur négative de ?0î//. Tant que la rotation ne dévie 
que peu de l'uniformité, cette composante induite varie en raison de l'in- 
tensité et en raison inverse du carré de la vitesse angulaire. Le quotient 
?Oi///.Ç), iiégatÀf, correspond donc apparemment à une j)olarité diamag- 
nétique; il est indépendant de JÇ), du moins au début; il varie aussi en 
raison inverse de l'énergie cinétique rotatoire, pour autant que ?0î n'en 
dépend point. En outre ce quotient varie en raison de Sîî- et par con- 
séquent dans un intervalle géométriquement double de celui de la varia- 
tion du moment magnétique ?0i lui-même; en admettant donc que 
celui-ci augmente légèrement avec E, on aura déjà une déviation con- 
sidérable de la relation 

^7/_ A 

ou A dénoterait une constante positive. 

Lorsque JÇ) et par là J atteignent des valeurs plus considérables, 
?0i// augmente en convergeant vers la valeur maxima négative — ?0î; car 
la ditférence K — / devenant infiniment petite, l'aimant restera dans sa 
position labile pendant un temps illimité. Dès que l'on a / ^ Vi la 
rotation fait place au mouvement de va-et-vient; pour certaine ampli- 
tude entre 2 ;r et tt la composante induite j^asse par zéro et gagne ensuite 
des valeurs positives d'autant plus grandes, que l'amplitude se resserre 
plus. Lorsque ce mouvement se transforme peu à peu en des vibrations 
d'amplitude infiniment petite, ?Oî//se rapproche de sa limite asymptotique 
positive -\- ?0?, qu'elle ne saurait d'ailleurs atteindre que dans un champ 
d'intensité infinie. La relation générale entre ?0i// et S^ peut être ex- 
primée par des fonctions ellipticjues. 

II. L'aimant est calé par rapport au volant: au moyeu de vis 
l'aimant 2)ouvait être contraint à former un angle quelconque (?0î, ^) 
avec le pivot; le tout se comporte alors comme un seul corps rigide 
ayant trois degrés de liberté. 

\. L'aimant est „polaire", et coïncide donc avec le pivot 



248 H. DU BOIS. 

(?0J_^ (î) = ou ttI ; par rapport au champ on peut encore distinguer 
plusieurs cas particuliers : 

A. Le pivot coïncide avec le champ : Lorsque (?0^ S^) = 0, la con- 
figuration est toujours stable, soit au repos soit en rotation, et Ton a 
^E= + 5)?, Pour (?9î, S^) = TT elle est labile, mais dès que le volant 
commence à tîler, la stabilité gyrostatique devient prédominante; dès 
lors on a ^Oî// = — ?0?. 

B. Le pivot est perpendiculaire au chav/p [(^Dî, J^) = 7r\'Z] ; il exécute 
un mouvement de précession plan, dont la vitesse angulaire varie en 
raison de Tintensité du champ et en raison inverse de la vitesse angu- 
laire du volant; il change donc de signe en même temps que celle-ci. 
On peut démontrer que le sens de la précession ])ar rapport à la direc- 
tion du vecteur J^ est toujours Finverse de celui de la rotation j)ar 
rapport à la direction du vecteur ?0î. Comme (9)?, Jp) reste toujours 
7r/'2 pendant la précession — pourvu qu'il n'y ait ])oint de frottement ■ — - 
la composante ?Dî/f = ?Dî cos (îOî, JÇ)) ne différera jamais de zéro. 

C Le pivot est incliné par rapport au champ [(?Di, JÇ)) entre cItt]; 
on observe une précession conique directe ou rétrograde selon le sens 
déterminé par la règle qu'on vient d'énoncer. ') La composante 9}?// 
maintient donc invariablement la A'aleur positive ou négative qu'elle 
avait avant l'excitation du champ et du mouvement de précession. 
Celle-ci est d'ailleurs lente et la toupie ne présentait aucune trace de 
nutation; le cône epicycloïdal correspondant à ce mouvement se con- 
fond donc sensiblement avec un cône droit. 

Dans tous ces cas où les pôles de Taimant coïncident avec ceux de 
la toupie et la composante équatoriale s'évanouit par conséquent, il n'y 
a donc guère lieu de parler d'une composante „induite". 

2. L' a i m a n t est é q u a t o r i a 1 , c'est à dire perpendiculaire au 
pivot [(?9?, €) = tt) 2] : 



') Cet unique cas particulier fut réalisé déjà par M. A. Chova (Journ. de 
physique (2) 1 p. 27,1, 1882) au moyen d'un gyrostat magnétique, qui du reste 
ne fut pas soumis à un cliamp uniforme, mais à l'action ,, unipolaire" d'un barreau. 



TOUPIE MAGNÉTOCINÉTIQUE^ ETC. 249 

A. Le pivot coïncide avec le ckamp [(?Di, S^) = ;7-/2] ; dès que Ton 
excite celui-ci le pivot commence à décrire un cône droit autour de sa 
direction originale (au fait il est légèrement elliptique à cause de l'iner- 
tie des anneaux de Gardani). Le sens et la période de ce mouvement 
rapide étant les mêmes que pour Ja rotation principale de la toupie^ cela 
revient à dire que Taxe instantanée de celle-ci est véritablement perma- 
nente et forme un angle très aigu avec Taxe de symétrie géométrique, 
qu'est le pivot. Il s'ensuit une faible composante induite toujours po- 
sitive et variant au début en raison de l'intensité et en raison inverse du 
carré de la vitesse angulaire; elle diminue en outre lorsqu'on augmente 
le ^moment d'inertie équatorial" en apposant des masses polaires. 

B. Le pivot est perpendiculaire au champ; ce cas correspond à I, 2 B. 
Notons enfin un cas plus compliqué, qu'on réalise par un ,,experi- 

mentum crucis", au moins qualitativement; ou croise un barreau polaire 
avec un aimant équatorial, ce dernier étant cou])é en deux. Ou obtient 
par la un 5)î résultant incliné par rapport au pivot sans préjudicier la 
symétrie des masses et la stabilité cinétique. En inclinant le pivot par 
rapjîort au champ on réalise une combinaison du cas II, ] C avec \\, 
2 A et cette fois on observe par conséquent une faible nutation super- 
posée à la précession. 

Comme il fallait hâter la construction de la toupie on n'a pas encore 
réussi à écarter toutes les difficultés expérimentales; le frottement, la 
résistance de l'air, le fléchissement et l'inertie des anneaux, l'impossi- 
bilité de rendre l'équilibre statique absolument indifférent sont autant 
de causes d'erreur. Cependant l'allure générale du mouvement permet- 
tait de conclure, sauf pour les configurations compliquées, qu'une toupie 
idéale donnerait les résultats purs et simples, tels qu'on les déduirait 
des lois de la mécanique. Je m'occupe des corrections à apporter à 
l'a^ipareil et de la continuation des expériences au point de vue quanti- 
tatif. Jusqu'ici aucune hypothèse nouvelle n'a été introduite: il a suffi 
de ne tenir compte que d'actions magnétiques et mécaniques parfaite- 
ment connues et précisées. Envisageons enfin le problème au jaoint 
de vue plutôt spéculatif; dès lors il présentera nécessairement un aspect 
bien plus vague. 

Non seulement la toupie fournit une illustration macroscopique de 
l'idée qu'on est tenté de se faire d'une magnécule; elle peut encore 



250 H. DT7 BOIS. 

servir d'image réduite, assez exacte, de la terre. L'axe magnétique terres- 
tre est incliné de 20° environ par rapport à Taxe de rotation; cela 
correspond à une comjjosante d'aimantation équatoriale assez considé- 
rable. La discussion précédente permet de déterminer l'effet qu'exer- 
cerait un champ perturbateur solaire ou cosmique sur le mouvement 
de la terre; si de pareils effets existent ils ne sauraient d'ailleurs être 
que très faibles. 

En somme l'ébauche qu'on vient de lire se restreint à des cas parti- 
culiers relativement simples; elle amène à penser qn'une étnde plus 
approfondie de l'ancienne théorie magnéculaire s'impose, surtout au 
point de vue magnétocinétique. En abordant le problème général pour 
une substance isotrope on se trouverait vis-à-vis d'un très-grand nom- 
bre de magnécules, dont les énergies cinétiques rotatoires seraient dis- 
tribuées selon une certaine loi, analogue peut-être à celle de Maxwell. 
11 n'y aurait ])oint d'orientation privilégiée, les axes de rotation seraient 
dirigés dans l'espace d'une manière uniforme; cela revient à dire que le 
nombre d'axes d'une certaine inclinaison (€, -p) varierait comme le 
sinus de cet angle, indépendamment du champ et de toute précession 
qu'il pourrait engendrer en agissant sur des composantes d'aimantation 
polaires de la façon décrite plus haut. 

Pour un certain nombre de magnécules, sinon pour toutes, l'angle 
(?9î, (i) devrait avoir une valeur finie ; car sans composante équatoriale 
l'explication des principaux faits devient illusoire. Jugeant d'après cette 
discussion bien incomplète il ne jsaraît point impossible qu'un tel assem- 
blage de maguécules — considérées comme des constellations quasi-ri- 
gides — aurait des propriétés faiblement para- on diamaguétiques selon 
que la rotation eût lieu autour de leurs axes stables d'inertie maxima ou 
minima. On pourrait en rapprocher la relation qui se dessine entre la 
susceiîtibilité des éléments et leur volume atomique à l'état solide. Pour 
des maguécules plus aimantines on ne saurait négliger les couples direc- 
teurs intermagnéculaires et on réaliserait ainsi la transition continue 
aux substances fortement ferromagnétiques. 

Ou a tenté à diverses reprises de rattacher les phénomènes magné- 
tiques et surtout magnéto-optiques à des effets gyrostatiques, eu admet- 
tant tacitement l'identité des axes d'aimantation et de rotation; il s'agis- 
sait donc des cas particuliers considérés sous II, 1, réalisables en sup])0- 
sant le volant parsemé de charges électriques. Or ce sont ])récisément 
ces cas, oii il n'y a ni alignement par le champ ni composante induite; 



TOUPIE MAGNëTOCINÉtIQUÉ^ ETC. 251 

on n'y saurait admettre une action directrice qu'en supposant un milieu 
doué d'un mouvement rotatoire autour du vecteur S) ; les axes de rota- 
tion des magnécules tendraient alors à s'aligner selon cette direction à 
la façon du gyroscope de Foucault. Quoique l'on pense d'une pareille 
hypothèse, il est certain qu'en ce moment elle n'entre pas dans le cadre 
des faits expérimentalement démontrés. 

Quant à la cause immédiate de Taimantation des magnécules on ne 
l'attribuera plus guère à des courants circulant par des circuits infini- 
ment conducteurs tels qu'ils furent imaginés par AmpjSre. Beaucou]) de 
physiciens leur substitueront aujourd'hui des courants de convection 
coïncidant avec les trajectoires des ions; c'est l'idée qu'a d'abord préci- 
sée M. RicjiARz, en soumettant les orbites des ions électrochimiques 
ainsi que leurs effets magnétiques à des calculs approximatifs '). Or plu- 
sieurs découvertes capitales, surtout celle de M. Zeeman, ont depuis 
rendu probable l'existence d'ions, dont la masse est fort petite, sinon 
négligeable par rapport à celle du noyau moléculaire, à Tcntour duquel 
planent ces satellites, selon l'idée préconisée par M. -T. J. Thomson. 
M. Preston et M. Larmor 2) ont ébauché une théorie des perturba- 
tions orbitaires dues au champ ; c'est du reste un problème du domaine 
de la mécanique générale des ions, dont M. Lorentz a établi les bases, 
et dont on connaît ses heureuses applications à la théorie du phéno- 
mène de M. Zeeman et des effets qui s'y rattachent. ^) 



') F. RiciiARz, Wied. Ami. 52 p. 410, 1894. — cf. R. Lang, Ami. der 
Physik (4) 2 p. 483, 1900. 

') J. Larmor, Pliil. ¥ag. (5) 44 p. 505, 1897; T. Prfston, riiil. Mag. (5) 
47 p. 1(;5, 1899; dans ce travail, on trouvera certaines idées, suggérées en 
partie par M. G. Fitzgkrald, dont l'application aux problèmes énoncés plus 
haut paraît tout indiquée. 

'') H. A. Lorentz. Rapp. Congr. internat, de physique, Vol. 3, Paris 1900. 



LA THÉORIE DE LORENTZ ET LE PRINCIPE DE RÉACTION 



H. POINCARE. 



On trouvera sans doute étrange que clans un monument élevé à la 
gloire de Lorentz je revienne sur des considérations que j'ai présentées 
autrefois comme une objection à sa théorie. Je pourrais dire que les 
pages (|ui vont suivre sont plutôt de nature à atténuer qu' à aggraver 
cette objection. 

Mais je dédaigne cette excuse parce que j'en ai une cent fois meil- 
leure. Les bonnes théories sont souples. Celles qui ont une forme rigide 
et que ne peuvent la dépouiller sans s'effondrer ont vraiment trop peu 
de vitalité. Mais si une théorie nous révèle certains rapports vrais, elle 
peut s'habiller de mille formes diverses, elle résistera à tous les assauts et 
ce qui fait son essence ne changera pas. C'est ce que j'ai expliqué dans 
la conférence que j'ai faite dernièrement au Congrès de Physique. 

Les bonnes théories ont raison de toutes les objections; celles qui ne 
sont que spécieuses ne mordent pas sur elles, et elles triomphent môme 
des objections sérieuses, mais elles en triomphent en se transformant. 

Les objections les servent donc, loin de leur nuire, puis qu'elles leur 
permettent de développer toute la vertu latente qui était en elhis. Eh 
bien la théorie de Lorentz est de celles-là, et c'est là la seule excuse 
que je veuille invoquer. 

Ce n'est donc pas de cela que je demanderai pardon au lecteur, mais 
d'avoir exposé si longuement des idées si peu nouvelles. 

Eappelons d'abord rajndement le calcul par lequel on établit que dans 
la théorie de Lurent/, le principe de l'égalité de l'aciiou et de la réac- 
tion n'est plus vrai, du moins quand on veutl'appliquerà la matière seule. 



LA THEORIE DE LORENTZ ET LE PRINCIPE DE REACTION, 253 

Clierohoiis la résaltaute de toutes les forces poiidéromotrices appli- 
quées à tous les électrons situes à rintérieur d'un certain volume. Cette 
résultante ou plutôt sa projection sur Taxe des x est représentée par 
riutéa'rale : 



x = /,,^x[,.-;/3+^] 



où l'intégration est étendue à tous les éléments d r du volume considéré, 
et où t. Vit s représentent les com])osantes de la vitesse de l'électron. 
A cause des équations : 



dyj' ' "dx 



dij 1 /"dx d<y\ ^ dh \ /d^ doC\ 

^'^^~Jt~^'i7rKlk~dJ'^^^~M^^\ffx~d~y)' ^ = 

et en ajoutant et retranchant le terme: 

oc da, 
A<7r dx' 

je puis écrire : 

X=X, +X, +X3+X, 
où: 

L'intégration par parties donne : 

1^ Tr/w ., , ^ . . [dr /dx d^ dy\ 

X3 = -/'^/(^-^ + /3^ + 7^) 



254 H. POLiNCARE. 

OÙ les intégrales doubles sont étendues à tous les éléments doo de la sur- 
face qui limite le volume considéré^ et oii /, m, a désignent les cosinus 
directeurs de la normale à cet élément. 
Si l'on observe que 

cl x'^ cil/ "^ clz 
on voit que l'on peut écrire : 

(1) X. + X3 = f ^ [/ (^.2_^„^2) + 2 m xCo + 2 n xy-\ . 

Transformons maintenant A'j. 
L'intégration par parties donne : 



X 



[A^TTclc,.^^^ ^ . , .,, [4>7rclr^ clf ^ df ,1J\ 



J'appelle A'4' et X^" les deux intégrales du second membre de sorte que 



Si l'on tient compte des équations : 

df^d^K^dy 
dy dx 4 97 dt 

clf_clh__K^d^ 
dz dx 4<7r dt 
nous pouvons écrire : 

X4" =Y ^Z 
où 

^) 






On trouve ensuite 



x,-z=jJdT{(3/i-rff)- 



LA THÉOUIE DE LORENTZ ET LE PRINCIPE DE REACTION. 255 

On a doue enfin : 

(3) X = I jdr i^/^-y) + (X, + X3) + iX'-Y), 

où X'o -|-A'3 est donné par la formule (1), tandis que Ton a: 
X/ - Y = (^ UiP-g'-à') + 2 nifff-{- Infli]. 

Ce terme (X^j^l^-^'s) représente la projection sur Taxe des .i' d'une 
pression s' exerçant sur les différents éléments dcc de la surface qui limite 
le volume considéré. On reconnaît tout de suite que cette pression n'est 
autre chose que la pression tnagncliqne de Maxwell, introduite par ce 
savant dans une théorie bien connue. 

De même le terme (X'4 — Y) représente l'effet de la pression éleciro- 
statique de Maxwell. 

Sans la présence du premier terme : 



j-^ jdr {(3 /i —</(/) 



la force pondéro motrice ne serait donc pas autre chose que celle qui résulte 
des pressions de Maxwell. 

Si nos intégrales sont étendues à tout l'espace, les intégrales doubles 
A'2, X'3, X"-i et Y disparaissent et il reste simplement : 

X=-^fdr{^/^-yff). 

Si donc on a])pelle Jf une des niasses matérielles envisagées, T'cc, V,j, 
Vz les composantes de sa vitesse, on devrait avoir si le principe de 
réaction était applicable : 

V M Va- = const. ; S M Vy = const. ; S M F, = const. 

On aura au contraire : 

2 M r,c + 1 dr {y g — /3//) = const. 

S M Vy + j dr {xli — yf) = const. 

2 M V, + j dr {(3f — xg) = const. 



256 H. POINCARÉ. 

Eemarquoiis que 

70 — /3/^ oili — rf, /3/— ocg 

sont les trois composantes du vecteur radiant de Poyntixg. 
Si l'on pose : 

1 27- 

.7 = — Z^/^-f — SA 

réquation de Poynïixg nous donne en effet: 

/ 7)1 11, 

(3) /f ..=/£ . , . +g/-^-/^-- 

La première intégrale du second membre représente^ comme on le sait, 
la quantité d'énergie électromagnétique qui entre dans le volume con- 
sidéré par radiation à travers sa surface et le second terme représente 
la quantité d'énergie électromagnétique qui est créée à Fintérieur du 
volume par transformation d'énergie d'autres espèces. 

Nous pouvons regarder l'énergie électromagnétique comme un fluide 

fictif dont la densité est A'^/et qui se déplace dans l'espace conformément 

aux lois de Poyxting. Seulement il faut admettre que ce fluide n'est 

pas indestructible et que dans l'élément de volume ^ t il s'en détruit 

. , 47r 
pendant l'unité de temps une quantité — pclrHf^ (ou qu'il s'en crée 

une quantité égale et de signe contraire, si cette expression est négative); 
c'est ce qui empêche que nous puissions assimiler tout à fait dans nos 
raisonnements notre fluide fictif à un fluide réel. 

La quantité de ce fluide qui passe pendant l'unité de temps à travers 
une surface, égale à 1 et orientée perpendiculairement à l'axe des x, ou 
l'axe des y, ou à l'axe des z, est égale à : 

A'o / f/a, A"o / U,j, K^ J U, 

Uj^, Uij, Uz étant les composantes de la vitesse du fluide. En compa- 
rant avec la formule de Poyxtixg, ou trouve : 

KqJ U^^.= y(j — (oh 
A'„ J U,j = aJi — yf 



LA THEOEIE DE LORENTZ ET LE PUlNCIPE DE REACTION. 257 

de sorte que uos formules devieuueut : 

S M Kr -f /a'o J U.v <h = const. 

(4) S 1/ Ty + j A'o J U,j (h = const. 

Z M F: + I Â'„ J (/, (h = coust. 

Elles expriment que la quantité de mouvement de la matière propre- 
ment dite plus celle de notre fluide fictif est représentée par un vecteur 
constant. 

Dans la Mécanique ordinaire,, de la constance de la quantité de mou- 
vement on conclut que le mouvement du centre de gravité est rectiligne 
et uniforme. 

Mais ici nous n'avons pas le droit de conclure que le centre de gravité 
du système formé par la matière et notre fluide fictif a un mouvement 
rectiligne et uniforme; et cela parce que ce fluide n'est pas indestructible. 

La position du centre de gravité du fluide fictif dépend de l'intégrale 



/^ 



■Jdr 
étendue à tout l'espace. La dérivée de cette intégrale est: 

Or la première intégrale du second membre devient par l'intégration 
par parties : 

jj[/,.dr 

ou ^(C— Si/Fa.) 

en désignant par C la constante du second membre de la première équa- 
tion (4). 

Eeprésentons alors par Mo la masse totale de la matière, par Xo Yq, 
Z{) les coordonnées de son centre de gravité, par M\ la masse totale du 
fluide fictif, par .Y,, Y^,Z^ son centre de gravité, par M^ la masse totale 

AllCniVES NEERLANDAISES, SÉillE II. TOME V. 17 



258 H. POINCARÉ. 

du système (matière plus Huide fictif), par A^, Y 2, Z.^ son centre de 
gravité, de telle façou que l'on ait : 



M^ = M,, + M„ M2X. = M^X^ -^M, X,, 

A 

Il vieil I alors 



( Jfo Xo) = 2 M V,., K^jxJûr = 3f, X, . 



(3) ^{M,X,)=C-^xfpautr-Lf^. 

Voici comment on pourrait énoncer l'é(|uation (o) dans le language 
ordinaire. 

S'il n'y a nulle part création ou destruction d'énergie électromagné- 
tique, le dernier terme disparaît; alors le centre de gravité du système 
formé par la matière et par l'énergie électromagnétique (regardée comme 
un fluide fictif) a un mouvement rectiligne et uniforme. 

Supposons maintenant qu'il y ait en certains points destruction de 
l'énergie électromagnétique qui s'y transforme en énergie non électrique. 
Il faudra alors considérer le système formé non-seulement j^ar la matière 
et l'énergie électromagnétique, mais par l'énergie non électrique prove- 
nant de la transformation de l'énergie électromagnétique. 

Mais il faut convenir que cette énergie non électrique reste au point 
oii s'est o])érée la transformation et n'est pas ensuite enti'ainée par la 
matière oi\ on l;i localise d'ordinaire. Il n'y a dans cette convention rien 
qui doive nous choquer puisqu'il ne s'agit que d'une fiction mathé- 
matique. Si l'on adopte cette convention, le mouvement du centre de 
gravité du système est encore rectiligne et uniforme. 

Pour étendre l'énoncé au cas où il y a non seulement destruction, 
mais création d'énergie, il suffit de supposer en chaque point une cer- 
taine provision d'énergie non-électrique, aux dépens de laquelle se forme 
l'énergie électromagnétique. On conservera alors la convention précé- 
dente, c'est à dire qu' au lieu de localiser l'énergie non-électrique comme 
on le fait d'ordinaire, on la regardera comme immobile. A cette con- 
dition le centre de gravité se mouvra encore en ligne droite. 

Ecprenons maintenant ré(|uation (£) en supposant les intégrales éten- 
dues à un volume même infiniment petit. Elle signifiera alors ([ue la 
résultante des i^ressions de Maxwell qui s'exercent sur la surfact; de ce 
volume fait équilibre : 



LA THEORIE DE LOUENÏZ ET LE PRINCIPi: DE REACTION. 259 

1°. aux forces crorigine non électrique appliquées à la matière c[ui est 
située daus ce volume. 

2°. aux forces d'iuertie de cette matière. 

8°. aux forces d'iuertie du tluide fictif reufermé daus ce volume. 

Pour définir cette iuertie du fiuide fictif, il fait convenir que le fluide 
qui se crée en un point quelconque par transformation de l'énergie, naît 
d'abord sans vitesse et qu'il emprunte sa vitesse au fluide déjà existant; 
si donc la quantité de fluide augmente, mais que la vitesse reste 
constante, on aura néanmoins une certaine inertie à vaincre parce que 
le fluide nouveau em])runlant de la vitesse au fluide ancien, la vitesse 
de l'ensemble dimiiuierait si une cause quelconque n'intervenait pour 
la maintenir constante. De même lorsqu'il y a destruction d'énergie 
électromagnétique, il faut que le fluide avant de se détruire, perde sa 
vitesse en la cédant au fluide subsistant. 

L'équilibre a_yant lieu pour un volume infiniment petit, aura lieu pour 
un volume fini. vSi en efl'et nous le décomposons en volumes iufiniments 
petits, réquilibre a lieu pour chacun d'eux. Pour passer au volume fini, 
il faut considérer rensemble des forces a])pliquées aux dittereuts volumes 
infiniiTient petits; seulement parmi les ])ressio]is de Maxwell on ne 
conservera que celles qui s'exercent sur la surface du volume fini total, 
mais on supprimera celles qui s'exercent sur les éléments de surface qui 
séparent l'iui de l'autre deux volumes intiin'ment petits contigus. Cette 
suj)ression ne cliangeni rien à l'écjuilibre, puisque les pressions ainsi 
supprimées sont deux à deux égales et directement opposées. 

L'équilibre aura donc encore lieu pour le volume fini. 

Il aura donc lieu ])our l'espace tout entier. Mais dans ce cas, on n'a 
à envisager ni les pressions de Maxwell qui sont nulles à l'intini, ni 
les forces d'origine non électrique qui se font équilibre en vertu du 
principe de réaction a])plicable aux forces envisagées dans la ]\lécanique 
ordinaire. 

Les deux sortes de forces d'inertie se font donc équilibre, d'où une 
double conséquence : 

1°. Le principe de la conservation des projections des quantités de 
mouvement s'applique au système de la matière et du fluide fictif; on 
retrouve aussi les équations (4). 

2°. Le principe de la conservation des moments des quantités de 

17* 



â60 H. POINCARÉ, 

mouvements ou en d'autres termes, U principe, des aires s'applique au 
système de la matière et de fluide fictif. C'est là une conséquence nou- 
velle qui complète les données fournies par les équations (4). 

L'énergie électromagnétique se comportant donc an point de vue qui 
nous occupe comme un fluide doué d'inertie, on doit conclure que si 
un appareil quelconque a])rès avoir produit de Téuergie électromagné- 
tique, l'envoie par rayonnement dans une certaine direction, cet appareil 
devra reculer comme recule un canon qui a lancé un projectile. 

Bien entendu, ce recul ne se produira 2)as si Tapjjareil producteur 
envoie également de l'énergie dans tous les sens; il se produira au con- 
traire si cette symétrie n'existe pas, et si l'énergie électromagnétique 
produite est renvoyée dans une direction uni(|ue, ainsi que cela arrive 
par exemple si ra])pareil est nu excitateur de Hertz placé au foyer 
d'un miroir parabolique. 

Il est facile d'évaluer en chiti'res l'importance de ce recul. vSi l'appa- 
reil à une masse de 1 Kilogramme et s'il a envoyé dans une direction 
unique avec la vitesse de In lumière trois millions de joules, la vitesse 
due au recul est de 1 cm. par seconde. En d'autres termes si l'énergie 
produite ])ar une machine de 3000 watts est envoyée dans une seule 
direction, il faudra ])our iiuiintenir la machine en place, malgré le 
recul, une force d'une dyne. 

H est évident qu'une force aussi faible ne pourrait pas être décelée 
par l'expérience. Mais on pourrait s'imaginer que si, par impossible, on 
disposait d'appareils de mesure assez sensibles pour la mettre en évidence, 
on aurait ainsi démontré que le principe de réaction ii'est pas applicable 
à la matière seule; et que ce serait la confirmation de la théorie de 
LoRENTZ et la condamnation des autres théories. 

Il n'en c^st rien, la théorie de Hkrtz et eu général toutes les autres 
théories prévoient le même recul que celle de Lorenïz. 

J'ai pris tout à l'heure l'exemple d'un excitateur de Hertz dont les 
radiations seraient rendues parallèles par un miroir parabolique. J'aurais 
pu prendre un exemple plus simple emprunté à l'optique; un faisceau 
de rayons lumineux pai-allèles vient frapper normalement un miroir et 
après réflexion revient en sens invers. De l'énergie se propageant d'abord 
de gauche à droite par exemple est renvoyée ensuite de droite à gauche 
par le miroir. 

Le miroir doit donc reculer et le recul est aisé à calculer par les con- 
sidérations (|ui précèdent. 



LA TIIÉOIITR l)i; hORKNTZ ET LR PRINCIPE DK RÉACTION. £61 

Or il est aisé de rccouiiaître le problème qui a déjà été traité par 
Maxwell aux §§ 792 et 798 de son ouvrage. Il prévoit aussi un recul 
du miroir tout pareil à celui que nous avons déduit de la théorie de 

LORTINTZ. 

Si en effet nous pénétrons plus avant dans l'étude du niécauisme de 
ce recul voici ce que nous trouvons. Considérons un volume quelconcjue 
et appliquons lui l'équation (2); cette équation nous apprend que la 
force d'origine électromagnétique ([ui s'exerce sur les électrons, c'est à 
dire sur la matière contenue dans le volume est égale à la résultante 
des pressions de Maxwell augnuMité d'un terme correctif qui est la 
dérivée de l'intégrale 

jdT{l3/> — yff). 

Si le régime est établi, cette intégrale est constante et le tennc; cor- 
rectif est nul. 

Le recul prévu par la thécu-ie de Lorkntz est celui qui est dû aux 
pressions de Maxwell. Or toutes les théories prévoient les ])ressions de 
Maxwell; doz/c foutes les théories j-n'évoieut le 'ineme recul. 

Mais alors une (|iiestion se pose. Nous avons prévu le recul dans la 
théorie de Lokentz parce que cette théorie est contraire au priiu^ipe de 
réaction. Or ])armi les autres théories, il j en a, comme celle de Hi rtz, 
qui sont conformes à ce principe. Comment se-fait-il qu'elles aussi con- 
duisent au même recul 1^ 

Je me hâte de donner rex])lication de ce paradoxe, quitte à justifier 
ensuite cette explication. Dans la théorie de Lorentz et dans celle de 
ÏIeiîtz l'appareil qui produit de l'énergie et l'envoie dans une direction 
recule, mais cette énergie ainsi rayoïniéc; se propage en traversant un 
certain milieu, de l'air par exemjjle. 

Dans la théorie de Lorentz lorsque l'air reçoit l'énergie ainsi ray- 
onnée, il ne subit aucune action mécanique; il n'en subit 2)as non plus 
lorsque cette énergie le quitte après l'avoir traversé. Au contraire dans 
la théorie de îIertz, lorsque l'air reçoit l'énergie, il est poussé en avant 
et il recule au contraire quand cette énergie le quitte. Les mouvements 
de l'air traversé par l'énergie compensent ainsi au point de vue du ])riu- 
cipe de réaction, ceux des appareils qui ont ju'oduit cette énergie. Dans 
la théorie de Lorentz, cette compensation ne se fait pas. 



262 H. POINCARÉ. 

Revenons en effet à la tliéorie de Lorentz et à notre équation (£) et 
appliquons la à un diélectrique homogène. On sait comment Lorexïz 
se représente un milieu diélectrique; ce milieu renfermerait des électrons 
susceptibles de petits déplacements, et ces déplacements produiraient la 
polarisation diélectrique dont Teffet viendrait s'ajouter, à certain points 
de vue, à celui du déplacement électrique proprement dit. 

Soient A", Y, Z les composantes de cette polarisation. On aura: 

dX , . dY , dZ ^ 

(o) ^dr = ^pi;; '^dr = y.pvi, ■^r/T = Spç. 

Les sommations des seconds membres sont étendues à tous les élec- 
trons contenus à l'intérieur de l'élément dr et ce-s équations peuvent 
être regardées comme la définition même de la polarisation diélectrique. 

Pour l'expression de la résultante des forces pondéromotrices (que je 
ne désigne plus par X afin d^éviter toute confusion avec la polarisation) 
nous avons trouvé l'intégrale : 

ou 

jp'/i'/dr—jptlodT-^rYJp-^'^''^- 
Les deux premières intégrales peuvent être remplacées par 
f dX , l\dZ , 

en vertu des équations (5). Quant à la troisième, elle est nulle, par ce 
que la charge totale d'un élément de diélectrique contenant un certain 
nombre d'électrons est nulle. Notre force poudéromotrice se réduit 
donc à : 



/(^f-^D- 



Si je désigne alors par n la force due aux diverses pressions de Max- 
well, de sorte (|ue 

n = (A; + A-3) + (A-',-r) 



LA THKOUIE DE LORENT/ ET LE PlllNCIPE DIO llEACTION. 263 

alors notre équation (2) devient: 

On a d'ailleurs une relation telle que celle-ci 

(A) ^''^ + ^A=/ 

cil a et h sont deux constantes caractéristiques du uiilieu; on en déduit 
aisément : 

(B) A- = C;/;-'-l)/ 
et de niênie 

H étant l'indice de réfraction de la couleur considérée. 

On peut être conduit à remplacer la relation (A) par d'autres plus 
corapli([uées; par exeni])le si l'on doit supposer des ions complexes. 
Peu im])orte^ puis qu'on serait toujours conduit à l'équation (B). 

Pour aller plus loin nous allons supposer une onde plane se propa- 
geant dans le sens de l'axe des x vers les x positifs par exemple. Si 
l'onde est polarisée dans le ])lan des x.:, on aura 

X =/= oc=Z=h = i2^{) 
et 

7 = 'ny 



En tenant compte de toutes ces relations, (2 hi-s) devient d'abord 

oii la première intégrale représente la force pondéromotrice. Mais si 
l'on tient compte des proportions 

Y y 



1 n^—\ ^_hr \ 



'\VXo^ 



264 H. POINCARÉ, 

notre équation devient 

Mais pour tirer quelque chose de cette formule^ il iinjîorte de bien 
voir comment se partage et se propage l'énergie dans un milieu diélec- 
trique. L'énergie se divise en trois parties : 1° l'énergie électrique, 2° 
rénergie magnétique, 3° l'énergie mécanique due au mouvement des 
ions. Ces trois parties ont respectivement pour expressions 

Stt ,., 1 „ 2t ^ ,. 
-^^P, —2^.^ ^S/A 
Ao 7Ï- Ao 

et dans les cas d'une onde plane, elles sont entre elles comme 

1, n\ n^—l . 

Dans l'analyse qui précède nous avons fait jouer un rôle à ce que 
nous avons appelé la quantité de mouvement de l'énergie électromag- 
nétique. Il est clair que la densité de notre tliiide fictif sera proportion- 
nelle à la somme des deux premières parties (électrique et magnétique) 
de l'énergie totale et que la troisième partie, (jui est purement mécanique 
devra être laissée de côté. Mais quelle vitesse convient-il d'attribuer à ce 
fluide? Au premier abord, on ])ourrait croire que c'est la vitesse de pro- 

1 
pagation de l'onde, c'est à dire , ^~f . Mais ce n'est pas aussi simple. 

11 V A „ 

En chaque point il y a proportionnalité entre l'énergie électromagné- 
tique et l'énergie mécanique ; si donc eu un point l'énergie électromag- 
nétique vient à diminuer, l'énergie mécanique dimiiaiera également, 
c'est à dire qu'elle se transformera partiellement en énergie électromag- 
nétique; il y aura donc création de fluide fictif. 

Désignons ])our un instant ])ar p la densité du fluide fictif, par ^' sa 
vitesse que je suppose parallèle à l'axe des x; je suppose que toutes nos 
fonctions ne dépendent que de x et de t, le plan de l'onde étant per- 
pendiculaire à l'axe des x. L'équation de continuité s'écrit alors 

df, '^ dx dt ^ 



LA THÉOIilE DE LORKNTZ KT LE PRINCIPE DE REACTION. 205 

OÙ "^p étant la quantité de fluide fictif créé pendant le temps df. Or 
cette quantité est égale à la quantité d'énergie mécanique détruite^ la- 
quelle est à la quantité d'énergie électromagnétique détruite, c'est à 
dire à — dp, comme //- — 1 est à y/^-j- ] ; d'oi^i 

Zp dp 



n'—l «2+ 1 

(le sorte que notre écpiation devient 

dp 2//'^ dpt; 
dîn'^-\-l~^lh 



0. 



Si !; est une constante, cette équation nous uumtre (|ue la vitesse de 
})ropagatiou est égale à 



Si la vitesse de propagation est ou aura donc 

2n 



Si l enero'ie totale est J , 1 euergieelectrorangnetiquesera J= r J 

et la quantité de mouvement du fluide fictif sera: 

2 ir n 

puisque la densité du fluide fictif est égale à Fénergie mnltiifliée par A y. 

Or dans l'équation (0) le premier terme du second membre représente 
la force pondéromotrice, c'est à dire la dérivée de la quantité de mou- 
vement de la matière du diélectrique, pendant que les deux derniers 
termes représentent la dérivée de la quantité de mouvement du fluide 
fictif. Ces deux quantités de mouvement sont donc entre elles comme 
;^2— let2. 

Soit alors A la densité de la matière du diélectrique, W x, If^ij, Wz les 
composantes de sa vitesse. Eeprenons les équations (4). Le premier 
terme 2 M V,c représente la quantité de mouvement de toute la matière 



266 11. POINCAUÉ. 

réelle; nous le décomposerons en deux parties. La ])reraière partie que 
nous continuerons à désigner par S MF,,, représentera la quantité de 
mouvement des appareils producteurs d'énergie; la seconde partie repré- 
sentera la quantité de mouvement des diélectriques ; elle sera égale à 



/- 



A. Jr^dr 

de sorte que Téquation (4) deviendra 

{Ui.s) Z M F^: + I (A. //':,. -f Kq J IJ.,) dr = const. 

D'après ce que nous venons de voii'^ on aura 

D'ailleurs, désignons par -/' comme plus haut Ténergie totale; dis- 
tinguons d'autre part la vitesse réelle du fluide fictif, c'est à dire celle 
qui résulte de la loi de Poyntino et que nous avons désignée par Ux, 
Uy, V-, et 'la vitesse apparente de l'énergie, c'est à dire celle que Ton 
déduirait de la vitesse de propagation des ondes et que nous désignerons 
par V .r, U'ji, U' z. Il résulte de l'équation (7) que: 

J (Jj, = J' U\, 
On peut donc écrire l'équation (4 bis) sous la forme: 

2 Jf r^ + |a. Wa, -^KqJ' Lf'a) dr = const. 

L'équation (4 bis) montre ce qui suit : si un appareil rayonne de l'éner- 
gie dans une direction unique davs le, vide, il subit un recul qui est 
compensé uniquement au point de vue du principe de réaction par le 
mouvement du fluide fictif. 

Mais si le rayonnement au lieu de se faire daiis le vide, se fait dans 
un diélectrique, ce recul sera com])ensé en partie ]jai' le mouvement du 
fluide fictif, eu partie par le mouvement de; la matière du diélectrique 



LA THÉORIE DK I.ORKNTZ ET LE fRL>rCIPE DE RÉACTION. 267 

et la fraction du recul de ra[)j)areil producteur qui sera ainsi compensé 
])ar le mouvement du diélectri{[ue, c'est à dire par le mouvement d'une 

- 1 
véritable matière^ cette fraction dis-je sera -^,— | — :.. 

Yoilà ce qui résulte de la théorie de LortENTz; comment passerons- 
nous maintenant à la théorie de Hertz. 

On sait, en quoi consistaient les idées de Mossorrr sur la constitution 
des diélectriques. 

Les diélectriques ;iutr(;s (|ue le vide étaient formés de j)etites sphères 
conductrices (ou plus généralement de petits corps conducteurs) séparés 
les unes des autres ])ar un milieu isolant impolarisable analogue au vide. 
Comment est-on passé de là aux idées de Maxwell? On a imaginé que 
le vide lui-même avait la même constitution: il n'était pas impolnrisable, 
mais formé de cellules conductrices, séparées ])ar des cloisons formées 
d'une matière idéale, isolante et impolarisable. Le pouvoir inducteur 
spécifique du vide était donc ])lus grand que celui de la matière idéale 
impolarisable (de même que dans la conception primitive de Mossotti, 
le pouvoir inducteur des diélectriques était plus grand que celui du 
vide, et ])our la même raison). Et le rapport du premier de ces pouvoirs 
au second était d'autant plus grand que l'espace occupé par les cellules 
conductrices était plus grand par rajiport à l'espace occupé ])ar les 
cloisons isolantes. 

Passons enfin à la limit(^; en regardant le pouvoir inducteur de la 
matière isolante comme infiniment ])etit, et en même temps les cloisons 
isolantes comme infiniment minces, de telle façon que l'espace occupé 
par ces cloisons étant infiniment petit, le pouvoir inducteur du vide 
reste fini. Ce passage a la limite nous conduit et la Ihéorie (h Maxwell. 

Tout cela est bien connu (;t je me borne à le rappeler ra})idement. 
Eh bien, // // a enlre la théorie (h Lorentz et celle de Hek,tz la inéine 
relation (pi! entre celle de Mossotti et celle de Maxwell. 

Supposons en effet que nous attribuions au vide la môme constitution 
que LoRENTZ attribue aux diélectriques ordinaires; c'est à dire que nous 
le considérions comme un milieu impolarisable dans lequel des électrons 
peuvent subir de petits déplacements. 

Les formules de Lorentz seront encore applicables, seidement À^ ne 
représentera plus le pouvoir inducteur du inde^ mais celui de notre milieu 
im,polarisaljle idéal. Passons à la limite en supposant A",, infiniment 
petit; il faudra bien entendu pour compenser cette hypothèse^ multi- 



268 H. POINCARÉ. 

plier le nombre des électrons de façon que les pouvoirs inducteurs du 
vide et des autres diélectriques restent finis. 

La théorie oii conduit ce passage à la limite n'est autre que celle de 
Hertz. 

Soit V la vitesse de la lumière dans le vide. Dans la théorie de Lo- 

RKNTZ ])rimitive^ elle est égale à ,y== ', i^i'^-^^ il n'en est plus de même 
dans la théorie modifiée^ elle est égale à 

] 



vyK 



t/^y étant rindice de réfraction du vide par ra])port an milieu idéal im- 
polarisable. Si ;/ désigne Tindice de réfraction d'un diélectrique par 
rapport au vide vulgaire^, son iiulice par rapport à ce milieu idéal sera 
n nç^ et la vitesse de la lumière dans ce diélectrique sera 



V 



'"' nv.VK, 



Dans les formules de Lorentz^ il faut alors remplacer w jmr // Hq. 
Par exemple l'entraînement des ondes daiis la théorie de Lorentz est 
rejjrésenté ])ar la formule de Fresnkl 



'■o-,:o 

Dans la théorie modifiée, il serait 



Si nous ])assons à la limite, il faut faire Kf^ = 0, d'où //^ ^ x) ; donc 
dans la théorie de Hektz rentraînement sera r, c'est à dire qu'il sera 
total. Cette conséquence, contraire à rex])érience de Fizeau, suffit pour 
condamner la théorie de Hertz, de sorte que ces considérations n'ont 
guère qu'un intérêt de curiosité. 

Reprenons cependant notre équation (4 bis). Elle nous enseigne que 
la fraction du recul qui est compensée par le mouvement de la matière 
du diélectrique est égale à 



LA THÉOKIE de LOllENTZ ET LE PEINCIPE DE KEACTION. 269 

Dans la tliéone de Lorentz inotlitice, cette fraction sera : 

oi^ u'^Q — 1 



n- u 



Si nous passons à la limite en faisant )if^ = co ^ cette fraction est 
égale à 1, de sorte que le recul est eiitierevient compensé par le mouve- 
ment de la matière des diélectriques. En d'autres termes, dans la thé- 
orie de Hertz, le principe de réaction n'est pas violé et s'applique à la 
matière seule. 

Cest ce qu'on verrait encore à l'aide de l'équation ( l />/'*); si à la 
limite K^^ est nul, le terme /^A'„ /' Uj (h qui représente la quantité de 
mouvement du ihiide fictif devient nul aussi, de sorte qu'il suffit d'envis- 
ager la quantité de mouvement de la matière réelle. 

D'oii cette conséquence: pour déiaui/lrer expérlmeutaJeimni (pie le 
irrlncipe de réac/iou eut bien violé daim la réalité comme II Cest dans la 
théorie de Lorentz, il ne sîijjisalt pas de montrer (pie les appereils pro- 
duclttirs d'énergie subissent un l'ecul, ce qui serait déjà assez difficile, il 
faudrait encore montrer que ce recul n'est pas compensé ^icir les m.oure- 
meufs des diélectri(pues et en parlicidier de Vair traversés par les ondes 
électromagnétiques. Cela serait évidemment beaucoup plus difficile 
encore. 

Une dernière remarque sur ce sujet. Supposons que le milieu traversé 
par les ondes soit magnétique. Une partie de l'énergie ondulatoire se 
trouvera encore sous la forme mécanique. Si /y. est la perméabilité 
magnétique du milieu, l'énergie magnétique totale sera: 

\^x-dT 

SttJ 

mais une fraction seulement, à savoir : 

"^ Wx'-dT 

SttJ 

sera de l'énergie magnétique proprement dite; l'autre partie: 

SîT J 



270 H. POINCARÉ. 

sera de Ténergie méca/iuiae employée à rapprocher les courants parti- 
culaires cVune orientation commune perpendiculaire au champ^ à ren- 
contre de la force élastique qui tend à ramener ces courants à Torien- 
tation d'équilibre qu'ils reprennent en l'absence de champ magnétique. 
On pourrait alors appliquer à ces milieux une analyse, tout à fait 

|)areille à celle qui ])récède, et oi^i l'énergie mécanique — ■ | S x'dr, 

2,7r f 
jouerait le même rôle que jouait l'énei'gie mécani(|ue ; 1 SA/^'/rdans 



le cas des diélectriques. On reconnaîtrait ainsi que s'il existait des mi- 
lieux magnétiques non diélectriques (je veux dire dont le pouvoir diélec- 
trique serait le même que celui du vide) la matière de ces milieux subi- 
rait une action mécanique par suite de passage des ondes de telle sorte 
que le recul d(;s appareils producteurs serait en partie compensé par 
les mouvements de ces milieux, comme il l'est par ceux des diélectriques. 
Pour sortir de ce cas que la nature ne réalise pas, sujiposons un milieu 
à la fois diélectri((ue et magnéticpie, la fraction du recul conq^ensée par 
le mouvement du milieu sera plus forte que pour un milieu non-mag- 
nétique de même ])ouvoir diélectrique. 

§ '3. 

Pourquoi le principe de réaction s'impose-t-il à notre esprit? Il 
importe de s'en rendre comjîte, alin de voir si les paradoxes qui précè- 
dent peuvent être réellement considérés comme une objection à la thé- 
orie de LoRENTZ. 

Si ce princijx!, dans la plupart des cas, s'impose à nous, c^est que sa 
négation conduirait au mouvement perpétuel; en est-il de même ici? 

Soient A et 7) deux cor])s quelconques, agissant l'un sur l'autre, mais 
soustraits à toute action extérieure; si l'action de l'un n'était pas égale 
à la réaction de l'autre, ou pouri-ait les attacher l'un à l'autre par une 
tringle de longueur invariable de façon (pi'ils se comportent comme 
ujf' seul corps solide. Les forces appli([uées à ce solide ne se faisant pas 
équilibre, le système se mettrait en mouvement et ce mouvement irait 
sans cesse en s'accéléraut, a une cunâlUun. loii/efoh , c'est que l'action 
mutuelle des deux corps ne dépende que de leur ])Osition relative et de 
leur vitesse relative, mais soit indépendante; de leur position absolue et 
de leur vitesse absolue. 

Plus généralement soit \\\\ système couservatif quelcojique, U son 

\ 



LA THÉORIE DE LORENTZ ET LE PRINCIPE DE REACTION. 271 

énergie potentielle, m, la niasse d'un des points du système, ^-.j^'j -' l*''^' 
composantes de sa vitesse, on aura l'équation des forces vives: 

X — (rf.''2 -f-_//'2 + .r'2) -^r 17= const. 

Rapportons maintenant le système à des axes mobiles animés d'une 
vitesse constante de translation v paralèle à l'axe des .;• : soint x.i/',z, 
les composantes de la vitesse relative par rapport à ces axes, on aura: 

x' = .1^, ' -f V, i/ = ij\ , z = z\ . 

et par conséquent : 

2 f [(^^, ' + vY- -}-//, '■' + ^\ ')] + U= const. 

En vertu du principe du mouvement relatif, U ne dépend que de la 
position relative des points du système, les lois du mouvement relatif ne 
diffèrent pas de celles dn mouvement absolu et l'équation des forces 
vives dans le mouvement relatif s'écrit 

2:f(^',^+/t^ + ^'r)+^= const. 

En retranclnint les deux équations Tune de l'autre on trouve 

(8) vY. 'im\ -\- - Z w;, = const. 

il 

OU 

(9) 'Zmx^' = const. 

ce qui est l'expression analytique du principe de réaction. 

Le principe de réaction nous apparaît donc comme une conséquence 
de celui de Téncrgie et de celui du mouvement relatif. Ce dernier prin- 
cipe lui-même s'impose impérieusement à l'esprit, quand on l'applique 
à un système isolé. 

Mais dans le cas qui nous occu])e, il ne s'agit pas d'un système isolé, 
puisque nous ne considérons que la matière proprement dite, en dehors 
de laquelle il y a encore l'éther. Si tous les objets matériels sont en- 
traînés dans une translation commune, comme par exemple dans la 



272 H. POINCAEÉ, 

trauislation de la Terre, les phéuonièues peuvent dift'érer de ce qu'ils 
seraient si cette translation n'existait pas parce que Tétlier peut ne pas 
être entraîné dans cette translation. Le principe du mouvement relatif 
ainsi entendu et ajopliqué à la matière seule s'impose si peu à l'esprit 
que l'on a institué des expériences pour mettre eu évidence la translation 
de la Terre. Ces expériences, il est vrai, ont donné des résultats négatifs 
mais on s'en est plutôt étonné. 

Toutefois une question se pose encore. Ces expériences, ai-je dit, ont 
donné un résultat négatif, et la théorie de Loricntz explique ce résultat 
négatif. 11 semble que le principe du nlouvement relatif, qui ne s'im- 
posait pas a priori, est vérifié a posteriori et que le prijicipe de réaction 
devrait s'en suivre; et cependant il n'en est jjas ainsi, comment cela se 
fait-il ? 

C'est qu'en réalité, ce que nous avons apjjelé le principe du mouve- 
ment relatif n'a été vérifié qu'imparfaitement comme le montre la 
théorie de Lorentz, Elle est du^ à une compensation d'effets, mais: 

1°. Cette compensation n'a lieu qu'en négligeant v-, à moins défaire 
une certaine hypothèse complémentaire que je ne discuterai pas pour le 
moment. 

Cela toutefois n'a pas d'importance pour notre objet, car si l'on 
néglige v-, l'équation (8) donnera directement l'équation (9), c'est à dire 
le principe de réaction. 

2°. Pour que la comjjensatiou se fasse, il faut rapporter les j)héno- 
mènes, non pas au temps vrai f, mais à un certain femps- local t' défini 
de la façon suivante. 

Je suppose que des observateurs placés en difiereuts points, règlent 
leurs montres à l'aide de signaux lumineux ; qu'ils cherchent à corriger 
ces signaux du temps de la transmission, mais qu'ignorant le mouvement 
de translation dont ils sont animés et croyant par conséquent que les 
signaux se transmettent également vite dans les deux sens, ils se bornent 
à croiser les observations, en envoyant un signal de A en B, jmis un 
autre de B en A. Le temps local /' est le temps marqué par les mon- 
tres ainsi réglées. 

1 

Si alors V = / - est la vitesse de la lumière, et v la translation de 



LA THÉORIE DE LORENTZ ET LE PRINCIPE DE REACTION. 273 

la Terre que je suppose parallèle à Taxe des u; positifs, on aura : 

3°. L'énergie ajiparente se propage dans le mouvement relatif sui- 
vant les mêmes lois que l'énergie réelle dans le mouvement absolu, 
mais rénergie apparente n'est pas exactement égale à l'énergie réelle 
correspondante. 

4°. Dans le mouvement relatif, les corps producteurs d'énergie élec- 
tromagnétique sont soumis à une force apparente complémentaire qui 
n'existe pas dans le mouvement absolu. 

Nous allons voir comment ces diverses circonstances résolvent la con- 
tradiction que je viens de signaler. 

Imaginons un appareil producteur d'énergie électrique, disposé de 
telle sorte que l'énergie produite soit renvoyée dans une direction unique. 
Ce sera par exemple un excitateur de Hi;ktz muni d'un miroir para- 
bolique. 

D'abord au repos, l'excitateur envoie de l'énergie dans la direction de 
l'axe des x, et cette énergie est précisément égale à celle qui est dépen- 
sée dans l'excitateur. Comme nous l'avons vu l'appareil recule et prend 
une certaine vitesse. 

Si nous rapportons tout à des axes mobiles liés à l'excitateur, les 
phénomènes apparents devront être, sauf les rései'ves faites plus haut, 
les mêmes que si l'excitateur était au repos ; il va donc rayonner uue 
quantité d'énergie apparente (|ui sera égale à l'énergie dépensée dans 
l'excitateur. 

D'autre part il subira encore une impulsion due au recul, et comme 
il n'est plus en repos, mais a déjà une certaine vitesse, cette impulsion 
produira un certain travail et la force vive de l'excitateur augmentera. 

Si donc l'énergie électromagnétique rédle rayonnée, était égale à 
l'énergie électromagnétique apparente, c'est à dire comme je viens de le 
dire, à l'énergie dépensée dans l'excitateur, l'accroissement de force vive 
de l'a^ipareil aurait été obtenue sans aucune dépense. Cela est contraire 
au principe de consei'vation. Si donc il se produit. un recul c'est que 
l'énergie apparente n'est pas égale à l'énergie réelle et que les phéno- 
mènes dans le mouvement relatif ne sont pas exactement les mêmes que 
dans le mouvement absolu. 

ARCUIVES NÉERLANDAISES SÉRIE II. TOME V. 18 



2,74 H. POINCARÉ. 

Examiiious la chose d'im peu plus près. Soit v' la vitesse de l'excita- 
teur^ V celle des axes mobiles, que je ne suppose plus liés à rexcitateur, 
F celle de la radiatiou ; toutes ces vitesses sont parallèles à Taxe des x 
positifs. Nous supposerons pour simplifier que la radiatiou a la forme 
d'une onde plane polaiisée, ce qui nous donne les équations : 

/= /i = oi = (3 = 

dg^_(ly 1 dy ^ cl g y^b^ \^h ^^ 

df djf 4<7rl^-'df dx' dx^ dl 

d'où: 

y = 4 TT V(J 

L'énergie réelle contenue dans Tunité de volume sera: 

Voyons maintenant ce ([ui se ])asse dans le mouvement a])]jarent par 
rapport aux axes mobiles. (3n a pour les champs électrique et magné- 
tique apparents : 

Nous avons donc pour l'énei'gie apparente dans l'unité de volume 
(en négligeant v'^ mais non v v') : 



ou bien 



47r V'-^g-^ — 3v//7 = 4x V'^g-fl — y\ 



Les équations du mouvement apparent s'écrivent d'ailleurs 

4' ^=_^' 1 dy ^ dg' 

'^ dé' dx" i^TrV^di' dx 

ce qui montre que la vitesse apparente de propagation est encore V,. 



LA THEORIE DE LORENTZ ET LE PRINCIPE DE REACTION. 275 

Soit 7' la durée de l'émission; quelle sera la longueur réellement oc- 
cupée ])ar la perturbation dans l'espace ? 

La tête de la perturbation est partie au temps () du point et elle se 
trouve au teuij)s / au point / /; la queue est partie au temps T, non 
pas du point 0, mais du point o' T, parce que l'excitateur d'où elle 
émane a marché pendant le temps T avec une vitesse v . Cette queue 
est donc à l'instant / au point v T -{- V {f — ?'). La longueur réelle 
de la ])erturbation est donc 

L= r/ — [y/7'+ r(/— 7')] = {T—o') T. 

Q,uelle est maintenant la longueur a])parente. La tête est partie au 
temps local du point ; au temps local /' son abscisse par rapport 
aux axes mobiles sera V/'. La queue est partie au temps 2' du point 
o' T dont l'abscisse par rapport aux axes mobiles est {v' — v) T; le temps 
local correspondant est 

Au temps local /', elle est au point ,r, j; étant donné par les équa- 
tions : 

d'où , en négligeant o- : 

^■ = [.'7'+r(/'-7')](i + |.). 

L'abscisse de ce point par rapport aux axes mobiles sera 

^;_ ot' = {v' T— VT) (l + j\ + Vf. 

La longueur apparente de la perturbation sera donc 

L' = Vf -[x- Vf) = {V- v) 7'(i + = ^ (l 4- ^^ . 

L'énergie réelle totale (par unité de section) est donc 

Ql_ + 'Z7r V^r/^yL==i7rr^gU., 

18* 



276 H. POINCARÉ. 

et rénergie apparente 

(£ + Zr ^V'O J^'=*^ ^'■^^'' '- (i - r) (i + f) = 

Si (loue -/c// i-eprésente l'rnergio réelle rayoïmée pendant le temps r//, 
Jdf ( 1 77) représentera l'énergie apparente. 

Soit J)d/ l'énergie dépensée dans lexcitatenr, elle est la même dans 
le mouvement réel et dans le mouvement apparent. 

Il reste à tenir compte du recul. La force du recul multi])liée par df^ 
est égale à l'accroissement de la quantité de mouvement du tluide fictif, 
c'est à dire à 

df,Kn.fr=ydl 

puisque la quantité de iluide créée est Â'^ Jd/ et sa vitesse F. Le tra- 
vail du recul est donc : 

v'Jdt 



F 

Dans le mouvement ap])arent, il faut remplacer r' par;/ — y et /par 

Le travail apparent du recul est donc : 

Entin dans le mouvement apparent, il faut tenir comj^te de la force 
complémentaire apparente dont j'ai ])arlé plus haut (4°). Cette force 
complémentaire est égale à 

vJ 

— fi 



vv 
et son travail en négligeant v'-^ est — - J dr. 



LA THÉORIE DE LORIONTZ ET LE PRINCIPE DE REACTION. 277 

Cela posé, réquation des forces vives dans le raouvemeut réel s'écrit: 
(10) J-J)-'^=Q. 

Le premier terme représente l'énergie rayonnée, le second la dépense 
et le troisième le travail du recul. 

L'équation des forces vives dans le mouvement apparent s'écrira: 

(11) <i-;')-»+^(-r+7+^)-F^'^=»- 

Le premier terme rejjrésente l'énergie apparente rayonnée, le second 
la dépense, le troisième le travail ap])arent du recul, et le quatrième le 
travail de la force a])pareute complémentaire. 

La concordance des équations (10) et (11) dissipe l'apparence de con- 
tradiction signalée plus haut. 

Si donc, dans la théorie de Lokentz, le recul peut avoir lieu sans 
violer le principe de l'énergie, c'est que l'énergie ajjparente pour un 
observateur entraîné avec les axes mobiles n'est pas égale à l'énergie 
réelle. Supposons donc que notre excitateur subisse un mouvement de 
recul et que l'observateur soit entraîné dans ce mouvement [o ='V<^{))^ 
l'excitateur paraîtra immobile à cet observateur et il lui semblera qu'il 
rayonne autant d'énergie qu'au l'epos. Mais en réalité il en layonnera 
moins et c'est ce qui compense le travail du recul. 

J'aurais pu supposer les axes mobiles invariablement liés à l'excita- 
teur, c'est à dire o = c , mais mon analyse n'aurait pas alors mis en 
évidence le rôle de la force complémentaire apparente. J'ai dû pour le 
faire supposer n' beaucoup plus grand que v de telle sorte que je puisse 
négliger v'- sans négliger /' /''. 

J'aurais pu aussi montrer la nécessité de la force complémentaire appa- 
rente de la façon suivante: 

Le recul réel est -^; dans le mouvement apparent, il faut remplacer 

J par 'j( 1 ~ j de sorte que le recul apparent est 

£ J n 



278 H. POINCARÉ. LA THEORIE DE LORENTZ ET LE PRINCIPE, ETC. 

Il faut donc pour comj^létei' le recul réel, ajouter au recul apparent 
une force complémentaire apparente 

yi 

(je mets le signe — parce que le recul, comme Tindique son nom, a 
lieu dans le sens négatif), 

V existence de la force complémentaire apparente est donc une consé- 
(pience nécessaire du, p/iénomène du recul. 

Ainsi d'après la théorie de Lorentz, le princi])e de réaction ne doit 
pas s'appliquer à la matière seule; le principe du mouvement relatif ne 
doit pas non plus s'appliquer à la matière seule. Ce qu'il importe de 
remarquer c'est qu'il y a entre ces deux faits une connexion intime et 
nécessaire. 

Il suffirait donc d'éfahlir expérimenlalenient F un des deux pour que 
Vautre se trouvai établi ips) facto. Il serait sans doute moins difficile 
de démontrer le second ; mais c'est déjà à peu près impossible puisque 
par exemple M, LiÉnard a calculé qu'avec une machine de 100 Kilo- 
watts la force complémentaire aiiparente ne serait que de — 777- de dvne. 

600 ' 

De cette corrélation entre ces deux faits découle une conséquence 
importante; c'est que l'expérience de Pizeau est déjà elle-même con- 
traire au principe de réaction. Si en effet, comme l'indique cette expé- 
rience, l'entraînement des ondes n'est que ])artiel, c'est que la propaga- 
tion relative des ondes dans un milieu en mouvement ne suit pas les 
mêmes lois que la propagation dans un milieu en repos; c'est à dire 
que le principe du mouvement relatif ne s'applique pas à la matière 
seule et qu'il faut lui faire subir au moins une correction à savoir celle 
dont j'ai parlé plus haut (2°) et qui consiste atout rapporter au „temps 
local". Si cette correction n'est pas compensée par d'autres, on devra 
conclure que le principe de réaction n'est ])as vrai non plus pour la 
matière seule. 

Ainsi se trouveraient condamnées en bloc toutes les théories qui re- 
spectent ce principe, a m.oins que noîis ne consentions a modifier prof on- 
dément toutes nos idées sur l' électrodi/namique. C'est là une idée que j'ai 
développée plus longuement dans un article antérieur. (Eclairage Elec- 
trique Tome V, N° 40). 



ENERGY ACCELERATIONS. A STUDY IN ENERGY PARTITION AND 
IRREVERSIRILITY 



BY 



G. H. BRYAN, Se D , F. R. S. 



lu tlie Pfiilosop/iical Magazine for JauuarV; Lord Rayleigh advan- 
ces tlie view tliat tlie tinie-averages of the energy componeuts of a 
siugle dynainical sjstem are distributed according to Maxwell's Law 
of Partition provided tliat tlie sjstem satisiies certain conditions. Thèse 
conditions appear to recpiire that tlie system s.hall at some time or 
otlier pass tlirougli every possible distribution of coordiiiates and velo- 
cities consistent with tlie équation of energy. 

It is certain that the inajority of Systems occurriug in ordinary dyna- 
mics do not satisfy any such condition. Tt seems to me that our know- 
ledge of the jn-operties of matter tends to make us disbelieve that such 
a condition may be assumed as necessarily holding good in any Systems 
of molécules except those Systems of ])erfectly elastic colliding sphères 
or rigid bodies which are proved by Messrs Watson & Burbury and 
others to represent the properties of an idéal perfect gas. The tendency 
of atoms to forra chemical compouuds and to arrange theraselves in 
crystalline groups, the phenomena of change of state, the coexistence 
of a number différent phases ail appear to indicate that the molécules 
of matter instead of passtng through ail possible contigurations consis- 
tent with the energy-e([uation tend to distribute themselves about cer- 
tain confîguratious and to entirely avoid other configurations. 

In the problem now considered, the probability that the coordinates 
of a System shall lie between assigned limits is supposed to be given. 



280 G. H. BRYAN. 

and frora tins it is reqiiired to investigate the distribution of velocities 
in ovder tliat, the state of the sjstem may be stationary. 

The pi'obability that the coordinates of the molécules of a body shall 
lie betweeu given liraits is of course a function of the coutrollable 
coordinates, such as the volume of the body, and further dépends on 
the state of the body, its chemical composition, crystalline structure, 
and so forth. The distribution of coordinates at any instant is not theo- 
retically really independent of the distribution of velocities at that 
instant, and we may imagine that with the aid of Ma.xvvell's „demons" 
it would be possible to utilise the relation betweeu the two distributions 
to obtain perpétuai availability. As however it is physically impossible 
to control or observe the motions of individual molécules, we may 
assume that the proper measure of the probable distribution of coordi- 
nates, estimated according to the best of our knowledge of the state of 
a body is one which does not dépend on the motions of tlie molécules 
and remains independent of the time so long as the energy and coutrol- 
lable coordinates of the system are constant. This assumption is couve- 
nieut for matheraatical calculation but the properties of Systems in 
which it does not to hold good are also capable of theoretical investi- 
gation and discussion. 

The method which it is now proposed to apply to this problem cou- 
sists in obtaining expressions for the .srcoNfl differential coefficients with 
respect to the time of squares and products of velocities such as enter 
into the expression for the kinetic energy of the system. I propose to 
call thèse second differential coefficients the accélérations of the energy 
components in question from their analogy with the accélérations repre- 
sented by the second dilferential coefficients of the coordinates. This 
nomenclature;, I find, makes it casier to think clearly of the effects under 
considération. From the expressions thus obtained, équations of energy 
equilibrium are found, as well as conditions of stability for the statio- 
nary state, and thèse bave so close au analogy with the température 
condition of thermodynamies as to suggest that they may possibly 
afford the true due to the partition of energy problem, while the limi- 
tations re(|uired by thèse conditions may not improbably explain the 
failure of Maxwell's .Law of Partition of Energy to account for many 
physical phenomeua. The method has the further advantage of sugges- 
ting a dynamical basis for the phenomeua of Irréversibilité/ , which is 
not incompatible with the assumption that any motion of the sys- 



ENERGY ACCELERATIONS, A STUDY IN ENERGY, &C. 281 

te in is equally probable with the reverse motion. In this paper it is pro- 
posée! to apply tlie raethod to a few of the siraplest possible illustrative 
examples, leaving a more gênerai solution of the problem for future inves- 
tigation. The présent exemples will sufïiciently indicate the characte- 
ristic features of the results to whicli the method leads. 

Example I. lif'diUuear inolloii of a single partit-lK. Consider a par- 
ticle of mass w. moving along the axis of .;■ iu a field of force, the poten- 
tial energy of tlie particle due to the field being /' a given f nnction of 
,/•. Then the rate of increase of its kinetic euergy is given by 

à /-X .A (h ^, dV 

dt U """) = '"" Jt = "^ = "'ih- 

wliere A is the force on the particle. 

Suppose now that the actual motion of the ])article is unknovvn and 
we require to find out wluit we caii about the probable motion from pro- 
bability considérations. Let ihe assumption be made that for any given 
position of the particle the probability of its moving with a given velo- 
city is equal to the probability of its moving with the reverse velocity. 
In other words the probability of ." lying between q and (i-\-dq is assu- 
med to be equal to the probability of its lying between — q and — q- — dq. 
Then it is clear that the estimated average rate of increase of kine- 
tic energy is zéro since the probabilities of this rate of increase having 
equal ])ositive and négative values are equal. Now let us form the second 
dirt'erential coefficient of ^ mo" We get 

d- /\ ,\ ^^do , dX X2 , dXdx 

_ J^ , dX _ l /d^\r _ 2 ^' 
m dx m \ dx J dx"^ 

Now let f{x)dx be the probability that the coordinate may lie be- 
tween X and x-\-dx, and (p {o) do the probability that the velocity may 
lie between v and v-\-do. Multiply the last équation hj f{x)dx(p{v)dr, 
and integrate. Then using square brackets to dénote mean values 
we hâve 



282 G. H. BRYAN. 

The left hancl side dénotes what we sliall call tlie mean accélération 
of ilie h'rneilc eneriju of tlie pai'ticle. The significance of the meau values 
will be more easily realised if we thiiik of a mimher of particles distri- 
buted according to a statiouary law^ the probability of giveu coordiiiates 
and velocities being propoTtional to the iiwnher of particles haviug those 
coordinates & velocities. 

The conditions for a stationary distribution require that tlie mean 
accélération of energy shall be zéro just the same as conditions of equi- 
librium in statics require that the accélérations of the bodies of the 
System shall be zéro. The équations re]3resenting thèse conditions we 
shall call erpiaflous of eiiergij equilibr'mm. Eor the présent case the équa- 
tion of energy equilibrium gives 



[^-] 






We see at once that energy-equilibrium is impossible unless the mean 
value of d~J'''jfiy~ is positive. But even if the particle is moving in a 
région in which d-Jjdx^ is everywhere négative tins condition raay still 
be broiight about by supposing the région bounded by perfectly elas- 
tic Avalls the etfect of the forces called into play during impact being to 
increase the mean value of d~ ]'\dx~ by a tinite amount. 

The condition of stability of energy equilibrium is obtained by 
putting 



[i;..^] 



T, -' 



r 



where 7',, is the mean kinetic energy determined by the équation of 
energy e(|uilibrium^ and s is a small variation in the kinetic energy which 
may be due to initial disturbance. We thus obtain 



dfi ~ m L dj'^ J ' 



For stability the variations in s must be periodic, and this condition 
will be satisfied if [d^FIdx-] is positive. Thus the condition of energy 
equilibrium in volves in this instance the condition of stability. If the 



ENERGY ACCELERATIONS, A STUDY IN ENERGY, &C. 



283 



initial mean kinetic energy is T^ -\- a and its initial rate of change is 
zéro then on the li3q)otliesis that tlie coefficients reniain constant in the 
équation of energy accélération we hâve at any succeeiliisg instant 

ri "1 .2 rd'-V'A 

^ ii>v~ \=^l\^-{- acosnl where //-^ = - -yr^ 

and the time average of tlie mean kinetic energy froni time U to 
time / is 

a s in nt 
= / y 



nt 



an expression initially ecjual to '1\ '\- a but Avhich soon approaches the 
liniiting value 7'^ when the time-interval contains a considérable number 
of periods. In this way the mean energy of the system tends towards its 
equilibrium value, and the tendency is moreover unalfected by the rever- 
sai of the initial velocity. In a system with one degree of freedom this is 
as far we can get in reconciling irréversible transformations of energy 
with the équations of motion of a réversible dynamical system, but 
when there are a large number of degrees of freedom, and the corres- 
ponding periods of energy oscillation are Inconnnensnrahle, it is clear 
that the initial déviation from the equilibrium distribution will never 
recur, and we may be sure that the energy at any instant will only 
fluctuate slightly about its mean value. 

If the total energy of the particlc be given to be E the équation of 
energy requires that 

This gives on multiplying by /(.r) dx Cp{v) dv and integrating 



[.V'"'. 



•]=|r^(.-)r/.. 



whence a necessary condition for energy equilibrium is 



r/.;/X^ 



E= 



l\dx 



)] 



d'^r 



'•^Idx-'^} 



284 G. H. BRYAN. 

and tlie law of probability of distribution of coordinates niust be such 
as to satisfy tliis condition. This law of distribution tlius dépends on 
tlie energy E, affordiug an analogj witli the tliermodjnaniical property 
that the state of a body dépends on one variable (eiiergy or température) 
besides the controllable coordinates of the body. 

If we assume a kuown relation to exist betweeu the distributions of 
coordinates and velocities^ the frequency function instead of being 
/'(.^■) <P ('') fJx do must be taken to be i''(.r, r) dx do and in the équation 
of mean accélération of kinetic energy (1)^ [;?-] [^/^ /''/''''•''"] must be 
replaced by \_o^ drj'jdx^']. The conclusions will ])robably be of some- 
what the same gênerai character as in the case considered, but will not 
admit of such simple mathematical discussion. 

For siiiipli! ItarMonic moiioii, the e(|uation of energy-equilibrium may 
be easily verified^ for we hâve .r= a s'm nt, r = a n cas ni, V^ ^ '"■" ''''*''" 
dVjdx =^ 7Î^ mx , d^Fjdx"^ = /rm, also / {x) the probability function 
co Ijv a: («^ 



[l '""'] = 



/:, 


4 2 'i 

M/(«2— ^2) 


dx 

- dx 


ip- m \ a 


9 • 9 

4" 


ntdt 


ifi a?' m. 


€. 


4 



(the tirae intégrais being taken over a half period or quarter period) a 
resuit agreeing with that found by calculating the time average of 

1 9 19 9 9 / 

^ '}iiv'- or 4 (^ I'" t'i COU" ni. 

Example 2. Tioo partides in a sfra'ujht Une atlractvnfj or repeUiny 
eacJi ofher. 

Let two particles m^ and ni.^ at points .<•, and x.^ be moving with 
velocities r, and v.^ in a straight line under a iield of external force, 
and a force betweeu them which is a function of their distance a])art 
x^ .^'i • 

The ])otential energy of the system is ï"^ ^ V^ -\- V^ -\- A^j , 
where Vi = potential energy of m^ due to field, a function of x^ 
K.^ = potential energy of m.^ due to field, a function of X2 
/ J.2 ^ mutual potential energy, a function of x.2 — Xi. 



ENERGY ACCELERATIONS, A STUDY IN ENERGY, &C. 285 

Then 

d f\ ,\ dV fdV, . dF,,\ 

d W N dV /dV,, . df\\ 

Hence 

^/2 /l \ diK dV / d , d\dV 






d'- ^1 ,\ 1 ^dj\'^ ,d^r d'-r 



Assumiug /' {a\, a-^) d,t\ d.i'^ to represent tlie probability of tlie two 
particles lying between the points a\, ir.^ and .i-, -|- ^/^'j , % -\- dx.^ 
respectively, we j)i*oceecl to replace tlie expressions by tlieir mean A^alnes 
as in Example 1. 
Now 



^2 V ^2 Y^ ^ 


dH\, 


d,- V 


dxi dx.^ dx^ dx.. 


dx,^ 


dx^^ 



showing that [d?'V\d,x^dx^~] is usually différent to zéro, and tlie mean 
])roduct [77, r.,] enters into the équations of energy equilibrium unless 
for some reason its value is zéro 

[a) If flm happeiiH fo h/' Ihe casi^ the équations of energy equili- 
brium give 

ri ,-1 Lv^y J ,ri 2-| Lv^y j 



^Vdx:^\ Vdx^^\ 



286 G. H. BRYAN. 

[b) If further the potentlal energij u 'whollij nmfital, tlien l'\ =^ J\ = 
and V = Fj 2 giving in tliis case 

dr__fIT d'^V _ rpr 

(]x^ d.v^ dx^"^ dx.^ 

Heuce 

or Maxwelt/s Law of Partition of Energy liolds good. 

Tliis will not^ liowever^ be tlie case as a gênerai resuit if the potential 
energy of tlie iield be différent from zéro. 

Tliere are, however, certain conditions under whicli the resuit still 
liolds good. One case in which thèse conditions are satisfied is when 
/'(;!•,, .;•.,) = ,/'(''"2j --^'i) 3.nd }\ is the same function of .;-j tliat V.^ is of 
X., ; in other words when the probability of any given position of the 
particles is equal to the probability of the position obtained by inter- 
changing the particles, and the forces ou the two particles are eqnal for 
e(]ual values of their coordiuates. 

In the tields of force conimonly considered in Theoretical Dynamics, 
the force on a particle for given values of its coordinates is proportional 
to the mass of the particle, not iudependent of its mass as . the last 
conditions assume. 

But the question now arises, Does the mean product [tj ^2] neces- 
sarily vauish? To answer tliis question, we must form the second difFe- 
rential coefficient of [y?, y'2] witli respect to the time. We tind 

dfi ^ ^ m^ni.^ dx^ dx.-, Kw.^ m^J dx^dx^ 

1 d'^V , 1 d'^r^ 



Xi d^l^ i d^y\ 
^ ^ \w.j dxy ^ w,^ dx-i V 



In order tliat \i\ v.^ may always vanish, its second ditierential 
coefficient with respect to / must vanish, and therefore also 

\_dx^ dx.^\ L ' ' ' ' J \.dxy dx.^A 



ENERGY ACCELERATIONS, A STUDY IN ENERGY, &c! 287 

Tliis condition is a necessary conséquence of tlie otlier two (3) if 
tliere is no exfernal Jlelil of force, for in tins case 



(h\ dx.^ \dx^y \jlx.iJ 

d^r _ d'^V _ d^F 
dx^dx.^ dxj^ dx^ 

Hence it follows that in tlie case of binary eucounters in one dimen- 
sion betvveen molécules in the absence of an external iield of force 
MaxwelFs Law of Partition of Energy liolds good and there is no cor- 
relation of velocity. 

Let us now investigate tlie gênerai conditions of energy equilibrium 
wlieu the field of external force does not vanish. Tor tliis ]jurpose write 
A',, A'o for the forces on the particles due to the Iield R, for their mutual 
reaction, so that 

dl\ dV^ r/r, 2 , ^/Tio 

"*-i — — ~jr ^2= — -T~ '^= y— = + 



dx^^ dj:^ dxi d. 



also let 



dxi dxi"' ■" dx2 dxo"^' dx^^ dx^.^ dx\dx^ 



Tlien we obtain 
f/2 ri 



1 ■>■ 



o d^" 

é 

dl 



= [{X, - un - m, [.\] [?2 +P] + ^"■i bh ^'J [P] 



— b\ "2] h"'-i [?i + p] -r »h [?2 + p]) 



288 



G. H. BRYAN. 



Wlience b}' determiuauts tlie coiulition tliattlie accélérations of[^r] -] 
[2 ^'2^] '-^^^ [^'1 ^^2] shoulcl vanisli gives 



[m, Vi 2]: 



^[m^v^^}. 



= ['t^i «'2] : 



Z[{X,+R){X,-B)l W 



= 1 



[p] , [p] . 



[p] 



^'^l [p] 

m, [p] 

[?,+p]— ^>'.[s^2+P] 



(^'). 



If we Write tliese équations in tlie abbreviated form 

[wV^j2j ^ [m.^''-] ^ [^', t^o] ^ i 

^ ^ y/ c 

tlien for auy value of ;. we obtain 

A w«, -\-'-ZKm^ m.^ H-\- K" B iii.^ 



[(w/, t\ +;.;//, ''2)'] = 



C 



and since tlie left liand side is essentially positive tlie condition for 
energy-equilibrium to be possible is tliat tlie riglit liand side must be 
essentially positive. Hence 

(I) A and B must be of tlie same sigu as C, 
(II) AB~:> on, w,H-. 



ENKROY ACCELERATIONS, A STUDY IN ENERGY, &C. 289 

The conditions may otherwise be expressed by saying that for ail 
values of h, tlie expressions 

, iiiy , vi.^ }? , w-j m^ A 

[(X,+i^)2] ,-[t,+p], , m,[p] 

2[{l\+R){X,—Ii)l M , M ,m,[^;+p] + m,[^,-^p] 
and 

. [p] , b^ , — '^H [s 2 + P] — «^2 [?1 + P] 

shall be of tlie sarae sign. 

The conditions of stability may be obtained by assuming that the 
values of \j\'\ \^>\"\ [^'i^'a] differ from their equilibrium value by har- 
monie functions of the time of period 2 7r\p. We thus obtaiu 

i/;//,— [£,+/:], , w.jM 

[p] , [p] ,/^«i^/'2— '^'-oKi+p]— '^''i[?2+p] 

as the équation for determining p-, and the condition for stability is 
that this équation must hâve real roots. The condition of stability the- 
refore now ditfers from the condition that energy-equilibrium may be 
possible. 

Example 3. — A single ^article moving in any field of force m a 
plane. 

Let V be the poteutial of the fiekl, and to avoid introducing the con- 
stant w. iuto the équations suppose the particle to be of unit mass. Let 
u, 11 be the velocity components and let 

_ d'^r _J-V 
dx dy ' dy'^ 



19 



J=- 


dV dV d'^r 

dx' dy' '~dx'-' 


We obtaiu 




archives 


NKEIILANDATSES, SERIE II. TOME V 



290 



G. H. BRYAN. 



r/2 

— ^ (2 ^'*') ^ A '^ — ?r r — u ,ç 

-r-TT (4 V~) = J'^ ^'^i^ 1^'i'^ 

— ^ (i -w /') = 2 2^ Z- — ■ tfi s — v'^s — u V {r -}- /) 
The équations of energy equilibrinm give 



W 



= W~] 



= [uv\ 



[X2] n [.] 
[^2] [/] H 

[2AT]H[r + /] 

[r^] H 

[2XJT W[.r + /] 
[X2] [r] 

[72] [q 
[2xr] H H 

[r] H 
[^] [s-] 



(5) 



We notice the foUowing results. 

(1) The mean value [/«'] does uot necessarily vanish. The condi- 
tion of its vauishing reduces to 

[•^•] j [^] [^Y^] + ['•] [!■'-] I - :i [^] m [xn = 

This is satisfied in particular by 

[XZ] = and [.<?] = 
as we should expect from gênerai considérations. 



ENERGY ACCELERATIONS, A STUDY IN ENERGY, &C. 291 

(2) The mean values [wr] and [y?^] are not equal unlessthefollowing 
condition is satisfied: 

[X2] [ff - [Y''] [rY + [X2 _ J.2] I ^,j ^^j _ a «2 j 

+ ;>[jr]|w--[/]|H = o. 

This is satisfied in particular by 

[X2] = [r2] and [r-] = [tl 

From thèse two results we may say that [w^] = [y-] and [nv'] = 
if the probable field of force be isotropic but not otherwise except when 
certain complicated conditions are satisfied. The ordinary transforma- 
tion formulae however show that there is always one pair of axes for 
which [u i'] = and [?^"] and [y-] are a maximum and minimum res- 
pect! vely. 

(3) The fourth déterminant in équations (5) reduces to 

This vanishes if [r -f- /] ^ 0, that is if the mean value of d'^ V\ch^ 
-\- d-Vjdi/- = 0. It follows that if the field of force is known to satisfy 
La place' s Equation, we shall hâve a failing case in which the distribu- 
tion of squares and products of velocities may be expected to assume 
an altogether exceptional character. 

Eveu in the corresponding problem in three dimensions, the pro- 
perty that the Newtoniau potential satisfies Laplace's équation in free 
space cannot fail to produce some modifications in the équations of 
energy equilibrium when the law of force is that of the inverse square, 
but whether such modifications hâve any physical interprétation in 
cosmic phenomena must be regarded, at any rate for the présent, as a 
matter of pure spéculation. 

I hâve formed the déterminant for the three dimensional problem cor- 
responding to that just considered but it does not appear that the mean 
value of V' V is in this case a factor of the déterminant. 

Sutmnarij . — (1). Clonsidering the matter as a problem in pure dyna- 

19* 



292 G. H. BUY AN. 

mies, it is now obvious tliat a studj of tlie accélérations or second dill'e- 
rential coefficients with respect to the time of tlie squares and products 
of velocities of a dynamical system, will eûable us to détermine the law 
of partition of energy in tliat System, and to lind the mean values of 
thèse squares and ])roducts in order tliat the state may be stationary, if 
we know the law of probabiiity of distribution of the coordinates of 
the particles or bodies forming the system. 

(2) The présent method enables us to account for irréversible phe- 
nomena in a system the éléments of whicli satisfy the équations of réver- 
sible dynamies, According to this hypothesis, the property that „heat 
always tends to flow from a liotter to a colder body" would hâve the 
following dynamical interprétation: „When two Systems  and B 
are brought witliin each other^s influence, then if a certain inequality is 
satisfied, energy will be accelerated from one system to the other and 
the sign of the inequality will détermine whether the accélération takes 
place from  to B or from B to A." The inequality involving, as it 
will, only squares and ])roducts of velocities, its sign will be unaltered by 
reversing ail the velocities of the system, lience the difficulties encoun- 
tered in connection with the study of the kinetic theory when the ques- 
tion of reversibility isint roduced in connection with Boltzmann's Mini- 
mum or //.-Theorem, will be obviated, 

(3) We hâve seen (Example 2) that in the case of binary encounters 
in one dimension in a field of external force, Maxwell's Law of Partition 
of Energy does not necessarily hold good. Erom the nature of the 
mathematical reasoning it should be évident that what holds good in 
this case, where the field of force is suj^^josed to be due to a fixed distur- 
bing body, is also true in the more gênerai case when the disturbing 
body is moving. Without examining more coinplicated cases, we can see 
liow it may happen that in the case of a polyatomic gas, in wliich the 
intermolecular forces are fiuite, the partition of energy between the 
varions atoms of a molécule may not necessarily follow Maxwell^s Law. 

(4) The considération (Example 3) of a single particle moving in a 
field of force leads us to généralise for the case of a particle in a field 
due to the action of other particles. The results discussed above afi'ord 
évidence for the possibility tliat in a non-isotropic solid, the mean squa- 
res of the velocity components of an atom in difierent directions may 
be unequal, and the mean products of the velocity components may 
not vanisli unless the axes of référence are cliosen in certain directions. 



ENERC4Y ACCELEIlATIONSj A STIIDY IN ENERGY, &C. 393 

(5) We have seen tliat tlie law of distribution of coordinates must 
be siKîli that certain conditions are satisiied in order that a stationary 
distribution of squares and products of velocities may be possible, 
Moreover certain other conditions, which raay or may not be identical 
with thèse, must be satisfied in order that the distribution may be stable. 
Thèse properties naturally suggest a physical interprétation in tlie 
phenomena of change of state. 

If a distribution of energy is unstable, and a slight disturbance be 
given to the System, which causes one portion of it to have slightly less 
tlian its equilibrium share of energy and another portion slightly more, 
then from the gênerai properties of unstable equilibrium we should 
iufer that energy will be accelerated from the parts with lesser to the 
parts with greater energy, thus increasing the unequiil distribution of 
the energy. jMow tliis is very like what happens in the phenomena of 
liquéfaction of a gas or solidification of a liquid, when energy in the 
form of latent beat passes from the portion of the substance in the lower 
state to that in the higher state. lustability may also lead to an iu- 
crease in the mean kinetic energy of the system at the expense of the 
potential energy or vice verset and this may possibly find an interpré- 
tation in certain cheraical phenomena, 

(6) In the simple examples already considered Ave have been led to 
a study of the mean values of products of velocity components which 
do not enter into the expression for the kinetic energy, and we have 
found that thèse mean products do not necessarily vanish. This resuit 
is practically identical with that put forward by Mr. Burbury in many 
récent papers, and in particular in his treatise on the Kinetic Theory 
of Gases, in which lie iinds that the velocities of neighbouring molécules 
become correlated. In the most gênerai case of 7i particles each having 
tliree degrees of freedom, there will be 3?^ velocity components, and if 
the corrélation is of the most gênerai character possible we shall have 
to examine the mean values of the \ 3// (3;/ -{-1) squares and j^roducts 
of velocities; the number ^ 3;^ (3;; -|- 1) will therefore represent the 
number of rows and columns which will enter into the déterminants 
required for the investigation. Trom this will be readily realised the 
difficulty of a gênerai investigation, or indeed of the investigation of 
any but the simplest cases. 

(7) On the other hand even if we pass from the case of a system of 
particles to a dvnamical system of the most gênerai character satisfyiiig 



294 G. H. BRYAN. ENERGY ACCELERATIONS, A STUDY, &C. 

Lagrange's équations it is always tlieofeticaUy possible to write clown 
expressions for tlie accélérations of the squares and products of tlie 
generalised velocities, or moraenta, or both. 

If tlien the etlier be assumed to be amenable to tlie fuudaraental 
équations of dynamics tlie doctrine of energy accélérations enables us 
tlieoretically to discuss tlie partition of energy and corrélation existing 
in a stationary state between tlie molécules and tlie etlier. 

(8) If we pass from tlie case of finite intermolecular forces to the 
case of a system of colliding molécules modifications will hâve to be 
niade in the équations similar to tliose made in ordinary dynamics in 
passing from a system of finite forces to the limiting case of impulsive 
forces. Tliis will bring us back to the ordinary methods of the Kinetic 
Theory of Gases. 

The theory put forward in the présent paper is of course of a so- 
mewhat tentative character, and it must be left for future investigation 
to deal with its applications to more complicated Systems approaching 
more nearly to the Systems with wliicli we hâve to deal in molecular 
physics. But I cannot help thinking that the présent method niay help 
to clear up many of the difiiculties associated with dynamical inter- 
prétations of thermal phenomena. 

If Personal opinions are of any use in such discussions_, I can only 
say that for some years jjast the problem of accouuting for irréversible 
phenomena on dynamical principles lias seemed to me to be of in- 
superable diificultyj now the main difficulty appears practically removed 
and I find it perfectly easy to foriii a clear mental conception of a 
dynamical system reproducing the irréversible lieat properties of matter. 

The study of energy accélérations cannot fail to lead to interesting 
results in connection with any attempts that may be made to formulate 
kinetic théories of solids and liquids corresponding to the Kinetic 
Theory of Gases, or to account for divergences from Maxwell's Law 
of Partition of Energy between the degrees of freedom of a polyatomic 
ffas or between the molécules of a a;as and the ether. 



&' 



Bangor, August. 1900. 



UEBEIl DIK EESTIMMUNCx 
DER ARBEIT, AVELCHE DIE VERWANDTSCHAFT LEISTEN KANN 



ERNST COHEN 
(iiacli genieinschaftlicheii Versuchen mit Herrn A. W. Visser.) 



1. Uuter der gleichnamigen Aufschrift fiiidet sicli in van 't Hoffs 
Etudes de dj^iamique Chimique ') ein Kapitel, in welchem er die 
Arbeit berechnet^ welclie geleistet wird_, wenn ein Salz^ z. B. FeSO^. 
(^ H.^0 sich des Kristallwassers eines anderen wasserlialtigen Salzes, 
z. B. des MgSO^. 7 TI.,0 bemuchtigt. 

Der dort gegebenen Reclmung liegen nocli die illteren G. Wiede- 
MANNscHEN Dam^îfdruckmessungeii an kristallwasserhaltigen Salzen zu 
Grande; dieselben wareu bereits im Jahre 1S74 ausgefiihrt wordeu ^). 

Nun hat aber bekanntlich Fuowp:in ^) nacligewiesen^ dass die Eesul- 
tate dieser Messungen den Thatsachen nicht entsprechen. 

Bereclmet man namlich unter Zugrundelegung der bekannten 
Gleicliung *) 

die Werte von <i bei verv^chiedenen Salzen aus den zugehurigen Dampf- 



') Siehe van 't Hoff- — Coiii:n, Stiidien ziir cliemischen Dynamik, Amsterdam- 
Leipzig 1896. S. 242. 

') Joui-D. fiir pract. Cliem. N. F. 9, 338 (1874). 

^) Dissertation, Amsterdam 1887. Zeilschrift fiir pliys. Chem. 1, 1 und 362 
(1887). 

') 1. c. 



296 



ERXST COHEN. 



clruckmessungen und vergleiclit dièse Werte mit den kalorimetrisch 
vou Thomsen erlialtenen, so entsteht folgende Uebersicht : 

Tabelle 1. 





Wertlie von Q 


Formel des Salzes. 


Kalorimetrisch 
bestimmt. 


Aus d. Darapfdruckeu berecliiiet. 




Aeltere Uaten. -.j , 

Versucheu. 


CnSO^.h K,0 
BaOk. 2 11,0 
MgSÔ, .1 H,0 
ZjtSO^. 1 1I~0 
ZuSO,. 6 H,0 
Na^HFO,'VlH.,0 


3410 
3830 
3700 
3417 
2178 
2240 


2340 

7250 

106 

—21 


3340 
3815 
3990 
3140 

2280 
2242 



aus welcher sich eiuerseits aufs deutlichste ergiebt, dass die iilteren 
Bestimmungen unricbtig sind, andrerseits aber auch dass die obige 
tliermodjnamische Gleichung den Tbatsachen entspricht. Dieselbe bat 
dariim auch spiiter schon in verscliiedenen Pallen Anwendung ge- 
funden. ') 

Der grosse Vorteil dieser Gleichung liegt darin^ dass dieselbe ge- 
stattet experimeutell bestimmte Dampfdrucke kristallwasserhaltiger Salze 
rechnerisch zu kontrollieren ; dièse Kontrolle ist sehr erwiinscht, da 
sich ja bei den betreffenden Messuugen, wie Frowein gezeigt hat^ 
so leicht grobe Fehler einschleichen konnen. 

2. Wir haben nun das Gleichgewicht : 

FeSO^ .QIUO + MgSO^ . 7 H.,0 t^ FeSO, .IH.fi-^ MgSO, .Qll.,0 

niiher studiert. Warum wir hier die Gleichung in dieser Form, und 
nicht, -) 



') Vergleiclie z. B. Vriiïns, Zeitschr. fur pliys. Chemie, 7. 191 (IHOl), und 
DocTERs VAN Leeuwen, ibid. ''23, 33 (1897). 
^) Sielie Studien zur chem. Dynamik. 1. c. 



UEBEll DIK BESTIMMUiVG DEll ARBEIT, U, S. W. 297 

FeSO^ . 1H.,0+MgS0^ .6H.,0^FeS0, . 6Jl,0^ MgSO, . 7 H.,0. 

sclireiben^ wird sich zeigen uach Mitteiluiig dev betreffenden Yersuchs- 
ergebnisse. 

Es handelte sich also iu experimenteller Hiiisiclit darum die Dampf- 
driicke des MgSO^.l H.,0 und FeSO^.l H.^0 bei verscliiedenen 
Temperaturen za bestimmen und die erhaltenen Zalilen mittelst der 
Gleichuiig (1) zu kontrollieren. 

Frowein batte schon das Magnesiumsulfat untersuclit; seine Er- 
gebnisse lassen sich in naclistehendev Tabelle zusammenfassen : 

Tabelle 2. 







Werthe von y. 


Temj^eraturintervalL 






Apparat 


Â. Apparat B. 


ll.,95— 31,05 


4010 Kal. 


3970 Kal. 


14,95—30,75 


4010 




3930 


20,05—30,75 


4000 




3985 


25,75—30,75 


4020 




3960 


Im Mittel 


4020 




3960 



Schlussergebniss 3990 Kalorien. 

Das Résultat ist ziemlich befriedigend : Thomsen fand kaloriinetrisch 
3700 Kalorien. 

Wie inan sielit, (vergleiche Tabelle 1), ist bei diesem iSalz die Abwei- 
chung (290 Kal.) grusser als bei den andereu, van Fuowein unter- 
suchten Salzeu. 

Wir haben uns derazufolge entschlossen, die Bestimranngen fur 
Magnesiumsulfat zu wiederholen. Wie Fuowein, welcher seine ïensi- 
meter in einein Herwigschen Wasserbade erwarmte, betont, war es 



298 ERNST COHEN. 

damais selir f^chwer die Tem])eratur der benutzten grossen Wassermaî^se 
langere Zeit inuerhalb ^lo Grades koiistant zu erlialten. 

Inzwisclien siud zur Zeit die techuischeu Hilfsmittel bei derartigen 
Versuclien sehr viel verkommnet; mecliaiiische Eiihruiig durch Kleiu- 
motoren ermoglicht es ja auf unbestimmte Zeit konstante Temperatureu 
zu erzieleu^ eine Bediugung, welcher hier Geiiiige geleistet werden 
muss, da sich das Gleicbgewicht iiieisteiis ziemlicb langsam einstellt. 

Wir konuten somit hoffen, die bestebende Diskrepanz imter An- 
wendung dieser bessereu Hilfsmittel zum Yerscliwindeii briiigeu zu 
kuniieii. 



EXPEUIMENTELLES. 

1. Die Salze, d.b. das MgSO., . 11L,0 uiid FeSO^ .111,0 wurden 
mit grosser Sorgfalt bergestellt. 

Kauflicbes Magnesiumsulfat^ aïs puiissimum bezeiclinet^ wurde drei- 
mal uinkristallisiert, sehr fein gepulvert und sorgfiiltig zwiscbeu Lei- 
neutiichern getrocknet. 

Das Perrosulfat wurde aus Blumendralit bereitet. Derselbe wurde in 
SoxHLET-flaschen mit Kautschukveiitil unter Abschluss der Luft in ver- 
dlinnter Schwefelsaure "gelost; die nacb Abkiihlung ausgeschiedenen 
Kristalle wurden in luftfreieni^ eine Spur Schwefelsaure enthaltendem 
Wasser gelost^ und durch melirmaliges Umkristallisieren unter Ab- 
schluss der Luft gereinigt, dann in Leinentiïchern getrocknet nachdem 
sie zu einem feinen Pulver verrieben waren. 

2. Die Dampfdruckmessungen wurden mit dem Bhemer — I'ro- 
WEiN'schen Tensimeter^ in der von van ^t Hofe angegebenen Form ^) 
ausgefùhrt; als Messfiussigkeit wurde Quecksilber benutzt. Frowein 
batte zwar mit Oliven^il gearbeitet^ indess arbeiteten wir bei so hohen 
Temperatureu, dass die beobachteten Drucke auch in Quecksilber eiueu 
passenden Wert erhalten, so dass die unvermeidlichen Fcbler in der 
Ablesung der Quecksilbersilulen nicht zu sehr ins Gewicht lielen. Die 
Ablesung geschah kathetometrisch. 



'j Studien zur Chemischen Dynamik, S. 19o. 



UEBER DIE BESTIMMUNG DEll ARBRIÏ, U. S. W. 299 

Das Qiiecksilber war durcli Schûtteln mit Merkiiroiiitrat und uacli- 
hei'igev Distillatiou iii vacuo gereinigt worden. 

Es wurde stets mit zwei Tensimetern zugleich gearbeitet; das Mit- 
tel der Beobachtungen wurde als Endwert in Rechnimg gebraclit. 

Die Zeit^ wiihreud welcher die Tensimeter aiif koustanter Temperatur 
erhalteu wurdeu^ war wenigstens 21 Stunden; auch Nachts wurde also 
di(ï konstante Temperatur erhalteu. 

In dera benutzten Hervvlgschen Wasserbade ') wurde ein unter 
Wasser beliudlicher EiUirer mittclst eines Wassermotors angetrieben. 

Die RiUirung war so inteusiv, dass Teraperaturunterschiede an ver- 
schiedenen Stellen des Bades mit den in '/lo G^Tàd geteilten Tliermome- 
tern^ welclie sich in verschiedenen ïiefen befanden^ nicht nacligewiesen 
werden konuten. 

Siimtliche Tlierraometer waren mit einer Normale von der Physika- 
lisch-Technisclien Eeichsanstalt in Charlotteuburg vergliclien worden. 

Die Temperatur wurde niittelst eines elektrisclieu Eegulatoi's konstant 
gehalten; die Schwankungen betrugeu nicht mehr als 0,()o Grad. 



Die Ergebnisse. 

1. Die nachstehenden Tabellen enthalten die Yersuchsdaten. 
Es bedeuten darin : 

/ die Temperatur. 

//, und H 2 die beobachteten Hohen der Quecksilbersaulen. 

H das auf 0° G. reduzierte Mittel dieser Hôhen. 

// die Tension des Wasserdampfes -) bei der Temperatur L 



') Siehe Wui.lner, Lehrbucli der Experimentalpliysik, 3, 759 (1885), 
V. 't Hoff, Vorlesungen iiber Bilduug und Spaltung vou Doppelsalzen, (Leip- 
zig 1897) S. 47. 

*) Landolt u. Bornstein, Physikaliscli-chemische Tabellen, 2c Auflage (1894) 
S. 25 ff. 



300 



EENST COHEN. 

Tabelle 3. 



MgSO^. IIUO. 



t 


^A 


lU 


E 


h 


30,75 


. 19,0 


19,0 


18,96 


32,89 


40,02 


3cS,0 


38,0 


37,90 


54,92 


41,42 


42,0 


41,9 


41,89 


59,17 


43,40 


48,4 


48,6 


48,37 


65,67 


47,45 


64,5 


64,5 


64,31 


80,90 



2. Berechnet man uiiter Zugruudeleguug dieser Daten den Wert von 



^, so eiitsteht folgende Tabelle 



Tabelle 4. 



Temperaturintei'vall. 


([ berechiiet. 


30,75 — .40,02 
30,75 — 41,42 
30,75 — 43,40 
30,75 — 47,45 


3691 Kalorien 

3679 

3725 

3755 


Im Mittel 


3712 Ivalorieii 



wiihreiid Thomsen kalorimetriscli 3700 Kalorieu gefunden bat. '1 



') Thcrmocbein. Untersuchungen III, 135. 



UEBElî, DIE BESTIMMUNG DER ARBEIT, U. S. W. 



301 



Die Uebereinstimmung ist jetzt selir befriedigeud : es verschwindet 
sorait die Diskrepanz von welcher oben die Rede war. 



•3, Die Messuugeii am Terrosulfat fiUirten zii deu folgeiideii Zahlen- 
werten. 



Tabelle 5. 



FeSO^.l H^O 



t 


^1 


H, 


H 


h. 


30,67 


21,8 


21,8 


21,76 


32,74 


39,96 


40,0 


40,0 


39,94 


54,75 


1. 1,1-5 


53,0 


53,0 


52,86 


49,36 


46,43 


59,8 


59,8 


59,68 


76,80 



Berechnet man iiacli Gleichung (1) den Wert von ^/, so findet man; 



Tabelle 6. 



Temperaturintervall. 


([ berechnet. 


30,67 — 39,96 
30,67 — 44,45 
30,67 — 46,43 


1907 Kalorien 

1916 

1914 


Im Mittel 


1912 Kalorien 



302 



EllNST COHEN. 



Kaloriraetriscli ist dieser Wert bis daliin, so weit mil- bekaunt, nie- 
mais bestimmt wordeii, so dass vou dieser Seite eiue Kontrolle iiicht 



moglich ist. 



4. Vergleichen wir nun in erster Linie die Ergebnisse unserer Dampf- 
druckmessungen mit deiijeuigeu Wiedemanns, welcbe in uachstehen- 
der Tabelle eingetragen sind, 

Tabelle 7. 



Temperatur. 


Dampfdruck des 
FeS0^.1R,0 


Dampfdruck des 
MgSO^.ni,0. 


40°,2 
50°,4 
60° 


40,1 mm. 
131,3 „ 


46,3 mm. 
77 „ 
122,5 „ 



so ersehen wir daraus, dass unterhalb 50°, 4, wo die Dampfdrucke der 
beiden Salze einander gleich werden, der Druck des MgSOi^ . IH.^0 
grosser ist als derjenige des FeSO^ .1 H.^0 wiihrend unsere Daten, wie 
folgende Tabelle zeigt, zu dem entgegengesetzten Résultat fûhren. 

Tabelle 8. 



Temperatur. 


Dampfdruck des 
FeSO, . IR, 0. 


Temperatur. 


Dampfdruck des 
MgSO.JH^O. 


30,67 
39,96 
44,45 
46,43 


21,76 
39,94 
52,86 
59,63 


30,75 
40,02 


18,96 
37,90 



UEBER DIE BESTIMMUNG UER A.RBEIT, U. S. W, '303 

Bei 40° wii-d also in einem Gemiscli vou FeSOr^ . IH.,0 uncl MgSOf^ . 
OH^O Ueberfiihmug von Dampf stattfinden nach der Seite des MgSO,, . 
C)H,0 und somit FeSOr, .611.^0 und MgSO^.IH.^0 entstehen, wtihrend 
WiEDEMANNs Messuugcu zu dem umgekehrten Ei'gebniss fiihren. 

Wir schreiben deshalb die Gleichung der Umwandung : 

FeSO, . GIL, 0+MgSO, . TH., O^FeSO, . llFO-^MySO, .6R,0. . . (2) 

5. Wir wollen jetzt die Umwandlungsteinperatur der in Gleichung 
(2) vorgestellten Reaktion berechnen^ und wahlen als Ausgangspunkt 
Gleichung (1). 

Ftir das Ferrosulfat gilt: 

_^'1\T fF, 

In derselben Weise fiir das Magnesiumsulfat : 

9 7' 7' F 

'Jia rp 77 • 7? ■ 
-t 1 -^2 m' 2 

Bei der Umwandlungstemperatur 'J\ ist fF^ = mF^; es ist dann 



und 



_ 2 T, T, , mF, 

'^'' ~ y;^^t, f F, 



rp rp ri 

-1 j ^2 '" 2 



somit 



Oder >) 7', = ,- îi^-^— (3) 



mF^ 



') Dièse Grleichung ist identisch mit derjenigen, welche sich in den Studien 
zuv cliem. Dynaraik, Seite 247 fiiidet, und welche lautet: / . ^^^ = —, - — - — 



304 ERNST COHEN. 

Berecluiet maii iiiiii unter Verweudung- der gefundeueii Zalilen bei 
4U'',02 den Wert von 1\, d.h. setzt in Gleichimg (8) ein : 

qm~qt = 3712—1912 = 1800 nacli den Tabellen 4 und 6. 

so findet inîin fnr die Umwandlungstemperatur T^ 

1800 X 313,2 



T,= 



40 1 I 
1800—313,3/.- ' 



37,90 
T, = 319,5 also 46%5 G. 

Legen wir der Eeclumng die betreffenden Zahlen fiir T = 273 
44,45 zii Grande, so tindet inan : 



_ 1800 X 317,45 



1800-317,45 l. ^^'^^ 



51,81 

T', = 319,7 also 46°,7 G. 
welclie Zabi mit der erstberechneten in gâter Uebereinstiminung ist. 

6. Bringen Avir die geleistete Arbeit in die Forin '). 

^=K-/) w 

wo A die Arbeit in Kalorien ist, q die Wilrmetonung, welclie die Um- 
wandlung begleitet, F die Umwandlungsteniperatur, 7' die Temperatur, 
bei welcher die Umwandlung stattfindet, 



') Studien zur chem. Dynamik, S. 247. 



UEBER DIE BESTIMMUNG DER AllBEIT^ U. S. W. 305 

so fiudeii wir im Allgêmeiuen die betreffeude Arbeitsleistung aus der 
Gleichiing : 

A= 1800—5,632 T. 

Auf das Studium der hier erurterten Umwandlïing mittelst eines 
Umwandlungselements hoft'e icli bald zurilckzukommeii. 

Avisferdaiii,, 

Olicmisches Uiiiversittitslaboratorium 

iiu November 1900. 



ABCHIVES NÉERLANDAISES, SERIE II. TOME V. 20 



MIXTURES OF HYDROCIILORIC ACID AND METHYLETIIER 



J. P. KUENEN. 



In 1875 FiUEDEL ') discovered that methylether (B. P. — 23°.5 C.) 
aud hydrochloric acid when brouglit together below zéro produce a 
liquid whicli boils at 2° C. ; this liquid was uot a chemical coinpomid 
iu the usual sensé: tlie proportion in whicli tlie two substances are pré- 
sent in the liquid was not always the same and moreover did not corres- 
pond to a simple molecular composition (about 6 parts of ether against 
5 parts of acid). At the same time the formation of liquid at tempéra- 
tures far above the boiliiig-point of llie ether and the stroiig contrac- 
tion of the vapour- mixture above the boiliiig point whicli he observed 
proved that the two substances display a sti'oug mutual affinity. lie 
therefore coucluded that the molécules of the acid and the ether unité 
to form a dissociable molecular compound : thèse double molécules occur 
both in the vapour — hence the abnormally high vapour-density, — 
and especially in the liquid. The latter is a mixture of double-molecules 
and single molécules of the components. 

From Eriiouel's observations it foUows that mixtures of the sub- 
stances in question hâve the comparatively rare peculiarityof a maximum 
in their boiling-points and tliei'cfore a minimum in (lieir vapourpressu- 
res. The object of the investigation described in this paper was to trace 
this minimum up to the critical région and to obtain a complète pres- 
sure-temj)erature diagram for thèse mixtures. The theory of mixtures 
developed by van dek Waalh ") makes it very probable that jnixtures 



') Compt. Rend. 81 p. 152. 

') KuENEN. Phil. Mag. Ai p. 199. 



MIXTURES OF IIYDIIOCHLOIUC AOlD AND METHYLETHER. 30 7 

witli a miiiimum-vapoiir-jjressure combiue tliis witli a maximum iu the 
critical températures. Tliey beloug therefore to a type which so far lias 
not been fully iuvestigatecl. 

It was of first importance duriug the investigation to keep in view 
tlie possibility of irréversible chemical action, as tins would naturally 
entirely aller tlie cliaracter of the mixtures. Eriedel had not observed 
chemical action, but this did not give any warrant wilh regard to the 
beliaviour of the mixtures at higlier températures. 

In the course of the work it was found that even below 100° C. a 
chemical action takes place which iucreases in rapidity as the tempe- 
rature rises. The cliief products of tlie action are methylchloride and 
water. As the critical températures of the majority of the mixtures lie 
above 100° an important part of the research became impossible and it 
appeared that the combination of methylether and hydrochloric acid is 
uusuitablc for the purpose of exploring the complète diagram for the 
type to which it belongs. At the same time there are so very fewr epre- 
sentations of tins type which lend tliemselves to an investigation in the 
critical région, that one cannot afford to reject the combination altoget- 
ther. It is proposed shortly to undertake the investigation of mixtures 
of acétone and cldorofoj'ui. 

At lirst 110 chemical action had been noticed : it is possible that the 
action dépends upou the présence of moisture or otlier impurities which 
liappened to be présent in smaller quantity in the first experiments than 
later. It is more probable however that the différence is due to the first 
mixtures containing little acid the later mixtures gradually more and 
more. The velocity of the chemical action must liave been correspon- 
dingly smaller and the results above 100° obtained with thèse mixtures 
need therefore not be completely rejected, altliough no great value 
must be attacted to the actual numbers. It is possible that the existence 
of chemical action at higli températures inay give rise to some doubts 
as to whether the phenomena observed by Eriej:)EL and myself, even 
those far below 100°, may be ascribed to pure mixing or whether thèse 
two are intluenced by the same forces. I believe thèse doubts to be un- 
founded. Whatever we may think the inolecular condition of the mix- 
tures to be, — whether we assume the formation of double molécules or 
not, — the essential différence betweeu the progressing chemical réaction 
which gradually changes the condition and the character of the mixtures 
ou the one side and the forces which bring about the immédiate equili 

2U* 



308 J. î». KUENEN. 

brum on tlie otlier can iiot l)e denied. An e([iially distinct contrast exists 
between formation of liquid in a single substance even witb association 
of molécules, and irréversible polymérisation. At the same time it is 
possible that there may be some connection between the strong affinity 
at low and tlie action at liigh températures. 

The chief results arrived at are the following: 

1°. The mixtures hâve a minimum vapour-pressure in accordance 
with what could be derived from Fijiedel's experimeuts. This minimum 
exists up to the critical condition. 

2°. Addition of hydrochloric acid raises the critical température of 
methylether. Eor the reasons explained above the complète relation be- 
tween crilical température and pressure could uot be obtained. 

The results are represented in the tigure y>'àge 309. The curves were coin- 
pleted in the part of the diagram where observations were im])ossible by 
hypothetical pièces. The gênerai character of the diagram seems beyond 
doubt. It shows how the mixtures as expected combine a maximum 
critical température (at .-/) with the minimum va])our-])ressure and in 
what manner the minimum curve meets the plaitpointcurve at B. As 
was proved by van der Waals ') the two curves touch each other at 
B, and the plaitpointcurve is continuons at J. According to principles 
laid down by me before ^) the mixtures will hâve rétrograde condensa- 
tion of the 1 ^' kind, between Cj and B, of the second kind between B 
und .-7, and of the P* kind between A and C.,. 

The diagram agrées generally with one obtained a priori for a mixture 
with minimum vapour-pressure by Hartman "'). It bears to a high degree 
the internai évidence of correctness and it can hardly be doubted will 
be confirmed when a difl'erent représentative of the type without chemi- 
cal action is examined. 

Another peculiarity of the tigure worth noticing is the broadness of 
some of the condensation loops of which the loop in the figure for a 
mixture of 7 % ether to 93 % acid shows a striking exaniple. Near the 
minimum the loops are necessarily very narrow and therefore also be- 
tween B and C j : this is not the case with the mixtures between />' and 



') Yan der Waals. Kon. Ak. Mei 25 1895. 

') KuENEN. Communications. Leidenn". 13,1894. 

') Hartman. Dissertatie. Leiden 1899. 



MIXTURES OF H V DROCllLOllIC ACID AND MEITHYLBÏHER. 809 




310 J. P- KUENEN. 

C2, at least not witli those some distance away frorn B. For a mixture 
like the oiie in the figure tlie two critical points F and E must be far 
apart froni each other and froni tlie critical point (not sliown in the 
figure) whicli the mixture would hâve if it did not separate into two 
phases of différent composition, but behaved like a single substance '). 
With mixtures of maximnm, va])our-])ressnre and inrnimMiii critical tem- 
pérature, such as etliane + nitrous oxide, which were discovered some 
time ago, the loops between R and the critical point of ethane were 
broader than the others but even there remained relatively narrow and 
it was natural then to suppose tliat tins fact had greater generality 
than now appears to be the case. The shape of the plaitpoint-curve and 
■ the great distance between B und C.^ in tins case might hâve suggested 
the probability of broader loops, even without the confirmation by 
experiment. 

If is unnecessary to indicate the shape and changes of the plait on 
the ■'F-surface for mixtures of hydrochloric acid and methylether, as we 
can refer the reader to Hartman'w thesis quoted above. 

As regards the experiments themselves 1 will only mention that the 
methylether was prepared from pure methylalcohol and sulphuric acid, 
and absorbed in sulphuric acid from which it was afterwards liberated 
by water. I refrain from communicating ail the numerical data obtained 
as no value can be attached to the results except cjualitative value. Mr. 
W. G. RoBsoN assisted me during the whole of the investigation. 

The question what is the molecular condition of the mixtures seems 
as yet hardly capable of satisfactory solution. The criteria which are 
applied for this purpose with regard to single substances fail with mix- 
tures. It was lately pointed ont by Kamerlin«h Onnes ^) that the law 
of correspoiiding states cannot without further considération be applied 
to mixtures and van deu, Waals' équation déviâtes too much from the 
truth to be able to use it as a test for the existence of double molécules- 
The formation of liquid above the boiling-point of methylether does not 
prove that association lias taken place : a somewhat higli value of the 



') Compare van der "Waals, Kon. Ak. 27 Noveraber 1897. 

*) Kamerlingh Onnes. Kon. Ak. van Wet. 30 Juni 1900. In this paper mix- 
tures without mutual association are called „ideal" mixtures: „norniar' mixtures 
seems more in accordance with the common use of the two words. 



MIXTURES OF H YDROOIILORIC AC'ID AND METHYLETHER. 311 

niutual attraction -constant rt,^ in van df.r Waals' eqnation will give 
a niininuun in thc vapourpvessures.and tlie phenomenon inay therefore 
occur with normal mixtures. Thc abnormal vapourdcnsity naturally 
suggests the formation of double molécules in tlie vopour and therefore 
a portion in the liquid (compare the case of acetic acid), but again \ve 
need a trustwortliy criterion to décide between high attraction and asso- 
ciation. However probable the association in -Friedel''s mixtures may 
ap})ear^ one cannot décide betweeu the two possibilities with the same 
sharpness as for single substances. 



THÉORIE DE l'INDUCTION ÉLECTRIQUE. 



G. BAKKER. 



Imaginons un circuit qui se meuve daus un eliamp électromagnétique. 

Soient F, G etT/les composantes d'un vecteur, dont l'intégrale prise 
le long du circuit multipliée par Tintensité du courant, donne Ténergie 
potentielle par rapport au cham]) électromagnétique et S^,. S^y S^- les 
composantes d'un vecteur, dont Tintégrale étendue h l'aire d'une sur- 
face passant par le contour du circuit puisse remplacer l'intégrale sus- 
dite, on ])eut exprimer les composantes P, Q et R d'un vecteur, dont 
l'intégrale prise le long du circuit donne la force électromotrice d'induc- 
tion, par les équations : 



(1) 



'-^4~ 


, riz 


^F d-^ 


'^='^4- 


^ dx 


^G d^ 


^-^4- 


^■' dt 


dii d^p 

df dz 



Comme en général on déduit d'une façon incomplète ces équations 

importantes et que forcément Maxwell lui-même ajoute les derniers 

drlj d\h ddi , . , . . w , 

termes ~, ^, ;- aux autres, le veux donner ici une deduc- 

dx dy' dz ' '' 

tion directe complète. 

Si l'on exprime toutes les grandeurs en unités électromagnétiques, il 

faut multiplier les forces électrostatiques z- etc. par V" (Fsignitie 



THÉORIE DE l'iNDUCTION ELECTRIQUE, 313 

la proportion entre Tunité crélectricité dans les systèmes électromag- 
nétique et électrostatique). 

Soit qu'on se base sur les théories de Neuma>'n^ de Maxwell ou de 
TIelmholtz la déduction du système (1) se réduit à la différentiatiou 
d'une grandeur, interprétée par Maxwell comme un moment électro- 
cinétique et par Helmholtz comme énergie potentielle du circuit (si 
Ton fait circuler un courant dont l'intensité soit l'unité). Cette grandeur 
s'écrit comme une intégrale prise le long du circuit ainsi que le quotient 
difï'érentiel. Le vecteur de l'intégrale, qui représente ce quotient diffé- 
rentiel, donne alors par ses composantes P, Q et It. 

On a déjà fait tant de réflexions concernant la relativité des idées : 
énergie potentielle et énergie cinétique, que je ne m'y arrête pas. ') 

Puisque le circuit peut changer de position et de forme, .r, y et ;:; aussi 
bien que F, G et H sont considérés comme des fonctions du temps. La 
ditl'érentiation donne : 

P_jj 'lA^^ 'h_^ 

Les composantes de la force électromotrice des actions électrostaticjues 
sont ajoutées tout simplement à ces trois termes. 

Soit que l'on conçoive l'énergie du courant comme énergie poten- 
tielle, ou comme énergie cinétique, on voit immédiatement pourquoi les 
expressions pour P, Q, et R devaient être incomplètes : car si le circuit 
est mis en mouvement par une force extérieure dans un champ électro- 
maguéti({ue, le travail des forces de résistance se compose, pour des 
courants variables, de forces électrostatiques aussi bien que de forces 
électrodynamiques. 

Soit //' l'énergie électrodynamique et U l'énergie électrostatique, on 
aura : 

;« = _:WtO (,) 

(It 

au lieu de 



') Déjà Secchi (Die Eiiiheit der Naturkràfte) y fixe l'attention par son exemple 
des taureaux combattants. Voir aussi : Max Planck „Das Princip der Erhaltung 
der Energie" Pg. 113; et J. J. Thomson „Applic. of dynamicstoPhys. and Chem.". 
Pg. 13. Barker et Preston aussi étaient d'avis que l'énergie potentielle n'est que 
de l'énergie cinétique. 



314 G. BAKKEK. 

Appliquons l'équation (2) à des circuits à trois dimensions. Soient 
X^, Yi et Zi les composantes de l'action électrostatique, par unité de 
volume^ sur un conducteur. D'abord on aura: 

Or, rénergie électrostatique s'exprime par l'intégrale : 

V=W^^dr (4) 

d'où 

En égalant les deux expressions (3) et (5) trouvées pour —: 

fie 

/'fw4* («) 

Soient u, v et w les composantes de la densité du courant^ on a : 

dp du do dm 
Ti^lÛr^Jy^dz.^ ' 

La variation de l'énergie diélectrique de l'ether s'exprime donc ainsi : 
(voir la relation 6) 



dU -r-o /" i du, , de , dw 
dt J^idx^di/^dz 



') Aussitôt que les courants deviennent stationnaires, 1 1- — = 0, d'où 

dx dy dz 

, . dU 
il s'ensuit: — ^ 0. L'énergie des déplacements diélectriques reste invariable et 

par conséquent il n'y aura pas de courant de déplacement diélectrique. 



THÉORIE DE l'iNDUCTION ELECTRIQUE. 

OU en intégrant par parties : 

dU ..oA # , # , # ) , 

dt J ( dx ' dii ' f/^ i 



315 



L'expression pour l'énergie du courant continu se transforme aussi 
facilement. Soient les composantes des forces électrodynamiques^ par 
unité de volume^ 

J2 . y 2 et Z.^ 

alors la loi d'Ampère donne : 

X^_ = I {Sp:V-~Sp,,w)dr etc. 
Le travail de ces forces devient : 



K''t+^^4+'4>- 



dW 
dt 



I 



dx dy dx 



dr = 



-I 



n V w 


dx dy dz 
~dtTt~dt 


S-^xS-^yS-^: 



^4-^ dr 



La somme des composantes donne: A^= Xj -^ A., et on aura donc: 



Les composantes d'un vecteur dont l'intégrale le long du circuit donne 
la force électromotrice sont exprimées par P, Q et H. Donc : 



Ji^i = j {Pu + Qu -j- Rio) dr. 



(8) 



L'équivalence de (7) et (.s) donnera 
'^■'df ^'dl 



/ ^"-- etc. 
dx 



316 C4. BAKKEll. 

et c'est à ces formules que le système (1) se réduit lorsque le champ ne 
dépend pas du temps. 

En cas que le conducteur est immobile de sorte que le champ ne 
dépend que des intensités des courants, Texpression pour W : 



jr=lf{ Ku + Gv + mo) dr 



donne immédiatement : 



^ ^dn^^'' A_r^' I Tj''"\i I ^fr ''^'j^ '^^^ *^^^ 7 






Or, maintenant F, G et // ne dépendent pour un point déterminé 
que des composantes des densités de courant dans les autres points 
et même linéairement d'oi^i il suit que les deux intégrales sont égales; 
donc : 

Le cas général donnera ainsi pour P, Q et /<' : 

^-^^-~df ^"dt dl * dx 

et par permutation tournante des coordonnées x, ij, z ou trouvera les 
deux autres relations de môme forme pour Q, et B. 

FORCES PONDÉROMOTRICES. 

La force électromotrice d'induction dépend de la constitution du 
champ électromagnétique et du mouvement du conducteur. Les forces 
pondéromotrices dépendent à leur tour des courants et des déplacements 
électriques causés par les forces électromotrices, taudis que les courants 
dépendent de la conductibilité spécifique. ') Il doit donc être possible 
de calculer les forces pondéromotrices dans leur rapport avec la consti- 
tution et les changements du champ, le mouvement du courant et sa 
conductibilité spécifique. 



') Nous supposons que les conducteurs soient isotropes. 



THEOllIE DE L INDIICTIOX ELEOTRIQUIO 



317 



Je considère d'abord les circuits linéaires sans tenir compte des cou- 
rants transversaux. Soient P, Q et R les composantes de la force élec- 
tromotrice d'induction et x, i3, y les angles, qu'un élément du circuit 
fait avec les axes des coordonnées, on aura jjour la force électromotrice 
dans la direction de Vêlement ds du courant: 



{Pcosoi -\- Qcos(3 -|- Rcos'y)ds 
et rintensité du courant devient : 

h=^ q [P cosx -\- Q,cos{Z -f- Rcosy)doo 



(9) 



(10) 



si q signifie la conductibilité spécifique et i^? la section droite du circuit. 
Considérons un élément du circuit. Soit ù l'angle entre la force mag- 
nétique et cet élément, alors on aura ])our Taction du champ sur l'élé- 
ment du circuit : 



q JP) sin ù {P cos ^ -|- Q cos (3 -j- R cos y) du ds 



(11) 



La direction de cette force est perpendiculaire à l'élément et à la 
force magnétique d'après la règle connue. 

Les composantes de la force électromotrice peuvent être divisées en 
trois parties. Pour P on a : 

et de même pour Q, et R. 

En substituant ces valeurs dans l'équation (9) on trouve pour la 
force électromotrice dans la direction de l'élément : 



^0..- ^Ç>r/ -?>. 

cosoi cos (3 cos y 

dx dy dz 
~dt Ift ~dt 



ds 



6-6»* X -\- -<T COS l3-\--rj cas y} ds — / -^ [VZ, 



dt 



^t 



dt 



ds 



La première partie de cette expression s'écrit aussi: 

dx dy dz 

V.r Vu V- 



318 



G. BAKKEU. 



si dx, dy, dz expriment les projections de réiénient sur les axes. 

Ce déterminant exprime le nombre des unités de volume d'un parai - 
lèlopipède, dont trois arêtes concourants représentent la force magné- 
tique^ l'élément et la vitesse de Télément. 

Imaginons qu'un circuit ait un mouvement de translation dans un 
champ uniforme^ la force électromotrice d'induction totale sera nulle. 
En eti'et^ pour tous les points du circuit S^ et v ont la même valeur^ 
tandis que les éléments peuvent être pris deux à deux de telle manière 
que les projections correspondantes ont des signes contraires et se dé- 
truisent. 

Les composantes de [JÇ).^/*]') sont: 

(J^- eos jo — Spij cas y) ds etc. 

donc les composantes des forces pondéromotrices quant à la première 
partie, peuvent s'exprimer par : 



X^ = q S^z cos /3 — ^y cos y 



^Px-^U 


^Ç>c 


dx 


du 


dz 


Vx 


'Vu 


Vz 



etc. 



L'équivalent mécanique de la chaleur corrcispondant avec la force 
électromotrice 

par unité de volume devient 

]F^= q \F cos a.^Q, cos /3 -\- R cos 'y[~ = q 



4<- JP.'/ ^^z 

cos X cos (3 cos 7 

V.j- Ou V- 



c'est-à-dire cette quantité s'exprime 2)ar !e carré du volume d'iui 
parallélopipèdcj que nous avons considéré tout à l'heure^ multiplié par 
la conductibilité spécifique. 

Je dois remarquer que le valeur de IF change de signe selon celui du 
parallélopipède. Ces considérations ne disent donc rien de la locallsatloib 
de l'énergie. 

Lnaginons une sphère dont hi rayon soit l'unité et dont le centre 



') Notation de M.Lorentz. 



THEORIE DE L INDUCTION ELECTRIQUE. 



319 




coiiieide avec le point auquel se rapjiortent les grandeurs que nous 
venons de cousidérev. Soient K, <?, v et J^ respectivement les points 

d'iiiiersection de la sphère et des lignes 
qui i-epi-ésentent la force ]Dondéroniotrice, 
la direction de réléraent, la vitesse de celui- 
ci et la force magnétique et soit ^ ranglo 
entre la direction de K et de v, eK et S^K 
seront des arcs de 90°, parce que K est 
perpendiculaire à rélément et à la force 
magnétique. (Voir la ligure). L'arc qui 
joint et Â' est donc perpendiculaire à 
e^ et par conséquent vN=Q()° — '(p. 
Dans le triangle sphérique rectangulaire 

si// /'// = dv rJP) X ■'^'"' ■^>^^? J^ 

ou sin û cos (p = sin v -^ \ sin ô X ^^iii <C ^' ^ ^^'- (j'^^i tléjà désigné 
l'angle entre l'élément et la force magnétique ])ar ô) 

Or, le membre gauche de l'équation ci-desus représente en effet Tam- 
plitude du triangle sphérique {e S^ o) 

Donc sin ô cos représente aussi également ram])litudej Ensuite nous 
avons trouvé pour la force poudéromotrice : 

K= ([ .Ç)'' r .s'rii ô X anqjlitude {e Sp v) 
et réquivalent mécanique de la chaleur : 

//' = y .f)2 p^ X j amplitude (^^ ^ i') i" 



Le travail .7 produit par A' sur Tiinité de volume pendant l'unité de 
temps : 

A = A' V cas p = q^- v~ siu ô cm (p X amplitude {e S^ v) 

ou puisque : sin ô cos p =^ amplitude {e Sp v) 

A = q Sp-i v'- X j amplitude (^^ Sp v) \-; 

donc, connne il faut : 

A = IF 



320 G. BAKKEU. 

La considération des autres parties des composantes de la force pondé- 
roraotrice offre peu de difficulté. Soient «^51 l'accroissement du potentiel 
vecteur et f l'angle entre (^2i et l'élément^ les expressions (11) et (12) 
donnent pour la force pondéromotrice produite par le changement du 
champ ]3ar rapport au temps : 

r • .^5i 

— qSp sm -^ cas s 

où cette force sera peri^endiculaire à Sp et à l'élément conformément à 
la règle connue. Entin le dernier terme de (12) donne: 

' ds 

Si l'élément considéré se meut perpendiculairement à la force mag- 
nétique et que la direction de l'élément se trouve perpendiculaire à la 
vitesse ou si nous considérons des courants à l'intérieur des conducteurs 
(à trois dimensions) de sorte que l'on considère le courant toial, à'oii il 
suit que la direction du courant est celle de la force électromotrice, on 
aura : 

u = qF v = qQ îO = qR 

et si nous supposons que le champ ne varie pas avec le temps, les ex])res- 
sions pour les composantes de la force pondéromotrice par unité de 
volume seront : 



= 'I 



*<«'I-^=!D-«"(^"I-*"D] 



^IV'QQ: 



dy ^' dzj 



Soit £ l'angle entre la force magnétique et la vitesse v et soient ^, vi, 
^ les angles, que la force magnétique fait avec les axes des coordonnées, 
tandis que A, [j., v sont les angles de direction de la vitesse, on aura : 

X=q (/p2 ,, cos scosè — JÔ'' V cas A) — q / '- (^-/^ — ^^ '^'^^ 



THEORIE DE L INDUCTION ELECTRIQUE. 



321 



Par periimtation touriiante des coordonnées a-, //, z on trouve les 
autres composantes. 

On voit par là que la force pondéroniotrice peut être considérée comme 
la résultante de ces forces : 



1°. une force q Sp- v cos s dans la direction de la force magnétique. 

2°. une force q J^- v dans une direction opposée à celle de la vitesse, 
c.-à-d. une force de resia lance. 

'1°. une force q A -[J^. li^ {R^ force électrostatique) tandisque, si le 
champ dépend du temps, il faut njouter. 



4 . une force q 



^0. 



«V J 



ARCniVES NEERLANDAISES SERIE II. TOME V. 



2i 



DEUX MÉTHODES OPTIQUES 

POUR l'Étude de l'élasticité des corps solides 



A. CORNU. 



L'étude rigoureuse des propriétés élastiques des corps solides, surtout 
de ceux qui par leur rareté (comme les cristaux naturels) ne s'obtiennent 
qu'en petits échantillons, présente d'extrêmes difficultés. 

C'est aux propriétés les plus délicates des ondes lumineuses que je 
me suis adressé pour tâcher de les vaincre : à cet effet j'ai essayé d'in- 
stituer deux méthodes opti(|ues, en apparence très différentes, mais qui, 
au fond, ainsi qu'on le verra plus loin, sont équivalentes théoriquement 
et paraissent identiques comme précision. 

La première, que j'avais cru d'abord de beaucoup supérieure à 
l'autre, a été décrite en 1869, dans les Comptes rendus de l'académie 
des sciences (t. LXIX p. -ySS) : la seconde a seulement été indiquée 
par une note au bas de la page '336 de la même communication qui 
en fait coiniaître le principe. 

Toutes les deux sont fondées sur la variation des phénomènes optiques 
que produit la déformation d'une surface polie taillée sur le corps 
élastique. 

La surface plane d'une lame parallélépipède est la forme qui offre 
le genre d'observations les plus faciles. 

Les modes de déformation employés, sont 

1°. /a Jkxion dite circulaire : la lame est posée liorizoni alement sur deux 
appuis parallèles et fléchie par deux poids égaux et symétriques : des 
dispositifs simples permettent d'effectuer la flexion convexe et la flexion 
concave. 

2°. (a tor-sion : la lame est jiosée sur un aj)pui d'un coté et sur une 



DEUX METHODES OPTIQUES^ ETC. 323 

poiute de l'autre et tordue dans un sens ou dans Tautre à l'aide de 
leviers symétriques perpendiculaires à Taxe de torsion. Les modes de 
flexion et de torsion inverses et symétriques ont Tavantage d'éliminer 
plusieurs causes d'erreur, et de doul)ler la précision. 

Les deux méthodes optiques employées pour déterminer la déforma- 
tion de la surface primitivement plane vérifient le théorème d'EuLEii sur 
la loi de variation des courbures de la surface autour d'un point. On 
reconnaît immédiatement les deux sections principales rectangulaires 

dont les courbures ( - j et ( --, j sOnt presque toujours de signe con- 
traire : les mesures micrométriques vérifient ensuite la relation 

, cos'^co . s'm'^u 1 

utilisable toutes les fois (lu'on a besoin de mesurer la courbure - d'une 

P 

section normale faisant l'angle ce avec la section principale de cour- 
bure y. 



1 '•■"'■• Mkthodk 
fondée sur Ueniptul des aiiiieanx de Newton. 

On observe avec une lumière monocliromatique les anneaux produits 
par la lame d'air située entre la surface éhistique déformée et la surface 
le plus souvent plane d'une lentille convergente de 40 a 50 cm. de 
distance focale portée sur trois pointes à vis. 

Le phénomène optique, observé quasi normalement avec la lumière 
jauiue de la soude (suivant le dispositif de Eizeau) est très frapjiant ])ar 
son élégance géométrique. La surface plane déformée par flexion 
ou torsion étant à courbures opposées détermine un système d'an- 
neaux hyperboliques ayant mêmes asymptotes : on vérifie donc in- 
tuitivement d'une part la rectangularité des sections princi})ales 
(parallèlles aux axes principaux des hyperboles) et d'autre part 
la loi de variation des courbures du théorème d'EuLEii; les hy- 
perboles réalisent en eflet les indlca/rkes de Cir. Dupin, auxquelles se 
réduisent les sections de la surface par des jjlans parallèles à un plan 

21* 



334 A. CORNU. 

taiigeut à des distances très petites du point de contact^ car ces distances 
sont égales à une demi-longueur d'onde, soit - 0/-'5'S9 ou un tiers de 

micron. 

Ce système d'hyperboles peint en même temps aux yeux la forme de 
la surface suivant le mode de représentation topographhiup, Téclielle des 
hauteurs des sections horizontales étant précisément égale à une demi- 
longLieur d'onde. ') 

Le relevé de ces anneaux peut se faire au foyer d'une petite lunette 
d'observation munie d'un micromètre à fil : mais la précision des pointés 
devient beaucoup plus grande en faisant appel à la photographie. 

A cet ett'et, la lunette est remplacée par un ap])areil photographicpie 
visant prescpie normalement la surface de la lame d'air oii se forment 
les anneaux; la source lumineuse est une étincelle d'induction jail- 
lissant entre deux pôles de magnésium. L'étincelle est placée dans une 
direction légèrement oblique sur Taxe de la lentille précitée de manière 
que son image conjuguée réfléchie par les surfaces interférentielles se 
fasse sur l'objectif photographique. 

En quelques secondes on obtient un cliché des anneaux (cliché négatif) 
car la radiation la plus intense est suffisamment monochromatique : en 
réalité c'est un triplet ultraviolet dont la longueur d'onde moyenne est 
A = 0,f*383. 

On peut à loisir mesurer ces clichés qui supportent de forts grosisse- 
ments à l'aide d'un microscope à chariot micrométrique. 

La ])récision des pointés peut aller très loin et atteindre au moins le 

— de la largeur d'un anneau, ce qui correspond à-- 0/''383= 0,^^0095 

ou à un centième de micron dans ra])préciation des déformations 
relatives normalement à la surface. -) 



^) La surface inférieure de la lentille peut être choisie non seulement plane 
mais légèrement convexe ou concave: on obtient alors toutes les formes d'in- 
dicatrices décrites par Dlipin, ellipses, systèmes de droites parallèles et hy- 
perboles. 

^) Avec certaines plaques au gélatino-bromure, lorsque l'étincelle d'induction 
n'est pas convenable, la radiation violette A = 448 superpose un système d'an- 
neaux qui altère la pureté des courbes en leur donnant un aspect périodique 6 : 7 : 

on' élimine cette radiation à l'aide d'une couche de collodion avec -tf^ de 

chrysoïdine qu'on étend sur la surface la plus plane de l'objectif photographique. 



DEUX MÉTHODES OPTiqUIOS, F/l'C. 825 

L'emploi des anneaux de Newton a Tavantage de fournir une vue 
d'ensemble des déforuuitions simultanées de tous les points de la surface 
élastique, indépendamment de la flexion des appuis, ou du support de 
la lentille auxiliaire servant ù la production des anueaux. 

La grandeur réelle des anneaux s'obtient à l'aide d'un (juadrillage 
rectangulaire, de dimension déterminée, tracé au diamant ou à Tacide 
fluorli_y(lrique sur la surface plane de la lentille auxiliaire. L'image 
photogra])liique de ce quadrillage permet en outre de corriger l'effet de la 
légère obliquité des faisceaux. 

Mesures tii.icroiiu'f.riqn.e.s. On se contente en général de mesurer les dia- 
mètres des anneaux de même ordre suivant les deux sections rectangu- 
laires princi])ales. Comme les rayons de courbure sont très grands par 
ra])])ort ù l'épaisseur e de la lame d'air correspondant au milieu de dia- 
mètre c de l'anneau considéré on a ])our chaque section principale la 
relation bien connue 

{'Z) c^=SJie et c'-=^R'e. ■ 

Si l'on donne à chaque anneau un numéro d'ordre i en commençant 
par /' = 1 pour le premier à partir du centre, le diamètre ci corresjDon- 
dra à l'épaisseur <?, : or ei est égal à un nombre entier / j^lus une fraction 
Cp de demi-longueurs d'onde. Donc 

(3) ci' = 8 7,' (^+ (p) ~ = i^Iîxi + UiX0, 

expression de la forme 

I l'iÏA = « 

(4) c,- = ai ~r ù , en posant (5) 

^ i 47^0 = 6. ^ ^ 

Les observations donnent i et a; il s'agit d'en déduire a et b. On est 
naturellement à employer la méthode des moindres carrés, car le nombre 
de diamètres c; mesuré est le plus souvent assez grand. Soit u ce nombre; 
on aura la condition 

(6) 2 («/' -f- ^ — (^i^y = minimum, 

1 

laquelle se ramène en égalant à zéro les coefficients de da et dô obtenus 



326 A. COTINU. 



en differeiitiant réquation ci-dessus, à deux équations linéaires en a et 
h qui déterminent ces deux paramètres : 



(7) 






. n{nA-V 



9. 
Les sommes S étant jJi'ises de 1 à m : 



^^ ^i{ii^\){^n 



6 
Résolues jjar rapport à a et 6 ces équations donnent 

6 2 

Dans Tapplication numérique de ces formules on rencontre quelques 
simplifications qui en rendent l'usage très simple. 

IWimJva'hn des erreurs fortuites de puhité. Dans Téquatiou (5) les 
diamètres Cj entrent par leurs carrés de sorte qu'une erreur fortuite ^ci 
y figure par le product ^c^Cj, ce qui semble exagérer l'influence de Ter- 
reur des diamètres croissants. 

IJjie série d'observations directes m'a montré que l'erreur moi/enne de 
pointé sur les anneaux est sensiblement proportiounelle à la largeur de 
l'intervalle moyen des anneaux consécutifs; on a donc la condition 

à e, = k\c\j^\ — c\) = fî 



d'où \[c,+x^ci)lc,-=^; 

c'est donc bien par leurs carrés que les diamètres mesurés doivent entrer 
dans l'équation de condition pour donner à toutes les observations le 
poids qui leur convient. 

Il est bien entendu que chaque mesure de c-, est une moyenne de plu- 
sieurs mesures ré2)etées pour atténuer les erreurs fortuits de pointé : le 



DKUX MÉTHODES OPTIQUES^ ETC. 327 

calcul des coefficients a et h par la méthode des moindres carrés a pour 
but d'éliminer leur influence. 

Erreurs si/slcuiafiques. Les valeurs c,, avant d'être traitées comme 
on vient de l'exposer^ ont besoin d'être corrigées d'une erreur systéma- 
tique dont voici l'origine. Lorsqu'on observe au micromètre à fil on est 
inévitablement conduit à pointer le milieu des deux bords de l'anneau 
(sombre ou clair) au lieu de pointer la position du minimum ou du 
maximum d'intensité^ toujours indécise; la dissymétrie de chaque an- 
neau rend d'ailleurs cette appréciation exacte presque impossible. Il 
faut donc calculer la position de ce minimum ou de ce maximum d'après 
le pointé qui correspond au milieu des bords visibles de l'anneau. La 
discussion géométrique de cette condition conduit à la règle suivante. 

Ou corrigera le carré de cIuKpie diavù'fre apparent [défini par les w'dl- 
eux deux à deux des qnaire bords de V anneau) en ajoutant le carré de la 
largeur apparente [ou distance nioijenne des bords contigus) de l'anneau. 

Ce sont ces valeurs corrigées c^ qu'on introduit dans les équations ci- 
dessus (7) et (y). 

Calcul des deux courbures principales. On opère ainsi qu'il vient d'être 
dit dans les deux directions principales c. à d. suivant les axes principaux 
du système d'hyperboles; on en conclut les valeurs « = 4 7^ A suivant 
l'un des axes et «' = 4 R' K suivant l'autre; les valeurs b et b' servent 
de vérification, car on doit avoir la relation Cp-\-^' =\, la série des 
liyperboles conjuguées de part et d'autre des asymptotes correspondant 
à la succession des épaisseui's de la lame d'air qui varient d'une ma- 
nière continue suivant la série des nombres entiers. 

On calcule ainsi les courbures — - et ^-,, qui entrent dans les forinu- 

les de la théorie de l'élasticité. 

Si ])ar suite d'une dissymétrie quelconque, les axes principaux ne coïn- 
cident pas avec les arêtes de la lame parallélépipède, ou mesure l'angle 
00 de déviation, et le théorème d'EuLER permet de calculer les courbures 
dans les ])lans de symétrie de la lame, ou dans les sections désignées 
par la théorie; ainsi dans le phénomène de la torsion les sections inté- 
ressantes sont il cc= + 45° de l'axe de la lame, tandisque dans la fle- 
xion w = ou 90°. 



328 A. CORNU. 

SuJjsUlntlov d'une méthode pureuieuf, optique au relevé mlcro/iiétrique 
des annemix. Les clichés photographiques des anneaux forment de véri- 
tables réseaux de diffraction susceptibles de former des imiKjes focales 
lorsqu'on les interpose sur le trajet d'un faisceau de rayons parallèles ^). 
A cet effet on dispose un collimateur dont la fente usuelle est remplacée 
par un très petit trou éclairé par une lumière très vive à l'aide d'une 
lentille collective. 

Le cliché interposé transforme le faisceau parallèle en deux séries de 
faisceaux astigmatiques formant des foyers linéaires parallèles aux axes 
principaux des hyperboles. La distance à la surface du cliché de ces ima- 
ges focales est précisément ])roportionnelle au rayon de courbure de la 
section principale correspondante et (m raison inverse de la longueur 
d'onde de la lumière éclairante. 

La multiplicité des images focales n'entraine aucune ambiguïté 
})arce que ces images se distinguent très aisément les unes des autres; 
d'abord par leur direction qui est toujours perpendiculaire à la section 
principale dont on cherche la courbure; ensuite ])ar leur distance à la 
surface du cliché qui est proportionnelle à la série des nombres entiers 

— 3 — 2 — 1 0+1 -1-2-^3 

le signe -\- correspond aux foyers co)iver(jeiits, le signe — aux foyers 
divergents^ c. à d. situés au-delà de la surface diff'ringente ; d'ailleurs 
elles se réduisent le plus souvent à deux^ correspondant à — 1 et -}- 1 
par suite de l'eff'acement des autres. 

Je n'insisterai pas sur l'emploi de cette méthode qui serait d'une 
élégance et d'une simplicité merveilleuse si elle n'était pas un peu dif- 
ficile à mettre en oeuvre pratiquement. Les difficultés proviennent de 
plusieurs causes : 

1°, Les clichés doivent être obtenus sur des glaces à faces bien paral- 
lèles pour que la réfraction ne trouble ])as la marche des faisceaux dif- 
fractés et non sur les plaques photographiques du commerce (jui sont 
des vitres communes. 



') Comptes-rendus de l'Académie des Sciences, Tome LXXX p. 645. 1875. 
Association française pour l'avancement des Sciences, Congrès de Nantes p. 376. 



DEUX MÉTHODES OPTIQUES, ETC. 329 

2°. La lumière émise par le collimateur doit être à la fois très intense 
et sensiblement mouocliromatique. 

3°. La mesure des distances focales convergentes est très directe et 
très facile; mais celle des foyers divergents (nécessaire pour éliminer 
certaines causes d'erreur) exige des dispositifs optiques complexes dont 
la précision est incertaine. 

Toutes ces conditions^ bien que réalisables dans un laboratoire con- 
fortablement installé^ sont, en définitive^ plus compliquées que les 
simples observations micrométriques qu'on fait à loisir^ sans aucune 
manipulation additionnelle. 

Il étnit cependant utile de sigimler ce mode sjntliétitpie de mesures 
(pii, dans certains cas, abrégerait d'une manière notable la détermination 
des éléments principaux d'une surface élastique déformée dont on pos- 
sède la représentation topograpIi'KjKe. 

La seconde méthode optique que je veux décrire renqdit le même 
but d'une manière ])lus directe mais^ en revanche, elle ne conserve pas, 
comme la première, l'image géométrique de la surface étudiée. 

Tous les détails que je viens d'exposer ne sont pas seulement le résultat 
de recherches théoriques: ils dérivent d'un très grand nombre de déter- 
minations expérimentales. 

Je dois avouer cependant que je n'ai jamais été entièrement satisfait 
et c'est ce (|ui m'a empêché de publier les chiffres obtenus dans les nom- 
breuses mesures effectuées sur des lames de substances supposées isotropes, 
verres communs, crown et flint glass, acier, cuivre et de substances 
cristallisées (fluorine, sel gemme, alun et ([uartz). 

Outre la difficulté inhérente à l'obtcnsion de matériaux convenables, 
on se trouve placé entre deux éciu^ils: si les dimensions transversales 
relatives des lames sont très jjctites comme l'exigent les formules de 
la théorie de l'élasticité, les surfaces déformées sont si étroites (|ue le 
nombre^ des anneaux utilisables est trop faible, au moins dans le sens 
transversal, pour obtenir une précision suffisante. Si pour accroître le 
champ des anneaux visibles on élargit les lames jjar rapport à leur 
épaisseur, on risque de n'être plus dans les conditions simples où les 
é(|uations de l'élasticité ont été intégrées. C'est ce qu'on peut reconnaître 
d'une manière un peu grossière, il est vrai, mais très suggestive, en 
])loyant ou en tordant des lames de diverses largeurs découpées dans 
une pla([ue de caoutchouc de 10 à 15 millimètres d'épaisseur: les sur- 



330 A. CORNU. 

faces extérieures preuuent des formes incompatibles avec les prévisions 
théoriques. 

Je ne considère pas toutefois ces difficultés comme insurmontables: ^) 
j'ai cherché à diverses reprises à perfectionner mes premiers essais, 
malheureusement le temps et surtout Tassistance m'ont fait défaut^); 
it est impossible de mener seul à bonne fin des travaux aussi minutieux. 

J'ai donc du me contenter de discuter les méthodes expérimentales 
afin de préparer la voie aux observateurs (pii disposeraient, en matériel 
et personnel, des ressources nécessaires pour les mettre en oeuvre. 



2ICME MÉTHODE 

fondée suf V emploi des images focales par réjlexîon. 

La métliode fondée sur l'observation des anneaux de Newton m'avait 
])aru, au début, d'une précision si merveilleuse jjar suite de la petitesse 
des longueurs d'onde ultra -violettes employées '^) que je n'avais pas 
hésité à lui attribuer a priori une supériorité incontestable. 



') Ainsi on peut augmenter le nombre d'anneaux en remplaçant la surface 
plane de la lentille convergente par une surface convexe ou concave de cour- 
bure connue. Les anneaux deviennent circulaires, elliptiques, rectilignes, suivant 
toutes les variétés à'indicalrivefi et peuvent donner dans de meilleures condi- 
tions les variations de courbure de la surface déformée. 

*) Je dois toutefois mentionner le zèle et l'habilité avec lat[uelle un jeune 
physicien russe, Mr. Woulf, depuis professeur de minéralogie à Varsovie a bien 
voulu m'aider à travailler cette méthode pendant les quelques mois passés dans 
mon laboratoire de l'Ecole Polytechnique: il a accompli en particulier avec un 
soin entrême non seulement la révision des procédés de calcul, mais encore 
la tâche un peu ingraie de vérifier l'exactitude de la méthode en déterminant 
par les anneaux la valeur de la courbure de plusieurs surfaces convexes et con- 
caves déterminées directement soit par les images focales, soit par l'emploi de 
mon levier à réflexion (Journal de Physique Ici' Série tome IV. p. 7). 

Qu'il me soit permis de lui adresser ici l'expression de mes remerciments bien 
sincères. 

*) Avec une lentille de quartz et un objectif photographique quartz-fluorine 
on peut utiliser la raie quadruple ultraviolette a = 280 q^ui donne des anneaux 
encore plus serrés et par suite accroître sensiblement la délicatesse de la méthode: 
on irait certainement encore plus loin en prenant certaines précautions dans le 
choix de la source actinique. 



DEUX MÉTHODES OPTIQUES, ETC. . 331 

Aussi suis-je resté ju.squ'eu 1S9U sans chercher à développer hi mé- 
thode des images focales produites par réflexion sur la surface plane 
déformée des lames élastiques indiquée dans mon travail de 1869. 

C'est à la suite d'études d'un tout autre genre que j\ai aperçu claire- 
ment la précision de ce mode d'exploration qui ne le cède en rien, au 
moins théoriquement, à l'observation des anneaux Newtoniens et qui 
a Tavantage d'être plus direct. J'ai donc étudié un dispositif qui per- 
mette de faire couramment les mesures analogues à celles de la première 
méthode. 

On opère comme précédemment sur une lame parallélépipède hori- 
zontale dont la face su])érieure est ])lane et polie, par flexion ou par 
torsion ; au dessus de cette lame et à une très petite distance repose sur 
trois pointes à vis un objectif achromatique de 25 à 30 cm. de distance 
focale. 

Le mode d'observation est com])arable à celui que les astronomes em- 
ploient pour observer le nadir sur la surface plane d'un bain de mer- 
cui-e, ou celui que les })hysiciens nomment parfois aufocolliinafioii. 

Un point lumineux placé au foyer jjrincipal de l'objectif domu^ au-de- 
là un faisceau de rayons parallèles; ce faisceau se réfléchit normalement 
sur la surface plane de la lame non encore déformée, se réfracte de 
nouveau à travers l'objectif, et va former dans le plan focal principal 
un point lumineux, image de la source et placé à côté d'elle. Si main- 
tenant on vient par flexion ou torsion à déformer la surface de la lame 
élastique, le faisceau réfléchi devient ai^fujijurf'niiie; le foyer ])onctuel 
unique se transforme en deux foyers linéaires rectangulaires, mais sé])a- 
rés, conformément au théorème de Mal[is. 

C'est de la position et de l'orientation de ces deux images focales re- 
lativement à leur position où elles forment une image ponctuelle unicpie 
qu'on déduit à la fois la valeur des courbures principales de la surface 
déformée et la direction des sections jmncipales qui leur corres])ondent. 

Pour bien comprendre comment ces deux genres de mesure peuvent 
s'eff'ectuer il est nécessaire de décrire succintement le dispositif expéri- 
mental qui fournit la source lumineuse et qui permet d'observer ses 
deux images réfléchies. 

Comme source il est très commode de choisir une ligne lumineuse 

2 
entre deux lignes sombres formée par un fll de verre de ,, „,^ de milli- 
^ ^ 100 

mètre éclairé par transparence à l'aide d'une lentille collectrice renvoyant 



83iî A. coRNr. 

la lumière vers Tobjectif dans la direction de l'axe principal de cet ob- 
jectif. Le fil est tendu au centre d'une alidade creuse mobile sar un cercle 
divisé. En arrière de ce fil on dispose dans la direction de Taxe princi- 
pal de F objectif un microscope glissant longitudinalement sur un cliariot 
à Taide d'une crémaillère et d'un pignon '). Lorsque l'appareil est con- 
venablement réglé, l'image réfléchie du fil lumineux vient se peindre à 
côté du fil matériel avec une grande netteté lorsque la direction de ce fil 
est ])arallèle à Tune des sections principales de la lame déformée. Si 
cette condition n'est pas rem])lie, la netteté reste défectueuse malgré la 
variation de mise aupoini du microscope, mais en tournant l'alidade dans 
un sens ou dans l'autre 2) on trouve une orientation du fil pour laquelle 
l'image réfléchie présente une netteté admirable; c'est la direction d'une 
des deux sections principales. L'autre section s'obtient immédiatement 
en tournant l'alidade d'un angle di'oit. On vérifie ainsi la première partie 
du théorème d'Eui^icu. 

Quant à la détermination des courbures on l'obtient à l'aide des opé- 
rations suivantes : 

1°. On détermine avec soin la distance focale principale / et la posi- 
tion des points nodaux de l'objectif avec un focomètre approprié (voir 
Journal de Physique l"' Série. Tome .VI, p. 276 et 308). 

2°. L'objectif étant placé sur ses trois pointes, on remplace la lame 
élastique à étudier par une glace parfaite laenl pi ave. \ on détermine alors 
la position du plan focal ju'incipal de l'objectif par la condition que le 
fil et son image soient an puhif simultanément dans le plan focal du 
microscope. C'est un réglage qu'on ett'ectue une fois pour toutes et dont 
on conserve la trace en lisant sur le chariot cpii porte le microscope la 
graduation correspondant à cette position. 



') En réalité le faisceau éclaiveur du fil et le faisceau qui fournit l'image 
réfléchie de ce fil forment un petit angle qu'on pourrait annuler par l'artifice d'une 
glace sans tain; mais cette glace introduirait un peu d'astigmatisme étranger 
dans les images, défaut qu'il vaut mieux éviter. 

*) On est guidé dans cet essai par quelque partie dissymétrique de l'image 
qui parait estompé dans la direction cherchée de sorte que le tâtonnement en 
direction est pouvainsi dire nul: il faut naturellement faire varier en même temps 
la mise au point pour obtenir le maximum de netteté. 



DEUX MÉTHODES OPTIQUES^ ETC. 333 

Si inaiiileiuuit on substitue à la glace plaue une lauie (3lasti(|ue défor- 
mée, Fifiiage du fil maintenu dans la position précédente se fera dans 
un autre plan focal : la différence de position de cette image se mesurera 
parle déplacement du microscope mis au point sur Tiine axe ou Tautre 
des images linéaires précitées. On détermine, par un double tâtonne- 
ment, les deux azimuts rectangulaires du fil qui donnent les images 
les plus nettes et on lit sur la graduation du chariot les ])ositions cor- 
respondantes du microscope. 

La surface de la lame élasticjue est presijue eu contact avec la surface 
extérieure de Tobjectif, on peut ])res(|ue toujours la considérei comme 
en coïncidence avec le point nodal extérieur. Nous commencerons néan- 
moins par supposer ([ue la distance de cette surface est finie et égale à d. 

Soient p la distance du fil lumineux au fil nodal intérieur, 

jj du foyer conjugué par rapport à Tobjectif comp- 
tée à partir du point nodal extérieur et dans b même sens : 

On aura 

(9) i-Ui 

P P f 

Soient s et s les distances des images conjuguées de la surface 
rétiécliissante de rayon R supposée en coïncidence avec le point nodal 
extérieur et comptée dans le même sens ; on aura 

Enfin q et (/ les distances analogues à p et p' pour le retour des fais- 
ceaux réfléchis à travers l'objectif, on aura de même 

(U) '-Ui 

Les conditions de liaison des images conjuguées sont: 

(la) *=/ + ./ , ,•' = ./ + ,/. 

L'élimination de s et -v' se fait aisément et Ton trouve 
2 f-p , f-q 



(13) 



R d[f-p)-^fp ' d{f-,i)+f<./ 



334 A. CORNU. 

équation qui fournit la courbure de la lame dans la section chosie. 
Mais le plus souvent on constate que les produits d[f ■ — /;), 
d{f — (j) sont négligeables devant les termes/}; ^^ f(l, car f/ est très 
petit et d'autre part p et q sont voisins de/'; il en résulte qu'on peat 
supposer «i = et alors Féquation se réduit à 



(14) ■ i + i 

P 'l 



O 






qu'on obtiendrait directement en ajoutant membre à membre (9), (10) 
et (11) en faisant r/= dans (12). 

D'où Ton conclut ce résultat très sim])le. 

Dans les conditions ])récitées du dispositif optique, le système formé 
par Tobjectif et la surface réfléchissante le long d'une section principale 
de rayon de courbure K équivaut à un miroir coaxial en coïncidence 
avec le point nodal intérieur dont la courbure serait 

i 1 , 1 

Imaginons qu'on moditie la déformation de la lame sans changer la 
position j) du fil, source lumineuse; son image conjuguée 2>assera à la 
distance ^/, par suite du changement du rayon de courbure li devenu 
Jt^ : on aura donc la condition 

(16) 1 + 1 = 2(1+1). 

Retranchant membre à membre ])our éliminer /; ce (|ui élimine 
en même temps /, il vient 



17) 



q q, \R li^J 



équation fondamentale de la méthode, car elle détermine les variations 
de courbure qui entrent dans la formule de la théorie de l'élasticité. 

L'observation donne directement q et y, par la lecture de l'échelle 
le long de laquelle se meut le chariot du microsco])e lorsqu'on pointe 

1°. le plan focal principal tel quejf; = ([, 

2°. le plan focal q^ de l'image linéaire après la tléformatiou. 



DEUX MÉTHODES OPTIQUES, ETC. 335 

La même équation s'applique à deux ou plusieurs déformations quel- 
conques, sous rintluence de deux ou plusieurs moments de flexion ou 
de torsion successifs et inégaux; pour chaque section principale on a 
pour deux déformations successives une condition de la forme 

indépendantes de la valeur de la distance focale principale /de Tobjectif. 

Dans la loi de la flexion de lames isotropes le rapport de ces variations 
de courbures donne précisément le coefficient de Poisson a- (rapport de 
la contraction transversale à la dilatation longitudinale ')). 

Dans le cas de la torsion des lames isotropes les sections principales 
sont à + 45" de Taxe de la lame et les variations de courbure sont 
égales et de signe contraire (hyperboles équilatères comme indicatrice, 
dépointements des images focales égaux et de signe contraire). La gran- 
deur du dépointeinent des images focales permet de calculer le coeffi- 
cient fy. de la théorie de Lame -). 

11 peut se présenter de légères dissymétries dans l'orientation des 
sections principales par suite d'un défaut dans la taille ou d'inégalités 
dans les appuis. 

Le cercle divisé sur lequel se meut Talidade qui porte le fil de verre 
donne le moyen de mesurer l'angle co qui à l'aide de l'équation d'EuLEi? 
fournit la valeur des courbures dans les sections principales : il n'est pas 
liesoin d'insister sur les corrections nu peu minutieuses qui prati([ue- 
ment n'offrent aucune difficulté. 

Cette méthode des images focales m'a servi surtout à étudier la valeur 
du coefficient de Poisson sur des lames et des tiges de verre. Ce coeffi- 
cient, d'après mes déterminations, a toujours été voisin de 'z^, mais le 
plus souvent légèrement inférieur à cette fraction. 

•J'aurais bien désiré élucider la cause de cette divergence que je 
persiste à croire, jus(iu'à nouvel ordre, accidentelle: je l'attribue soit à 
l'hétérogénéité des matières vitreuses employées, soit à la difficulté 
déjà signalée plus haut de remplir les conditions d'exiguité des dimen- 
sions transversales exigées par la théorie. L'hétérogénéité des lames de 



') St. Vkn.vnt. Torsion des prismes, (tome IV, Savants étrangers). 

*) Lamé. Leçons sur de l'Elasticité et St. Venant, Torsion des prismes. 



336 A. CORNU. 

verre est indiscutable; la lainière polarisée la met en évidence; d'autre 
part le sciage ou polissage introduisent dans les couches superficielles 
un état moléculaire forcé que les observations interférentielles m'ont 
permis de constater avec certitude. 

La divergence signalée ne dépend pas du mode d'observation; car, 
grâce au concours de Mr. Woulf j'ai pu montrer que la même tige 
offre la même valeur du coefficient i par la méthode des anneaux 
aussi bien que par celle des images focales. 

Bien que je n\ai pas eu Foccasion d'effectuer de mesures précises par 
cette seconde méthode sur des lames cristallisées, j\ai constaté sa.us peine 
que la petitesse des dimensions des échantillons sous forme de lames 
s'accommode aussi bien de Tobservation des images focales que de celles 
des anneaux Newtouieiis de sorte qu'au point de vue des facilités expéri- 
mentales les deux méthodes sont équivalentes. Ou va voir qu'eu ce qui 
concerne la précisiou des résultats l'équivalence se poursuit théoriquement 
avec une très grande probabilité. 



Eqidvaleuce des deux méthodes au point de vue de la précisiou 
des htesures. 

Malgré la différence, eu apparence essentielle, des deux dispositifs, 
on peut montrer que leurs chances de précision sont sensiblement équi- 
valentes lorsqu'on les emploie dans les mêmes conditions géométriques. 

Les deux méthodes ont en effet pour but de mesurer la flèche e d'un 
arc circulaire de rayon R correspoiulaut à une corde c; entre ces trois 
éléments existe la relation (2) qu'on met sous la forme 

Nous allons démontrer que l'erreur commise sur cette flèche est exac- 
tement du même ordre avec les deux modes de mesures. 

Avec les anneaux de Newton e=-— ^ correspondant au diamètre c» 

du w"^'"'^ anneau, l'erreur absolue commise sur n est comprise entre 



DEUX MÉTHODES OPTIQUES^ ETC. 337 

~ et — - de la largeur tVim anneau ; adoptons un — — pour le cas le 
j)lus favorable 

il 
Si Ton admet que A= 0/'',38 (étincelle du magnésium) 

5 = 0^19X~^ = <K0095, 

soit 0,01 de micron. 

Avec la méthode des images focales e se calcule aisément d'après le 
dépointement ^/, — (/^, produit par la substitution de la surface de rayon 
li à la glace plane observée avec Fobjectif de distance focale/". 

On a d'après la formule (1 8), en y faisant c/q =/, -A'o =^ '^ et^^^ ^j 

Or iii^=f et ([y en diffère peu; on peut donc pour l'évaluation ap- 
prochée de l'erreur remplacer ^^ ^, par/ 2. D'autre part soit m le rap- 
port de la distance focale / de l'objectif à son ouverture libre c 

f = me, d'où y,, y, = f- = m'h''\ 

Ou en conclut 

Or ou obtient^ dans de boiiues coiiditious^ la mue an point à ---— de 

millimètre; S (^y^, — '/•■'^^ o77 """-j ^l'^i-idre part le facteur ?« est voisin 
de 12 (le pied pour pouce, suivant la règle des opticiens) donc 

16w,2=16X 144 = 2304; 
par suite 

. 2 , . 
soit de micron. 

AKCIIIVES NÉERLANDAISES, SERIE II. TOME V. 32 



â.38 A. CORNU. DEUX METHODES OPTIQUES, ETC. 

Ainsi Tapproximatiou est tout à fait de même ordre dans les deux 

méthodes; elle peut atteindre le ^ de micron en valeur absolue dans 

les conditions les plus favorables, conditions d'ailleurs difficiles à 
réaliser. 

11 faut en effet n'employer que des dispositifs optiques d'une perfec- 
tion com})lète; surfaces planes, lentilles et objectifs sans aberrations, 
réglages corrects etc . . . L'addition d'un large miroir à 45° pour ramener 
l'observation dans une direction horizontale, beaucoup plus commode 
pour l'expcrimentateur, risque d'apporter des troubles d'astigmatisme si 
la surface n'est pas rigoureusement plane. 

Au )()int de vue de la théorie des ondes lumineuses l'équivalence 
démontrée numériquement ci-dessus est loin d'être inattendue. C'est, en 
effet, la même onde qu'on observe en deux régions différentes de son 
parcours ; la constitution mécanique et géométrique de son mouvement 
est définie par des éléments équivalents dans tout l'espace ori elle se 
propage; il ne serait donc pas difficile de montrer par des raisonnements 
analogues à ceux inaugurés par Fresnel que toute variation dans les 
conditions du mouvement vibratoire initiale sur la surface où Ton peut 
produire des anneaux entraine une variation correspondante dans la posi- 
tion du centre réel ou virtuel de Tonde qui en dérive. 

Je ne m'arrêterai pas à cette démonstration; l'indication de sa valeur 
théorique m'a paru ajouter un intérêt de plus à ces deux méthodes et 
les recommander à l'attention des expérimentateurs. 



ON A NEW METHOD OF CALIBRATING THERMO-ELECTRIC ELEMENTS 
FOR USE IN THE MEASUREMENT OF HIGII TEMPERATURES. 



E. L. NICHOLS. 



Exliaustive studies at the luviids of Lk Chatelieu. '), of Barus'-^), aiid 
of HoLBOKN aiid WiEN ■'■), aiid others hâve led to the conclusion that 
wheuever theruio-elements consisting of platinmn on the one hand, and 
of the alloys of that métal with iridium^ rhodium or any other metals 
of the platinura group on the other, are to be used in the uieasurenient 
of high températures, it is necessary to niake a thorough calihration of 
the individual tliermo éléments involved, or at least of the set of éléments 
manufactured from any given sample of métal. Holman, Lawrence and 
Barr '), for examj)le, obtained an electromotive force of .03 03 volts 
from a platinum, platinum-rhodium (10 %) élément at the température 
of meltiug platinum, vvhereas a simihir clément coustructed of wire from 



^) Lie Cn.VTiiMKH ; Comptes Rendus. Cil, 1886 p. 819; Jonrnal de l'liijsi(iae 
(2) VI p. 2(J (1887) ; also Mesure des Températures Élevées^ (Paris, 1900) 
Chapter VI. 

*) Bauus; Bulletin of the U. S. Geoluijical Surveij No. 54; also Anierican 
Journal of Science XLVIII p. 33G. 

^) Hor.uoRN aud Wien; Wiedkmann's Annulen^ XLVII p. 107 (1892); LVI p. 
360, (1895). 

") HoLMAN, Lawrence and Baru; Am. Acad. of Arts and Sciences, (1895) 
p. 218. 

22* 



340 E. L. NICHOLS. 

Hereaus gave iu the hands of tlie présent writer .01826 volts at the 
same température. Siemens ') aucl later, Callendau ~), aud his co- 
workers liave showu the saine to be true iu platiuum thermoiuetry. 

To tliis eud^ uumerous more or less complicated methods iuvolving 
tlie use of varions forms of the gas therinometer hâve been proposed, 
the carrying ont of which involves the use of spécial apparatus which 
is difïicult of construction and so laborious in opération^ as in many 
cases to in volve a far greater expenditnre of time than is necessary for 
the investigation in which the thermo-elements are to be employed. By 
means of such apparatus in the haiids of tlie investigators already men- 
tionedj and by the independent methods employed by Violle "'), the 
melting points of copper, silver, gold^ palladium^ and platiuum hâve 
been observed with a fairly satisfactory degree of accuracy; so that we 
are now in position to use thèse melting températures as référence 
points upon a calibration scale. Wide différences of o])inion still exist 
conceruing the absolute values to be assigned to them, but a provisional 
scale of températures nt least may thns be established for any thermo- 
element for which the electromotive forces produced wheu the hot 
junction is brought to the température of thèse raetals at their points of 
fusion eau be determined. 

In the course of a récent séries of stndies ') on the acétylène llame;, 
I hâve shown that this source of radiation possesses a température above 
the melting point of platiuum and that it may be used for the détermi- 
nation of the electromotive forces of platiuum platinum-rhodinm^ or 
platiuum platinnm-iridium éléments^ correspondhig to any desired 
température up to the melting point of that métal, This metliod pos- 
sesses the advantage of extrême simplicity and it affords indications the 
accuracy of which leaves little to be desired. 

The acétylène flame employed in this method of calibration is of the 
usual flat form produced by the union of two impinging jets. There are 
three distinct stages observable in the form of such a flame, depending 



') SuîMENS W. Proc. of Ihe Royal Sociehj (Loiidon) XIX, p. 351. (1871) also 
Reports of tiie BrilisJi Association. (1874) \). 242. 

') Callendar; Philos. Trans. (1888) p. 160; (1892) p. 119; also Philos. Macj. 
XXXII, p. 104, (1891); XXXIII, p. 220 (1892). 

'') Violle; Comptes Rendus, LXXXV, 543; LXXXIX, p. 702. 

") NiCHOLS; Physical Review, X, p. 234 (1900). 



ON A NEW MRTITOD OP CALIBRATING, &C. 341 

upoii tlie pressure at wliich tlie gas is suppliée! to the burner. lu the 






Fig. 1. 

(irst, we liave two separate C3'liiidncal jets of sniall size (Fig. la) wliicli^ 
witli iucreasiiig gas ])ressure meet without uuitiug; each beiug deflected, 
by ini])ingiiig iipou the other, iuto 
a vertieal plane (Fig. 1/.»). At still 
liiglier pressures the actual uuiou 
of the two jets takes place^ giving 
the tlame the structure showu iu 
(Fig. le), m whicli the two cj'liu- 
drical jets of gas iu the process of 
combustion uuite to fonu a single 
flat vein or envelope which con- 
stitutes the luminous portion of 
the tlauie. Whcn this third stage 
is reaclied, tiiere is great stability 
of fonu and ])osition. Siudi atlante 
responds with a sharp latéral mo- 
tion to air waves sucli as are pro- 
duced by the slaraming of a door, 
but is comparativelj unaffectedby 
slight drafts. Even in a room not 
essentially free from air currents 
the latéral motions of tlie tlame, 
which may be accurately observed 
by throwing an enlarged image of 
it, viewed edgewise, upon a screen, 

rarely amount to more than .1 nnu. ^ 7Ji m. ^ /?i ?n . q ?n m 

and in an especially protected Fif. 2. 





-- Pt 


milts. 








1500" 








1300" 








1100" 








,900" 


\ 






700" 


\ 








\ 










\ 





343 



E. L. XICHOLS. 



niMM..m""l" 



place, thèse latéral movements become entirely iini)erce])til)le. Tlie 
température gradient iu the lajer of air borderiiig u])oii tlie luminous 
euvelope of sucli a flame is very steep but it is capable of delînite déter- 
mination by exploration with suitable thermo-elements; and so long as 
the flame remains uudisturbed by latéral drafts its stability is surprising. 
Fig. 2 shows the range of température near the flat face of an acétylène 
flame determined by a method already described iu tlie paper to whicli 
référence has just been made '). In this diagram abscissae are distances 
in millimeters, measured from the médian ])lane 
of the flame, and ordinates are températures cen- 
trigade. The vertical dotted line indicates the 
])osition of the luminous mantle of the flame; 
tlie horizontal dotted line shows the meltiug])oint 
of the platinum. 

The line along whicli thèse measurements were 

Fig. 3. made passes through the flame at right angles 

to the médian plane; cutting tlie luminous mantle in tlie région of 

maximum brightness. This région is indicated a])proximately by the X 

in Fig. 3. 




Desoiuption of the apparatus. 

The burner used in the method to be described is of a well known 
form, (Fig. 4), and is made from a single block of steatite. It is mounted 
upon a horizontal bar of steel (Fig. 5) along 
whicli it may be inoved l)y means of a micro- 
meter screw. "J'he bar is set u]) in an inner 
room without windovvs; being opposite a cir- 
cular opening in the wall througli wliich the 
flame may be observed from without. Jn this 
o])ening is placed the lens of a micro-camera, 
upon the ground glass screeu of which instrument, at a distance of 
about two meters, an enlarged image of the flame is focussed. The pla- 
tinum and platinum-rhodium or platinum-iridium wires to be tested are 




') NicnOLs; 1. c. 



ON A NEW MKTHOD OV CALTBRATINGj &C. 



843 



drawii down to a small size (diameter about 0,01 cm.) aud a thermo- 
eleraeut is formed by cutting ])ieces of tlie ])latinuin wire, aiid of tlie 




Fig. 5. 

wire of the alloj to be used, about 70 cia. in lengtli and binding 
thèse to the opposite faces of a recta nguLar block of wood about 1 cm. 
in thickness. Beyond tliis block the wives project about 3 cm. They 
are bent toward each other until the free ends are in contact, forming 
a /', and thèse ends are then fused in the oxyhydrogen flame, forming 
a junction which is subsequently trimmed down to the form shown in 
Fig. G. Tliis ligure shows the completed junction 
as it appears under the microscope. The apex 
of the / is eut away until the arch of fused métal 
joining the twowires is considerably less in thick- 
ness than the diameter of the wires themselves; 
the face of the junction forming a smooth plane 
surface. 

The formation of such a junction becomes, 
with practice, a simple matter and can be performed, as it is necessary 
to do after each observation, in a few moments. The junction is rigidly 
mounted u])on the steel bar with the plane passing through the wires of 
the / vertical and the plane surface of the métal which forms the 
face of the junction parallel to the ilat face of the acétylène Hame. 
To the free ends of the wires are soldered the co])per terminais of the 
galvanometer circuit and the junctions are placed in a bath of melting 
ice. The support carrying the thermo-eleraent is mounted in such a 
position as to bring the face of the hot junction as nearly as possible 
into the center of the field of view of the caméra where it is clearly 
visible under the illumination of the acétylène flarae; which should, 
at the beginning of the opération, be about 1 cm. from the junction. 




Fiï. <3. 



344 



E. L. NIOHOLS. 



a 



The inicrometer t^crew, by means of wliich tlie flaine is moved along the 
bar^ is operated by means of a long handle with a universal joint, not 
sliown in Pig. 5, so that the iiarne can be shifted by an observer sitting 
opposite the ground glass screen. 

For the measnrement of tlie electromotive forces by the heating of 
the junction a potentio- 
ineter the arrangement 
of which is showu in 
(Pig. 7) is employed. It 
consists of a sensitive 
for m of d'Arsonval gal- 
vanoraeter, (//) a résis- 
tance box of 100/JOO 
ohms (/r) and a standard 
cell, (C). A slide wire 



R 



/ 



V 



/ V 

Fi,u'. 7. 

arrangement may be used in connection with this box in cases in 
whicli it is desired to carry the bahmcing of the potentiometer beyond 
the point reached by the insertion or removal of the 1 ohm coils, 
but for most purjioses the adjustmeut is sufficiently accurate without 
this addition to the apparatus. The electromotive force of the junction 
J is balanced against that between the point {a) and the variable 
contact point [h) in the usual manner. The metals tlie melting tem- 
pératures of which are to form poiuts upon the calibration curve, 
are worked into tliin foil and from this foil strips about .03 cm. in 
width are eut. Such a strip is looped into tlie angle of the V and drawn 
suugly into ])lace ; the free ends being eut away until they project only 
about 1 mm. beyond the face of the junction. To hold this minute loop 
of métal in its place, it is only necessary to press the foil carefuUy 
together around the junction. The thermo-junction carrying the loop 
having been mounted in the manner just described in the focus of the 
caméra, will be clearly seen upon the ground glass screen, the ends of 
the loop of métal projectiiig towards the flame. 

The détermination of the electromotive force corresponding to the 
melting point is made as follows. The observer seats himself in a position 
where he can watch closely the image of the flame and of the thermo- 
element and moves the former gradually toward the junction, by means 
of the long handle, balancing the potentiometer approximately from time 
to time as the electromotive force rises with the increasing tem])erature. 



ON A NKW MKTIIOn Ol' CALl lîl{ ATING, &f;. 345 

At a dertnite distance from tlic Imiiiiious ciivelojje of tlie tlaine, wliic.li 
distance dépends upon tlie character of the métal under investigation, 
tlie projecting ends of the loop will be seen to melt. So qniet is the 
Hame, and so well fixed the température gradient from its surface 
outward when a proper bnrner is nsed, and when the flame is placed in 
a localitj reasonably free from air curi'ents, that the fusion of the 
successive portions of the métal loop may be brought about from the 
end inward with the gveatest nicety; and the electromotive forces may 
be determined at each stage until the fusion lias progressed to the plane 
coinciding with the face of the junctiou. Even then in many cases, those 
portions of the loop of métal which lie witliin the angle of the junction 
will remaiu unfused althoiigh their distance from the melted portion of 
the loop is oïdy a fraction of a millimeter. 

The delicacy of tliis o])eration under favorable conditions is very 
great and th^ agreement of the successive readings of the melting point 
of a giveii sample of métal is excellent. Tt is désirable to make a séries 
of readings, leading up to the true melting point for the reason tliat 
when the fusion of the métal loop has progressed to that portion which 
lies in contact with the platinum, an alloy is alniost innnediately formed 
between the fused métal aiul the junction itself, which affects the tliermo 
electric indications of the couple, l^or this reason it is not possible to 
get consistent readings by repeating observations with a given junction. 
The proper procédure is to eut the wires back 2 or 3 mm. from the 
a2)ex of the 1 after each set of readings and to make a new junction of 
the proper form from the free ends thus produced. This recpiires but 
little time after the operator has gained a reasonable degree of familiarity 
with the method. 

When the métal, the melting point of which is desired, is platinum 
itself, the platinum wire of the junction begins to fuse at the same time 
as the loop, the platinum rhodium or platinum-iridium side remnining 
urimelted. The pre;cise point at which this fusion of the platinum oc- 
curs, is, hovA'ever, quite as definite as in the case of metals of lower mel- 
ting température. In calibrating thermoelemeuts constructed from the 
platinum and platinum-rhodium obtained from Heraus in Hanau from 
the same stock as that used by Holboun and Wien ') in their well 



') Hoi.BoiiN and Wien. 1. o. 



346 E. L. NICHOLS. 

known researclies, I obtaiiied for tlie electromotive forces of my thermo- 
couple as stated in a previous paragraph. 01S26 volts,, wlieu tlie plati- 
num side of tlie junctiou was in fusion. Tliis agrées almost exactlj^ witli 
tlie value obtained b_y extrapolation of a curve plotted from data given 
by HoLBORN and Wien in tbeir paper. The coïncidence served to esta- 
blisli at once the identity of the metals used with those emj^loyed by 
them^ and the delicacy of the method of calibration under considéra- 
tion. This method bas the advantage of avoiding the use of the air 
thermometer and of fnrnaces in which the fusion of the metals takes 
place. The amount of métal which it is necessary to melt is almost infi- 
nitésimal. The loops used in each observation weigh ouly a fraction of 
a milligram, and the opération may be repeated time after time, at the 
will of the observer, with the greatest ease. On the other hand it should 
be noted that the method is applicable; only to such metals as will fuse 
before- oxidation in the liot outer layers of the acétylène flame. 

It is not applicable to such metals as magnésium, aluminium, zinc, 
or iron, since thèse oxidize under the conditions of the experiment iu- 
stead of fusiiig. For such of the metals of the platinum group as hâve 
a melting-point below that of the junction itself, and for gold, silver 
and copper, the method is a- convenient one and its accuracy is, I be- 
lieve, fully equal to that of any other method which has thus far been 
einployed. As a means of calibrating thermoelements of the kind used 
in higli température work, its convenience is obvions when we consider 
that the usual procédure frequently requires months of continued labor, 
skill of the highest order and extended expérience on the part of the 
physicist. To guard against the deleterious influence u])on the thermo- 
junction of the vapors of the flame, it is important to bring the latter 
up gradually by the slow action of the micrometer screw in the manner 
which I hâve already described. The atmosphère with which the junction 
is surrounded under thèse conditions contains an excess of oxygen and 
even where the métal to be melted is platinum itself, fusion occurs 
before the lurainous jiortion of the flame, the action of which upon the 
thermo-electric properties of the junction is to be feared, has been 
reached. It is well known that a junction, the performance of which 
has been vitiated by exposure to the vaj^ors of a flame or furnace, can 
be restored to its original condition by immersion in an oxydiziug flame. 
In this method of calibration the junction is continually subject to such 
oxydation as is necessary to préserve it. Thus one of the sources of 



ON A NEW METHOD OT" CALIBllATING, &C. 347 

error which it lias beeu fouiul most difficult to giiard against iii tlie use 
of the furnaee is altocrether avoided. 



SUMMARY. 



Te metliod briefly outlined in this paper possesses the foUowing ad- 
vantages over inethods hitherto practiced for the calibration of thermo- 
elemeiitsand for the détermination of the melting points of certain inetals. 

(1) The use of the air thermonieter is avoided. 

(2) The cumbersoine and laborious ])rocedure of fusing the metals 
in considérable niasses within a ftirnacc is reiidered unnecessary and the 
difficulty of bringing the melted nietal and the juiiction of the therrao- 
element to precisely the same température is eliminated. 

(3) The elaborate précautions necessary to prevent the vitiation of 
the junction by the action of fumes, which constitutes one of the chief 
difficulties of sncli work wlicii a furnaee is used is avoided. 

(4) The amonnt of nietal which is necesary to use in determining 
melting points or in calibrating a thermo-element is much sinaller in 
this than in the inethods u.sually employed. 

The accuracy of the inethods described is believed to be fuUy equal 
to that of other known inethods of calibration. 

Physical Laboratory of Cornell University. 
Oct. 1900. 



SUR LES ONDES ÉLECTROMAGNÉTIQUES D'UN ION VIBRANT 



AUGUSTE RIGHI 



On sait que lorsqu'on a trois fonctions n,j n^, 113 de xyzt^ telles 
que les relations : 

'^n.=-^^^. (1) 

soient satisfaites, A étant Tinverse de la vitesse de propagation des 
perturbations rlectroniagnrtiques, les valeurs : 






'^x \ ~dx ^ 'd>, '^ dz > 



-=4(t-^> 



pour les composantes XYZ de la force électrique^ et L M N Aq la force 
magnétique, donnent une solution des équations de Hertz ') : 



') VOtlica délie Oscilhcioni eletl)'iclie, Bologna 1897, pag. 198. — Die Op- 
lik der elektriscJwn Scliwinrjnngen, Leipzig 1898, p. 218. 



SUR LES ONDES ÉLECTROMAGNÉTIQUES d'uN ION VIBRANT. 31-9 

,^// ^Z ^Y 

(3) 



^'dt dy ^z' 






Ainsi, eu prenaut: 



n, = () , n, = , n^ = -^ sin [2 tt V (/ — A r)] 

r 

[on r-^=x- -[- 1/'^ -\- ::-), on obtient la solution particulière donnée par 
Hertz^ et qui fait connaître les forces produites par un petit oscillateur 
placé à Torigine O des coordonnées, dirigé suivant Taxe des z, et dont 
la longueur / est supposée petite par rapport à r, même lorsque r est 
petit par rapport à la longueur d'onde. 

Je me propose de donner les fonctions Hj Ilo 113 qui peuvent servir 
pour trouver les forces produites dans l'espace à un instant quelconque 
])ar une cliarge électrique animée d'un mouvement pendulaire d'ampli- 
tude très petite. 

II. 

J'ai démontré autrefois ') que la même solution donnée par Hertz 
peut être interprétée aussi d'une autre manière. 

Au lieu de supposer l'exislance des deux charges variables 
— Esiu (2 TT II /), et -|- /'Jsiu (2 vr u t) placées sur l'axe des z à des distances 
fixes '/i «^ et — '/î ^ ^^ ^> *^l^^i équivalent à un petit oscillateur, on peut 
admettre que près de l'origine se trouvent deux charges invariables — J*J 
et -\- E animées d'un mouvement pendulaire, et précisément qu'à Tiu- 
stant t la charge — P] est sur l'axe des :: à une distance '/i I ''^ii>'\^'^ >' 
de l'origine, et la charge -\- K est sur le même axe à la distance 
- — ^/o l sin (2 TT n t) de O. 

Or il est facile de voir qu'il y a encore d'autres interprétations pos- 
sibles des formules, par lesquelles Hertz a représenté les efi'ets produits 
par le petit oscillateur. On peut, par exem])le, supposer, que les deux 
charges — E et -f- E vibrent encore sur l'axe des z, mais avec des am- 



') VOllica elc, pag. 202. — Die Opiil; elr.^ p. 223. 



350 AUGUSTE RIGHI. 

plitudes ditiereiiteSj de manière que la distance de — IJ à, O h l'instant 
/ soit ^l.^l^slu{'^7rnf) et celle de -\- Fj est ^\.,l^siu[^7r ut), pourvu 
que l'on ait % 1 = 1^ — /^ . 

Soient en effet p^ et p.^ les distances à l'instant t de — E et de -p E 

au point {^i/z). Le potentiel en ce point sera V ^^ — E( \ 

et supposant /j et l.^ très petits par rapport à ;• : 

lU . ,, 

/ = ^ z siti rZ TT II. f.) . 

r 

On trouve alors pour les composantes de la force électrique 



àx 



ou; 



X-= — '6Ef^ slii (2 TTut) , 

y = — S El^-r ^'iii{''Z7ru t) , 
r'' 

,,.2 1 ,,2 t2-2 

Z=El ^\ sini^TTuf), 

et ce sont précisément les valeurs des composantes de la force électrique 
du petit oscillateur, lorst[u'on y suppose /• petit par rapport à la lon- 
gueur d'onde '). Cela pour la force électricjue. 

Qaant à la force magnétique due aux deux charges vibrantes, consi- 
dérons d'abord celle due à la charge — E. La valeur de cette force est 

AMv à , 

— r- siii f , oii V = — - ( '/•, !{ ''^i'i (2 TT 1/ () ) est la vitesse de — E à Tin- 
Pi bt - 

stant f; et s l'angle compris entre p^ et v. Cette force est perpendiculaire 

au plan passant par p^ et v, et par conséquent ses cosinus de direction 

sont : 

y X 



p sm £ p stn £ 
Ses composantes sont donc 

') 1. c. 



, 



STTR LES ONDES ÉLEOTKOMAGNÉTIQUES d'uN ION VIBRANT. 351 

72 -^' ^« ^1 ^ (^OS (2 TT U f) , 72 ^'»^ h —J <^0S (2 TTUf), , 



r 

en supposant /j très petit par rapport à r, et écrivant m au lieu de 
2 T /<; A. 

La charge -f- // donnera trois com];)osautes analogues^ et les compo- 
santes de la force totale seront: 

Z = El7lt — J COS {'i TT u t) , 

31= Elm -^ cos (2 tt n t) , 
N=Q. 

Ces composantes coïncident avec celles relatives au petit oscillateur 
lorsqu'on suppose r petit })ar rapport à la longueur d'onde. 

Donc les formules (pii reprcsentent les forces dues au petit oscillateur^ 
peuvent repivsenter aussi les forces dues aux deux charges — E et -\- E, 
qui vibrent de la manière définie plus haut. 



m. 



Considérons à présent un cas jjarticulier, celui oii l'on a /^ = et 
l^ :^ 2 (?. En ce cas la charge -)- E est fixe dans l'origine O pendant que 
la charge — E vibre avec une amplitude double de Tamplitude qu'a- 
vaient, dans le ])remier cas du § II, les deux charges — E et -f- E. Les 
forces seront encore les mêmes ([ue celles produites ])ar le jjetit oscil- 
lateur. 

Oi", pour les points très éloignés de Torigine la charge immobile n'a 
aucune influence sensible. En etl'et elle ne produit pas de force magné- 

E . 

tique, et dorme seulement la force électrique — ., , qui est négligeable par 

rapport à la force ('lectrique totale, laquelle, pour les grandes valeurs 
de r, varie en raison de I : r- 

Si donc on admet que la charge -[- A' n'existe pas, les forces produites 
par la charge — E seule, sont les mêmes, pour les grandes distances, 
que celles produites par le petit oscillateur. 



352 AUGUSTE RIGHI. 

IV. 

Il s'agit à présent de trouver les formules relatives au ion — E seul, 
valables, uon pas seulement pour de grandes distances, mais pour une 
distance quelconque. 

Il suffit pour cela d'ajouter à la solution qui représente les effets dûs 
au petit oscillateur, celle qui, an moyen des formules (1) et (2), peut 
représenter les effets produits par une charge — 7^' immobile à l'origine. 
De cette manière la charge vibrante — E restera seule, et les formules 
que l'on trouvera, seront valables pour toute valeur de ;•. 

Prenons les fonctions suivantes : 

Y\,= — k,Elocj{r^.r), 

U, = — k,Elog{r-^z). 
Les (2) donnent alors 

pourvu que l'on ait k^ -{- 1, -{- k^ = 1. Avec ces trois fonctions Hj, 112, 
n.;, on obtient donc précisément les forces produites par une charge 
— Ë immobile à l'origine des coordonnées. Par conséquent il suffit de 
prendre les trois fonctions suivantes : 

n, = — k, Elog^r^a), 

n.^= — k.,Elog{r^>/), 

U, = — /•, FJog {r -h z) -h — siu [2 7ru{t — A r)], 

r 

pour que les formules (2) donnent les composantes des forces produites 
par un ion de charge — E vibrant sur l'axe des z avec l'amplitude l 
autour de l'origine. 

Comme les constantes X-j, k^, k^, en dehors de la condition 
k^ '\- k.^ -\- k^ = 1, sont arbitraires, on peut donner à deux d'entre 
elles toute valeur; par exemple on jîeut jn-endre : 

El 
n, = , n, = , Hg = — K log {r + ^) H siu [2 7ru{l — A /•)]. 



SUR LES ONDES ÉLECTROMAGNÉTIQUES d'uN ION VIBRANT. 353 



V. 



Il est à présent facile de généraliser cette solution pour arriver à celle 
qui rejDrésente les ondes produites par un ion_, dont le mouvement vibra- 
toire dans Tespace a pour coinjjosantes suivant les trois axes des vibra- 
tions pendulaires de même ])ériode^ mais de jjliases et amplitudes ditle- 
rentes. 

Posant (5 = 2 TT « (/ — A r) et a])])elaut /, /^ ^3 les amplitudes des trois 
vibrations composantes et <%, ûc^ oc^ la valeur angulaire des phases^ il 
suffira de prendre ])our les fonctions auxiliaires les ex])ressions sui- 
vantes : 

llj = _ k^ Elog (/ + a) -f ^ slu [Ô — a,), 

FjI. 
rio = — fc.j^ E log (>• -\-j/)-\ ~ siu [ô — x.^) , 

VJ 
n3 = — l; Elog {r + ^) + — ^ sm {û — oc,), 



pourvu que Ton ait k^ -\- k^ -\- k^ = 1. 
Les équations (2) donnent alors 






_ 1 



EmM,(V . 3^^2„.y.2-i 3^-2— ;-2 . 

— 't H ^~~^i — ^^"^ V^ — -^r ) H cas (0 — iZ.) 

m^ r^ J -mr ' 

, EwP-L ( r^ 3 1 . ,, , 3 ,, , ) 



K 711^1^ 



\\\ 'l Xnv {ù — ^.3) — -^cos^ù 



(4) 



ARCHIVES NKEULANDAISES, SERIE II. TOME V. 23 



354 AUGUSTE RIGHI, 

Ces expressious deviennent plus simples pour les valeurs très grandes 
de r. On a alors en effet : 

X = -^ (r2 — x^) sm {ù — <x, ) 

Enû-U . ,. s 

r" 

Er/h'^L ■ fA \ 

-j 3 — œzstu[0 — x^), 



Em 
L =^ \_L u sin. {ù — oc.} — /., '^ ^^''^ (^ — ^2 )]^ 



(5) 



Ces dernières valeurs vérifient les relations suivantes: 

Xx 4- Yij -^ Zz = , 

XL + ÏM\- ZN== {) , 

([ui montrent que la force électrique et la force magnétique sont entre 
elles ù angle droit^ et perpendiculaires à la droite qui va de la position 
d'équilibre du ion au point (xj/z), auquel elles se rapportent. On a 
donc des ondes transversales, (jui peuvent représenter les ondes lumi- 
neuses, ce qui est naturel, vu que si l'on pose /j = /j ^= ^) k = h l^s 
formules (5) deviennent identiques à celles, que Ton déduit pour r très 
grand des formules données par Hertz pour son petit oscillateur. 

On est donc libre de considérer les vibrations d'une particule dans 
une source lumineuse, soit comme des oscillations électriques dans un 
oscillateur hertzien très petit, soit comme des vibrations mécaniques 
d'un couple (considéré déjà dans le ^ II) de deux points ayaiit des char- 
ges égales et contraires, soit enfin comme des vibrations d'un sim- 
ple ion. 

La charge de ce ion peut être supposée soit positive soit négative; 
mais il n'en est plus de même lorsqu'on admet la conception, par la- 



SUR LES ONDES ELECTROMAGNETIQUES D UN ION VIBRANT. 355 

quelle M. Lorentz a pu prévoir et expliquer le pluniomène de Zeeman. 

Considérons en effet le cas particulier 1^ = , /., = ^:>. ^=1, ûj^ = , 
j^jg = — '/a '^- On a ainsi un ion de charge — A' doué d'une A^bration 
circulaire, et précisément un ion, qui parcourt une circonférence dans 
le jilan ij : ayant son centre en O et un rayon /. Si on observe de x vers 
le mouvement du ion est lévogyre. 

Or les formules (5), appliquées à ce cas particulier, montrent que 
pour tout point de l'axe des x assez éloignée de l'origine les deux forces 
ont des valeurs constantes et tournent uniformément à gauche autour 
du dit axe avec une période 1 : n, et Ton a ainsi l'équivalent d'un rayon 
lumineux à polarisation circulaire lévogyre. 

Si la charge du ion est supposée positive, le rayon reste lévogyre. Le 
sens de la polarisation ne dépend donc pas du signe de la charge du ion. 
Mais si Ton tient compte du sens dans le quel le pliénomène de Zeeman 
se produit, et Ton admet que la cause de ce ])hénomène est bien celle 
que M. LoRENTZ lui a assigné, on est obligé d'admettre, comme on l'a 
fait déjà remarquer, que le ion, dont le mouvement produit le rayon à 
polarisation circulaire, a une charge négative. 

Il serait facile de tirer des formules données de nombreuses consé- 
quences; mais je m'en abstiendrai, d'autant plus qu'elles sout analogues 
à celles qui se rapportent aux ondes produites par un couple de deux 
charges électriques de signes contraires, étudiées déjà dans l'ouvrage 
cité plus haut. 



23* 



NOTES ON THE REFRACTIVITIES OF THE INACTIVE GASES 



WILLIAM RAMSAY, F. R. S. 



lu the course of a research ou the properties of argou^ Lord Ray- 
LEiGH, (Proceediugs of the Royal Society, volume 59, p. 203), devised 
a simple apparatus by meaus of whicli it is ])ossible to couipare the 
refractivity of argou witli that of air. Siuce that time I hâve beeu fre- 
qiieutly eugaged iu deteruiiuiug the dilfereut refractivities of the iuactive 
constituents of the atmosphère; aud l hâve pleasure iu giviug a short 
accouut of thèse experimeuts iu order to preseut a tribute to my frieud 
Professor Lorentz, which rnay be of iuterest to hiui, aud to those who 
hâve foUowed his liues of research. 

It will be seeu ou cousultiug Lord RAYLEiGirs paper, that the refrac- 
tivity is uieasured iu the followiug uiauuer : Light from a paraflfiu lamp 
passes through a fine slit, eut with a razor iu tiu-foil pasted ou glass. 
The beaui is made parallel by passage through au achrouiatic plauo- 
couvex leus of about 1 foot focal leugth. Tt theu di vides; the up])er 
portiou passes through air, aiid, after extraueous light is eut otl* by 
passage through two wide slits, it is brought to a focus by a leus similar 
to the hrst, and the bands produced are viewed by a cyiiudrical leus of 
very short focus. The lower portiou of the boam traverses two tubes o2 
cms. long aud 2 mms. iu diameter, placed close together aud closed at 
each end with plates of o])tically worked glass. Each of thèse tubes 
contains oue of the gases to be examiued aud each is couuected with a 



N(JTES ON TIIR 11KFIIA(;T[ VIPIES OK 'l'IIK rXACTIVE GA.SES. 357 

ma-iionieter aiul ;i iiioval)le réservoir witli capillary tubiiig. So tliat on 
raisiug or lowering tlie réservoir the ])ressure of tlie gases can be so adjusted 
that the iiiterference-baiuls formée! in the lower of the field cnn be accurately 
brought iuto liiie with the stationary bands in the upper half. Readings 
of pressnre are taken on both raauometers at pressures not differing 
greatly from that of the atmosphère; then, on lowering the réservoirs, 
readings on botli manometers are taken at lower pressures, the bands 
being again madc to coincide in position with the upper fiducial bands, 
The ratio of the refractivities is inversely as the ditferences of pressure 
in the two gases. The influence of température does not appear, for 
the tubes of the manometer lie side by side, and may be regarded as 
equally affected by variations of température. 

The accuracy of the method varies with the value of the refractivity 
of the gas. For, if the gas has a low refractivity, then a great différence 
of ])ressure produces the ])assage of fewer bands across the field than if 
it has a liigh one; and, as the accuracy of reading may safely be taken 
as the twenty-tifth of a band, and as between thirty and forty bands 
pnssed the field with snch gases as oxygen, nitrogen, and argon, the 
error may be taken in such cases as from 1 in 750 to 1 in 1000. 

The tubes containing the gases to be examined \vere connected with 
a Tôpler's pump; and before admission of gas each tube was pumped 
empty, so that in an attached Pr-iic'KER''s tube there was brilliant ])hos- 
phorescence. The tubes were then washed ont with the gases to be 
admitted, the a])paratus again evacuated, aiul the final ([uantity of gas 
allowed to enter by a contrivance a description of wliich is to be found 
in the „Trans. Cheni. Soc", vol. 67, p. 086. 

In determining the refractivity of such a gas as hélium or néon, 
hydrogen was used as a standard of comparison ; in order to ensure the 
purity of the hydrogen it was made by warining a tube containing pal- 
ladium-hydrogen which had been prepared by admitting hydrogen made 
from pure zinc and sulphuric acid into contact with s})ongy palladium. 
The tube was ])umped empty in the cold and then gently warmed; it 
was again allowed to cdol and again pumped empty. The hydrogen was 
then collected, passing slowly through a tube, filled with phosphoric 
anhydride, into the expérimental tube. For the refractivities of the 
heavier gases the comparison was made with air. 

Determined in this way, the refractivity of the inactive gases com- 
pared with air was; 



358 WILLIAM IIAMSAY. 

Hélium. Néon. Argon. Krypton. Xénon. 

0,1238 0,2345 0,968 1,419 2,364. 

Thèse figures are proportional to tlie quantity (,v. — 1); and on divi- 
ding by the densities of tlie gases, or wliat cornes to the same tliing, 
their atomic weiglits, a séries of figures is obtained whicli expresses tlie 
retardation of liglit by equal quantifies of matter. 

ïliese quantifies are given in the following short table. 



0,1238 
4 

0,2345 
20"" 

. 0,968 
40 

1,449 
81,76 

2,364 
^28 



= 0,0309 

= 0,0172 

= 0,0242 

= 0,0177 

= 0,0184 



It will be noticed that thèse figures may be divided info two classes; 
hélium and argon are both higher than néon, krypton, and xenoii, and 
the last three yield almost the same nuraber. Whatever be the reason 
of tins, it appears that the molecular structure of the last three offers 
less opposition to the passage of light than that of the first two; it is 
curions to notice such a variation of behaviour of gases which on ail 
other grounds must be pronounced to possess a similar character. 

Soniewhat similar relations are found with neighbouring séries of 
éléments of tlieir refractivities, ascertained, for the raost part by mea- 
surements of that of their compounds, are reduced to the scale of air 
as unity, The numbers are far less certain, and must be accepted with 
caution; but they are: 



Hydrogen. 


Fluorine. 


Chlo]'iue. 


Bromine. 


lodine. 


0,475 


0,05 (?) 


0,075 


0,048 


0,048 


Lithium. 


Sodium, 


Potassium. 


Rubidium. 


Caesium 


0,15 


0,048 


0,051 


0,036 


0,048 



NOTES ON THE REPRACTIVITIES OF THE INACTIVE GASES. 



359 



Here^ too, it will be iioticed that tlie quotient of tlie tirst and tliird 
élément of each séries is a liiglier number tlian that fnrnislied by the 
other tliree éléments; and tliis alfords a strong proof of the periodicity 



7.0 



G.O 



5.0 



.^ 4.0 



^ 3.0 



2.0 



1.0 















9A'' 












// 


// 










/^ 


/ / 










^ 


Br / 








/o 




^ 






^^Xe 


LJ^ 


1 /k 

rNa 




^^ 


Kr 








Ne 


A 











20 40 (ÎO 80 

Atomatic Weifflits. 



100 



120 



140 



of ail three séries of éléments. The analogy is also seen in the accom- 
panjing diagrara, where ordinates are atomic weights, and abcissae, 
refractivities compared with air as unitj. 



H. W. BAKHUIS ROOZEBOOM 



La théorie des équilibres de deux ou plusieurs phases — qui u'aurait 
pu prendre le développement,, que j^ai \)u. lui donner^ sans le secours 
de mon maître et ami Lorentz — - ne s'est occupé jusqu'ici que rare- 
ment des équilibres dans lesquels entrent comme jahase solide des cris- 
taux mixtes. Il y a là encore beaucoup de parties à développer. 

La présente notice a pour but de donner une courte esquisse de 
réquilibre entre les cristaux mixtes et leur phase vapeur^ ainsi que des 
rapports entre cet équilibre et d'autres, oii ces cristaux peuvent prendre 
naissance. Jusqu'à présent, dans Tétude des cristaux mixtes, les équi- 
libres possibles avec de la vajieur n'avaient pas été considérés. Je me 
])i*opose de traiter à présent le cas le plus simple, savoir celui oii deux 
substances A et B sont miscibles en toute proportion à l'état solide. 
Dans un pareil cas, les deux substances seront assiirément aussi com- 
plètement miscibles à Tétat liquide; la même chose est établie pour Tétat 
de vapeur. 

Les relations des trois phases entre elles ou deux à deux se déduisent 
le plus simplement en partant de Téquilibre entre liquide et vapeur. Su])- 
posons pour commencer une température au-dessus du point de fusion 
de la substance le plus difficilement fusible. Nous admettrons que ce 
soit la substance B, et en outre que, comparée avec A, elle ait la ten- 
sion de vapeur la plus faible. Dans la fig. 1 ou porte sur Taxe des 



SUR L EqniLlBRI-; de OiaSTAlJX MIXTES^ ETC. 



.'^61 



abscisses AB tous les rappoifs de mélange entre A et H, tandis (|ae les 
ordonnées expriment les pressions. CA est donc la tension de vapeur de 
A, BB celle de B à la température déterminée; CW représente les ten- 
sions de vapeur des divers mélanges 
liquides, et Cg D les mélanges gazeux 
correspondants. Le liquide et la vapeur 
qui se correspondent nnituellement ont 
la même pression, et sont donc repré- 
sentés par les extrémités des horizontales 
^D de jonction menées entre les deux courbes. 
La figure représente l'agencement le ])lus 
simple de ces droites; il se présente quand 
les tensions de vapeur diminuent graduel- 
lement, en même temps que la teneur en 




B 



Fig. 1. 
la substance la moins volatile B augmente. 

On ])eut maintenant faire une construction analogue pour les tempé- 
ratures plus basses; dans ces conditions, les courbes sont situées de plus 
en plus bas. On pourra ensuite porter ces 
figures sur un axe des températures, ce 
(jui fera prendre naissance à une 
surface courbe à deux nappes 
(lig. 3), laquelle du côté droit ^> 




Fi-. 2. 



vient tomber sur la 
courbe de tension de vapeur 
D'BO du liquide B, du côté 
gauche sur la courbe correspondante 
C'CB du liquide A. 



.3()2 



H. W. BAK1IUIS liOOZEHOOM. 



Continuons à présent jusqu'aux basses températures. Alors, du côté 
de B, ainsi que nous l'avons admis, c'est la température du ])oint tri])le 
qui sera tout d'abord atteinte; à des tem])ératures encore plus basses, 
c'est le point triple /-' qui sera atteint. 

Admettons que le dépôt des cristaux mixtes se fasse suivant le type 
le plus simple, déjà antérieurement indicpu', notamment celui où les 
points de fusion des cristaux mixtes de la série de mélanges tout entière 
sont compris entre les points de fusion des substances A et B. 

Prenons une température légèrement inférieure à 0. Dans ce cas on 
ne saurait prolonger les courbes (■II) et 6'^ /J jusqu'au contact de 
l'axe B, attendu que la substance B n'existe ])lus à l'état liquide au- 
dessous de 0, quand nous ne considérons que les équilibres stables. 
Au contraire, la ligure devra se rattacher au ])oint de la ligne F 
qui exprime la tension de vapeur de la substance solide B pour la tem- 
pérature choisie. La manière dont cela se réalise est facile à comprendre 
quand on se rappelle les relations existant entre la concentration des 
cristaux mixtes et du li([uide, pouvant coexister aux températures in- 
férieures à 0. J'ai déjà uu)ntré antérieurement que, si la courbe de 
fusion des cristaux mixtes descend de vers P, les cristaux mixtes sont 
toujours plus riches en H ([uc le liquide, avec lequel ils sont en équilibre. 
Si donc la concentration des cristaux est exprimée par c, celle des 

liquides par c^, on aura c^c^. 

Dans le voisinage du point 0, les deux 
valent s seront encore voisines du point 
7i, fig. 8. D'autre part, il résulte de la 
lig. 1, que, représentant par Co la con- 
centration de la phase gazeuse, nous 
aurons i^'^c.^. D'oi^i il suit que c'^c^ 
^(?2. Elevons en ces points des perpen- 
diculaires représentant la tension d'équi- 
libre commune; nous obtiendrons les 
points II [ K . Le système liquide-vapeur 
sera seulement possible entre A et les 
concentrations c, et c<^, exprimées par les courbes G I pour la ])hase 
liquide ti GH pour la phase gazeuse. 

Quant aux cristaux mixtes, c exprime la concentration qui peut 
exister en présence de liquide. Des cristaux à teneur plus considérable 
en B ont toutefois pris naissance à des températures plus élevées aux 




M 




1 


N 




K 


N 


^ 


L 



C, C B 



Fis. 3. 



SUR L EQUILIBRE DE CRISTAUX MIXTES^ ETC. 



363 



dt'peiis Je liquides })lus riches en />'. Ils doivent donc nécessairement 
être ca])ables d'exister indépendaniment et par suite aussi avec leurs 
vapeurs respectives à la température considérée^ de sorte qu' il y aura 
un courbe KL exprimant les tensions de vapeur de cette série pour 
les concentrations comprises entre c et /> pur. 

Cette courbe doit nécessairement descendre. Le point K en etl'et est 
situé à la même hauteur (jue les points 11 et /. Si l'on pouvait pro- 
longer les courbes (tH ci ^/Y juscprà Taxe 7^, alors le point exprimant 
la tension de vapeur du liquide /> serait situé plus bas que HI. Or 
// représente la tension de vapeur de /> solide, qui est encore ])lns faible^ 
de telle sorte que le point L est situé au-dessous de H IK. 

La courbe exprimant la composition de la série de vapeurs capable 
d'exister en présence de la série de cristaux mixtes^ doit nécessairement 
commencer en II, attendu que // est la phase gazeuse coexistant égale- 
ment bien avec le liquide / et avec les cristaux mixtes A^ De plus, 
cette courbe doit également se terminer en L. 

La courbe 11 L de la figure représente donc les pressions et les com- 
])ositions de la phase gazeuse appartenant à la courbe A' // des cristaux 
mixtes. Les points correspondants sont donc naturellement situés de 
nouveau sur des droites de jonction horizontales. 

La courbe de vapeur H h va rencontrer en H la courbe de vapeur 
(iH, appartenant aux phases liquides. Ce fait résulte déjà nécessaire- 
ment de ce que dans la phase vapeur tous les rapports de mélange sont 
possibles. Toutefois^ au point de rencontre H des deux courbes, il y a 
une brisure. Le sens de cette dernière se dégage inmédiatement de 
la considération, que la courbe GU pro- 
longée irait rencontrer Taxe B en un 
point situé au-dessus de L. 

Passons à une plus basse température. 
Alors les points G et L descendent, et 
les points H l K se déplacent davantage 
vers A. Non loin du point 1\ la iigure 
prendra donc l'aspect de la fig. 4. Les 
courbes G' ï et G' W sont beaucoup 
diminué de longueur, les courbes K' L' et 
H' L' au contraire se sont considérable- 
ment allongées. Au point P, les points IIIK coïncident entre eux et 
avec l'axe A. 



M 




N' 




Liquide 




Solide. 




\X^ 




K' 




/f'\^ 


\^ 


Vapeur. ^^~-~~^ 


^' 



A 



B 



Fis. 4. 



364 



ÎT. W. BAKHUrs IIOO'/EBOO.M. 




Vapeur. 



A 



£ 



Prenons des températures inférieures à F, la phase liquide dis- 
paraîtra, et il ne restera que l'équilibre entre les cristaux mixtes et la 

vapeur. Cela sera exprimé par les deux 
courbes EmF et EgF fig. h, dont la 
première s'applique aux cristaux mixtes 
et la deuxième à la phase gazeuse. Les 
Solide. points K et F re])résentent les tensions 

de vapeur de A et B solides. 

Aux températures successivement des- 
cendantes ces courbes relient donc dans 
Fespace les courbes de tension de vapeur 
des constituants solides PE et OF. Cela 
Fig. 5. fait que })rend naissance une surface 

courbe à deux nappes, exprimant l'équi- 
libre entre les jjliases solide et gazeuse^ surface qui sous tous les 
rapports est analogue à la surface à deux nappes, s'étendant au-dessus 
de 0, et exprimant l'équilibre des jjhases liquide et gazeuse. 

Les deux parties de la nappe relative à la phase gazeuse vont se 
rejoindre suivant la courbe dans Tesjjace PIIO; la nappe liquide est 
limitée vers le bas par la courbe dans l'espace FIO, la nappe des cris- 
taux mixtes est limitée vers le haut par la courbe dans l'espace PKO. 
Un troisième système de deux nappes est cependant encore possible. 
Les courbes P[0 et PKO représentent en effet les cristaux mixtes et 
phases liquides coexistant sous tension de vapeur. Elles pourront être 
toutes les deux en équilibre sous pression ])lus élevée; elles moditîeront 
alors plus ou moins leur composition. Dans ce cas^ dans les coupes 
figs. 3 et J>, de / et K pourront être menées vers le haut deux autres 
courbes IM et KN, qui exprimeront sous pression croissante les phases 
liquide et solide coexistantes. A cause des faibles modifications subies 
par les comj^ositions, ces courbes ont été menées verticalement Elles 
peuvent^ ou l'une d'entre elles, ou les deux^ se diriger aussi bieji vers la 
gauche que vers la droite. La Jonction de toutes les courbes Ml don- 
nera de nouveau une surface liquide; les courbes A'iV^ réunies formeront 
la surface des cristaux mixtes coexistants. Les deux surfaces se rejoin- 
dront à droite et à gauche suivant les courbes i^Q et OB, qui repré- 
sentent les courbes de fusion de la substance A et de la substance B. 

Le graphique ainsi construit exprime donc les relations des équili- 
bres: cristaux mixtes -|- liquide, cristaux mixtes -\- vapeur et liquide 



i 



SUR l'Équilibre dk cristaux mixtes^ etc. 365 

-j- vapeur. Il donne une représentation des rapports les plus simples 
ainsi que de l'équilibre des trois phases, prenant naissance par la coïnci- 
dence des trois systèmes de deux phases. 

Dans la tigure, les variations de tension des courbes F 110, F 10 et 
FKO sont représentées s'abaissant de F vers 0; l'inverse est égale- 
ment possible, et de même l'apparition d'un maximum ou d'un 
minimum. 

D'autres complications peuvent prendre naissance i)ar l'apparition 
d'un maximum ou minimum dans les courbes KF ou par le fait que les 
substances ne sont pas conq)lètement miscibles à l'état solide. 11 ne sera 
pas difficile de changer les ligures pour ces cas particuliers. On aura 
plus de peine à trouver des exemples des divers types, attendu que les 
tensions de vapeur de mélanges solides sont le plus souvent très petits, 
et que la détermination de ces tensions sera fréquemment troublée par 
la lenteur avec laquelle s'établissent les équilibres, auxquels prennent 
part les cristaux mixtes. 

Amsterdam, 31 octobre 1900. 



UEBER DAS ELECTRISCHE ANALOGON DES ZEEMAN-EFFECTES 



W VOIGT. 



Die iiberrasclieude uud schoue Erklilruug, welche Herr Lorentz mit 
Hlilfe seiner allgemeiuen Théorie der Electrodjnamik fiir das directe 
ZEEMAN'sche Phânomen gegeben hat^ findet in meiuen Uiitersuchungen 
iiber den inverseu ZEEMAN-Eifect eiue Art von forinaler uud iulialt- 
liclier Ergauzmig. Widireud Herr Lokentz^ vou eiuer gauz bestinnnteu 
Vorstelluug ûber den Mechauisinus des Vorganges ausgehend^ fast ans- 
scldiesslich die Yerilnderung der Ehim-Ùou einer Liclitquelle durcli die 
Einwirkung eines Magiietfeldes behandelt^ beschiiftigen sich meine 
Arbeiten unter alleiuiger Heranziehung allgemeiner Ueberlegungen mit 
der Ahsorytlou und Dopiielbrechmig in magnetisch beeiuflussten Korpern. 
Diirch deu KiiiCHUOFF'schen Satz steht ein Theil der auf dem einen 
und der auf dem anderen Wege erhaltenen Eesultate in directer Be- 
ziehung, und die hierbei hervorgetretene Uebereinstimmung der beider- 
seitigen Ergebnisse mit einander^ wie andererseits a»ller mit der Erfahr- 
ung, erweckt das Yertrauen, dassin jenen Ueberlegungen das Wesentliche 
des so merkwiirdigen Vorganges richtig aufgefasst ist. 

Bei dem nachst verwandteu Problem der elecirhcheu KuLivlrkniKj auf 
Emission und Absorption fehlte bisher eine solche Zusammenwirkung 
der beiden Methoden. Es liegen hier nur erst die Eormeln vor^ welche 
von mir in erneuter Anwendung der in der Magnetoptik benutzten all- 
gemeinen Principieu gewonnen sind '), und welche als mit der Erfahrung 
ira Einklang bezeichnet werden diirfen. 

Ereilich liegen in diesem Gebiete zur Zeit Beobachtungen nur allein 



') W. VoiGT, Wied. Ami. Bd. 69, p. 297, 1899. 



UEBER DAS ELECTRISCHE ANALOGON DES ZEEMAN-KFEECTES. 3G7 

iiber die electrisclie Doppelbrechung fast durchsichtiger Korper im 
electrischeu Felde vor; die Prilfuiig koiinte somit ge rade auf die iuteres- 
santesten Vorgiliige, welche die Théorie in derNtihe scharfer Absorptious- 
streifeii fordert, iiiclit erstreckt werdeu. Von diesen zog besonders ein 
electrisches Analogon des inversen ZEEMAN-Effectes die Aufmerksamkeit 
auf sich, das sich in deu beiden Hauptlallen kurz so darstellt. 

Ein Korper mit feinen und hinreichend getrennten Absor})tions- 
streifen in seineni Spectrum zeigt fiir natilrliches Licht^ welches ihu 
paralld zu den Kraftlinien des Eeldes (und zwar liier ohne Do])pel- 
brechung) durchsetztj e'me Verschiebiing dieser Slrelfeii ohne Zerlegung, 
fur Liclit^ welches ihn normal zu den Kraftlinien (und zwar hier mit 
Doppelbrechung) durchsetzt eine Verschiehnug w.U he.glellender Zerleguug. 
Dabei nininit im zweiten Ealle die eine erzielte Componente des Streifeus 
dieselbe Lagc ein, wie im ersten der unzerlegt verschobene Streifen 
Fiir die Lagc der anderen Componente giebt die allgeraeinste Théorie 
keine Bestimmung; eine sehr plausible s])eciellere Eassuug dagegen ver- 
langt fiir dieselbe den drelfac/iei/ Betrag der Verschiebung der ersteren. 
Die Vcrschiebungen sind dem Quadrat der wirkenden Feldstilrke pro- 
porti nal. 

Mit den Grundlagen der Théorie zusammeu kounte dièses Résultat 
als sehr wahrscheliiUch der JFlrldichkeU enisprecheud. bezeichnet werden, 
wenngleich bislang mehrereu Forschern, die sich mit dem Aufsuchen 
einer Wirkung eines electrischen Feldes auf die Linien eines Gasspec- 
trums (also mit dem elektrischen Analogon zu dem dlrecfeu Zeeman- 
Etfect) beschilftigt hatten, der Nachweis einer solchen nicht gelungeu war. 

Dièse Warscheiulichkeit wird uun verstiirkt dnrch den Umstand, dass 
die LoRENTz'^c'/^e elemeiitare Théorie des direct ev, Tj^vMK^-Effectes in 
einer nahezu seltjstmrstdndlicheu Ausgestaltung tjeziiglich des directen 
electrooptischen Effectes zu genan demelben Besultaten filhrt^ welche die 
von mir tjenntzte Behaudliuigsweise des inverse// Phd//o///e//s t)ei Auwe/i- 
dimg des KiRCiiHOFF''*(?/^gi'/ Satzes liefert. 

Den Nachweis hierfilr zu erbringeu uud damit die Fruchtbarkeit der 
von Herrn Lurentz vertretenen Théorie von eiuer neuen Seite zu zeigen 
ist der ITauptzweck dieser Notiz. Daneben wird eine Schatzung der 
Grossenordnung der durcli die Théorie signalisirten Verilnderungen der 
Spectral- resp. Absorptionslinien mitgetheilt werdeu, welche begreiflich 
macht_, dass das iiberaus feine Phanomen der Beobachtung bisher ver- 
borgen geblieben ist. 



'6QS VV. VOIGT. 

1) Die LoiiENTZ-WiECHEiiT'sche .Jonentheorie (1er Electricitiit be- 
trachtet die iu deu leucliteudeii Korperu schwiugenden electrisclien 
Theilcheu oder Electroueu vou der sclieiubareu Masse m durch eiiie Art 
von elastischer Kraft au (iu Wahrlieit ilirerseits relativ laugsam bewegte) 
Gleichgewichtslagenj etwa die ponderableu Molektile J/selbst^ gebunden^ 
uud setzt lïir eiues vou iliueu die Jîeweguugsgleicliuugeu demgeiuass 
folgendermasseu au : 

dh; j (Pu , dh , .,, 

'''-^ = — ^''''' '"'Jf2 = — ^'^^ "'~dë''^~' ' ^^ 

woriu k eiue positive Coustaute bezeicliuet. Mau darf es als selbstver- 
stiiudlich bezeicbueu, dass das vorsteheud augeuoinmeue Gesetz der 
wirkeudeu Krafte X^ — l\v, u. s. f. uur eiue erste Anndheriuig darstellt; 
deuu tur wachsende Eutferuuugeu niuss schliesslicli die wirkende Kraft 
abuelimeu uud verschwiudeu. ^'^ ir fasseu demgemiiss deu gemachteu 
Ausatz A= — kx als das erste. Glied eiuer TAYLOR'schen lleihe auf, 
die uach Poteuzeu der Goordinateu x,ij, .:j fortsclireitet uud dereu huhere 
Glieder bei der gewoliuliclieu Betraclituug veruaclilassigt werden diirfeu, 
aber bei audereu Vorgaugeu gelegeutlich Bedeutuug erlialteu. Discutirt 
mau dièse bôberen Glieder der resp. Ausdriicke fur A'^ Y, Z, iudem mau 
(weuigsteus im Mittel) das Kraftfeld als um das Molekiil M vou kugeli- 
ger Symmetrie ausieht, so gelaugt mau zu dem Eesultat^ dass die Glie- 
der zweiter Orduuug verschwiudeu uud diejeuigeu dritter die resp. 
Factoreu r^.v, r^y, r'^z habeu miisseu^ wobei 

•<- A- r ^- •> = '^ 

gesetzt ist. So gelaugt mau zu deu erweitei'teu Ausatzeu 

A = — (/:+Z'r2).o r=-(/- + /'v2)y, Z^-[k^k;r).:, (2) 

in deneu k! eiue Coustaute ist, welclie uach dem Ausdruck 

A = (/■ + /•' .2) r (8) 

fur die resultiereude Kraft sich auschaulich durch die Beziehuug 



6 ^r 
bestimmt. 



3=^-' (^) 



UEBER DAS ELECTRISCIIR ANALOGON DES ZEEMAN-EFPECiTES. '369 

Die BewegimgsgleicliLmgeu (1) nelimeu liieruach die Gestalt au: 

fl z 

Wir wolleu uuu aniieliineii, dass das betraclitete Electron ausser der 
Kraft K uocli eiuer coustauteu electrisclieu Peldstilrke R, welclie parallel 
/iir Z-K.xe, wirkt, ausgesetzt sei, uiid dass dadurcli seiue Gleichgewiclits- 
lage uni eiueu Betrag ^„ verschobeu werde^ welcher gross ist gegeu die 
Scliwiuguugsamplitudeu uud somit gegeu die ausserhalb des electrisclieu 
Eeldes erreicliteu Wertlie x, i/, r. Setzeu wir dauu 

3c = H, y = 'A. - = ^o+S (6) 

uud beschriluken uus iu Bezug auf ^, î^, ^' auf die uiedrigsteu Glieder, 
so erlialteu wir : 

72 £ 72, 

Da ^„ die iieue Gleicligewiclitslage des Electrons bestimmeu soll, so 
ergiebt sicli dafiir : 

:o(^ + ^'.V) = ^^, (8) 

oder iu erster Aunidieruug: 

':,^=eR\k. (9) 

Dièse Auuiiheruug darf iu die kleiueu iu l:' multiplicirteu Glieder der 
Gleichuugeu (7) eiugefiihrt werdeu, wodurch dieselbeu die Gestalt er- 
lialteu : 






r/^Ç. f^ . k'e'R'\^ d'yi f. . /ce'Rr\ 



S=-0+^^)^ (-) 



m 

ARCHIVES NKEELANBAISES, Sl.RTE II. TOME V. 24 



870 W, VOIGT. 

Hieraus folgt, dass die drei Verriickuugscomponenteu iiacli deu 
Coordinatenaxen, welclie iiach (1) urspriiiigiicli dleselhe Période r be- 
sasseii^ gegebeu durcli : 



( 



T y tu 



iimimehr im electrischeu Eeld die Perioden r,, t.,_, t., besitzeii; gegeben 
durch : 

Wegeii der Kleiidieit von h' folgt hieraus aucli 

b TT- 'Ht k^ o Tï" m k" 

oder bei Eiufiihrung der ihueu in Luft oder aucli im Yacuuin eut- 
sprecheuden Welleuliiugeu A/, ^t/iV: 

Berûcksichtigt man, dass nacli der Lorentz'scIicu Théorie sich in 
grossere Entfernungen von dem leuchtenden Theilchen ans nur die 
Schwingungscomponenten normal zum liadiusvector als Lichtsch\yiu- 
gungen geltend machen^ so erkennt man, dass nach den vorsteheuden 
Entwickelungen ein von Natur einfarbig mit der Période r leuchteuder 
Korper im electrischeu Felde paraUel zu deM Kraftlinien wieder eiu- 
farbiges Licht aber von etwas geiinderter Période Tj aussendet, dagegeu 
normal zu, den Kraftlinien zwei Parbeu von deueu die eiue der Période 
T,, die zweite einer andereu Période T3 entspricht. Dabei ist 

T3— r = 3 (ti— t), a., — a = 3 (Al— A). (15) 

Die Schwingungen, die ^\c\\ parallel zii deu Kraftlinien fortpflanzen, 
stellen naUlrliches Licht dar ; von denen, die sich normal zu deu Kraft- 
linien fortpflauzen, sind diejenigen mit der Période t, nach dem Meri- 
dian resp. Hauptschnitt, diejenigen mit der Période Tg normal dazu 

Ijolartslrf. 



i 



UEBER DAS ELECTRISCHE ANALOGON DES ZEEMAN-EPFECTES: 371 

Dièse Eesultateeutspreclieii s;iinmtlich geiiaii deui, was die obencitirte 
Théorie des inverseu Vorgaiiges^ und zwar bezilglich des VerhiUtiiisses 
von Tj — T ZLi Tg — T dein, was die Théorie iu der specldlev Eassuiig 
geliefert hat. Man wird hieriii, wie schou eiugaugs ausges])rocheu, eiu 
lieues Argumeut tur die Wahrscheiulichkeit der frûher sigiialisirteu 
Resultate fiuden dùrfeii. 

2) Der Umstand^ dass die molekuhire Théorie sich gerade mit der 
speciellereu Fassung der von mir friiher gegebenen ûbereinstininiend 
erweist, hat eiuen einfachen Grund, der ein gewisses Interesse erregt. 
In jener speciellen Tassung der Théorie wurden die Grundgleichungen 
mit Hûlfe der Erweiterung des gewohnlichen Ausdruckes fur die elec- 
trische Energie durch Hinzunahme von Gliedern mit hohereu Potenzen 
der electrischen Vectorcomponenten gewounen ^); dies hat die Eolge^ 
dass bei electrostatischen Vorgiiugen an die Stelle der Dielectricitiits- 
constanteu B eiue Eunction der Eeldstarke R tritt von der Gestalt 
J9^) -j- 1)^ lir' tritt, in der J)^<^ und J)^ Constanten bezeichnen. Die oben 
entwickelte Yorstellung filhrt aber, wie leicht erkennbar, zu dem ana- 
logeu Resultate. 

In der That ergiebt die Formel (8) bei, wie angenomraen, sehr kleinem 
k' fiir die Verschiebung Çq der Gleichgewichtslage der Electronen im 
Eeld von der Starke R bei naherungsweiser Auflôsung 

Hieraus folgt fiir ein Médium mit nur einer Gattuug von Electronen 
bei Einfiihrnng von deren Anzahl x ])ro Yolumeneinheit das si)ecitische 
electrische Moment w nach der Formel 



u = ^.,0.= --^-^1 j^—). (17, 



Die Electrisirungszahl oder electrische Susceptibilitat i^ ergiebt sich 
hiernach zu 



') W. VoiGT, l.c. p. 314. 



24^ 



372 • w. voiGT. 

die Diélectricitatsconstante I) zu 

i; = ] + 4.;r:^ = A + A ^''^ (19) 



wobei ffilt 



/;„ = l + i^^; fl,=_(i,„_i)£^^; (20) 



dies ist aber in Uebereinstiinmuiig mit dem oben Gesagten. 
Bei Eiiifiiliruug des Ausdruckes (11) fur /■ findet innii auch 

Bezeichnet maii uun als relative Zerlegumj p der fiir das Médium (mit 
nur eiiier ArtElectronen) characteristischen Spectrallinie deu Quotienten 
(Aj — A,)/;., miter À dereu urspmugliche Wellenlauge verstauden, so 
liât mau nacli (14) 

also fiir die der Peldstarke Eius eutsprecbende Grosse p, 



' évr^w^P 



i3) 



Yergleicht man dièses Résultat mit der gefundeiieii Formel (21) so 
ergiebt sich 

A = -(^o-i)po m 

was fiir das vorausgesetzte einfacbe Médium eineii merkwiirdigeii Satz 
ausspricbt, 

Dera Ausdruck (20) fiir Z?^ kann man unter Heranziebung des Wer- 
tbes ^ ^ tzM fiir die Dicbte der Médiums (unter J/ Avieder die Masse 
des eiu Electron festbaltenden Molekiiles verstanden) und unter aber- 
maliger Benutzung von (11) die Eormgebeu 



r m M 
Fur Media mit mebreren Arien von Electronen und demgemass mebr 



n _1 . f!l!i_l+rA » II^ (05) 



UEBER DAS ELECTRISCHE ANALOGOX DES ZEEMAN-EPPECTES. 373 

Spectralliiiien sincl die eutspreclieuden Formeu minder einfach, aber 
gleicbfalls leicht aufzustellen, 

3) Wir weiideu nus imnmehr zu einer Abschiltzung der Grossen- 
ordnung des electriscben Aualogoiis zura ZEEMAN-Effect, Hier bietet 
sich als niicbstliegendes Hûlfsmittel die Benutzung der Formel (24), 
die^ weuugleich Medien mit einer Electronenart nicbt existiren, doch 
zn einer Frage der blossen Grossenordnung herangezogen werdeu darf, 

Aber so eiufach der aus ihr folgende AVertb der relativen Zerlegung 

'^—' ^^' R'^, (26) 



A-1 



wobei {==) die Gleicbheit der Grossenordnung anzeigt, auch ist, so 
giebt er nun weuig Anfkliirang, da die Grosse J)^ = (IBlâB? iiber- 
haupt und ganz speciell fiir die hier in Frage kommenden Korper so 
gut wie nnbekannt ist. 

AVir mùssen deragemiiss zur Beantwortung der gestellten l'rage auf 
das einzige gut beobachtete electrooptische Philnomeu, namlich auf die 
elecfrische Doppelbrechiu/g zuriickgreifen. 

Aus den gelegentlich der Entwickelung der allgemeinen Théorie von 
mir mitgetheilten Formehi folgen fiir die complexen Brechungsindices 
Vh der beiden Wellen, die sich in dem electrisirten Médium normal zu 
den Kraftlinien des Feldes fortpiianzeu, die Ausdrilcke 

Hierin ist S" lur t\%7î gesetzt, 0y, bedeutet S"'" -|- ia\i^ — h^ und Sh, 
a/,, bu sind Constanten des Korpers, die eine bestimmte Absorptionslinie 
(//) charakterisiren ; ei,, g// messen speciell den ihr zukommenden elec- 
trooptischen EfTect. e^ liefert die erwahnte specielle Théorie gleich 3 1'^/,', 
y, bezieht sich auf die nach den Kraftlinien, v^ auf die normal dazu 
polarisirten Scliwingungeu. Ausserhalb des electriscben Eeldes liegt 
(kleines au. vorausgesetzt) die Absorptionslinie (//) sehr nahe an der 
durch S-^ = i/i gegebenen Stelle des Spectrums; w^we/7^ii/6 des Eeldes 
dagegen fiir die beiden Wellen an den Stellen 3""(1 -|- R'^eu) = bu und 
^'-(l -\- R'^sii) = bu d. h. an den Stellen, wo 



Q0=ly+^'''^^ C'0-b'+«'-"'-^ 



(28) 



374 w. voiGT, 

Yergleicht mau cliese Pormeln mit (12) und zielit die llelatioii (?/, = Se// 
lieran, so erkennt man, dass en in der frilheren Théorie dera Ausdruck 
k' e^jk^ in der netteu molekularen Théorie entspriclit. 

Die Beobachtuiigen liber electrische Dopjîelbrechuug siiid au merk- 
lich durc//sic/if/geu Korpeni^ d. h fiir Farbeii weitab vou Absorptions- 
streifeu vorgeuommeu^ was sich dadurch ausdriickt, dass das iu ai, mul- 
tiplicirte Glied iu dem Ausdruck fiir 0/, veruachlassigt werdeu kanu. 
Hierdurch werdeu v^ uud y^ zu deu reellen Brechuugsiudices n^ und n.^, 
fiir welche uuumehr gilt: 

■1 1 I v" ^/' ^^ T I v _ ^ii_^~ /'9Q^ 

Die Kleiuheit des iu lï^ multiplicirteu Gliedes erlaubt die Eutwickluug 
der Briiche_, so dass resultiert: 



wobei 



v=^v-^^^^i;(^^. n^=<~^^^y.j^^, (30) 



^0^ = 



l+^^lôi^ 



■h, 



deu Werth des quadrirteii Brechuugsiudex //,, ausserhalb des Eeldes dar- 
stellt. Beriicksicktigt niau wieder die Relation eu = 3 eu , so wird 

.^-,u^ = ^i^R^^-j0^,- (31) 

Uni die Grosseuordnung vou <?/,' zu beurtheiieu, wolleu wir auneh- 
meu, dass der untersuclite Korper nur einen Absorptionsstreifeu besitze. 
In diesem Palle ist: 

^^0^=1 + i^~, nud i> = 1 + ^u (32) 

•J"- — Oh 

die gevvoluiliclie statische Dielectricitatsconstaute. Hier kauu uiau daim 
schreibeu: 

"^ "-^^-^^^w ^ — ^-=1 — ^ ^ 



UEBER DAS ELEOTRISCHE ANALOGON DES ZEEMAN-EFPECTES. 375 

Messuiigeii ilber electrische Doppelbrechuiig hat Herr Quincke ') 
augestellt uud die vou ihin bestimmte Constante B entspricht, wie mir 
scheintj dem Ausdruck 100(wj — il^JR" = 10n(w,^ — 'i/.,'^)l'-luR'^, unter 
u einen raittleren Werth des Brechungsindex^ etwa Uq verstanden; d.h. 
es wiirde sein 

nnd mail dilrfte sclireiben, iiulem nian (z/-,,^ — 1) und ;/„ [D — 1) als von 
gleiclier Grossenordnuiig ansiebt, 

i^(=)10()/,K'— 1), (35) 

wo (=) wieder die Gleicldieit der Grusse/iordiini/g andentet. Bei Riick- 
sicht auf die Bedeutung von <"// folgt dann anch 

B (=) 100 k'e^-{n^''—\)lP (36) 

Erweitei't inan den recbts stehenden Ausdrnck mit /// und benutzt 
wieder die Bezielumg (11), welche k\m=^ {^IttIt)'^ ergiebt, so erliidt mau 

37 



100(.7o^— 1)' ' ^Tr'^m^h'' 

Die Combination dièses Résultâtes mit (22) giebt schiesslich sehr 
einfach 

^-"~T~^-^Ioô"(V^=ôT' ^^^~^Tm{;^7^ ^ ^ 

Herr Quincke lindet bei Voraussetzung absoluter electrostatischer 
Einbeiten fiir Schwefelkohlenstoti' B ruud lA. 10"^; bei Benutzung 
dieser Zabi wiirde somit 

f (=) „,2_i (39) 

oder bei Einfiibrung von Volt's als Einbeit, was durcb die Vertauscbung 
von II mit P ausgedriickt sein mag, aucb 

4 A B'^ 



') G. QuiNCKE, Wietl. Ami. Bd. lit, p. 740, 1883. 



376 W, VOIGÏ. UEBER DAS ELECTRISCHE ANALOGON, U. S. W. 

Unter Voraussetzuiig des bei Gaseu ungefahr zutreffenden AVerthes 
AJ [uq^ — l) = 10~ ' ^^^ einer Peldstarke vou 300 Yolt wûrde liiernach 

/j(=)4.1U-« (41) 

werden. Ura die Grosse dièses Werthes besser zu libersebeu, fiiliren wir 
noch den Abstaud A der À^a-hinien D^ uiid J)^ als vou der Grosseii- 
orduung A.10~" eiu und erhalten dann 

^ii::^(=)4.io-^ (42) 

Das Kesultat der vorsteheuden Ueberlegungen geht also daliiii^ dass 
selbst unter der Auuahme der grossteu bekauuteu elektrischeu Doppel- 
brecliuug uud des iu eiuem Dauipf keiueswegs leicht berstellbareu 
Pote utialgef ailes vou 300 Yolt pro Ceutimeter die Emissions- oder Ab- 
sorptionsliuieu eiues leuclitendeu Dainpfes iu der Eicbtuug normal zu 
den Kraftlinieu des Peldes nur etwa um den 20000 teu Tbeil des Abstau- 
des der beiden Z^-Linien verbreitert werden wûrden. Hierdurcb ist die 
Ergebnisslosigkeit der bislierigen Versuclie zur Auffiuduug eiues elec- 
trischeu Aualogous zum ZEEMAN-Efl'ect vollstandig erklart. 

Gottinge^i, Augiist 1900. 



RELATIONS NOUVELLES ENTRE LA RÉFLEXION ET LA RÉFRACTION 
VITREUSES DE LA LUMIÈRE 



G. SAGNAC. 



On sait comment la théorie dynamique de la réflexion de la lumière 
établie par Î'rksnel a été mise plus tard sous une forme diflerente par 
Mao Cullagh et par Neumann. On sait aussi comment ces deux types 
de théories dynamiques ont été interprétés par la théorie électromag- 
nétique de Maxwell que le Prof. II. A. Loken'iz a approfondie, il y 
a aujourd'hui vingt-cinq ans, dans sa Thèse de Doctorat, aussi bien 
dans le cas de la réflexion métallique que dans celui de la réflexion 
vitreuse et de la manière la ])lus générale. ') Dans ces théories, on consi- 
dère en définitive les milieux matériels comme continus. 

Je me suis proposé d'introduire directement, dans la question de la 
réflexion vitreuse, la notion de discontinuité de la matière, comme je 
l'ai déjà fait pour la question de la propagation de la lumière dans les 
milieux en mouvement. -) Sans prétendre traiter ici le ])roblème dans 
toute sa généralité, je chercherai à expliquer, aussi directement que 



') H. A. LORENTZ. Sur la théorie de la réflexion et de la réfraction de la 
lumière. Thèse de Doctorat. Arnheim. Van der Sande, (1875). — Zeitschrift 
fur Mathematik und Phijsik v. Sc'ilômilcfi. (1877). — Beibldtter zu den Annalen 
der Phijsik und Chemie, t. I, p. 92 (1877). 

') G. Sagnac. Journal de Physique, Avril 1900. — Depuis que j'ai publié ce 
travail dont l'origine remonte à l'année 1890, je me suis aperçu qu'il y a des points 
communs à mes hypothèses et à celles qui ont servi de base à la théorie du Prof. 
H. A. LoRENTz exposée dans les mémoires suivants: La théorie électromagnétique 
de Maxwell et son application aux corps mouvants. Leiden. E. J. Brill et -.Archives 
Néerlandaises, t. XXV, p. 363 (1892). — Versuch einer Théorie der electrischen 



378 G. SAGNAC. 

possible, quelques unes des relations conuues de la réflexion et de la 
réfraction vitreuses^ et, en même temps_, j'établirai de nouvelles relations, 
que l'observation m'a permis de contrôler. 

I. Hypothèses et conséquences générales. 

1. — Hypothèses fondamentales. Je considère les vibrations lumi- 
neuses à l'intérieur d'un corps comme s'y propageant par l'intermédiaire 
d'un m.iUea identuj^m a V éther du vide. Je ne suppose pas que la ])résence 
des particules matérielles altère les ]n'opriétés o])tiques de Téther du 
vide qui les baigne. Mais je fais intervenir directement la dlscontinidtc 
de la matière sous la forme suivante : 

Chaque particule on atome du corps renvoie en fous sens une certaine 
proportion des vibrations qui l'abordent. Je compare cette réjlexion- 
diffraction des vibrations lumineuses ])ar une particule matérielle à la 
réjkxion-diffraciion de vibrations électriques de Hertz par un petit 
conducteur plongé dans le vide, de dimensions très petites vis à vis des 
longueurs d'ondes des vibrations électriques incidentes. Mais je crois 
intéressant de ne préciser le mécanisme de l'action des particules qu'au 
moment oi\ il sera nécessaire d'après la nature du problème étudié, de 
manière à ne faire dépendre la solution de cliaque question que du 
nombre minimum d'hypothèses. 

2. Réjlexiou régulière. Q.nel que soit le mécanisme de la réflexion en 
tous sens par une particule nous pouvons prévoir immédiatement les 
résultats suivants : 

Une suite indéfinie d'ondes planes, se propageant dans le vide, abor- 
dent sous l'incidence ï la surface plane F d'un corps transparent. 
Quel est l'effet ])roduit par les particules du corps dans le vide ambiant 



und opt/ischen Erschcinuncjen in hcwegloi Kôrpern ; Leiden. E. .1. Buiu. (1895). 
Ma théorie optique élémentaire et la théorie à la fois électrique et optique du 
Prof. H. A. LoRENTz, présentent des formes extrêmement différentes l'une de 
l'autre. Aussi ai-je été très frappé du fait suivant que le lecteur constatera très 
aisément. La loi très simple de Veffet de mouvement qui constitue la partie essen- 
tielle de ma théorie élémentaire est, en définitive, équivalente au principe qui fait 
le succès du changement de variable introduit par le Prof. H. A LoRtNTz au § 4, 
p. 429 de son mémoire: Simpiified theorij of electrical and oplical Phenomena in 
moL'ing Systems; Akademie v. Welenschappen te Amsterdam^ 25 Avril 1899. 



RELATIONS NOUVELLES ENïllE LA REFLEXION, E'I'C. 87l) 

à une distîuice de F grande par rapport aux longueurs d'oiulc de la 
lumière incidente? 

Nous pouvons imaginer les particules distribuées par couches planes 
successives parallèles à la surface plane F du corps. Sur chacun de 
ces plans successifs, on peut considérer le régime vibratoire comme 
uniforme daus toute l'étendue du plan. En vertu du princij^e de 
HuYGENS — Eresnel, OU pcut ])révoir que chaque plan de particules 
réflécliit les vibrations uniquement dans la direction de réHexiou régulière 
et que, par suite, il eu est de même pour Tensemble du milieu limité à 
F. Ce résultat n'est (pC approché. Chaque particule réfléchit et diffracte 
en tous sens les vibrations lumineuses qui l'abordent. Mais, connne il y 
a un nombre considérable de particules du corps daus un petit cube 
a3'ant ])our côté une longueur d'onde A, les vibrations envoyées par les di- 
verses particules se combinent presque de la même manière c[ue les vibrati- 
ons envoyées par des éléments infiniment voisins; deux particules voisiues 
envoient en un même point des vibrations élémentaires différant Tune 
de l'autre par un retard qui ne dépasse pas Tordre de grandeur de la 
distance d comprise entre les deux particules, c'est-à-dire une très petite 

fraction de longueur d'onde, ^7777,77. par exemple. Cest grâce à cette 

circonstance (jne les vibrations élémentaires, envoyées eu tous sens par 
les j)articules, se détruisent en dehors de la direction de réflexion régu- 
lière pres([ue aussi exactement que si la structure du corps solide était 
continue. Pour la même raison, il est permis de remplacer une somme 
de vibrations élémentaires, issues des particules d'un certain lieu de 
l'espace, 2)ar une intégrale étendue aux limites de cet espace; nous 

supposerons que, sur chaque plau de particules, il y a iV^ = -^ parti- 
cules dans chaque unité de surface du plan; l'élément de surface dS du 
plan émettra par ses particules une vibration d'amplitude proportion- 
nelle à N"dS; de même Télément de volume dF émettra par ses 
particules une vibration d'amplitude proportionnelle à N"^ dF. 

3, Lieu (jéuéral entre la réfexlon et la réfraction. Yoici maintenant 
oii apparaît le lien entre la réflexion et la réfraction : L'état vibratoire 
d'une particule du corps est défini par la vibration de l'éther ambiant, 
par la vibration dite réfractée. Pour connaître les vibrations élémen- 
taires que les diverses particules envoient à travers la surface F, pour 



380 



G. SAGNAC. 



définir par leur résultante, calculée d'après la règle de Presxel, la 
vibration réfléchie à grande distance de F, il est donc nécessaire de 
savoir comment varie la vibration réfractée en un point de l'éther inté- 
rieur au corps quand la distance de ce point au-dessous de F varie. 
Or la vibration réfractée qui anime un point AT de Tétlier intérieur au 
corps peut être regardée comme résultant de l'interférence des diverses 
vibrations élémentaires qu'y envoient les diverses particules en même 
temps que des vibrations incidentes transmises par les couches de parti- 
cules comprises entre 31 et la surface F. Nous pouvons considérer 
chaque plan de particules comme séparant les vibrations qui Tabordent 
en vibrations transmises et en vibrations réfléchies vers la surface F. 
Les vibrations qui ont subi un nombre impair de réflexions élémentaires 
reviennent à la surface d'entrée F. La résultante de ces vibrations 
en un point de Téther au-dessus de F définit la vibration réfléchie en 
ce point par le corps. De même, les vibrations directement transmises 
sans retour ou réflécliies un nombre pair de fois sur les particules défi- 
nissent par leur résultante en un point de Téther intérieur au corps la 
vibration réfractée en ce point. 

Ici se présente une question nouvelle : Un plan -iS'de particules supposé 
isolé dans Téther du vide réfléchit à grande distance une vibration qui 
se propage avec une amplitude constante et une vitesse définie; si nous 
exprimons ce fait en considérant la vibration réfléchie ]jar le plan de 
particules comme la résultante des vibrations envoyées dans des direc- 
tions sensiblement jjarallèles par les diverses particules du plan, nous 
pouvons en déduire que certainement ') chaque particule rayonne à 

*) Le parallélisme des vibrations envoyées en 0' par les diverses particules 
M du plan .S' (fig. 1) est réalisé en particulier 
si la distance r du point 0' au plan .S est très 
grande par ra])port à la largeur de la zone de 
S voisine de 0' sur laquelle les vibrations inci- 
dentes peuvent êti'e regardées comme prove- 
nant d'un même point de la source qui produit 
l'onde incidente. Supposons pour simplifier, 
cette onde incidente plane parallèle à S". La 
vibration s (r, t) en 0' est la somme des vi- 
brations telles que la vibration p (a;, t) envoyée 
par la particule -M'a la distance il/0' égale à x. 
L'élément dS de surface du plan .S renferme 
iV* d S particules et envoie en O' la vibration 
i\* p {x, t) dS. Nous avons : 




RELATIONS NOUVELLIOS ENTRE LA REFLEXION, ETC. 381 

grande distance une vibration d'amplitude inversement proportionnelle 

à cette distance r, ce que nous appellerons une vibration en -. Ce type 

r 



s (r, i) = \\ A" P (■i-, t)dS=2 7:N^ \p (a-, t)xd: 



(1) 



Nous pouvons, en eifet, remplacer dS par l'aire de la couronne 27rydij, en 
appelant y la longueur OM^ ou encore par 2 Trxd x puisque y^ = x'^ — r^ et que r 
est une constante. 

La condition pour que la vibration s (r, t) réfléchie eu 0' se propage uniformé- 
ment le long de 00' est que, en appelant a la vitesse de propagation, la vibration 
en (>', à la distance (/ r au-delà de 0' soit, à l'instant /, la même que la vibration 

en O al époque antérieure t . 

a 

Ou a donc 

/ . , N /^ (^''\ c>s 1 ^s .^. 

sir + dr,t) = s{>,t--)ou^ = ---^ (2) 

Or l'expression (1) de « (r, t), définie par une intégrale dont la limite inférieure 
est r, donne : 

d> 

La condition (2) s'écrit donc : 

o T.T2 / ^ 1 ^"^ 

2.N-pir,t)r = --^. 

La vibration p (r, t) émise par une particule l'éfléchissante à une distance r de 
cette particule est donc de la forme : 

Elle varie bien en raison inverse de la distance. 

D'ailleurs d'après la condition (2), r et l n'interviennent dans s (»■, i^) que par 

la combinaison ( f Y 

Dans le cas d'un système de vibrations périodiques simples, .s (r, l) est de la 
forme c siii 25rr j en appelant ù la période et A la longueur d'onde c'est-à- 
dire le produit a 6. Alors : 

A 

Nous ignorons a priori comment A entre dans la valeur de c. Mais nous voyous 



382 G. SAGNAC. 

de vibration est nécessaiieinent celui qui déftiiit la vibration rayonnée 
à uue grande distance par une ])articule et il n'est pas besoin pour 
Taffirraer de préciser en aucune manière la nature des retiexions sur les 
particules. Mais la démonstration de ce résultat n'est plus possible a 
priori quand la distance est quelconque; nous ne savons pas alors si le 

type de vibration en - subsiste seul, ni si un plan de particules réfléchit 

une vibration de propagation uniforme, à une distance par exemple 
inférieure à une longueur d'onde. 

La question étant ainsi posée, j'ai trouvé que pour expliquer les 
faits connus, il est nécessaire d'admettre que la vibration s {r, f), réfléchie 
eu 0' (fig. 1) par les diverses particules M d'une couche plane S, subit 
ViViQ propagation anomale au voisinage du plan 8: La phase et l'am- 
plitude de la vibration réfléchie en 0' ne peuvent être indépendantes de 
la distance r de 0' au plan S. — Cette propagation anomale ne se pré- 
sente pas pour la vibration ni pour la condensation sonores réfléchies 
jjar un plan que recouvrent uniformément des sphères puisantes. ^) 
Mais nous allons la trouver satisfaite pour la force électrique réfléchie 
par un plan de petits oscillateurs hertziens. 



II. EÉFLEXION à PETITE DISTANCE ET MECANISME DE LA HÉFKACTION. 

4. Propagation anomale des vibrations réjtéchles par les particules. 
Il convient maintenant d'introduire la comparaison d'une particule 



que la vibration élémentaire p (>•, /) que la particule située en envoie en 0' est en 
avance de -j sur la vibration résultante en (/. Cela tient à ce que les divers retards 
[x — r) des diverses vibrations issues des diverses particules M fournissent, pour 
la résultante en 0' calculée par (1), le retard — . 

') Gouy. Ann. de Cb. et de Pbys. (6), t. XXIV, pag. 27—30. Du principe 
de HuYGKNS. — La tbéorème que nous énonçons n'est d'ailleurs soumis à 
aucune des difficultés du principe de ïïuygens parce qu'il ne s'agit pas de 
l'émission par des éléments cVotide., mais par des particules; le principe de la 
superposition des petits ébranlements émis par les particules est seul nécais- 
saire comme pour le tbéorème démontré ici (pag. 4, note 1); l'émission par 
un plan de particules a lieu indiflférement au-dessus et au-dessous du plan; d'un 
côté elle fournit l'ébranlement réflécbi ; de l'autre, elle s'ajoute à l'ébranle- 
ment incident pour définir l'ébranlement transmis. 



llELATKiNS NOUVELLES ENTRE LA RÉFLEXION^ ETC. 383 

réticclii?sant(î avec uu ])etit eoïKliicteur^ placé daus un cliainp électrique 
oscillant peiidulairemeut^ dont nous sup])oserons les dimensions négli- 
geables vis à vis de la distance d des particules voisines. Une par- 
ticule se comporte alors comme un petit oscillateur hertzien, c'est à 
dire comme Tensemble de deux masses électriques (-|- m) et ( — v/) de 
distance mutuelle p négligeable par rapport à d aussi bien que par 
rapport à une longueur d'onde A, et telles que le moment {rti f) du 
double point électrique oscille sous l'influence de la force électrique 
ambiante. Hertz *) a démontré que la vibration électrique émise par 
uu tel s^'stème à une distance r est la résultante de trois vibrations pen- 
dulaires de types ditt'érents, la première en —^^, la deuxième en ~^, la 

troisième en -. En particulier il suit des formules de Hertz que la 

composante de la vibration en -^ perpenrliculairement à une direction 
d'émission, qui fait l'angle x avec Téquateur de l'oscillation électrique, 
a pour expression : p^ = ^— siu 3 tt ( -r J ; y. désigne le mo- 
ment maximum de l'oscillateur -). La composante longitudinale à la 
direction d émission est pour la vibration en —3 : p ^ = ^ 



2 TT f \ La vibration en - est purement transversale et de la 



SI)/ 

forme : 



c est-a-dire tiue: — "^-^ = { ) • 



') Hertz, ci eu particulier: Les forces des oscillalions électriques déterminées 
d^iprés la théorie de Maxicell [Arch. des Se. pliys. et nat. de Genève, t. XXI, p. 
519, et Ann. d. Phijsik. (2), t. XXXVI, p. 1, 188i)). 

^) Daus un corps transparent^ la période (3 des vibrations incidentes étant suf- 
fisamment éloignée des périodes d'oscillation propres des particules, nous pouvons 
supposer que (j. varie peu avec la période ô des vibrations incidentes ; en même 
tjuips nous pouvons négliger le changement de phase spécial que la résonance 
introduit entre la vibration incidente et la vibration d'une particule. 



384 G. SAGNAC. 

La vil)ration en-, dout nous avons déjà vu la nécessité a priori, (§ 3, 
pag. 4, note 1) subsiste seule qand la distance r est suffisamment grande 
par rapport à ^ — . Elle fournit alors pour l'émission d'un plan de particules 



une vibration s^ de propagation uniforme. Mais aux distances de l'ordre 

3 



de — ^ ou inférieures, Tamplitude de la vibration en —, devient compa- 



rable à celle de la vibration en - et augmente rapidement en importance 

à mesure que la distance diminue; elle devient, par exemple, quelques 
millions de fois aussi grande, quand la distance r est comparable à la 

distance d de deux particules voisines, en admettant que - est de quel- 
ques milliers dans le corps solide étudié. Les formules de Heutz, 
supposées ici applicables même à une distance aussi faible que d, per- 
mettent de calculer Tamplitude de la vibration réfléchie par un plan de 
particules à une distance de Tordre de d; ce calcul tient compte de 
rintiuence de l'obliquité x de rémission variable d'une particule ?i l'autre. 
On trouve ainsi une amplitude y plus grande, dans un rapport de l'ordre 

de ^^ — —, que l'amplitude c réfléchie à grande distance ou à une distance 
de l'ordre de A. 

5. CoucJies optuines de réflexion et de réfractiou vitreuses. Ainsi 
l'amplitude vibratoire ]3roduite par la réflexion sur un plan de particules 
devient quelques milliers de fois plus petite, quand la distance à laquelle 
elle est produite à partir du plan passe de l'ordre de d à l'ordre de A. 
Considérons maintenant la réflexion par la série de plans de particules 
qui forment un corjjs transparent. Nous pouvons calculer la vibration 
réfléchie par le corps vitreux soit à une grande distance de sa surface 
(vibration réfléchie de I'uksnel), soit à une distance de l'ordre de d 
(vibration réfléchie à la surface)^ ou enfin la vibration transmise dans 
l'éther intérieur (vibration réfractée). 11 faut tenir compte des réflexions 
et des transmissions successives par les plans successifs de particules. 
La valeur du moment électrique nip pris par une particule dans un champ 
électrique donné est inconnue a priori ; mais, sans qu'il soit nécessaire 
de faire la théorie complète, la valeur de l'indice n d'un corps trans- 



RELATIONS NOUVELLES ENTRE LA REFLEXION^ E'I'C. 385 

])arent tel que Vem, le verre, exige que Tamplitude c de la vibration 
émise à grande distance par un plan de particules soit de l'ordre de 

—, l'amplitude de la vibration électrique incidente étant prise pour 

unité; à cette condition, ram])litude y, émise par le même plan de par- 
ticules à une distance com])arable a d, est une notable fraction de 
l'unité. D'autre part des deux côtés du plan de ])articules, dans le 
voisinage immédiat du plan, la vibration d'amplitude 7 est de sens 
opposé à celui de la vibration incidente. Par suite, la transmission à 
travers chaque plan de ])articu]es à une distance de ce plan comparable 
à (l ajoute une vibration de signe opposé à celui de la vibration primi- 
tive et d'amplitude égale a une fraction 7iotable de Tamplitude ])rimitive. 
Alors l'amplitude émise d'abord librement par un plan de particules, à 
une distance de quelques d, est considérablement réduite^ si rémission 
a lieu ensuite à la même distance à travers quelques plaus de particules. 
Si nous ajoutons que Tamplitude émise par chaque plan diminue rapi- 
dement, comme nous l'avons dit, quand la distance augmente, nous 
voyons que les premières couches de particules ont une importance 
relativement considérable dans le phénomène de la réflexion à la surface 
et dans celui de la transmission intérieure. Au contraire, les vibrations 
réfléchies à grande distance à travers la surface P du corps trans- 
parent ont une amplitude encore notable à une profondeur comparable 
à A au-dessous de la surface P. 

Pour savoir maintenant à partir de quelle épaisseur du milieu trans- 
parent sera atteint le régime définitif pour les vibrations réfléchies ou 
transmise, il convient de remarquer, avant tout développement de for- 
mules, que le retard des vibrations transmises et réfléchies à travers 
quelques plans de particules est de Tordre de Tépaisseur de ce système. 
Alors les vibrations, envoyées en un même point de l'éther extérieur ou 
intérieur au corps par chacun des plans successifs^ présentent des retards 
relatifs qui varient d'un plan à l'autre de quantités comparables à d. 
Il en résulte immédiatement que les vibrations réfléchies ou transmises 
par le corps transparent proviennent d' épaisseurs efficaces ') du corps 

qui ne peuvent dépasser une valeur comparable à -; cette épaisseur li- 



') Les variations des épaisseurs efficaces avec l'incidence n'en changent pas 
l'ordre de grandeur tant que l'incidence n'est pas extrêmement rasante. 

ARCHIVES NÉERLANDAISES SERIE II. TOME V. 25 



386 G. SAGNAC. 

inite - jor.e ici le rôle de la largeur de la Zone efficace d'une oiide dans 

la théorie de la projDagation rectiligne de Frksnel. Pour le phénomène 
de la réflexion à grande distance^ les amplitudes émises par chaque plan 
varient lentement avec la profondeur du plan au-dessous de la surface 
V du corps, et l'épaisseur efficace e conserve l'ordre de grandeur de 

-^. Au contraire, pour la réflexion à la surface et pour la transmission 

à rintérieur du milieu, il est permis de négliger, en première approxi- 
mation, Tinfluence des plans de particules compris entre la profondeur 
e et une profondeur s. faible vis-à-vis de e. Ainsi la vibration transmise 
dans réther intérieur n'atteint son régime définitif qu'au-dessous de la 
profondeur e; mais déjà à la profondeur s ce régime est très approxi- 
mativement atteint. L'influence des vibrations en - de la formule de 

r 

Hertz se trouve être négligeable ^) dans l'épaisseur £ et s'ajoute 
presque tout entière entre s %i e; la faible part pour laquelle elle inter- 
vient est variable avec la longueur d'onde et intéresse la dispersion du 
corps transparent. 

Ainsi, approximativement à partie de la profondeur s. et définitivement 
à partir de la profondeur e, la vibration transmise dans l'éther intérieur, 
la vibration réfractée, présente une vitesse de propagation définie relati- 
vetaent a la phase et par suite, d'après l'application du principe 
d'HuYGENS — Fresnel, un indice de réfraction défini. La propagation 
rectiligne sans dissémination par l'ensemble des particules du milieu 
résulte des considérations déjà exposées au § 2. 

La valeur de l'épaisseur efficace s, relative à la valeur principale de 
l'indice n de réfraction, est définie, nous avons vu, par les valeurs de d et 
de l'amplitude 7 émise par un plan de particules à une distance com- 



') Cela tient à ce que riufluence de l'obliquité de rémission par rapport à l'axe 
du moment électrique d'une particule, d'après les formules de Hertz (cf. § 4, pag. 7), 

pour les vibrations eu —, est telle que la résultante des vibrations en — réflécbies 

par un plan de particules à une distance de quelques d est quelques - fois ou quel- 

(jucs dizaines de - fois plus petite que la vibration réfléchie à grande distance par 
le même plan. 



RELATIONS NOUVELLES ENTRE LA REFLEXION^ ETC. 387 

p.'irable à d. D'ailleurs 7 dépend surtout des vibrations en — ^.5^ des 

fonnules de Hhrtz et celles-ci ont des amplitudes seusiblemeut indépen- 
dantes de la longueur d'onde A. La valeur de s est j)lus lentement 
variable que '/,, tandis que la valeur de Tépaisseur e de la couche 
efficace dans la réflexion à grande distance est sensiblement propor- 

tionnelle à A. Le rapport - est ainsi d'autant plus faible que la longueur 

d'oiule est plus grande. Les diverses conséquences qui seront obtenues 

en négligeant la valeur de - vis à vis de l'unité sont donc susceptibles 

d'une grande exactitude pour les plus grandes longueurs d'onde et 
seront d'autant moins précises que la lumière employée aura une longueur 

d'onde pins courte. 

^ A 
Comme e est comparaljle à ~, la valeur de s sera généralement com- 
parable i\ quelques d, ou quelques dizaines de d c'est-à-dire de l'ordre 
de — - dans le spectre visible pour un corps solide ou liquide transpa- 
rent. Eifectivement l'indice w d'une lame mince se montre à — près par 
exemple indépendant de l'épaisseur de la lame, même quand cette épais- 
seur descend à — de longueur d'onde '). 



in. RÉFLEXION VITREUSE DE LA LUMiÈUE POLARISÉE. 

(5. Réjlexion sur une surface large et continue. Nous allons établir, 
d'après les résultats précédents, une relation entre les polarisations par 
réflexion ou réfraction vitreuses. Les particules comprises entre les pro- 
fondeurs f et e au-dessous de la surface P du corps transparent déter- 



^) Cf.: les expériences de Reinoi.u et RiiCKER sur les bulles de savon (1877 à 
1893) ; les expériences sur les couches d'iodure d'argent de Wernicke {Pogg. Ann. 
Ergb. t. VIII, p. 70, 1877 et Monatsber. d. Akad. zu Berlin, p. 673, 1875) et de 
Drude [Wled. Ann., t. L, p. 606, 1893); enfin le fait indirect que les méthodes 
optiques de Fizeau et de Wiener donnent les mêmes résultats pour IsLtnesicredes 
petites épaisseurs (G. Vincent, Thèse de Doctorat, p. 87, § 77, Paris Ganthier- 
Villars, 1899). 

25* 



388 G. SAGNAC. 

miiieut sensiblement à elles seules la vibration réllécbie à une grande 
distance de cette surface. A.ussi ne moditierons nous pas notablement les 
résultats^ en supposant que^ pt/ur le plLcnomeiie de la réfexiou a grande 
distance, tout se passe comme si la direction de la vibration réfractée^ 
sensiblement acquise au-dessous de la profondeur s, était déjà brusquement 
établie dans la couche s elle-même. Cette vibration réfractée induit dans 
les particules une oscillation électrique de même sens^ qui produit aa 
voisinagv:; immédiat de la particule, vers l'équateur de Toscillation, une 
vibration de sens opposé; ') ce changement de signe se retrouve a granle 
distance pour la résultante des vibration réfléchies au voisinage de Tin- 
cidence normale. ^) Enfin les formules de Hertz (§ 4) montrent que la 

vibration en - émise par chaque particule est toujours perpiindiculaire 

à la direction d'émission et proportionnelle à la projection de la vibra- 
tion de la particule sur le plan jierpendiculaire à la direction d émission. 
Cette loi, déjà établie par Sir G. Stokes ^) dans sa Théorie di/naniique 
de la. diffraction, se retrouve encore dans les travaux de Fresnel qui 
l'a nettement formulée au cours de la Controverse avec Foisson '*) ; on 




^) La fii^. 2 montre, en effet, que, daus ]a région de l'équateur M E^ la résultante 

F des actions électriques/'^ -^ et /', = — ^ des deux mas- 
'' 'S 

ses du double point électrique est de sens opposé au sens 
du déplacement électrique de ( — m) à (-|- m). Or la vibra- 
tion en —, prépondérante au voisinage du double point élec- 
trique, est précisément définie par la fîrce électrique F 

dont le calcul est d'ailleurs tout à fait classique. "* -r^. 

Fig. 2. 

^) D'après les formules de Hkrtz rapportées au § 4- la vibration élémentaire ji^ 
en — est de sens opposée à celui de la vibration élémentaire j^^ en — „ mais cette op- 
position de signe disparaît pour la résultante des vibrations en —à grande distance; 
on a vu, en effet, que la combinaison des vibrations en — issues d'un plan S de 
particules introduit le retard —, (§ o, pag. 4, note 1); l'intégration en profondeur en 

introduit un autre, soit, en tout, un retard de — qui change de nouveau le signe. 

^) G. Stokes. Scientific papevs., t. I, p. 280. Transaclions of Ihe Cambridge 
Phil. Soc, t. IX, p. 1 (1851). 

■") Oeuvres da Fresnel., t. II, p. 222. 



RELATIONS NOUVELLES ENTRE LA REFLEXION, ETC. 389 

peutj (railleurs, la ramener à ce simple énoncé que la composante de la 
vibration longitudinalement à la direction d'émission ne se 2H'opage pas 
dans l'éther à grande distance De là il suit que : La vibration réfléchie 
à grande distance de la surface d'un corps transparent est la résultante 
des vibrations envoyées par des sources réparties dans une couche super- 
ficielle d'épaisseur e, d'une notable fraction de longueur d'onde, chacune 
de ces sources étant animée de vibrations, parallèles et ^proportionnelles 
à la vibration réfractée, mais de signe opposé, et qui interviennent 
seulement par leurs composantes perpendiculaires à la direction de 
réflexion. 

Supposons la vibration incidente rectiligne. Soient a et h les amj)li- 
tudes de la vibration réfléchie à grande distance et de la vibration 
réfractée, quand la vibration incidente est perpendiculaire au plan 
d'incidence. Soient a et // les amplitudes qui remplacent a et h quand 
la vibration incidente est dans le plan d'incidence. D'après ce qui 
précède, a et a sont proportionnelles aux composantes transversales de 
y et h, qui sont i6'cos x et h, en désignant par o(, l'angle que fait la 
direction de la vibration réfractée dans le ])lan d'incidence avec la 
direction de réflexion régulière. On a ainsi : 

(î h' 

— = — cos x. (1) 

au 

Cette relation est conforme aux lois expérimentales et aux fonnules 
de I'resnel. On a, en effet : 

oi = i-\- r, 

en a])])elant i et r les angles d'incidence et de réfraction, et: 

a' cos {i -f- >') y 1 



a 



cos {i — r) ' ù cos {i ■ 



I II 

On sait comment on démontre que — et - sont les tangentes trigo- 

^ a b ° ^ 

nométriques des angles et :<; que fait le plan d'incidence avec la 
vibration réfléchie (à grande distance) et avec la vibration réfractée, 
quand la vibration incidente est à 45° du plan d'incidence, en sorte 
qu'on a les formules bien connues vérifiées par l'expérience : 

-j-^ = cas (?. 4- ■;•), ^/7 s& = jr-- — ^. (3) 



890 G. SAGNAC. 

La première de ces deux formules fournit la relation entre les polari- 
sations par réflexion et réfraction vitreuses. Elle découle immédiatement 
de la formule (1). 

Les raisonnements qui nous l'ont fait retrouver nous en ont donné, en 
même temps, V explication directe. En particulier, la loi de Brewster, 
c'est-à-dire le fait que cp = pour Tincidence / définie par tgl = ;/, 
tient à ce que, l'angle x étant alors droit, la com])osaute de la vibra- 
tion réfractée située dans le plan d'incidence est lovgitiuUvale au rayon 
réjléclà et ne peut se propager à grande distance dans cette direction. 
Si la vibration incidente est dans le plan d'incidence, il n'y a pas de 
lumière réfléchie sous l'incidence /; mais, si l'incidence varie, une com- 
posante de la vibration réfractée apparaît sur la perpendiculaire au rayon 
réfléclii, et cette composante change de sens quand l'incidence passe par 
la valeur brewstérieune /. La vibration réfléchie située dans le plan 
d'incidence éprouve le changement de signe par réflexion, quand l'inci- 
dence l est inférieure à /; quand i est supérieur à /, elle n'en éjjrouve 
plus; la vibration réfléchie perpendiculaire au plan d'incidence éprouve 
toujours un changement de signe par réflexion, parce que le rayon 
réfléchi est toujours dans le plan équatorial de roscillation des parti- 
cules (Cf. § t), pag. 388, note 1). 



7. lié flexio a-diffraction vitreuse par une surface plane étroite ou dis- 
continue. Supposons maintenant la surface plane du corps vitreux 
suffisamment rétrécie, de manière que la lumière est maintenant réféchie- 
diffractée dans des directions telles que M J) (flg. 3) différentes de la 
direction ML' de réflexion régulière. L'amplitude de la vibration 
émise suivant M D, d'ajjrès la loi générale indiquée au début du § 6, 
est proportioimelle à la composante de la vibration réfractée sur le plan 
perpendiculaire à M. D. — Nous nous bornerons ici au cas ou les direc- 
tions de diffraction sont dans le plan d'incidence; c'est le seul cas à 
envisager, si la surface réfléchissante est limitée à une ou plusieurs 
bandes étroites à bords rectilignes j)erpendiculaires au plan d'incidence. 
Les relations établies précédemment se généralisent alors immédiatement. 
Soient c-u et '^yj' les vibrations réfléchies-diffractées dans la direction 
M 1) correspondant à une même vibration incidente d'abord perpendi- 
culaire puis parallèle au plan d'incidence. La vibration-source en M, 
parallèle et proportionnelle à la vibration réfractée M çs (fig. 3), inter- 



TlELATiONS NOUVELLES ENTRE LA UEFLEXION, ETC. 



391 



vient seulement par sa composante M^ perpendiculaire à MB. Celle-ci 
fait avec Mp Fangle oto =j -|- r, en appellanty l'angle du rayon dif- 
fracté MB avec la normale M Nvh la surface P F' , compté positivement 
du même côté de la normale M N que le rayon réfléchi ML', et 
négativement de Tautre côté. Les relations (1) et (2) se trouvent rem- 
placées par le suivantes oii ^u désigne l'angle que fait avec le j)lan 
d'incidence la vibration réfléchie-difl'ractée dans la direction M J) quand 
la vibration incidente est à 45° du plan d'incidence: 



Clj^' 



h' 



cos ex,, 



— cos [J -j- r) ; fffCpD = 



i(ja 



cosyi — ')•] 



Fisr. 3. 



(1') 
(2') 




D'oii Ton déduit encore^, d'après la valeur (2) de IgCp, la relation 
tgCpu cosij-^r) 



(3) 



tg<p cos (?; + ';•) 
qui définit au moyen de la rotation [Cpo — :p) du plan de ])olarisation 



392 G. SAGNAC. 

quand on passe de la direction 31// de réflexion régulière à la direction 
31 D de réflexion-diffraction. ') 

De même que les lois de la polarisation par réflexion sur une surface 
large et continue comprennent la loi de Brewster^ de même les lois 
plus générales de la ])olarisation par réflexion-diffraction_, exprimées par 
les formules (1'), ('2') ou (-3), comprennent la loi suivante qui est une 
fféneralisaiiou de la loi de Brewster : Quand un faisceau lumineux 
vibrant dans le plan d'incidence tombe sur une surface transparente 
plane^ étroite ou discontinue^ la lumière réfléchie -difl'ractée à l'infini par 
cette surface s'éteint nécessairement dans la direction 3IQ. (fig. 3) per- 
pendiculaire au rayon réfracté MR. La relation brewstérienne tg[^=ii 
est remplacée par la loi plus générale sin I ^ n cos J, qui relie l'inci- 
dence / et Tangle / de réflexion-diffraction correspondant ])our lequel 
il y a extinction nécessaire de la vibration située dans le plan d'incidence. 
Si Ton observe dans la direction fixe M(l et qu'on fasse varier l'inci- 
dence I, ou bien qu'on laisse / fixe et qu'on observe à droite ou à 
gauche de MO,, la vibration réfléchie-diffractée reparaît en même iemj^s 
que la composante de la vibration réfractée Jip perpendiculairement à la 
direction d'observation, et nous voyons qu'elle change de signe en passant 
par l'extinction. Comme la vibration-source en i/est de sens opposé à la 
vibration réfractée (cf. § 6 pag. 388^ notes 1 et 2), la vibration 
située dans le plan d'incidence éprouve ou non un changement de signe 
par réflexion-diffraction^ suivant que la direction d'observation 3il) est 
dans l'angle obtus QMP qui comprend la direction de la normale 3IN 
ou bien dans l'angle aigu QMP'. Nous voyons que tg^o est supérieur 
à l'unité, c'est-à-dire que la réflexion-dift'raction polarise dans le même 
sens que la réfraction dès que la direction 311) de réflexion-diffraction 
pénètre dans la région G3IL (hachurée sur la fig. 3, faite pour i <C 1) 
telle que l'angle G3IN soit égal à (?' — 2;-). En particulier lg(pn est 



^) Nous avons supposé dans toute cette théorie que, dans l'épaisseur e du 
milieu, la direction de la vibration-source en un point quelconque M a la même 
direction M ê que si la surface plane du milieu vitreux était illimitée. Réel- 
lement la diffraction intérieure au milieu altère la direction M S pour les 
points M voisins des bords de la surface libre du milieu; mais, dans une épais- 
seur e comparable à —, l'importance de la perturbation que en résulte n'est 

appréciable que si la largeur de la surlace libre du milieu descend au-dessous 
de la lonmeur d'onde. 



RELATIONS NOUVELLES ENTllE LA RÉELEXION^ ETC. 393 

maximum, pour "une valeur constante de i, si la direction de réflexion- 
difl'ractiou vient en Mllç^ sur le prolongement du rayon réfracté RM; 
la réflexion-diffraction suivant MR^^ imprime alors au plan de polarisa- 
tion la même rotation que la réfraction elle-même. La réilexi on -diffrac- 
tion agit, au contraire, dans le même sens que la réflexion sur une 
surface large et continue quand la direction d'observation est dans 
l'angle GMP' , qui comprend la direction d'extinction AIQ de la vibra- 
tion parallèle au plan d'incidence, ou bien dans l'angle LMF. 

8. Vérifications expérimentales. ^) Yoici les expériences faites avec des 
réseaux sur verre à sillons rectilignes perjDendiculaires au plan d'inci- 
dence, pour vérifier les lois (2') et (3) de la polarisation par réflexion- 
diffraction, la lumière incidente étant polarisée à 45°. On observe à 
l'infini en lumière 23arallèlc et l'on note l'azimuth du nicol analyseur 
qui amène l'image à l'extinction. L'angle r de réfraction est calculé par 

la formule slu r = r, en appellant 1 l'incidence princijsale pour 

arc fg I 

laquelle la vibration parallèle au plan d'incidence est éteinte dans l'image 

directement réfléchie sur la partie nue du verre du réseau. Mais, en 

employant ainsi un réseau sur verre, il faut avoir le ])lus grand soin 

d'éliminer i° la réflexion sur la face postérieure de la Lune de verre qui 

porte les sillons du réseau sur sa face antérieure et 3° la réflexion par 

les sillons du réseau. Sans ces précautions les rotations {(pD — (p) du 

plan de polarisation comptées à partir de la direction de réflexion 

régulière sont souvent très inférieures (de 5° on 10°, par exemple) à la 

rotation calculée par les formules théoriques. Ces écarts dis])araissent 

sensiblement, si l'on a soin d'adosser le réseau à une petite cuve remplie 

d'un mélange d'huiles qui ait l'indice du verre du réseau et dans lequel 

on a délayé du noir de fumée (mélange anti-halo de M. Cornu), et 2° 

de remplir les sillons du réseau au moyen d'un noir de fumée très fin, 

ce qui se fait par un tour de main facile à acquérir" Les (expériences, 

qui demandent à être re})rises, ont été faites en éclairant un réseau d'un 

centimètre carré de surface seulement, au — -r- de lum. ou au de 

100 2a0 



') Ces expériences ont été faites en 189G et 1897 au Laboratoire d'Enseignement 
de la Physique de l'Université de Paris. Les recherches théoriques datent de 1895. 



394 G. SAGNAC. RELATIONS NOUVELLES^ ETC. 

mm., avec la lumière de Tare électrique tamisée par dès écrans colorés. 
Les directions de réflexion-dittraction faisaient jusqu'à 90° avec la 
direction de réflexion régulière, et les rotations {0u — 0) qui s'élevaient 
par exemple dans le cas de Tincidence brewstérienne jusqu'à 48° s'accor- 
daient avec les formules théoriques à - degré près, limite de Terreur 

possible d'observation. Jusqu'à présent, les lois de la réflexion- diffraction 
de la lumière paraissent exactes au mênie titre que les lois correspon- 
dantes de la réflexion régulière dont elles constituent la généralisation. 



ilBER EINEN DREHKOMPARATOR ZUR 
VERGLEICIIUNG UND AUSDEHNUNGSBESTIMMUNG VON MASSSTàBEN 



VON 



J. PEU NE T. 



Bei genauen Yergleichungen von Strichmasseu in horizontale!- Lage 
haben sicli bislier Transversaikomparatoren am besten bewithrt, weil bei 
cliesen die Beobaclitungen an beiden Enden desselben Stabes nahezu 
gleichzeitig vorgenommen wevden konnen, und ferner sehr rascli die 
Liingsaxen der zu vergleichenden Stabe, successive in die durch die 
optischen Axen der Mikroraetermikroskope bestimmte Visirebene ge- 
bracht werden konnen. 

Uni dies zu ermoglichen, werden bei der ersten Porm der Transver- 
saikomparatoren z. B. bei dem EEPsoLi/schen Komparator der Kaiser- 
lichen Normalaichungskommission zu Berlin *), die Miki'oskope auf 
eiuem Wageu niontirt und dieser senkrecht zur Langsaxe der Stabe 
hin und hergeschoben, wahrend dièse in ihrem Troge an derselben Stelle 
bleiben. Dièse Anordnung schliesst die Moglichkeit nicht ans, dass bei 
der A^erschiebuug der Mikroskope von einem Stabe zum andern, durch 
Temperatureinfliisse, dnrch Druck oder Zug, oder durch einen noch so 
geringen Zwang in der Fiihruug, iiusserst kleine Aenderungen in der 
Entfernung der beiden Mikroskope eintreten. Dièse kiinnen zwar durch 
zweckmassige Konstruction auf ein Minimum beschiiinkt, aber nicht 
wohl vollstiindig beseitigt und nur durch eiue passende Variirung der 
Beobachtungen unschiidlicli gemacht werden. So ist z B. beim Rep- 
soLu'schen Komparator die Transversalverschiebujig des kraftig gebau- 



') Wisseuschaftliche Abliandhmgen der Kaiserlicbeii Xormalaichimgskom- 
mission I. Heft Berlin 1895, pag. 56. 



396 J. PEBNET. 

teii, prisinatisclien Mikroskoptriigers eine freie, um Defovmationeii des 
Wagens zii vermeiden, und ferner sind die etwas federiiden Zugstangen 
moglichst in der Ebene der liollen und Auschliige angebracht^ um eine 
Yerbieguug zu verhiiten. Trotz dieser Vorsichtsmassregeln erhellt aus 
den Untersucliungen der Herren Pensky und Dr. Stauthagen ^) ûber 
die Ergebnisse der Langenmessungen von der Lage der Stabe, dass 
(wohl lediglicli in Folge eines niclit vollkommeuen Parallelismus der 
Axen der Laufrollen) Verbiegungen des Wagens eintrateu, die systeraa- 
tisclie Messuugsfeliler von + 0,45 /x zurPolgehatten, diedurch Wieder- 
holang der Messungen nacli A^ertauscliung der Stabe eliminirt wurden. 

Bei der zweiten Form der Transversalkomparatoren sind die Mikros- 
kope auf Pfeilern montirt, und es ist somit die Ebene der oj)tischen 
Axen festgelegt. Die Stabe dagegen werden vermittels eines auf 
Schienen rollenden Wagens transversal verschoben, und bei den Beobach- 
tungen ihre Langsaxen successive in die A'^isirebene gebracht. Hiezu 
bedarf es bei der A^ergleicliung von Stiiben bei gleicher Temperatur nur 
einer geringen Yerschiebung, weil beide Stiibe nebeneinander in dem- 
selben Troge liegeii. Bei den absoluten Ausdelmungsbestimmuugen 
dagegen, befinden sich die Stabe in getreunten Trogen, so dass der Wa- 
gen einen Weg von 0,5 — 1 Meter zuriicklegen muss. 

Gegen den Ti-ansport schwerer Massen in liorizontaler Eicbtung sind 
Bedenken erhoben Avorden_, und es muss im Principe zugegeben werden, 
dass durcli Veranderungen in der l^elastung auch Neigungsïinderun- 
gen der die Mikroskope tragenden Pfeiler eintreten konnen, wenn dièse 
niclit geniigend fundirt und vollig von dem den Wagen tragenden 
Mittelpfeiler isolirt sind, oder nicbt auf einem und demselben, hinrei- 
cliend grossen Cementblock ruhen, wodurch relative Neigungsanderun- 
gen ausgeschlossen werden -). 

Bei dem Komparator von Brunneii ^) im Bureau international des 
poids et mesures, welcher der zweiten Eonn der Transversalkompara- 



') Loc. cit. pag. 59 und 108. 

^) So. konnten z. B. auf der enornien Cementplatte, wclclie das Fundament 
des Cxebaudes der I. Abtheilung der Physikalisch Techuischen Reiclisanstalt 
bildet, selbst bei Verscbiebung grosser Lasten keinerlei relative Neigungsande- 
rungen mittels âusserst empfindlichen Libellen wabrgenommen werden. 

^) Travaux et mémoires du Bureau international des poids et mesures. Tome 
IV. B, Comparaisous des mètres à la température ambiante. 



ÛBER EINKN DIIETIKOMPARATOR ZUll VERGLEICHIJNG, U. S. W. 397 

toreri eutspricht, wareii urprûngiicli die Mikroskopj)feiler uud der 
Mittelpfeiler gemeinsam fuudirt. Auf Gruud der geuannten Befûrch- 
tuiigen wiirden die Fundamente getrenut. Die Folge davou wav, dass 
sicli der Mikroskoppfeiler /i'inelir uud luelir gegeu den Pfeiler /f ueigte, so 
dass eiue Wiederlierstellung der Verbiudungzwischendeu Fuudameuten 
uotweudig wiirde, uui mit Erfolg der Pfeilerbeweguug Eiulialt zutliuu '). 
Eiuen Eiutluss der Lage der Stabe auf die mikrouietriscli gemesseue 
Lange derselbeu habe ieh wolil zuerst 1879, uud nauieutlicli zu An- 
fang des Jalires 1 880 mit Sicherlieit beobachtet. Differenzeu zeigten sicli 
jedocli nur bei kraftigeu, uuvollkommeneu, zu wenig eng begreuzteu 
Striclieu, oder bei etwas verschiedeuer Art der Beleuchtuug. Da diesel- 
ben aber aucli bei der Ausmessung vou Hiilfsiutervalleu mit deu beideu 
Mikroskopen E uud IF auftrateu, so siud sie lediglich eiuer Aeuderuiig 
der StrichautFassuug -) zuzusclireibeu, und nicht etwa auf die, uur 
^veuige Ceutimeter betrageude Massenverschiebuug zuriickzufùliren. 

Ob bei thermischeu Aiisdelmuugsuntersucliuugen in Eolge der gros- 
seu Yerschiebuugeu (1er Troge, wirklich elastisclie Neigungen der Mi- 
kroskoppfeiler eiutreteu, ist meines Wissens niclit speciell untersucht 
worden; demi bei diesen Bestimmungen ist eiue Yertauschung der Stabe 
niclit oliue Storung durchfûhrbar und dalier auch nicht llblich. Die 
Erage liesse sicli ilbrigens, durch Kollimationsbeobachtungen an den 
Mikroskopen bei deu extremen Stelluugen der Troge leicht entsclieiden. 

Dièse Eelilerquellen fallen vollstaudig weg bei einer, seinerzeit von 
Herrn Staatsrat Dr. H. v. Wild in Petersburg construirten, dritten 
Eorm des Transversalkomparators ^), bei welcher, beliufs Vermeiduug 
von Biegungsfehlern, die auf der Oberflaclie getlieilten Strichraasse, nach 
den Vorsclilagen vou Govi uud E. E. Neumann ^), wahrend den Ver- 
gleichungen auf die holie Kante gestellt werdeu. In diesem Komparator 
mit Vertikalbeweguno- betindeu sich die Stabe iibereinander in eiuer 



') Loc. cit. pag. 106. 

") Loc. cit. pag. 114,154 und 163. 

"*) Mémoires de l'Académie Impériale des Sciences de St. Pétersboin-g 
VII. Série Tome XXIII N". 8. Metrologische Studien von H. Wild 1877. 
St. Petersburg. 

"■) F. E. Neumann's Méthode zur Vermeidung aller von Biegungen herriihren- 
den Fehlern bei auf der Staboberflâche getheilten Stricbmassen mitgetheilt von 
H. Wild. Bulletin der Petersburger Akademie, Baiid VIII. Poggendorff, Ju- 
belband 1874, pag. 61. 



398 J. PERNET. 

Yertikalebene. Der Eahmen, aiif dern sie anfliegeu, kauu durcli 4 Hebel 
vermittels einer Kurbel uiul Zahnstaiige geliobeu odei" geseiikt Averdeii, 
so dass der Schwerpunkt des Systems imr iu einer Vertikalen sich be- 
wegt. Die Ablesemikroskope siiid horizontal auf einem besondern pris- 
matiscben Trager verschiebbar montirt, der gegen Temperatiirscbwan- 
kiingen durch eiuen Trog geschûtzt ist. 

Solange es sich nur um Vergleichimgen in Luft haudelt^ bietet dieser 
Komparator, gegeniiber deu andern Sjstemeu^ somit entschiedene Vor- 
teile. Sobald jedoch die Vergleichimgen in einer Pliissigkeit stattiînden 
soilten, so wilrde dies die Einfiihrung planparalleler Glasplatten in die 
alsdann anzuwendenden Troge erheischeu, und erst eine besondere Un- 
tersncliung wiirde zu eutscheiden gestatten^ ob die beim Visiren (hirch 
dièse Platten zu erwartenden Pehler uicht grosser sind als diejenigen, 
die bei einer horizontaleu Massenverschiebung eventuell durch elasti- 
sche Neigung der Mikroskojj trager eintreten kdnnen. Ueberdies wiirden 
Vergleichuugeu bei Temperaturen nnter derjenigen der Umgebung, in 
Folge des dann eintretenden Beschlagens der Platten, besondere Schwie- 
rigkeiten bieten. 

Infolge meiner Studien zu einem Universalkomparator^ fûhrte ein 
13esuch der Werkstatte von Prof. Dr. Amsler und Dr. AmslerJun. in 
Schatt'hausen im Priilijahr 1896 mich auf den Gedanken, die Yertau- 
schiing der Troge unter deu Mikroskopeu durch Drehung um 180° um 
eine vertikale Axe, vermittels eines reibungslosen^ drehbaren Cylinders 
zu bewerkstelligen, ahnlich denjeuigen, die bei den Zerdrûck und Zer- 
reissmaschiuen Verwenduug fhiden. Ein von deu genaunten Herren be- 
reitwilligst vorbereiteter Yersuch zeigte^ dass iu der Tat, selbst bei 
mehreren Centnern Belastuug^ Drehungeu und Hebungeu iiusserst sanft 
und leicht sich ansfiihren lasseu. Pernere Ueberlegungen, in betretf der 
Konstrnction eines „Drehkoniparators/' ergaben gegeniiber deu bisher 
gebriinchlichen Transversalkoraparatoren sofort eine Reihe von Vor- 
teilen^ (nameutlich auch in Bezug auf die Vertauschung der Stiibe) auf 
welche ich zuerst am 24 September 1896, in der letzten Sitzung der 
jihysikalischen Section der Naturforscher-Yersammlnug iu Frankfurt a/M 
aufmerksam machte, und ebenso spiiter iu der Ziiricherischeu naturfor- 
schenden Gesellschaft, in der Sitzuug vom 1 November 1897 '). Die 



') Anmerkung. Inzwisclien waren, einer miiiidlichen Mittheilung von Herrn 
Regierungsrat Prof. Weinstein zufolge, anlasslich der Vorberatiingeniïber die 



iiBEK EINEN DREHKOMPARATOR ZUR VERGLEICHUNG, U. S. W. 399 

Publikation uiiterblieb mit Eiicksicht auf die bei der Ausfiihrung even- 
tiiell sich ergebeiideii Abiiuderungeu^ iind daim iii l'olge langerei* 
Krauklieit. 

Die seithei'ige Durcharbeitung fïihrte jedoch bisher zu keineii princi- 
pielien oder auch imr erheblicheii konstruktiven Aenderungen. Ich 
glanbe daher mit der Yerofï'eiitlicbuug der Priiicij)ien niclit zuwarten 
zu sollen bis aile Détails festgestellt, und die Ausfiibrung gesichert er- 
scheiut^ damit die bisher nur mûndlich im Kreise der Facligeuossen 
hervorgehobeiien Yorteile, die der Drelikoinparator zn besitzeii sclieint, 
allgemeiiier bekannt werdeii. Ich biu iiberzeugt, das selbst bei einfacher 
uud daher relativ billiger Ausfiihrung dièses Universalinstrument fur 
Liingen- und Ausdehnungsbestimmuugen in physikalischeu Laborato- 
rien sich als recht brauchbar erweisen, und bei sorgfiiltiger Konstruk- 
tion sogar sehr hoheu Anspriichen geniigen wird. 

Handelt es sich um Jjangenmessungen, oder Ausdehnungsbestim- 
mungen, bei welchen eine Geuauigkeit von 0^001 mm als ausreichend 
erachtet wird, so kann der Drehkomjiarator ohne Weiteres auf einem 
gut cementirten Pussboden montirt werden^ da ja wahrend jeder Be- 
obachtungsreihe die Belastung genau an derselben Stelle bleibt. Wird 



Konstruktion des neuen geodatischen Kompavators der Kaiserlichen Nonnal- 
aiclmiigskommission zu Berlin, Faclimanner und Mechaniker iibereingekomraeii, 
die Vertauschung der Stâbe, sowohl bei diesem Komparator, als auch bei dem 
lui Komparator, durcli eine TJmdreliung der Wagen mittels einer, in der Mitte 
des Komparatorsaales befindlichen, Drehscheibe zu bewerlfstelligen, wie ans 
dem fiir die Pariser Ausstellung ausgefiihrten Modell, sowie aus der kurzen 
Beschreibung in dem Sonderkatalog der Deutschen Kollectivausstellung fiir 
Mechanik und Optik pag. 11 liervorgelit : „Die Mikroskope sind auf unabhan- 
„gig und mit Sandsteinplatten abgedeckten Mauerpfeilern fest angebracht. Uie 
„zu vergleichenden Masstabe werden mit den sie aufnelimenden Trogen nach 
„einander unter die Mikroskope gefiihrt. Die Troge ruhen auf "Wagen und 
„konnen von diesen von aussen lier in der Langs-, Quer- und Holienrichtung 
„mikrometrisch verstellt werden. Vôllig neu ist die Einriclitung zur Vertau- 
„scliung der Massstabe. Die durcli elektrischen Antrieb bewegten Wagen laufen 
„auf Schienen, welche in der Rûckverlângerung zii einer in de)' Mitte des 
^^Komparatorsaales angeordneten Drehscheibe fiïhren. Durcli Drehung derselben 
„um 180" wird die Lage zweier auf ilir befindlicben Wagen vertauscht." 

,,Alle Bewegungen kônnen automatisch von aussen bewirkt werden. Ein be- 
,,sonderer elektromagnetischer Streckenzeiger zeigt dann die jeweilige Stellung 
„der VVagen, und Signalapparate verkiinden deren richtige Einstellung." 



400 J. PERNET. 

jedoch eine griissere Geuauigkeit angestrebt, so diirfte es zweckmassig 
sein die Mikroskoppfeiler von dem deii Drehkomparator trageuden 
Mittelpfeiler zu isoliren^ daun aber aucli sehr solide zu fundiren. 

Weil dei" Apparat aucli zu absoluten A.usdelinuiigsbestiminungen von 
Meterstiibeu dienen soU, so muss die Distanz der Pfeiler 170 cm. be- 
tragen^ damit nocb 2, um je 30 cm. von der Drehaxe auf derselben 
Platte montirte, 30 cm. breite und 120 cm lange Ti'iJge zwisclien den 
Pfeilern um 180° gedreht werden konnen. Die Pfeiler sind alsdann mit 
geuûgend starken Deckplatten zu versehen, die beiderseits um circa 30 
cm. ausladen. Auf diesen werden die Mikroskope in der Entfernung 
von 1 m. so befestigt^ dass ihre optischen Axen vertikal gericlitet sind. 

Seukrecht zu der dadurch bestiminten Ebene und sjmmetrisch zu den 
Axen, sind auf dem Fussboden zwei starkere eiserne Schienen fest^ule- 
gen, auf welchen vermittels eines Ptollwagens der darauf befestigte 
Drehkomparator erst von Hand, dann, nach der Bremsung, mittels einer 
Kurbel genau in die gewiinschte Stellung gebracht werden kann. 

Der D]'elikomparator besteht im Wesentlichen aus einem gusseiser- 
iien Dreifuss mit Stellschrauben, in welchen eiu grosser Cyliuder sich 
reibungslos um seine Axe drehen liisst, welche genau vertikal gerichtet 
werden kann. Dieser Cylinder tragt eine lemuiskatenforraige '), gut ab- 
gedrehte Tischplatte, auf deren Lappen bei den Ausdehnungsbestim- 
inungen, in \ und | ihrer Lange unterstûtzt, die Troge montirt werden 
konnen, wahrend fiir den zu den Vergleichungeu dieuenden, nicht 
gleichzeitig zu beniUzenden Trog, eine Montirung in der Richtung der 
Liingsaxe vorgesehen ist. 

Die Troge sind mit den notwendigen Einrichtungen zu versehen, um 
ihre Axe in passender Hohe horizontal und sjmmetrisch zur Drehuugsaxe 
der Platte stellen zu konnen. Sie sind ferner doppelwandig und iiber- 
dies noch durch eine schlecht leitende Huile gegen iiussere Temperatur- 
variationen geschiitzt. Die Temperatur in den aussern mit Wasser ge- 
fiillten Trogen wird vermittels eines contiuuirlich circulirenden Wasser- 
stromes, durch eine passend angeordnete, serpentinformige, geschlossene 
Leitung konstant gehalten. Der innere Trog kann ebenfalls mit Wasser 
gefûllt, und dièses, wie auch das der aussereu Troge, durch rasch roti- 



') Dièse Form wurde gewalilt, damit der Beobachter bei den Ausdehnungs- 
bestiminungen zwiscben den Trogen zu den Mikroskopen gelangen kann. 



ilBER EINEN DREHKOJIPARATOlî ZUR VERGLEICHUNG, U. S, W. 401 

rende kleiue Sclinecken iu kiiiftiger Stn'hnung erhalteii werdeii, bis kiirz 
vor den jeweiligeu Ablesmigen '). Auf der Bodeuflaehe des inueni Tro- 
ges befiiideii sich die Justirvorriclitungeu, um die Langsaxeu der Stiibe 
genau iu die A^isirebeue imd iu derselbeu aueh iu die richtige Hohe zu 
briugeu. Eiupfehleuswert ist liiczu die Auordnuug, welchc die Gebriidev 
Brunner bei ilirem vortrefliicheu Koiiiparator getrott'eu liabeu -). 

Haudelt es sich uur um Yergleichuug zweier Stiibe^ iu Wasser oder 
in Luft, bei einer uud derselbeu Temperatur, so ist der, zur Aufualime 
beider Stiibe bestimmte Trog in der Laugsaxe des lemuiskateuformigeu 
Tisches so zu uioutireu, dass seiue Axe parallel zu der Erstereu, in pas- 
seuder Hohe sicli betiudet uud durch die Drehuugsaxe geht. Die Stiibe 
wurdeu alsdaun 2)arallel zu einauder uud symmetriscli zur Dreliungsaxe 
so gut wie moglicli justirt, uachdeui dièse durch die 3 Stellscliraubeu 
genau vertikal gestellt ist. Dauu wird der Drehkomparator vermittels 
des Rollwageus verschoben, bis die Visirebeue mit der Liingsaxe des 
ersteu Stabes J Ai zusîimmenfiillt uud mittels der Feiube^yeguug die 
Eudstriche iu die deutliche Sehweite uud symmetrisch zu den o])tischeu 
Axeu justirt. 

Augeuommeu der erste Stab liège so, dass der Strich ./ uuter dem 
Mikroskope 1 sich belindet, der zweite Stab voru uud derart, dass dem 
Strich A des ersteu Stabes der Strich B des zweiten Stabes gegeuiiber 
steht, so wird uach eiuer Drehuug des Troges um genau 180° uuumehr 
der zweite Stab iu der Visirebeue liegeu uud zwar so, dass au Stelle von 
A uuu B, uuter dem Mikroskope I, uud au Stelle von Ai jetzt B unter 
dem Mikroskope II sich befiudet. Nuu wird der Stab A\ B uivellirt 
uud auf deutliche Sehweite eingestellt. 



') Darch eine iihnliche noch etwas einfachere Konstruktion erzielte icL im 
internationaleii Mass- und Gewichtsbureau, z. B. bei 2^ und 35 draden eine 
solciie Konstauz, dass wâhreiid den Vergleiclningen des Wasserstofftliermome- 
ters mit den Quecksilbertliennometern, die Temperaturdifferenz zwiscben der 
ersten und der letzten, 20 Minuten auseinander liegenden, Ablesung desselben 
Tiiermometers oft nicht einmal milirometrisch messbar war, und selten 0,01" 
iiberstieg. In Folge dieser giinstigen Versucbsbedingungen stimmten die ausge- 
glichenen Gangdifferenzen der in allen Kombinationen verglicbenen Quecksil- 
bernormaltliermoiueter so gut mit den beobachteten iiberein, dass der maximale 
Fehler nur ± 0,0011 betrug. 

^) Travaux et mémoires du Bureau international des poids et mesures. 
Tome IV. B. Comparaisons des mètres à la température ambiante. 

ARCUTVES NÉERLANDAISES, SERIE II. TOME V. . 26 



40â J. PKllNET. 

Siiul uacli dem Zurilckclrelien in die Aufaugsstelluug die Striche von 
A und Al uoch scharf eingestellt uud in der Mitte der Gesiclitsfelder, 
so ist die Jnstirung volleudet; audernfalls fiihrt eiiie zweite Annidie- 
rung sofort zum Ziele. Nach Fixiriing der Anschliige, welche die 
Drehung um 180° markireii, kann die Beobachtungsreihe durchgefidirt 
werden^ ohue dass liiezu ueue Justiruugen uotwendig werdeu^ wenn nur 
filr genilgeiide Sicherheit in der Euhrung gesorgt ist. 

Dnrch die Art der Beobaclitungen M'erden bei Anwendung des Dreh- 
komjjarators die absoluten Neigungen der Mikroskope in keiuer Weise 
beeinflusst. Eelative Neigungsanderuugen in Bezug auf die Liingsaxen 
der Stabe, die bei unvollkoramener Justirung der Dreliungsaxe auftre- 
teu^ sind von vornherein durcli die Justirung der Stiibe kompensirt. Es 
geniigt hiezu, dass bei der Pointirung die Entfernungen der Striche 
von den Objektiven dieselben seien^ und dièse Bedingung wird bei der 
Eeinjustirung dnrch die scharfe Einstellung auf deutliche Sehweite nach 
dem von Herrn Cornu angegebenen Yerfahren streuge erfiillt '). 

Der Drehkomparator gestattet nun ferner behufs Elimiuiruug der 
oben besproclienen Strichaufl'assung eine relative Vertauschung der Stiibe 
vorzunehmen, ohne dass hiezu ein, den Temjjeraturausgleich storendes 
Oeffnen der Troge und das Umlegen der Stabe notwendig wûrde. Yer- 
schiebt nian namlich nach Schluss der ersten Beobachtungsreihe den 
E-ollwagen um die Entfernung der beiden Stabe in der Eichtung nach 
den Mikroskopen hin, so betîndet sich alsdann der Stab B Bi in der 
Visirebene^ aber so^ dass nun der Strieh B sich unter dem Mikroskope I 
befindet^ wiihrend nach der Drehung des Troges um 180° der Strieh A-^ 
an seine Stelle tritt. Die Stabe liegen also in der neueu Versuchsreihe 
genan so, als waren sie in der urspriinglichen Stellung des Komparators 
um ihre vertikale Queraxe um 180° gedreht worden; und es kann ohne 
wesentlichen Zeitverlust die zweite Beobachtungsreihe durchgefûlirt, 



') Werden bei den Vergleicliungen iïberdies nach dem Vorschlage der Herren 
Geheimrat Prof. Dr. Fôrster und Direktor Prof. Dr. Hirscii Hiilfsintervalle 
diesseits und jenseits der Hauptstriclie gemessen, und daraus der Schraubenwert 
abgeleitet so wird der Pehler einer etwaigen un vollkonimeueu Einstellung auf 
deutliche Sehweite in aller Streuge eliminirt. Vergl. Annexes V et VI, der 
Procès-Verbaux des Séances du Comité international des poids et mesures en 
1878. Paris. 



ÛBER EINEN DUEUKOMPAllATOR ZUli VEUGLEICIiUNG, U. S. W. 403 

und so der Mittelwert voii einem allfalligen Pehler in der Aufi'assuiig 
der Striclie befreit werden. 

Ein weiterer bei A^evgleichuiig von Stiiben in Liift niclit zu nnter- 
schiltzender Yorteil des Drehkomparators besteht darin^ dass deni Beo- 
bac'hter abwecliselend die eine und andere Seite des Troges zngewandt 
wird, wodurch die Temperaturbeeinflussung du]-cli Strahlung bei beiden 
Stiiben in gleiciier Weise sicli vollzieht^ und uicht eiuseitig wirktj wie 
bei deu bisherigeu Transversalkomparatoren '). Deshalb wird beim 
Drehkompai'ator die A^ertauscbuug der Stabe in Bezug auf ihre Lage 
gegenilber dem Beobacbter unnotig, wenn nicbt die huehste Priizision 
erreiclit werden soll. 

Nacb dem Vorstehenden kcinuen wir uns in Bezug auf die Anweu- 
dung des Drehkomparators zur Bestimmung von absoluteu Ausdeh- 
nungskoeffizienten sehr kurz fassen. Der Unterschied besteht lediglicli 
darin, dass die Stabe in zwei verschiedeueu Trogen liegen, von deneii 
der eine wahrend der ganzen Dauer der Yersuche auf konstanter Tem- 
peratur erhalten wird, widirend die Temperatur des andern von Be- 
obaclitnngsreihe zu Beobachtungsreihe systematisch variirt wird -^). 

Die Justirungen und die Beobachtuugen geschehen genau in dersel- 
beu Weise, wie bei den Yergleichungen. Auch hier kann lediglich durch 
eine einmalige Verschiebung des Eollwageus um die, alsdann circa 1 m. 
betrageude Eutfernuug der beiden Stilbe die Vertauschung herbeigefiUirt, 
und durcli eine zweite Beobadituni>:sreihe nicht uur die Genauiffkeit der 



') Welclie Langendifferenzen zwischen zwei Staben bei laBge andauernden 
Beobachtungsreihen in Luft durch den Einfluss der Strahlung des Beobachters, 
selbst duvcli einen mit einer ruhenden Fliissigkeit gefullten âusseren ïvog hin- 
durch, lierbeigefiilirt werden konnen, wenn nicht durch grosse Kupfermassen 
flir den Ausgleich der Temperaturen und die Aufhebung der indirekten Be- 
strahlung gesorgt wird, liabe ich im IV. Bande der Travaux et mémoires nacli- 
gewiesen. Loc. cit. pag. 124. Anderseits fàllt die Fehlerquelle nach den Er- 
fahrungen des Herrn Uirektor Dr. Benoît weg, wenn beide Troge mit Wasser- 
circulation versehen sind. Vergl. Travaux et mémoires Bd. II. u. III. 

^) Hiezu dienen einerseits die oben beschriebenen Einrichtungen der Troge 
und ferner ein geniigend grosses Wassergefiiss mit Temperaturregulator. Zweck- 
miissig ist es dabei nach dem Vorgange von Herrn Prof. Dr. Tijiesen das 
Wasser aus den Trogen durch Turbinen wieder in das temperirte Réservoir 
zuriickzutreiben, wodurch die Regulirung wesentlich erleichtert wird. 

26* 



404 J. PEIINET. 

Ausdehuungsbestiminung erholit, soudern ziigleicli die Gleichung der 
Stabe einwiirfsfrei ermittelt werden. 

lu den pliysikalisclien Laboratorien fiir wissen.schaftliche Untersu- 
chmigeu miisseii vielfach die Febler von Theilungeu erinittelt^ uiid be- 
liebige Intervalle ausgemesseu werden, wobei allerdings raeist nicht die 
liiichste Genauigkeit erforderlich ist. Fur diesen Pall diirfte sich eine 
aliuliclie Disposition em])fehlen, wie ich sie bereits im Jahre ISSS, an- 
lasslich eines Projektes fiir einen Universalkomparator fiir die Pliysika- 
lisch Teclmische Reiclisanstalt vorgeschlagen, aber bisher uiclit publicirt 
habe. 

Statt die Mikroskope an den Pfeilern zn befestigen, werden sie auf 
Schlitten montirt, welche auf 3 abgedrehten uiul geschliffenen Stahl- 
cylindern gleiten die parallel zu eiuauder iu passeuder Hôhe und Ent- 
fernung die Pfeiler iiberbriicken^ uiul an ihren Enden durch Eassungen 
verbuuden sind. Wabrend die eine derselbeu auf deni einen Pfeiler sich 
fest aufstiitzt, gleitet die andere auf dem zweiten Pfeiler raittels Eollen 
auf einer glatten, fûhrenden Unterlage, so dass das System bei Terape- 
raturanderungeu sich frei ausdehnen kann. Wiirde es gelingen ohne 
allzu grosse Kosten die Rohren ans der von Herrn Dr. GuillaUxMT-: 
gefundenen, fast ausdehungslosen Nickelstahllegieruug herzustellen, so 
wiirde dies ausserst wertvoll sein, da alsdann der Einfluss wechselnder 
Temperatureu auf die Entfernung der Mikroskope verschwindend 
klein sein wiirde. 

Schwieriger ist es, die Durchbiegung der Eôhren namentlich bei ver- 
schiedeuen Belastungeu, bei einer Spanuweitevon 1 in. 70, zubeseitigeu. 
Hiezu diirfte es sich empfehlen, wie damais bereits in Aussicht genommen 
war, die EcJhren mittels passend verteilter, verstellbarer Stiitzen, die auf 
starken doppelten T Trâgern ruheu, justirbar zu machen, und die Mi- 
kroskopschlitteu nur mit einem Bruchteil ihres Gewichtes auf den 
Eôhren aufliegeu zu lassen. Zur KontroUe der Justirung ist auf dem 
Schlitten ein Niveau in der Richtung der Eôhren, und eines senkrecht 
dazu montirt. Auf die Détails, die seinerzeit mit Unterstiitziing seitens 
der Herren Dr, Eichard Wurtzel, Prof. Dr. Juger und Prof. Dr. 
Grumlich ausgearbeitet worden sind, kann hier nicht niiher eingetreteu 
werden. 

Dagegen diirfte ein damais schon von mir gemachter, und seither 
nicht unwesentlich verbesserter Vorschlag von allgemeinerem Interesse 
sein, wonach zur raschen Bestimmuug der Theilungsfehler eines Mass- 



ÛBRR EINEN DREIIKOML'AIJATOI! ZUR, VERGLEICHUNG, U. S. W. 405 

stabes nielinu'e Mikvoskope auf einem Sclilitten oclei* Wageii parallel zu 
einaiider uiid iu bestimmteu Abstiindeii zu befestigen wiireii. Zweck- 
miissig dilrfte es seiu^ auf einem Sclilitten von 7 Dezimetcr Lange im 
Abstande von bezw. 1^ 2, 4 und 6 Deziraeter von einem Raude 4 Mi- 
krometermikrossko2)e justirbar zu montiren. Dann ist es bei passender 
Stellung des Wagens moglich^ Intervalle von 1^ 'Z, S, 1< und 5 Dezi- 
raeter ') sehr rascli und uuabhiiugig von einander auszumessen, wenn 
die hiezu erforderlichen Einstellungen in passender Eeihenfolge so oft 
als notwendig wiederliolt werden. Die zu verscliiedenen Zeiten erfol- 
gendcii Einstellungen desselben Mikroskopes auf denselben Teilstricli 
dienen zur Kontrolle etwaiger Verschiebungeu des Schlittens^ und geben 
iiberdies ein Mass fur die Einstellungsfehler. 

Beginnt man die Messungen in der Stellung des Sclilittens woselbst 
das zweite Mikroskop iiber dem Nullstrich des Metcrstabes sich betindet 
und verscliiebt dann den Sclilitten von Dezimeter zu Dezimeter, bis das 
zweite Mikroskop liber dem Endstricli stelit, so konnen verlialtnismassig 
mscli aile zur Bereclinung der inneru Theilungsfehler der Dezimeter der 
eiuzelnen Hiilften (0-50) nnd (50-100) nach der von Herrn Prof. Thiesen 
und Herrn Markk zur Ivalibrirung der Thermometer angegebenen Mé- 
thode und zngleicli die zur genauen Yergleiclmng der beider Hiilften 
erforderlichen Beobachtimgen gewonnen und die Theilungsfehler auf 
das Intervall 0-LOO bezogen werden-). 

Dièses Yerfahren dûrfte nach den inzwischen von Herrn Dr. Guil- 
laume ani STARKE'schen Universalkomparator des internatioualen Mass- 
und Gewiehtsbureaus bei Beobachtungen ilhnlicher Art gemachten Er- 
fahrungen zu reclit guten Piesnltaten fiihren, und daher demjenigen 
noch vorzuziehen sein, welches icli in Erweiteruug der von Herrn 
Staatsrat Direktor Dr. H. v. Wild in seinen metrologischeu Studien 
veroffentlichten Méthode entwickelt habe ^), und welches fiir die meis- 
ten Zwecke bereits vollstiindig gemigt. 



') Die Komlnnation orlaubt das Intervall von 2 Dezimeter zweimal mit ver- 
schiedenen Mikroskopen zu messen, wenn dies von "Wert ersclieinen sollte. 

^'> C.vrl's Repertovium fiir Experimentalphysik, XV Bd. Travaux et mémoi- 
res, Tome II, pag. 35—40. Tome IV, pag. 18—52. 

^) Vergl. Travaux et mémoires Tome IV. pag. 99, woselbst auch das Schéma 
der Bereclinung fiir den obigen Fall angegeben ist. 



406 J. PERNET. ÛBER EINEN DREHKOMPARATOE,, U. S. W . 

Zur Beurtlieiluug client die belmfs Elimiiiimiig des Temperatur- 
einflusses iu umgekehrter Reihenfolge zu wiederholende Messungsreilie. 
Ferner bietet der Drehkomparator die Moglichkeit, iiach eiuer Drehung 
um 180°^ deii Eiufluss der Strichauffassmig zu eliminiren. 

Die vorsteliendeu Ausfûhrungen diirfteu genugen, um darzutun, 
dass der Drelikomparator wirklich alleu billigeu Anforderungeu an ein 
Uuiversalinstrumeut fiir Laugen- uud Ausdeliuuugsbestimmungeu eut- 
sprecheu diirfte. 



Zurich. 



SUR LA RELATION ENTRE LES MODIFICATIONS, 

SURIES PAR LE VOLUME SPÉCIFIQUE DE LA VAPEUR SATURÉE 

ET CELUI DU LIQUIDE COEXISTANT 

SOUS l'influence des VARIATIONS DE TEMPÉRATURE 



J. D. VAN DEE, WAALS. 



Dans la deuxième partie de mon mémoire: „Continuitiit des gasfor- 
migen und tlûssigen Znstandes", j'ai donné au paragraphe §^ page 101 
une règle relative aux modifications que subit la courbe binodale d^un 
mélange quand on modifie la température. Supposons à une tempéra- 
ture donnée, pour chaque valeur de .p, dessinés les deux volumes, savoir 
celui de la vapeur saturée et celui du liquide coexistant avec elle. Nous 
obtiendrons deux branches, qui, suivant les valeurs de r, pourront ou 
rester complètement séparées, ou s'être confondues en une courbe uni- 
que. Quand la température s'élève les deux branches se rapprochent 
l'une de l'autre, par un mouvement simultané. Soit un point sur la 
courbe binodale, que l'on choisit comme premier point, et soit comme 
deuxième point celui qui exprime l'état des phases coexistantes, de telle 
sorte que w, et .i\ soient les coordonnées du point choisi, r.-, et ^"2 celles 
du ])oint conjugué. Alors le mouvement du point clioisi, sous l'influence 
des modifications de température, sera déterminé jjar l'équation de la 
page 104: 






dr = 0. 



408 .T. D. VAN DEll WAALS. 

Pour arriver à la conclusion que les deux branches se rai)procheut 
l'une de l'autre quand la température s'élève, et que par suite, chez le& 
mélanges de substances normales, il n'y a jamais deux courbes conno- 
dales, correspondant à des températures ditf'érentes, qui se coupent, il a 
suffi (p. 105) de montrer que (f.,,),. et (f,o)(i ont le même signe, et sont 
négatifs. De la signification de ces grandeurs, j'ai déduit dans mon 
mémoire : 

(^21 )'-' = ^'2 (A'i -J- J^-l- 2 ^'12) 

et par suite aussi: 

(.,,), = -r,(A', -r-A', -2AV,). 

Or, comme la valeur de K^ -\- K., — '^ ^\2 permettait de conclure 
qu'elle est positive. 



[^■n)v 1^,2 h' 



est positif, ou 



V-21;" 



et 



température, par ( 1 — '^'yr^ ) fois cette quantité. 



sont négatifs. 

Si Ton veut réellement ramener (^21)'' à la forme — r., (Â'j -|- 
K., — 2 K^^), il faudra établir que si une substance homogène augmente 
de volume, l'augmentation de Ténergie potentielle peut être en effet 
représentée par le produit de la pression moléculaire et de l'augmenta- 
tion de volume; ou bien, si la pression moléculaire est fonction de la 
fjr] 

7(; 

Si lors de l'augmentation de volume le groupement moléculaire se 
modifiait aussi, et qu'il passât d'un état de plus grande à un état de 
moindre complexité, raugmentation d'énergie ne se retrouverait pas seu- 
lement dans le travail de la pression moléculaire, et ne jjourrait pas non 
plus être représentée en multipliant ce travail par un facteur dépendant 
uniquement de la température. 

Ces considérations conduisent à soumettre au contrôle de l'expérience 
les conséquences de l'équation différentielle donnée. S'il y avait des 
observations nous permettant de déduire et de mesurer la valeur numé- 
rique des conséquences directes, nous aurions fait un pas de plus vers 



SUR LA RELATION ENTRE LES MODIFICATIONS, ETC. 409 

la solution (ruiie question telle que la suivante: L'attraction molécu- 
laire d'une substance est-elle réellement telle qu'elle conduit à une 
pression superiicielle, peu importe que cette dernière soit une fonction de 
la température? Ou bien les substances qui réclament pour la ^^ression 
moléculaire une fonction de la température ne se conduisent-elles ainsi 
qu'en apparence, et l'augmentation d'énergie qui vient s'ajouter à celle 
résultant de la pression moléculaire non en rapport avec la température 
ne doit-elle être attribuée qu'à une moditication du groupement molé- 
culaire? Je ne connais toutefois, en vue du problème général pour 
un mélange, aucune observation qui puisse servir à cet etï'et. Mais pour 
les composantes elles-mêmes l'équation difFérentielle conduit à des con- 
clusions susce2:)tibles d'être contrôlées par l'expérience, ou qui tout au 
moins pourraient être sans de grand inconvénients directement étudiées 
par des observations expressément faites. 

Pour une substance unique Téquatiou différentielle se simplifie et 
devient: 

(''2 — "i ) ^ '^^\ = '\ (^'. + A-, - 2 A', "^ . 
o i\" r 

Or comme on a 

TT — — K —± V — JL 

on peut également écrire: 

(,,-,,)(-|'-i)*,=,,«(i_iyi- (1) 

et Ton trouve pour la phase coexistante: 

"■■-<-©;— -a -0T (^) 

Soient v^ le volume du liquide et r., celui de la vapeur; alors o^ ^ i\ 
et nous trouvons que j)our une valeur positive de dr, di\ est positif et 
r/r._, négatif. 

Ou déduit plus simplement ces équations d'une manière directe. Eu 

enet, de r ^- ^=p-\ — on tire : 

dr V2 — ■?', 



410 J. D. VAN DER WAALS. 

et^ considérant que l'on a : 
on obtient : 

/^ dp \ (k\ à l\ . 

\^v^y T dr v.^- — 1\ 

Jusqu'à présent l'expression a été complètement déduite de règles ther- 
modynamiques. Posons maintenant s = [- Cp (r), ainsi qu'il ré- 
sulte de riiypothèse d'une pression moléculaire de la forme — ; nous re- 
trouvons les équations (1) et (2) ci-dessus. Si toutefois la pression molé- 
culaire doit être multipliée ])ar un facteur de température, tel que / (r). 



il faudra multiplier les deuxièmes membres des équations par /'(r) 1 

Dans Tun et l'autre cas toutefois on arrive à l'équation (3) suivante; 



-<©;—©/'•= («) 



\r'ti\ 



Or — ~\~j~) exprime ce qu'on appelle le coefficient de compres- 

sibilité; représentant ce dernier par le signe /3, alors l'équation (3) se 
laisse simplifier comme suit : 

''^ = ~"^ w 

Pi P2 

Cette forme ])lus simple ne sera toutefois pas obtenue si e possède 
un plus haut degré de complication que ne le réclame une pression molé- 
culaire, proportionnelle au carré de la densité. C'est ainsi que, si l'on 

écrit avec Clausius - — , — r^ Téquation (3) prend la forme 

[v -\- a,Y 



SUR LA EELATION ENTRE LES MODIFICATIONS, ETC. 411 

Du moment qae l'on donne à x nn valeur de Tordre du volume du 
liquide (ce qui arrive géuéralement quand on se sert de cette expression 
empirique de Clausius), on n'est plus conduit à l'équation (4), mais à 
une autre de la forme 

i\ -j- a di\ Xf-i -|- oi-K dn^ 



"(^-) 



i\ /3j \ v.^ J (3, ' 
Soit v.i un volume de vapeur; alors le facteur — ne s'écarte plus 

'V-2 

guère de Tunité, ce qui pourra bien être le cas au contraire du facteur 

Je suis donc amené à conclure que, si l'on soumet la relation simple 
(4) au contrôle de l'expérience, on sera renseigné dans une large mesure 
sur le fait s'il est oui ou non légitime d'admettre une pression molécu- 
laire, et sur la forme de cette grandeur. 

Nous ne disposons évidemment pas à l'heure qu'il est de recherches 
oii l'on s'est directement proposé d'étudier l'exactitude delà relation (4). 
Ces observations devront posséder un haut degré de précision, attendu 
que la formule (4) exprime un rapport entre deux différentielles ^/^i etdv^ , 
tandis que /3j et (3.2 sont les coefficients de compressibilité sous tem^iéra- 
ture constante dans l'état précis des phases coexistantes. Ces coefficients 
ne peuvent être remplacés par des valeurs moyennes. 

Cependant nous sommes en mesure pour le moment de mettre à 
l'épreuve l'exactitude approximative de la relation donnée. Le résultat 
de cette recherche m'a paru assez surprenant pour le communiquer ici. 
Les observations de Sidney Young nous ont appris à connaître pour 
une série de substances les valeurs de r, et v^ à une série de tempéra- 
tures pas trop éloignées les unes des autres; nous pouvons donc con- 
clure à des valeurs de S.i\ et Arg dont les rapports ne s'écartent pas 
trop du rapport de di\ et do^. La valeur de /3j sous forme liquide peut 
être empruntée à des observations d'AsEAGAT. Dans la première partie 
de la „Continuitat" page 171 (2*^ édition), j'ai donné les valeurs de /Sj 
pour réther à quelques températures, en les complétant ])ar les valeurs 
que l'on pourrait également calculer pour Féther par l'application de 
la loi des états correspondants. Seules les valeurs de /Sg n'ont pas été 
directement déterminées. Si toutefois on se borne aux cas dans lesquels 



412 .T. D, VAN DER WAALS, 

la deuxième phase est une phase vapeur de faible densité, nous pouvons 
en vue d'un contrôle préliminaire admettre la valeur fournie par la loi 

de Boylt: (Mariotte), savoir -, p devant être exprimé en atmosphères 

1' 
comme on Ta fait de même pour la valeur de pj dans l'expression dp. 

L'équation ( i<) prend doue la forme 

di\ 

Pi 

et il importe peu en quelle unité on exprime la volume. Mais aux très 
basses températures Ay.^ varie si rapidement que la vérification aurait 
ici ])eu de sens. J'ai donc dû me boruer à choisir une couple de données 
de SiDNEY YouxG, oii il est assez bien satisfait aux diverses condi- 
tions, mais oii la pression de la phase vapeur monte jusque 5 ou 6 
atmosphères, et oii par conséquent /3^ ne peut plus être exactement 

représenté par-. On pourrait naturellement calculer l'écart de cette 

valeur, tout au moins d'une manière approchée. C'est ce que je n'ai 
pas fait, parce que les autres nombres donnés par l'observation ne sont 
pas absolument ceux que réclamerait la formule. Aussi ne doit-on con- 
sidérer ce qui suit que comme une vérification préliminaire. 
Pour l'éther Sidney Youno donne p. ex. en mesure critique: 

yj= 0,4083 r, = 28,3 

y, =0,1-209 v,_=\l,\ 

yj =0,4368 ?', = 12,15 

y, =0,4596 v.^= 8,38 

Par conséquent, aux valeurs suivantes de A^j, correspondent jjour 
Ay2 les valeurs placées eu regard: 

A ?'i= 0,0176 A /^= — 11,2 

A r, =0,0159 ^^2=— 4,95 

A;;, =0,0228 Ar2 = — 3,77 

Prenons pour la température à laquelle peut être égalé à -~, 



SUR I,A RELATION" ENTRE LES MODIFICATIONS, ETC. 413 

la moyenne arithmétique des températures initiale et iinale ; cela pourra 
être considéré comme suffisamment exact. Nous devrons à ])résent prendre 
pour p la valeur correspondant ù cette moyenne arithmétique. Cette 
valeur de p pourrait être empruntée au tableau de Yottng, soit par 
interpolation, soit au moyeu d'une re])résentation graphique. Dans ce 
contrôle préliminaire, je me suis contenté d'une valeur aj)procliée. Pour 
les trois valeurs correspondautes de \i\ et — Ad^^, les valeurs de TQÏp 
sont les suivantes: 

T = 273+ 81,5 iJ = 4,l 

r = 273-f 98,9 ^j = 6,35 

r = 273 -1-114,6 i> = 8,9 environ. 

Ces nombres permettent de calculer pour pj les valeurs suivantes: 

/3 «1^5 = 0,000383 
^ 98,0 = 0,000506 
/3 114.0 = 0,000650 

tandis que daus le tableau (p. 171 Contiuuitilt I), ou trouve les nombres 
suivants: 

/3 78,5 = 0,000367 

/Sgo =0,000555 

/3iio =0,000672 

Or si nous remarquons que /3^, à des pressions de 6 et 9 atmosphères. 

ne pourra plus être représenté par -, mais sera plus grand ') et qu'il 

faudra donc trouver pour /Sj également une valeur plus grande, la con- 
cordance peut être considérée fort satisfaisante. L'augmentation ra])ide 
de /3t avec la température est également confirmée par ces calculs, et 
d'une manière tout inattendue. 

Pour utiliser également les observations de Sidney Young aux basses 



^) Sous une pression de jj atmosphères il faudra attendre des écaits de plus de 
^ pour cent. 



414 j. D. VAN dp:r vvaals. 

températures^ afin de contrôler les relations données, il faudra commen- 
cer ])ar transformer Téquatiou 

r/r, 

Pi 

Selon que f est plus bas, la phase vapeur sera plus diluée, et obéira 

donc davantage à la relation pv., = lit. 

Réduisons au moyen de cette relation — pdv-i à v.^dp — RcIt ou 

Rrdp 

RdT, nous aurons: 

P 

^pdr ' 

Et comme daus le tableau de Sidxey Youxg les volumes, pressions 
et températures sont exprimés en mesure critique, nous aurons à 
calculer 

Vk jV^ 

Pi '''/.■ 



On trouve alors: 



d'^ 



Pi 2^k'Vk ^p d.T ' 

Remarquons que Ton a trouvé pk Vk = i^> et posons — = ;//, 

0,0 Ti- 

— = V, — = ^; alors la dernière équation devient 
rk Pk 

do. cm dTT ) 

—- = 6,bpk ~, i dm. 

Pi ( ;r dm, > 

La valeur de 3,8 pk peut être posée égale à 135, et — -r- peut être 

T dm 

calculé d'après les tableaux de Sidxey Youxg ou, ainsi que je Tai déjà 
maintes fois montre, être posé approximativement égal à — . Daus les 



SUR LA RELATION ENTRE LES MODIFICATIONS, ETC. 415 

tableaux de Zeuner on trouve cette valeur pour Tétlier^ calculée d'après 

7 2 
des observations de Eegnault. Elle se rai)prochc davantao-e de -^—, 

w, 

ce qui aux températures inférieures sera iucontestablement plus exact. 
Ceci conduit à calculer /3, au moyeu de Téquation suivante: 





^^ dm 13i 


1 

5 7 2 
m 








Des valeurs 










.;//«=. 0,6097 




v^ = 0,3631 




,1,^ = 0,0 144 




v^ = 0,3729 




M.x -f- m^ 


= 


0,627, 


ou tire, pour / = 


= 20°,1: 








0,0098 1 


1 

1 n 


= 0,000197 



En examinant le tableau pour /3 (1. c.) on serait tenté de conclure à une 
valeur plus faible, telle que 0,000188. 
Des calculs de cette esjjèce donnent: 

/337,8= 0,000231 
/360 = 0,00029. 

On ne saurait très bien déduire du tableau une valeur correspondant 
à /^ = 37°,8. Celle relative à i = 60^ correspondrait presque complète- 
ment à la valeur que nous avons calculée. 

Pour les valeurs supérieures de t, nous rencontrons la difficulté que 

p2 ne peut plus être assez exactement représente par -. 
De tout ceci il résulte que Féquation 

dv^ dv.-^ 

possède un haut degré d'approximation. Est-elle complètement exacte, 



llf) J. D. VAN DER WAALS. SUR LA RELATION, ETC. 

et riijpotlièse qui y a conduit, savoir que l'ejiergie potentielle d'uue 
substance normale peut être entièrement calculée au moyen du travail 
d'uue pression superficielle, est-elle absolument confirmée par Texpé- 
rieuce? C'est ce que seules des recherches expérimentales directes pour- 
ront élucider. Si cette relation était entièrement prouvée, il serait 

démontré ciue la pression moléculaire est strictement de la forme -^flr); 

et pour mettre entièrement Téquation d'état d'accord avec Texpérience, 

il serait simplement nécessaire de chercher la valeur de t. 



QUELQUES REMARQUES 
SUR l'équation CARACTÉRISTIQUE DES FLUIDES 



DANIEL BERTHELOT. 



I. 

LA FORMULE DES GAZ PARFAITS, l'ÉQUATION DE VAN DER WaALS, 

Jusque vers 1850 la plupart des physiciens, guidés par l'idée précon- 
çue de „la simplicité des lois de la nature" admettaient, même après 
les expériences de Despretz et de Pouillet, la rigueur de la formule 
des gaz jjarfaits jw = R T. 

Les reclierclies de Regnault obligèrent à y renoncer; lui même con- 
cluait : „La forme de la fonction est évidemment trop complexe pour 
qu'on puisse espérer la trouver uniquement par la méthode expérimen- 
tale. 11 est à désirer que les géomètres veuillent bien la recliercher en 
développant au moyen de l'analyse quelques hypothèses sur les forces 
moléculaires/' 

HiRN eut l'intuition des deux facteurs physiques propres à ex])liquer 
les écarts à la loi des gaz parfaits. Il admit que Féquation des lluides 
devait, à une température donnée, être du type {p-\-P){v — F) = con- 
stant, c'est à dire qu'à la pression manométrique p il fallait ajouter la 
pression interne P due à l'attraction des molécules et que du volume 
apparent v du fluide, il fallait retrancher le volume V des molécules. 
Mais il ne sut pas évaluer le terme P qu'il supposa inversement propor- 
tionnel à V. 

Il était réservé à van der Waals de donner la première solution 
satisfaisante du problème. Dans sa thèse classique de 1873 sur la „con- 

ARCHIVES NÉERLANDAISES, SERIE II. TOME V. 27 



418 DANIEL BERTHELOT. 

tiuu.ité des ctats liquide et gazeux" il arriva par une discussion théorique 
approfondie à Téquatioii 

(1) Qj^±^i^,^b) = RT 

à laquelle son nom est attaché. Les 3 constantes^ a, h, R ont un sens 
physique bien net : a représente l'attraction spécifique moléculaire, h 
un multiple du volume des molécules, R la constante de Téquation 
pv^ R'f des gaz parfaits, laquelle est sous la dépendance immédiate du 
poids moléculaire. Il montra que cette équation rendait compte des 
propriétés essentielles des fluides et particulièrement des phénomènes 
critiques découverts par Andrews. Et depuis il a su rap2)liquer avec 
un rare pénétration à la solution des questions nouvelles posées par 
les progrès de la science. 

L'équation de van der Waals représente bien les grandes lignes du 
phénomène; mais les physiciens qui ont voulu descendre dans les dé- 
tails soit de l'analyse, soit des applications pratiques ont toujours été 
amenés à y introduire des modifications plus ou moins profondes. 



IL modifications a la rORMULE DE VAN DER WaALS EÏ EQUATIONS 
CARACTÉRISTIQUES A PLUS DE TROIS CONSTANTES. 

Les modifications qui ont été proposées à l'équation de van der 
Waals se rangent en deux groupes difierents; les unes ont été inspirées 
de vues théoriques, les autres dérivent de raisons empiriques. 

Au point de vue théorique, van der Waals, ajjrès être parti de la 
formule du viriel de Clausius, adoptait successivement pour évaluer 
la pression interne et le covolume deux voies difierentes, sans lien avec 
cette formule. 

Le mode de calcul qu'il choisit souleva quelques objections de la 
part de Maxwell ^), dont la voix autorisée fut d'ailleurs la première 
à signaler dès 1874 l'exceptionnelle portée de son travail. 

H. A. LoRENTz ^) perfectionna la théorie et donna une belle discussion 



') Nature. Vol. X, octobre 1874. 
*) Wied. Aun. t. XI F, 1881. 



QUELQUES REMARQUES SUR l'ÉQUATION P:TC. 419 

ciuét.it{ue de la question fondée uniquement sur le théorème du viriel. 
Il arriva à T équation 

qui peut s'écrire 

p[o—h) = KT, 

si l'on suppose v assez grand pour négliger les puissances de Z(/r supéri- 
eures à la première. 

La marche indiquée par ce maître éminent de la Physique mathéma- 
tique a généralement été adoptée par ses successeurs. La théorie a été 
aj^profoiidie par van der Waals lui-même^ Korteweg^ Jaeger, Boltz- 
MANN. . . Toutes les discussions cinétiques mènent à des équations 
de forme 

mais les auteurs diffèrent sur les valeurs des coefficients iXj , ^^ .. . 
Selon BoLTZMANN et J aeger a.^ = 5/8; tandis que selon van dek, W aals ') 
^j = 15/32. Si Ton divise les deux membres de Téquation précédente 
par la parenthèse, on retombe sur la formule de van der Waals dans 
laquelle le covolume est regardé comme variable. 

(3) /. = 4«(l-/3,^ + ,3,^--...) 

D'après ce qui précède, ou a selon van der Waals /oj = 17/32, 
selon BoLTZMANN et J aeger /3j =3/8. Quant au terme /j^, il est égal 
d'après van der Waals-) à 0,0958; d'après Boltzmann à 0,0369. 
Les calculs théoriques sur lesquels repose Tévaluation de /S^ due à IVl. 
VAN Laar sont tellement compliqués que l'évaluation des termes supé- 
rieures est pratiquement impossible. 

Telles sont les principales modifications à la formule de van der 
Waals basées sur des vues théoriques. 



') Continuitat, etc. 2te Auliage, p. G5, 1899. 

^) Akad. van Wet. te Amsterdam, t. I, p. 273, 398, 468. 1899. 

27^ 



420 DANIEL BEllTHELOT. 

Beaucoup plus nombreux eucore ont été les changements motivés par 
des rai.5ons empiriques. Van der Waals avait bien montré l'accord 
qualitatif de son équation avec les expériences d'ÂNDREWs; mais Clau- 
sius par une comparaison attentive tit ressortir des différences quanti- 
tatives notables; pour y remédier il moditia l'évaluation de la pression 
interne de van der Waals et admit que le terme a au lieu d'être con- 
stant variait en raison inverse de T et qu'il fallait remplacer Ijv^ par 
lj{v -\- d)-, d étant une nouvelle constante à laquelle il ne chercha pas 
d'ailleurs à donner une signification théorique. Il posait donc 

W ^ + r(^»]('-'^' = ^"' 

Peu après Amagat commença la publication de ses expériences sur 
la compressibilité et la dilatation des fluides dont l'ensemble fournit^ 
tant par la variété des propriétés physic[ues des gaz étudiés que par 
rétendue des températures et surtout des pressions qu'elles embrassent, 
le répertoire le plus complet de données numériques que l'on ait pour 
servir de pierre de touche à une équation. 

Sarrau les employa aussitôt dans une série d'études remarquables 
à contrôler la formule de Clausius. Il fut amené à remplacer le facteur 
de température f{T)^=K\T de Clausius par rexpouentielle KE~'^, 
k et A' étant deux constantes. 

Clausius lui-même dans ses études sur les vapeurs d'eau et d'éther 
adopte la forme plus compliquée /(?') = AT^'" — .BT et Battelli ad- 
mit /( 7') = AT-'" — BT-'\ 

Il est à remarquer que tandis que les théoriciens purs comme Lorentz, 
BoLïZMANN, VAN DER Waals out modifié l'expression du covolume 
dans la formule de van der Waals, les physiciens placés à un point 
de vue empirique comme Clausius et Sarrau ont au contraire gardé 
un covolume constant et font porter les modifications sur le terme qui 
représente la pression interne. 

Il convient de citer maintenant une série de formules qui ne dérivent 
pas de celle de van der Waals mais rentrent dans le type général pro- 
posé par HiRN: telles sont celles par lesquelles Amagat a représenté 
les réseaux de l'hydrogène et de l'anhydride carbonique, Eose-Innes les 
déterminations de Ramsay et S. Young sur l'éther et de S, Young sur 



QUELQUES REMARQUES SUR l'ÉQUATION ETC. 421 



con- 



risopentaiie. Tons ces auteurs sont ])artis de la relation ( y-^ j 

stante. Les physiciens anglais influencés par les résultats de Ramsay et 
YouNG sur l'étlier ainsi que par les expériences de Barus Font admise 
comme tout à fait rigoureuse. Amagat au contraire qui l'a utilisée le 
premier a fait voir que ce n'est qn\ine approximation: ce qui a été 
confirmé depuis par les expériences de Joly sur la variabilité des cha- 
leurs spécifiques des gaz à volume constant. 

Je n'insisterai par sur ces formules: elles présentent toutes un carac- 
tère commun ; elles u^^rrivent à représenter les expériences qu'en mul- 
tipliant le nombre des constantes et ces constantes n'ont pas de signifi- 
cation pliysique. 

Tandis que la formule de van der Waals contient S constantes^ la 
première formule de Clausius en contient A; la formule de Sarrau 5, 
la seconde formule de Clausius 6^ la formule de Battelli 7, la formule 
d' Amagat sur ranhydride carbonique 10. Ces formules peuvent faci- 
liter les calculs dans des cas ])articuliers; elles ne se prêtent pas à la 
discussion des propriétés générales des fiuides '). 



III. La loi des états correspondants et les équations 

À TROIS CONSTANTES. 

Ce n'est pas ;\ dire pour cela qu'on doive renoncer à cherchei" les cor- 
rections de second ordre propres à ra])procher de rexjjérience l'équation 
de VAN DER Waals, mais la marche qu'il convient de suivre a été ])ro- 
fondéinent modifiée par la découverte de la loi des états correspondants. 

Comme on le sait, van der Waals a déduit cette loi de sa formule 
primitive (Académie des Sciences d'Amsterdam, 25 septembre 1880) 
mais peu après, dans un mémoire important -), Ivamerlingh Onnes 



') A moins de certains artifices particuliers, qni ne sont d'ailleurs a]iplicablcs 
qu'aux plus simples de ces formules. Tel est celui qu'a imaginé van der Waai.s 
pour l'équation de Clausius, en prenant la variaLle auxiliaire (r -(- r?) = "i ce 
qui ramène le nombre des constantes à trois et permet l'application du principe 
des états correspondants. 

") Ce mémoire publié en 1881 par l'Académie des Sciences d'Amsterdam, a 
été réimprimé en partie en 189(3 en langue française dans le tome XXX des 
Arcliive^i Néerlandaises sous le titre: „Théorie générale de l'état fluide". 



422 DANIEL BEETHELOT. 

rattacha cette loi à des considérations très générales de similitude méca- 
nique; il fit ressortir que la correspondance des isothermes est Texpres- 
siou immédiate de la similitude des mouvements moléculaires. Il en 
résulte qu'elle est compatible avec des équations beaucoup plus compli- 
quées. Faisant un pas de plus dans Tordre d'idées de van dee Waals et 
abandonnant Thypothèse de la constance du covolume^ il mit Téquation 
caractéristique sous la forme: 



RT=Q^ + ^^{v-rv,)x(-^ 



(7> 



oii ni représente le volume total des molécules^ r un coefficient numérique^ 

% ( — j une fonction dite fonction des chocs. Cette équation obéit à la 

loi des états correspondants quelle que soit la fonction % pourvu seule- 
ment qu'elle soit la même pour tous les corps. 

Des considérations d'homogénéité d'ordre analogue ont été dévelop- 
pées depuis par Natanson (Comptes-Eendus^ t. GIX^ 1889) par Curie 
(Archives des Sciences Physiques et Naturelles de Genève t. XXVI, 
1891) et par Meslin (Comptes Eendus, t. CXYI, 1893). 

Il en résulte que la loi de correspondance n'exige nullement que 
réquation caractéristique soit simple, mais seulement qu'elle ne con- 
tienne pas plus de trois constantes spéciales à chaque corps. 

Or cette loi s'est montrée à Tépreuve, sinon tout à fait rigoureuse, du 
moins beaucoup plus exacte qu'aucune des équations caractéristiques 
/[[j, V, T) = proposées jusqu'ici. Si donc on la tient pour valable — 
et on peut le faire avec un haut degré d'approximation — on doit 
admettre que l'équation caractéristique qui répond à la nature des choses 
ne renferme pas plus de 3 constantes. 

La modification proposée par Kamerlingh On nés ne se prête pas 

au calcul numérique, car la fonction % ( — ) est laissée indéterminée. 

Depuis deux ans divers physiciens ont suggéré diverses modifications 
destinées à mettre l'équation de van deu Waals mieux en harmonie 
avec les faits sans augmenter le nombre des constantes. 

Citons d'abord une étude de Eeinganum '). Adoptant pour les pre- 



') Thèse de Doctorat. Gôttingen lcS99. 



QUELQUES REMARQUES SUR l'ÉQUATION ETC. 433 

miei's termes du développement en série du covolume les valeurs de 
Jaeger 



'' + ^=-0+t + s") 



il remplace comme celui-ci cette formule par Texpression approchée 

a\(v—bV 



0'+.^) 



= 11 T. 



Il envisage ensuite a' et b' comme des fonctions exponentielles du 
volume et de la température; fonctions compliquées^ mais ne renfermant 
que les 3 constantes a, h, R et dont il détermine la forme générale par 
des considérations théoriques et les coefficients au moyen des expériences 
de S. YouNG sur risopeutane. 

Dieterici ') remarquant que T équation de van der "Waals donne 
pour le rapport du volume théorique du fluide à son volume réel au 
point critique la valeur 2^666 .... tandis que les expériences de S. 
YouNG indiquent 2>,& à 3,8, a imaginé deux équations qui donnent res- 
pectivement les valeurs 3,69 et 3,75. La première 

c 

(5) p = —^. 

est déduite d'une discussion cinc'tique. La seconde 

(6) Qj^^^^i^,_i) = RT 

est préconisée à titre purement empirique. 

J'ai proposé moi même divers changements à Féquation de van der 
Waals en me plaçant au point de vue des états correspondants. La 
marche la meilleure m'a paru être de partir du point critique et de con- 
sidérer directement l'équation sous forme réduite. 

Il est une première modification fort simple qui permet de bien repré- 
senter, non pas tout le réseau, mais une partie importante; celle qui se 
ra])porte à l'état liquide proprement dit, depuis le point critique jus- 



') Wif.demann's Annalen. 1899. 



434 DANIEL BERTHELOT. 

qu'au point de fusiou. Cette modiflcatiou consiste à regarder le covo- 
lume comme fonction de la température. L'examen des courbes montre 
en effet que si Téquation de van der Waals représente bien la com- 
pressibilité des liquides au moins jusque sous des pressions égales à 15 
fois la pression critique (au delà elle indique une compressibilité moin- 
dre que l'expérience)^ elle représente fort mal leur dilatation. Les iso- 
thermes expérimentaux sont beaucoup plus écartés que les isothermes 
calculés. La figure 3 qu'on trouvera plus loin fait voir que l'isotherme 
réduit ^ = 0,.5 est bien au-dessus de l'isotherme expérimental corres- 
pondant qui est fourni par les expériences d'A:\iA(;Aï sur le sulfure de 
carbone à 0°. 

Mais on fait disparaître ce désaccord_, comme le montre la figure pour 
C^H^Cl et es-, en admettant que le covolume augmente avec la tempé- 
rature et en prenant pour l'équation réduite l'expression 

w variant avec Ù comme l'indique le tableau suivant : 

ô 1 0,7 0,6 0,5 

œ i 0,890 0,868 0,850. 

ce varie rapidement au voisinage du point critique, et moins vite quand 
on s'en écarte en s'approchant du point de fusion. Pour ^ > 1 les 
expériences sur les gaz très comprimés indiquent de même une variation 
ralentée quand on s'éloigne du point critique, en sorte que la courbe 
a = {Ô) paraît avoir un point d'inflexion au voisinage du point cri- 
tique. La formnle empirique 

^_,gO,475(fl-l)-l-0,300(fl-ir 

convient bien pour ^ <C 1- 

J'ai appliqué cette équation à la discussion quantitative du problème 
de l'association moléculaire chez les liquides. Cette méthode fondée sur 
l'équation caractéristique est théoriquement la plus satisfaisante de 
toutes puisque Ton part de Tétat gazeux parfait, qui fournit la défini- 
tion théorique des poids moléculaires et que l'on évalue à ])artir de là 
d'une manière ininterrompue la grandeur des écarts du fluide par rap- 
port à cette loi sans s'occuper de sou état physique jusque dans la 
région des gaz très comprimés ou des li([uides. Toutefois la discussion 



QUELQUES REMARQUES SUR L^EQUATION ETC. 435 

iiumérique n'est pas sans présenter des difficultés car la variation de la 
densité qui donne la mesure de la dissociation des gaz, ne donne pas 
celle de l'association des liquides. Soit un corps normal; sou volume 
liquide, sous de faibles pressions (telles que la pression atmosphérique) 
et au voisinage àe ô = 0,5 (température qui pour la majorité des corps 
est peu éloignée de la solidification) sera égal d'après l'équation réduite 
de VAX DER Waals à u' ^ 0,407. Supposons maintenant que ce corps 
soit encore normal au point critique, mais que ses molécules soient 
associées deux à deux au voisinage du point de fusion. Le volume réduit 
d'après l'équation de van der Waals sera v" = 0,362. La densité aura 
donc augmenté seulement de 11 pour 100. (Avec la modification pré- 
cédente qui regarde le covolume comme fonction de la température ces 
nombres deviennent v' = 0,332, v" = 0,304: la variation de densité 
est toujours d'environ 10 pour 100). Or comme les écarts observés sur 
des volumes liquides en des points correspondants pour des corps par- 
faitement normaux (le sulfure de carbone et Féther par exemple) atteig- 
nent 3 à 4 pour 100, ou voit qu'il est impossible de ne pas tenir compte 
de ces écarts (on trouvera à la fin du présent mémoire quelques indi- 
cations à ce sujet). Le problème se compliquerait encore si l'on suppo- 
sait le corps déjà polymérisé au point critique. Cette dernière difficulté 
se retrouve d'ailleurs dans la méthode la plus souvent employée jusqu'ici 
pour aborder le jn-oblème de l'association moléculaire des liquides, celle 
des constantes capillaires. 

La supposition qui consiste à regarder le covolume comme variable 
avec la température se prête donc bien à la représentation des isothermes 
des liquides. Mais elle est insuffisante si l'on envisage dans son ensemble 
le problème de la recherche de la fonction <p{7r, v, ô) = 0. Elle ne 
remède en rien à la discordance qui existe entre l'équation de van der 
Waals et l'expérience pour la région comprise entre le point critique 
et les grands volumes gazeux. La confirmation même que l'expérience 
paraît lui apporter pour les volumes liquides n'est pas absolument con- 
cluante. Nous avons admis que le covolume augmente avec la tempé- 
rature, mais comme le volume augmente également avec la température, 
on pourrait aussi bien admettre que le covolume est indépendant de la 
température mais augmente avec le volume. Ofi est même conduit à 
préférer cette dernière supposition si Ton envisage les isothermes liqui- 
des sous de fortes pressions (les expériences d'AiviAGAT sur Téther s'éten- 
dent jusqu'à 77 = 80). On y est conduit également si l'on envisage 



426 



DANIEL BERTHELOT. 



Teusemble trim isotherme^ tel que risotherme critique. Enfin elle est 
conforme à Fopinion de tous les théoriciens. Elle conduit,, il est vrai, à 
des calculs assez compliqués, mais le problème de la compressibilité et 
de la dilatation des fluides n'est pas un problème simjile: loin de là. 
Voici la marche que j'ai suivie. 

Considérons réquation réduite de van deh Waals T^t -\- ' 2 )( ^ — r ) = 
c 
= — ^. Les coefficients numériques qui y figurent font ressorter immé- 
diatement deux propriétés importantes des fluides. En premier lieu, sur 
risotherme critique pour vr = 0, l'expression vrv prend la valeur limite 
8/3,' soit 2^,666 . . . Elle la conserverait au point critique si le fluide 
suivait la loi de Makiotte; comme elle y a la valeur ttv = 1, le coeffi- 
cient du terme en Ù représente le rapport du volume idéal du gaz a son 
volume réel au, point critique. En second lieu l'équation réduite montre 



3,fi 


\ 












' 




■\ 


















? S 




\ 














? 


H..\ 














1 S 




% 








.^-% 


''P^^ 

r^'"'-^ 


-^ 


1 




i 




'-^^ 




^$^ 
^ 


laûs'i"^ 


,."'-" 


0,fi 






W^ 




----piVîq' 


e '^° 























1,5 2 

Fiiï. 1. 



htS 



que quand Ù tend vers zéro ou tt vers l'infini, v tend vers \, c'est à dire 
que le volume ininimuin du JJuide est égal au tiers dai vohime critique. 



QUELQUES REMARQUES SUR l'ÉQUATION ETC. 437 

Que donne Fexjiénence sur ces deux points ? Pour le premier coeffi- 
cient elle indique à peu près 3,6 au lieu de 2,66. Il en résulte que 
réquatio]! de van der Waals représente assez mal la compressibilité 
du fluide entre la pression atmosphérique et la pression critique, tout au 
moins au voisinage de la température critique. (Cf. les isothermes cri- 
tiques de la fig. 1). Nous sommes amenés à introduire une valeur voisine 

32, 

de 3,6 telle que— -^3,55 dans Téquation réduite. Mais alors elle ne 
y 

satisfait plus aux relations du point critique: (l)(7r,v,Ô) = () ',- = 0, 

du 

-j-^^ **• ^^^'à peut y obéir pourtant à condition d'admettre avec Clau- 

sius que la in-ession interne soit en forme ; — , rr-r.. Pour quecechan- 
(w -|- n by 

gement n'introduise pas de constante nouvelle, il faut que // soit le 

même pour tous les corps. En particulier avec j^ = 3 on aboutit ;\ 

réquation réduite 

r , 16 1 1 / 1\ ^2. 

Cette nouvelle équation conduit à la valeur limite beaucoup trop 

faible '^ = ;;. pour ù = ^ ou tt = co . Elle représente donc très mal la 

compressibilité du fluide pour de fortes pressions (Cf. la figure). 

On échapperait à ce nouvel inconvénient si Ton conservait la paren- 
thèse [u — 4) de VAN DER Waals tout en faisant égal à 33/9 le coefficient 
du terme en ù. Pour y arriver il suffit d'admettre que le dénominateur 
de la pression interne n'est pas un carré parfait, mais un trinôme du 
E'' degré. On a alors 3 coefficients que l'on détermine par les 3 équa- 
tions du point critique. On trouve ainsi : 

r_ 1 133 -IX _1\_32 

L'^'^SlOSu^-f 96^—35] V 3y 9 

Cette équation représente aussi bien que celle de Clausius la région 
des grands volumes gazeux sur Tisotherme critique et aussi bien que 
celle de van der Waals la région des fortes pressions. 

Toutefois cette dernière même indique une compressibilité trop faible 
dès que Ton dépasse ;j= ^^Pc soit pour les liquides, soit pour les gaz 



428 DANIEL BERTHELOT. 

même permanents (air^ azote, etc.). Nous sommes amenés à examiner 
de plus près le facteur v — ^ du premier membre de l'équation réduite 
que nous avons conservé jusqu'ici. 

L'exj^érience indique bien que lorsqu'on abaisse la température d'un 
fluide ou lorsqu'on augmente de plus en plus la pression exercée sur 
lui, son volume diminue, et paraît tendre vers une limite fixée. 

Mais cette limite dans les deux cas semble notablement plus basse 
que le tiers du volume critique. Mathia.s a remarqué que le volume 
d'un grand nombre de liquides est déjà réduit au point de solidification 
c'est à dire bien avant le zéro absolu au tiers du volume critique; pour 
plusieurs d'entre eux dont la température réduite de solidification est 
particulièrement basse, (chlorures d'étaiu et de carbon, etc.), le volume 
liquide est déjà plus petit que le tiers du volume critique. 

Une conclusion analogue se dégage des observations sur les gaz ou 
les liquides très comprimés. Entre 2500 et 3000 atmosphères on trouve 
les valeurs 0,283 pour l'air à 0°; 0,272 pour l'ether à 0°; 0,270 pour 
le sulfure de carbone à 0": toutes valeurs inférieures à la valeur limite 
0,333 indiquée par la formule de van deii Waals. 

Pour calculer le volume minimum on peut extrapoler jusqu'à ;r= ^ 
les formules de compressibilité des liquides, ou jusqu'à T=^ les for- 
mules de dilatation. Plusieurs physiciens parmi lesquels je citerai Guld- 
BEUG et DE Heen out suivi cette voie. La méthode la plus sûre est 
celle qui s'appuie sur la loi du diamètre rectiligne de Maïhias. On 
trouve ainsi que pour des corps très variées, la valeur limite de v est 
sensiblement la même et voisine de 0^20. 

Nous sommes amenés par là à remplacer dans l'équation réduite le 
facteur {v — -j) par une expression ])lus compliquée, tenant compte de la 
variation du covolume aA^ec le volume, se confondant avec la précédente 
pour y = 1 et conduisant à une valeur limite voisine de v = 0,26 pour 
7r=y-. Nous poserons donc: 

Si l'on adopte la valeur limite v = 0,208-5 de Tanhydride carboni(|ne, 
on a y/= 2,735, />'= 3,775. D'ailleurs pour ce corps 6'^3,(îl. Ceci 
posé, l, M, 11 se calculeront comme précédemment au moyen de 3 équa- 
tions du point critique, llemarquons que / devra ensuite être regardé 



QUELQUES DEMARQUES SUR l'ÉQUATION ETC. 439 

comme une fouctiou de la température qu'on déterminera de manière à 
satisfaire à certaines conditions qu'on trouvera plus loin. 

Une telle forme d'équation réduite se prête assez bien à représenter 
l'ensemble du réseau expérimental. Toutefois elle oH're comme la plu- 
part de celles où le covolume est regardé comme variable avec le volume 
l'inconvénient d'être d'un degré supérieur au troisième. 



lY. MÉTHODE ADOPTÉ POUR COMPARER LES FORMULES ET l'eXPÉRIENCE. 

DIAGRAMMES DES ECARTS A LA LOI DE MARIOTTE ET 

A LA LOI d'aVOGADRO. 

"^relies sont les principales équations caractéristiques à 3 constantes 
]3roposées jusqu'ici. Il importe de les discuter au moyen des résultats 
expérimentaux. 

La comparaison la plus complète consisterait évidemment à calculer 
par points un réseau théorique et à le comparer avec le réseau expéri- 
mental réduit. C'est ce qu'ont fait Eaveau et Eeinganum qui ont con- 
fronté, le premier l'équation de van der Waals, le second sa nouvelle 
équation avec les réseaux de l'anhydride carbonique (Amagat) et de 
risopeutane (S.YoUiMg). Ces deux comparaisons portent sur le voisinage 
du point critique et n'embrassent qu'un intervalle de température assez 
limité (de 0,85 Te à 1,0 7',.). Quant aux pressions les calculs de Ha veau 
s'étendent jusqu'aux pressions élevées; ceux de Eeinganum ne dépassent 
jias les pressions moyennes. 

On pourrait évid(îmment étendre cette méthode et raccorder les réseaux 
de corps divers en employant les coordonnées réduites. Une telle com- 
paraison exigerait des calculs très laborieux, sans parler de la difficulté 
provenant de l'incertitude des constantes critiques. 

J'indiquera ici les grandes lignes d'une méthode qui permet de se 
faire une idée d'ensemble du réseau tout en exigeant des calculs moins 
longs. 

Cette méthode repose sur l'emploi de deux diagrammes tracés avec 
des coordonnées spéciales. 

1'^. Diagramme des écarts à la loi de Mariotte : c'est l'ensemble des 
isothermes tracés avec les variables pv et jJ ; 



430 DANIEL BERTHELOT. 

2°. Diagramme des écarts à la loi crAvoGADiio. C'est Tenseinble des 
isobares tracés avec les variables — et T. 

1° Diagramme des écarts a la loi de Mariotïe : 

Portons en ordonnées les valeurs du produit j?;«', eu abcisses les valeurs 
de p et construisons le réseau des isothermes. tSi le fluide suivait la loi de 
Mariotte, on obtiendrait une série de droites équidistantes parallèles à 
Taxe des abcisses. La réalité doime un aspect ditt'éreut et bien connu des 
physiciens car ce mode de représentation est celui qu a adopté Amagat, 

Considérons Tisotherme critique de CO'^ (figure 1) et adoptons les 
coordonnées réduites. L'ordonnée à Torigine a la valeur 3,01; puis la 
courbe s'abaisse quand la pression croit^ passe par le point critique, con- 
tinue à descendre jusqu'à un point ou pv est minimum (en ce point 
le gaz suit la loi de Mariotte) et se relève ensuite. 

Les isothermes suivants répondant à des températures croissantes ont 
la même forme générale; le minimum Hq pv croit d'abord avec la pres- 
sion, puis à partir de la température 7'= 1,5 Te il rétrograde, et finit 
par répondre à une pression nulle pour la température T^ 2,98 2\. Au 
dessus de cette temj)érature le gaz est, même pour de faibles pressions, 
moins compressible que n'indique la loi de Mariotte. Tel serait le cas 
de CO- au dessus de 636° C; tel est le cas de l'hydrogène dès la tem- 
pérature ordinaire. 

Le lieu du minimum de po est une parabole. Une parallèle à l'axe 
des ordonnées la coupe en général en 2 points ou en aucun. Il y a donc, 
sous une pression donnée, deux températures ou aucune oii le gaz suit 
la loi de Marlotte. 

Cette parabole des ordonnées minima divise le plan en deux régions : 
la région de gauche oii le gaz est plus compressible que n'indique la loi de 
Mariotte, la région de droite oii il est moins compressible. L'allure géné- 
rale des isothermes est beauceup plus simple dans cette région de droite; 
ils n'y ditrèreut pas beaucoup de lignes droites à peu près parallèles. Cette 
région comprend d'ailleurs la zone des fortes densités (gaz très com- 
primés, liquides) aussi bien que celle des hautes températures réduites : 
et il est curieux que la forme des isothermes de Thydrogène rappelle 
celle des liquides. Tous ces faits ont été mis en lumière par Amagat. 

L'équation de van der Waals permet de prévoir cette allure géné- 
rale du phénomène. Soit l'équation réduite 



QUELQUES llEMAliQUES SUll l' EQUATION ETC. 43] 

Posons (fi = 7rv. L'équation devient 

3 4)'' — (tt + 8 â) Cp^ + 9 TT (?) — 3x^= 0. 

Traçons Fisotherme critique : Tordonnée à Torigine a la valeur 8/3 = 
2,666; risotherine baisse^ passe par le point critique^ atteint un mini- 
nium et se relève en suivant fidèlement Tisotlierme expérimental réduit 
(fig- !)• 

Nous obtiendrons le lieu des ordonnées minima ') en i)osant -^^^O. 
C'est la parabole 

^ 6 

Deux points surtout sont intéressants sur cette parabole : 
1° le sommet (point de rétrog-radation du minimum de pv) , 
2° Fintersection avec Taxe des ordonnées (point où le gaz suit la loi 
de Mauiotte sous de faibles pressions). 
Les coordonnées du sommet sont : 

.= -^=3,370 „ = - = 1,333... « = ^ = — = 1,898 

9 
En ce point on a 7ri!'^- = 4,5. Et comme sur ce même isotherme 

la valeur de ttv à l'origine c'est à dire sous une pression infiniment faible 

est égale a ( - j "^Vn^^ o,(}6, on en conclut qu en ce point le rapport 

du volume idéal (volume qu'aurait le tiuide s'il suivait les lois des gaz 

y 
parfaits) au volume réel est égale à, -= 1^125. 



') Au poiut de vue aualytiq^ue if est intéressant de signaier fe lieu des maxinia 

cItt 
et minima de x qui s'obtient en posant — - ^ 0. C'est une liyperljofe qui a pour 

sommet fe point critique et qui possède en ce poiut une tangente verticafe, com- 
mune avec fisotherme critique. Mais ses points n'ont pas de réalité physique, car 
ifs se trouvent sur fa portion instable des isothermes prévue par fa théorie. 



432 DANIKL BERTHELOT. 

Si Ton veut obtenir le lieu des ordonnées minima avec les variables 
ordininaires -k, v, ù ou trouve : 

Désignons -çi^v pa,Va, Ta les coordonnées du sommet de la parabole, on 
peut évidemment adopter comme variables réduites {. = ^''-P ,y = o: Va 
1 =^T: Ta- L'équation de van der Waals prend alors la forme réduite 



(^+.iO(v-D-^- 



Quant au point d'intersection de la parabole avec Taxe des abcisses, 
il a pour coordonnées : 

^=y= 3,375, ^ = 0, .= --0. 

Examinons maintenant ce que donne Texpérience pour ces deux 
points. 

Le point de rétrogradation du minimum de pv se trouve compris 
dans les réseaux d'AMAGAT sur l'anhydride carbonique et Téthylène et 
dans celui de Witkowski sur l'air. J"ai trouvé par interpolation les 
valeurs suivantes pour^;, T et pv (en posant y;r= 1 à 0°C et latm) 

CO2 257 atm. LS3° C. 1,37 
C'H'' 186 atm. 157° 0. 1,32. 

Pour l'air Witkowski donne les valeurs : 

air 124< atm. — 75°C. 

et l'on a pv^ 0,57. 

On trouve d'ailleurs les valeurs suivantes des produits y;r à l'origine 
des trois isothermes précédents (ces valeurs sont données par les rapports 
des températures absolues ci-dessus à la température 273° abs) : 

1,07 pour C02; 1,19 pour C^E'; 0,725 pour l'air. 



QUELQTTES REMARQUES SUR i/ÉQUATION ETC. 433 

J'admettrai les valeurs critiques pc, T,., d suivautes : 

CO^ 72,9 atm. 31°,3 C. 0,464. 

CViHl atm. 9^ C. 0,212. 

air 39 atm. —141° C. 0,344. 

Les deusités critiques se rapportent à Teau. Les dounées relatives à 
Fair sont moins certaines que les autres; il est possible que la pression 
39 atm. soit un peu forte. La densité critique 0,344 est celle qui se 
déduit des derniers mesures de densités liquides de La uenrurg etKiiUGEL 
par la règle du diamètre rectiligne. 

On déduit de ces nombres des valeurs réduites assez voisines les unes 
des autres: 









Lf 


'^o^o 


co-^ 


3,52 


1,50 


1,25 


1,22 


C^H' 


3,65 


1,52 


1,20 


1,19 


Air 


3,18 


1,50 


1 '^2 


1,27. 



Cherchons maintenant les coordonnées du point oii le gaz suit la loi 
de Mariotte sons de faibles pressions. De Heen et Dwelshauvers- 
Dery (Bulletin de F Académie de Bruxelles 1894) ont trouvé que la 
jDarabole des ordonnées minima de CO^ telle qu'elle résulte des expé- 
riences d'AMAGAT coupe Taxe des pressions à la température /= 036° C. 

, . V V V 1 . .-, • . 273 4- 636 

c est a dire a la température réduite a = —r=-: — , — ?rr- = 2,98. 
^ 273 + 31 ' 

D'autre part Leduc a déterminé en collaboration avec Sacerdote les 
coefficients d'écart à la loi de Mariotte sur des gaz à points critiques 
très variés, et il a construit la courbe de ces écarts (pris à des pressions 
correspondantes) en fonction des températures critiques. Il en a conclu 
qu'un gaz de point critique égal à ■ — 180° C. suivrait la loi de Mariotte 
sous une faible pression à 0° 0, c'est à dire à la température réduite 
ô = 2,93. Ce nombre s'accorde bien avec le précédent. 

Enfin nous mentionnerons sur le réseau théorique {pi\ p) donné par 
l'équation de van der Waals un troisième point remarquable. Exami- 
nons les valeurs des coefficients angulaires à l'origine des isothermes à 
des températures croissantes. Dans le voisinage du point critique le 
coefficient est négatif; il diminue en valeur absolue, il s'annule pour 

ARCIIRES néerlandaises, SKRIE II. TOME V. 28 



434 DA.NIEL BERTHELOT. 

27 

T= — ^ Te; au-dessus il devient positif (cas de riiydrojyène à la tempé- 

o 

rature ordinaire); il augmente^ passe par un maximum, puis diminue. 

37 
La température du maximum est 7'= - ~ T,.. Il n'existe pas d'expé- 
riences permettant de la fixer par cette méthode directe, mais on peut la 
fixer indirectement au moyen du phénomène de Joule et Kelvik comme 
nous le verrons plus loin. 

2°. Diagramymes des écarts a la loi ^/'Avogadro-AmpÈre. 

Traçons un réseau d'isohnres ou courbes d'égale pression en })ortant 

en ordonnées les valeurs de -, en abcisses les valeurs de T. Si le fluide 

suivait la loi d'AvoGADRO- Ampère on aurait — = B, c'est à dire une 

parallèle à Taxe des abcisses. 

En réalité on obtient des courbes plus compliquées dont l'allure est 
bien celle qu'indique l'équation de van der Waals. 

7T V 

Posons -il = .-, cette équation prend la forme: 

S ô^^ ^^ — {tT -\- S ô) ô-i '4,^ -r 9 TT ô -J^ — S TT^ = 0. 

vSi la loi d'AvoGADRO- Ampère était rigoureuse, comme on a sur l'iso- 
therme critique sous une pression infiniment faible -J; = 8/'"3, le réseau 
se réduirait à la parallèle \p = 8/3 à l'axe des abcisses. 

Le réseau des isobares offre en réalité l'aspect de la figure 2. Les 

ordonnées ont été prises égales à - '^ sur cette figure qui a été tracée 

o 

spécialement en vue de la discussion des poids moléculaires des corjjs 
à rétat liquide ou gazeux. Soit une isobare répondant à une pression 
TTj <C1- Une parallèle à l'axe \p répondant à la température â, <C 1 
la coupe en 3 points. Soit une autre isobare tt^ <C 7î'2 <C 1 • Coupons 
la par la droite ô^ <^ ^^ <^ 1- ^^^ '^ points d'intersection se rapprochent. 
Enfin la droite ô ^= 1 coupe l'isobare tt ^= 1 eu 3 points d'intersection 
confondus: l'isobare admet un point d'inflexion avec tangente verticale. 
Efl'ectivemeut en faisant dans l'équation donnée plus haut Ô = l, tt ^= 1, 
elle se réduit à {■■p — 1)'^ = 0. 



QUELQUES REMARQUES SITU L EQUATTON ETC. 



435 



Uue discussion analogue moutre que Tisobare tt = 9 admet un poiut 
d'inflexion avec tangente horizontale à la température â = -3. En faisant 



1,1 



0,9 



0,8 



0,2 









\ 
















\\ 


\ 


\ 


^^ 


^^^^_ 












es 


If- \ 


?H'' CH" 





= SVc 






— — 




so' co^ à 


CO Al 




/ 


J 


\ 




1 




p 










'1 




\ 


\ 


y 




















\ 


M 














1 
























\ 


\ 




\ 


















\ 


V_ 


J 


































i 




\ 


\ 


J 


















, 


















l 


'^■"v- 


7 


\ 


1.-^ 















0,5 1 



1,5 



•»T, 



Fig. 2. 



dans réquation donnée plus haut ^i^ = 'i, t = 9 elle se réduit à 
(0—3)=' = 0. 

28* 



4â6 ' Daniel berthelot. 

Deux lieux géométriques mériteut cVêtrc signalés: ceux que Ton 
obtient en posant 

— — ^ et — - =: . 

d-^ dû 

Le lieu des valeurs minima et maxinia ') de ù est une courbe aplatie 
dont le sommet est le point critique. En ce point la courbe admet une 
tangente verticale qui lui est commune avec Fisobare critique. — Cette 
courbe n'a pas de réalité physique, tous ses points appartenant aux por- 
tions instables des isobares. 

La courbe des valeurs maxima et minima de d' a pour équation: 

(3 ;/; — 8) [-^2 ^2 + 18 (-^ — 6) ^ + 81] = 0. 

Les coordonnées de son sommet sont comme on vient de le voir 
•^p = 3^ ^ = 3^ ;r ^ 9. Par suite u = 1. 

Si Ton veut obtenir ce lieu géométrique avec les variables habituelles, 
on trouve: 



c-^^x ^->-^- 



La première de ces équations ne diffère de celle qui a été obtenue 
pour le lieu des ordonnées minima que par la substitution du facteur 



27 , 27 



Désignons par jy^, ^6, 1\) les coordonnées du sommet de la courbe. 



') Le mode de représentation habituel (isothermes avec les coordonnées, p,t>,) 
ne fait ressortir qu'un point remarquable sur le réseau: le point critique. Le l*"'' 
mode de représentation étudié ici (isothermes avec les coordonnées in\ p) en 
fait ressortir deux: le point critique et le point de rétrogradation du minimum 

de pv. Le second mode (isobares avec les coordonnées — et T) en font ressortir 

deux également, dont un est le point critique. Tous les systèmes de coordonnées font 
bien voir l'importance du point critique mais il apparaît dans chacun d'eux 
comme le sommet de courbes physiquement irréalisables. 



QUELQUES REMARQUES SUR l'ÉQUAïION ETC. 437 

Eli adoptant les coordonnées réduites: n ^ p:pu, T = v : Vb, 
0=7': Ti) l'équation de van uer Waals prend la forme 



("+3tO(^-D^^- 



Il est un second point à signaler sur le réseau {•'h, ô). C'est celui où la 
courbe des inaxiina et minima coupe la parallèle •■p = 8/3 à l'axe des 
abcisses. Les coordonnées de ce point sont ô = 26/4^ tt = 0, y = oo. 

Le système de coordonnées adopté ici permet de discuter certains 
problèmes physiques: tels que le poids moléculaire des iiuides, la ther- 
mométrie à pression constante^ la variation de Tetlet Joule-Kelvin. Le 
second point signalé plus haut représente l'inversion de Teffet Joule- 
Kelvin [sous de faibles pressions: c'est à dire celui à partir duquel les 
gaz qui traversent une paroi poreuse dans les conditions de l'expérience 
des physiciens anglais se réchaufl'ent comme fait l'hydrogène dès la 
température ordinaire. Quant au sommet de la courbe du minimum de 
•p, on peut convenir de le désigner sous le nom de point de rétrograda- 
tion du phénomène Joule-Kelvin. 

Ici encore l'expérience confirme les prévisions tirées de l'équation de 
VAN DER Waals. En traçant les isobares expérimentaux avec les coor- 
données pvjT et 7' on trouve bien le point d'intlexion indiqué par la 
théorie. 

Amagat a publié en 1881 (Annales de Chimie t. XXII) une série 
de mesures sur Tazote entre 0° et lOC^. Les températures sont espacées 
de 20'^ environ et les pressions de 20 m. de mercure. La forme des 
courbes est d'ailleurs telle que la température du point d'inflexion est 
plus difficile à fixer que la pression. On trouve 408 atm. et 30° C, ce 
qui donne (en admettant p^ = 34 atm.; /,. = — 146° C), pu = l'^Pc 

On a d'ailleurs en ce point pij vi. = 361 (l'unité de volume n'est pas 
donnée par Amagat^ mais on trouve sans difficulté ^j ?' = 262 à 0° et 
1 atm.). La valeur de po répondant à une pression très faible sur ce 
même isotherme est 291. Le rapport du volume idéal au volume réel 
est égal à 291 : 364 = 0,800. Enfin si l'on admet d,. = 0,333 (densité 
calculée par la règle du diamètre, Comptes-Rendus 12 mars 1900), on 
en tire Vb = 0,904 ??,.. 

Une seconde scvie d'e\])ériences sur l'azote fut publiée par Amagaï 
en 1893. Elle ne contient que les trois isothermes de 0°, 9 9°, 5 et 



438 DANIEL BERTHELOT. 

199°^5 et ne suffit pas pour fixer 2\. Elle donne pour jîj/; une valeur 
sensiblement plus basse que la précédente, à savoir py = 375 atm. 
= \1,Q 2h> Si Ton conserve la valeur tu = 30 G., on a, pt Vb =^ 1^37 
(sachant que pv =^ 1 à 0° et 1 atm.). Comme on a à 30° et 1 atm. 
pv= 1^11^ il en résulte pour le rapport du volume idéal au volume 
réel la valeur 0,803. Enfin ou a Vb = 1,02 ?v- 

Des expériences analogues sur Tair donnent ^;/;=]i 00 atm. =10,2;opc 
Les données expérimentales ') (isothermes de 0'^, 100° et 200°) ne suf- 
fisent pas à fixer To- 

La série sur Toxygène ne contient également pas les 3 isothermes pré- 
cédents, mais la forme des courbes permet de fixer non seulement 
pij = 575 atm. = 11, bpc mais encore fo = 100° environ (d'oii To = 
2,4 Te). Le rapport du volume idéal au volume réel est égal à 

— - = 0,807, et sachant que de =^ 0,429 on en conclut t'(, = 0,885 y^ 

Dans tous les cas la valeur expérimentale de pb est plus forte que la 
valeur théorique et la valeur de Th plus faible. Quant à la densité elle 
paraît, au degré de précision des expériences et des calculs, être égale, 
comme veut la théorie, à la densité critique. 

Reste le second point remarquable signalé sur le réseau des isobares: 
le point d'inversion de Teff'et Joule-Kelvin sous de faibles pressions. 
Les formules calculées par Eose-Innes (Philos. Mag. LXLV, 1898) 
pour représenter les expériences des physiciens anglais donnent les 
valeurs -f- 360° C. pour Tair et — 79° pour Thydrogène, qui répondent 
(en admettant te = — 141° pour Tair et /,. = — 234° pour l'hydro- 
gène) aux températures réduites 4,8 et 5,0. 

Le tableau suivant résume Teusemble de la discussion. 



') Le matériel expérimental pour fixer la position des deux points de rétrogra- 
dation du minium de pv et du phénomène Joule-Kelvin est évidemment très 
restreint. Il serait à désirer que l'on possédait pour ces deux points, comme pour 
le point critique, des expériences faites avec des valeurs plus rapprochées de la 
pression et de la température et partant sur des corps variés. 



QUELQUES REMARQUES SUR L EQUATION ETC. 



439 




V. D. 

Waals 



expé- 
rience 




Rapport du 
volume idéal 
au vol. réel 



V. D. 

Waals 



expé- 
rience 



1" Point cri - 
tio[ue 

2" Point de 
rétrogradât, 
du minimum 
àe pv 

3'^ Point de 
rétrograda- 
tion de Teifet 
Joule-Kel- 
vin 

i" Point où 
le gaz suit la 
loi de Mari- 
OTTE sous de 
faibles pres- 
sions 

5° Point 
d'inversion 
de l'effet Jou- 
le - Kelvin 
sous de fai- 
bles pres- 
sions 



1,898 



1,50 



2,4 



3 375 



3,2à3,6 



10àl2 



1,1333 



l,20àl,25 



0,9 à 1,0 



2,666 



1,125 



0,888 



3,6 à 3,8 



l,19àl,27 



0,80 



3,375 



2,93à2,98 



6,750 



4,8 à 5,0 



Equation réduite de van der Waals en prenant pour unités : 

1 °. les coordonnées du point critique i'^'i'^J i^' — ^)^^^^ 

'l^. les coordonnées du point de rétro- /p |_ 1 \ (^y ^\ ^T 

gradation du niinimmn de pv \ 2 VV \ 1/ 8 

5°. les coordonnées du point de rétro- /" , 1 \ /„ 1\ ^ ^^ 

gradation de l'effet Joule-Kelvin \ 3TV V. 3/ 9 

Parmi les conséquences d'ensemble qui se dégagent de ce tableau, je 
relèverai spécialement celles qui ressortent du rapprochement des deux 
premières et des deux dernières colonnes. 

1 ^ Toutes les températures indiquées par l'équation de van der W a als 



440 DANIEL BERTHELOT. 

pour les phénomènes phj-siques cousiclcrés sont supérieures à celles que 
révèle rexpérieiice. 

Cette constatation est en faveur de l'opinion qui regarde Tattractiou 
spécifique moléculaire comme une fonction décroissante de la tempé- 
rature. 

2° La variation du produit pv entre les faibles pressions et les pres- 
sions répondant aux phénomènes considérés est toujours ])lus faible que 
celle qu'indique l'expérience. 

Cette constatation milite en faveur du l'emplacement du terme a\c^ 
(pression interne) par une expression de forme 



v'^^^Ahv + Bb'^' 



La manière dont l'équation de van der Waals répond à l'ensemble 
des phénomènes n'en est pas moins des plus remarquables. Et sa supé- 
riorité sur maintes des modifications empiriques (telles que celles de 
Clausius) proposées pour Taméliorer^ ressort du fait que ces modifica- 
tions en rapprochant la formule de l'expérience sur de faibles portions 
du réseau^ l'en écartent complètement dans les parties éloignées. 



Y. DISCUSSION SOMMAIRE DE qUEI,QUES EQUATIONS f'AllACTKRISTIQUES. 

Pour discuter les diverses équations caractéristiques à 3 constantes^ 
il conviendrait de procéder comme je l'ai fait dans les pages précédents 
pour celle de van der Waaus et de dresser pour chacnue d'elles un 
tableau analogue. Cette comparaison m'entraînerait trop loin : aussi me 
contente rai -je des indications suivantes. 

On a vu plus haut la comparaison de l'isotherme critique réduit de 
l'anhydride carbonique avec les isothermes critiques de van der Waals 
et de Clausius. Il en résulte que la modification proposée par Clau- 
sius a pour eff'et de faire basculer l'isotherme autour du point critique. 
Elle ne rétablit la concordance avec l'expérience pour les faibles et 
moyennes pressions qu'eri la détruisant })our les fortes pressions. 

On s'explique ainsi la faveur qu'a rencontrée l'équation de Clausius; 
envisagée à un point de vue purement empirique, sa forme se prête 
mieux à la représentation des résultats obtenus pour les gaz sous des 



QUELQUES REMATIQUES SUR t/ÉQUATION ETC. 441 

pressions inférieures à la pression critique que celle de van der Waals. 
Elle permettrait plus facilement par exemple, si Ton voulait utiliser sim- 
plement les constantes critiques jj^ et Te, de figurer la variation par la 
température des coefficients d'écart à la loi de Mariotte au voisinage de 
la pression atmos])liérique : question dont dépend la détermination 
exacte des poids moléculaires des gaz au moyen de leur densité. En 
revanche pour toutes les questions relatives aux gaz très comprimés et 
aux liquides la formule de van der Waals convient mieux. 

Une remarque analogue à celle qui vient d'être faite sur l'équation 
de Clausius s'applique à l'équation (")) deDiETERici, Sa forme réduite est 



eH 



Elle convient pour les faibles pressions, mais est en défaut dès qu'on 

dépasse la pression critique, puisqu'elle conduit à u = 0,5 pour tt = ce. 

La seconde équation de Dieterici est meilleure. Sa forme réduite est 



(^+4)(?-D=T^- 



La valeur L5/4 = 3,75 se rapproche de la valeur expérimentale 3,6 
à 3,8 et l'isotherme critique calculé suit assez bien l'isotherme expéri- 
mental jusqu'à la pression critique. Quand on la dépasse, il le suit 
d'abord moins bien que celui de van der Waals, le facteur v — \ con- 
venant moins bien que le facteur v — 1/3 dans cette régioii ; mais pour 
de très fortes pressions ou de basses températures il redevient préférable. 

Je n'examinerai pas l'équation de Eeinganum; elle est tellement 
com])liquée qu'il est impossible de la mettre sous la forme réduite. 
Quelques calculs que j'ai faits m'ont paru indiquer qu'au voisinage de 
^ = 0,5 c'est a dire dans les conditions habituelles de mesures sur les 
Hquides, les divergences avec l'expérience sont déjà notables. Il m'a 
paru en être de même sous les fortes pressions de l'ordre de 50 à 80 pc. 

Passons maintenant à l'examen des modification d'ordre théorique 
proposées par H. A. Lorentz, van der Waals lui-même, Jaeger, 
BoT/rz^iAN, etc. Leur cai'actère commun est de ne pas arriver à mettre en 
évidence le covolume comme l'expérience semble l'imposer et de l'intro- 
duire seulement à titre d'approximation. 



4.42 



DANIEL BERTHKLOT. 



Si Ton adopte le développement en série (2), réquation réduite avec 
la valeur a^ = 5/8 de Jaeger et Boltzmann devient: 

5,191 _ 3(5^ 0,7303 0,3333\ 



et avec la valeur x,^ = 15/32 de van der AYaals 



0,8433 , 0,3333\ 



, 5,530 3/5/- ....... , ,^ 



Ces équations ne représentent guère mieux que celle de van der 
Waals la portion de Tisotlierme critique comprise entre tt = et 



O.itO 




20111 



;r = 1 , et elles représentent beaucoup plus mal la portion qui corres- 
pond aux pressions plus fortes (courbes ponctuées III et IV de la 
figure 3). 



QUELQUES REMARQUES SUR l'ÉQUATION ETC. 443 

Il en est de même de Tisotlierme critique \ qui résulte de Téquation 

dont BoLTZJEAXN a calculé les coefficients d'après la théorie cinétique 
pour auK^iorer la formule de van der Waals (Vorlesungeu iiber Gas- 
theorie, t. II, p. 153. 1898). 

En admettant le développement eu série du covolume de van der 
Waals avec les valeurs jo^ = 17/32, [2., = 0,0958 Téquation réduite 
devient 



Cette équation conduit pour les deux jiortions de Tisotlierme critique 
à des conclusions inadmissibles: à savoir qu'entre la pression atmosphé- 
rique et la pression critique le gaz serait moins compressible que n'indi- 
que la loi de Mariotte; et que les plus fortes pressions ne pourraient 
amener son volume au-dessous des six dixièmes du volume critique. 

Cette discordance ne prouve d'ailleurs rien contre la légitimité du 
développement en série, car il est possible qu'avec un plus grand nom- 
bre de termes on obtient un meilleur résultat. Mais elle montre que 
l'intérêt de ces calculs est d'ordre théorique, et qu'il ne sont pas sus- 
ceptibles d'être utilisés pour le problème pratique que j'envisage en ce 
moment. 

Entin je dirai quelques mots du second ordre de moditications intro- 
duites par Clausius, qui fait varier la pression interne avec la tem- 
pérature. 

Pour représenter les résultats d' Andrews sur l'anhydride carbonique, 
Clausius a posé f{T) = aj7\ Cette forme convient en effet au voisi- 
nage du point critique. C'est ce qui ressort de la remarque suivante. Si 
l'on construit les courbes de tension de vapeur, l'équation de van der 

. . . tÏTT 

Waals donne au voisinage du point critique -— = 4 tandis que l'expé- 

rieuce sur des corps variés (Stoletow, Jou.rnal de Physique, t. I, 

188:2) donnée = 7. 
^ dô 



444 DANIEL BERTHELOT. 

Or Eaveau a remarqué (Société de Physique^ 17 février 1893) que 
p -\- 7jii~-2 J {^' — 6) = J^ T, on a — = 4 -]- 3/^, 

Il en résulte bien k = 1, mais dès qu'on s'écarte du point critique la 
variation de a est moins rapide. En voici une preuve. La formule de 
VAN DEU Waals indique pour la température à laquelle un gaz suit la 
loi de Mariotte sous de faibles pressions la valeur trop forte ô = 3,37. 
Pour trouver la valeur expérimentale 2,93, il faudrait dans Téquation 
donnée quelques lignes plus haut poser Ic=^ 0,13. Si Ton admet k=\ 
on trouve la valeur beaucoup trop basse 1,84 qui conduirait à admettre 
que Tazote, Toxyde de carbon, Fair sont déjà à 0^ dans le même état 
que riiydrogèue, je veux dire moins compressibles que n'indique la loi 
de Mariotte. L'exposant k =^\ ne convient donc plus en dehors de la 
région critique. 

Il existe d'ailleurs diverses méthodes qui peuvent donner au moins 
d'une manière approchée la variation de a avec T. La plus simple est 
celle de van der Waals et Bakker sur les chaleurs internes d'évapo- 
ration. M. Mathias qui l'a employée, a reconnu ainsi, [séances de la 
Société de Physique de Paris, '21 Avril 1900], que la courbe a =f{T) 
paraît avoir un point d'inflexion dans la région critique. 

Une autre méthode approchée que j'ai employée consiste à étudier 
dans un grand intervalle de température le coefficient d'écart à la loi de 
Mariotte au voisinage de la pression atmosphérique. On constate égale- 
ment que la variation de a se ralentit quand on s'écarte du point critique. 

Je terminerai par la remarque suivante. L'emploi des coordounées 
pe et p se prête particulièrement à la discussion de la fonction /(^;, ?', T), 
si on la suppose mise sous la forme (p -]- P) {v — F) = const. Dans 
l'intérieur de la parabole des ordonnées minima le terme P (pression 
interne) joue un rôle pré])ondérant : Clausius dont les expériences ont 
porté surtout sur cette région, s'est trouvé ainsi amené à en modifier 
l'expression, eu remplaçant ajv'^ par al{v -\- d)-, en y introduisant un 
facteur de température, etc. Considère t'on au contraire la partie du plan 
extérieure à cette parabole (zone de l'hydrogène et des liquides), l'équa- 
tion se rapproche de la forme p{i- — b) = const., le covolume y joue 
un rôle plus important que la pression interne et l'on est conduit à le 
regarder comme variable avec le volume, à le faire dépendre de la tem- 
pérature, etc. 



QUELQUES REMAllQUES SUR l'ÉQUATION ETC. 44î 



VI. LES ÉCARTS A LA LOI DES ETATS CORRESPONDANTS. 

On a supposé daus ce qui précède que la loi des états correspondants 
est rigoureuse. L'examen des expériences — de celles d'AjiAGAT et de 
SiDNEY YouNG principalement — ne permet de l'admettre qu'à titre 
d'approximation. A mou avis pourtant (Comptes liendus 12 mars et 16 
juillet 1900) une discussion attentive montre que la loi est exacte 
moyennant deux modifications simples. 

1° Il faut comjDter les volumes non pas à partir de zéro, mais à 
partir du volume minimum du fluide ou covolume. Cette dernière ma- 
nière de faire est la plus satisfaisante des deux pour l'esprit comme l'a 
très bien fait remarquer Eaveau (Journal de Physique, t. VI, 1897). 
Ce volume minimum s'obtient par la règle du diamètre de Mathias; 
et les moindres variations du volume minimum réduit se reflètent dans 
les écarts à la loi de correspondance tels que les a calculés avec beau- 
coup de minution Mme. K. Meyer d'après les données de S. Young 
(Zeitschrift fiir Physik. Chem. février 1900). 

2° L'expérience paraît indiquer également qu'il faudrait compter les 
températures à partir d'une température minimum T^n spéciale à chaque 
corps. Ce nouveau changement de zéro est moins explicable que le 
précédent; le sens physique de î',» nous échappe, et je n'ai réussi à trou- 
ver qu'une méthode indirecte pour en calculer la valeur: cependant 
comme les résultats en concordent bien avec ceux que Mme. Meyer ob- 
tient par une voie toute difl'érente, ou peut accepter ce changement de 
zéro à titre empirique. 

Il résulte de là que l'équation caractéristique doit contenir 5 constan- 
tes au lieu de 3. En quelle mesure cette constatation modifie-t-elle 
nos spéculations antérieures? 

On pourrait en Dremier lieu adopter les variables auxiliaires u^= v — Vi„ 
s^ T — Tt„ et chercher la fonction à 3 constantes F{p,u,s)^0. 

Mais on peut procéder plus simplement. L'équation réduite de van 
der Waals mit en lumière les 2 valeurs lim. v=l!S pour 7r= » 
ou ô = et lim. ttv = 8/3 pour Ù = i et ;r = 0. Une équation réduite 
dirterente à 3 constantes conduirait à des valeurs autres, mais qui seraient 
toujours communes à tous les corps. En fait, ces valeurs ne sont pas 
identiques, mais simplement voisines, l'un de 1/4, l'autre de 3,6. 



446 DANIEL BERTHELOT. QUELQUES REMARQUES ETC. 

J'a trouvé par exemple 

liiii -j 0,278 . 0,382 0,269 0,243 0,243 0,260 0,255 0,258 

De même on a d'après S. Young: 

C02 CCIr' C^H' SuCl^ C'E^Br C^H'^Cl {C'IP)-0 
WmjTv 3,61 3,66 3,71 3,75 3,78 3,81 3,82 

C'est précisément sur cette diversité que je me suis appuyé pour cal- 
culer 'ii,n et T,„. Dès lors on tiendra compte de ces écarts de la loi des 
états correspondants, si au lieu d'introduire dans l'équation (7) à la- 
quelle je me suis arrêté comme conclusion de ma discussion des va- 
leurs uniformes pour tous les corps (telles que les valeurs 3,6 et 0,269 
qui conviennent à CO- et que j'ai prises comme exemple), on y adopte 
les 2 valeurs spéciales à chaque corps. 

Les équations réduites de deux corps différents auront ainsi des 
coefficients numériques voisines, mais non pas identiques. On retrouvera 
sur l'une les résultats obtenus sur Tautre, mais avec des valeurs nuuu'- 
riques légèrement différentes, conformément à l'expérience. 

Des considérations de ce genre nous amènent à penser que le progrès 
des observations, bien loin de religuer les idées de correspondance in- 
troduites daus la science par le génie de van der Waals à Tétat de 
vérités ap])roximatives, est appelé à les élargir en les précisant. 



DIE DISPERSION DER MAGNETISCHEN DREHUNG 

DER POLARISATIONSEBENE IN NEGATIV DREHENDEN SALZLÔSUNGEN. 

MESSLINGEN MIT ROTHEM BLUTLAUGENSALZ. 



L. H. SIERTSEMA. 

Mitteilung N*"" 6ii aus deiii physikalisclien Institut zu Leiden, 



Bei der Ersclieinimg der magnetischeii Drehuug der Polarisations- 
ebene zeigeu einige Pliissigkeiten die Eigenthuinliclikeit dass sie eine 
Drehung ergeben iu einein Siune, abweicliend voin gewulmlicheu Eegel, 
nach welchem dieser derselbe ist wie derjenige des maguetisirenden Stro- 
mes. Auch zeigen dièse Flûssigkeiten eine Drehungsdispersion die sehr 
viel grusser ist als bei positiv drelieuden Substanzen beobachtet wurde. 
Die Messungen von Becquerel i) an 7V Cl^ uud an Fe CL- Lo- 

sungen leliren uns dass die négative Drehung proportional zu ^ is, 

A 

statt zu — wie bei der positiven Drehung. 

Die Wichtigkeit dieser Beobachtungen veranlassten inich zu ver- 
suchen das wenige Beobachtuugsmaterial ûber dièse négative Drehungs- 
dispersion zu vergrossern. In den folgenden Zeilen werde icli einige vor- 
laufige Eesultaten mitteilen. 

Da die meisten hier in Betracht kommenden Losungen eine starke 
Absorption zeigen^ ist es notwendig mit verdiiuuten Losungen zu 
arbeiten, wenn man iiber eiu nicht zu beschranktes Spektrum verfûgen 
will. Wenn man dann die Drehung des Salzes aus derjeuigen der Losung 
bestimmt^ hat man mit den kleinen Unterschieden der Drehung in der 



') Becquerkl, Ann. de Ch. et de Ph. (5) 12 p. 68 (1877); C. R. 85 p. 
1227 (1877). 



448 L. H. SIERTSE]\[A. 

Losung iind in Wasser zu tliuii^ und es schien mir dahev zii Erreichung 
eiiier liinlaiigiichea Geiiauigkeit ain sichersten^ die Messuiigeu iinmer 
gleichzeitig an der Losung uud an Wasser an zu stellen. 

Zu diesem Zwecke sind zwei gleich Jauge GlasrohreUj au den Enden 
mit Glasplatten verschlosseu^ neben eiuauder aufgestellt in eiuer grosseu 
Dratspule in solcher Weise dass man dièse Eolire^ von welcher die eiiie 
mit Losungj die andre mit Wasser gefûllt ist, durch Yerschiebuug 
abwechselnd im Wege des Lichtbùndels bringen kanu. 

Die weitere A.nordnung der Apparate ist wie gewuhnlich. Der von 
einer elektrischen Bogenlampe ausgehende Lichtbûndel durcliliiuft eiii 
Ivollimator^ ein Polarisator, eine der oben geuanuten YersuclisWihreu, ein 
Analysator, ein Prisma^ und erzeugt dann ein Spektrum im Beobach- 
tungsfernrohr. Bei passender Stelluug des Analysators wird man nacb 
Schliessung des maguetisirendeu Stromes in der Dratspule eiuen dunklen 
Band im Spektrum beobacliteu^ dessen AYellenlange man tinden kanu 
ans der Dispersionskurve des Prismas und einigen, jedesmal zu bestim- 
raenden festeu Punkteu im Spektrum. 

A¥enn wir jetzt die von der Wellenlauge A abliangigen relativen 
Dreliuugen^ bezogen auf die Drehung in Wasser mit lia-hicht als 
Einheit^ fur die Losung uud fur Wasser vorstellen durch cf^ und q,,.^, 
und wenn wir tinden, dass bei eiuer Messungsreihe der dunkle Band sicli 
in der Liisung bei derWellenliiuge ?.i, in Wasser bei ?.., betiudet, so uuiss, 
da Dreliuug uud magnetische P.otcutialditicreuz in beiden Eallen gleich 
gross siud, qj^ = q^f^,^ sein. Kenut man nun (jp„,;^ ans andreu Unter- 
suchuugeu, so kann man in dieser Weise ç^ liudeu, Wiederholt ui:in 
dièse Bestimmungen entweder uach Aenderung der Stromstiirke, oder 
uach Drehung des Analysators, so kann man q)^ fur verschiedene AA el- 
lenlangen ableiten. 

Ein A^orzug dieser Aiethode ist, dass man den absoluten AA^ert der 
maguetischen Kraft uud aucli die Grosse der Drehung nicht zu kenneu 
braucht. Insbesondere ist man dabei unabhangig von den Eehlern, 
welche bei der Ableitung der Drehung der Polarisationsebene aus der 
des Analysators (oder des Polarisators) um seine Drehuugsachse gemacht 
werden '), Eine genaue Messuug der Stromstarke wilrde man auch ganz 



') Vgl. Cornu, Ann. de Ch. et de Pli. (4) 11 p. 3G0 (1SG7), Gi.a7.i:broûk, 
Phil. Mag. (5) 10 und 15. 



DIE DISPERSION DER MAGNETIsCHEN DREHUjSG^ U. S. W. 



449 



entbehreu Jcomieiij wenn cliese wahrend einer Versuchsreihe sich niclit 
anderte. Da solclies aber der Pall ist^ muss man bei jeder Einstelluug 
des Bandes die Stromstârke ableseii, uni uachher aile Einstellungeu 
einer Reilie anf gleiclier Stromstiirke reducireu zu konneii. 

Die Stromstârke, welclie von im allgemeinen 40 bis 60 Amp. betrug, 
wird bestimmt mit cinem Galvanometer von d'ARsoNVAL mit Neben- 
schluss^). Die Dratspule von 80 cm. Liinge hat 1107 Winduugen von 
Knpferdrat von 5 mm. Dicke, und hat einen freien Innenraum von 
14 cm. Diameter, in welcliem die beiden VersnclisrOhreu von 52.5 cm. 
Lange nud 27 mm. Diameter in Baumwolle verpackt neben einander auf 
eiuem Holzbrett befestigt, aufgestellt sind. Als Spektralapparat dieut 
eiu Spektrometer von Meyersteyn '^). Zur Kalibrirung des Spektrnms 
ist eine Quecksilberbogen-Lampe nacli Arons-Lummer angewendet. 

Die bis jetzt erlialtenen, vorlaiifigen Resultaten beziehen sich auf 
rothem Blutlauo'ensalz, in einer wiisserigen Losung von 1 Grain Salz 
auf 100 Gram Losung. Fiir jede Bestimmung eines Paares Aj und Aj 
wird eine symmetrische Reihe von 8 bis 12 Einstellungen gemacht. 

Es folge hier ein Beispiel einer solchen Ileihe : 

Reihe 1. Drehung der Polarisationsebene 13° 43' 
Stromstârke 62 amp. 



Galvau. 


Stelle des Beob. fernrolirs : 


Welleulaiige in ij.(j.. 


Wellenlânge 

leducirt auf Gralv. 

aU. 293 




Losung 


Wasser 


\ 


\ 


^1 


\ 


297 
292 
293 
292 
298 
302 
287 
285 


26°,38 
25°,37 
26°,41 
26°,44 


26°,81 

26°,78 

26=,73 
26°,73 


613 
612 
617 
620' 


638 
633 

627 
627 


613 
613 
612 
612 


634 
634 

633 
635 










Mittel 


612' 


634 



') Vgl. Arch. Néerl. (2) 2 p. 15 (1899). 
') Vgl. 1. c. p. 317. 

ARCHIVES NÉERLANDAISES, SERIE II. TOME V. 



29 



450 L. H. SlERTSEilA. 

lu dic'^er Weise siiid 14 Beobachtungsreihen erhalteii, welclie iu 
untensteliender Tabelle ziisaïameugefasst siud. 

Die Drehungen iu Wasser siud eutuommeu au eiuer Kurve, welche 
icli koustruirte nach frlihereu, uocli nicht publicirteu Bestiminuugeu 
der Dreliuugsdispersion in AVasseï'^ welclie mit deu Messuugeu vou Yer- 
DET ^) uud vou VAN ScHAiK ") gut ûberelustiuimeu. 

Stelleu p, pta uud ps die molekulare Drehuugskonstauten vor fur 
Losuug, ^Yasser uud Salz, uud ,a die Zabi der Grammol. des Salzes, 
welche iu 1 — [^ Grammol. Wasser gelost siud, so ist'^) 

p = y-Ps + {^-~y^)p'r 

Dièse Grosseu p uud pu, haugeu mit deu obeu eiugefiilirten Grossen 
q ^ uud ç i^,^ zusammeu durch die Beziehuugeu 



\f/, Ms + (1 — fy.) >iiw 



— î± 

^~ dC 

Pw = —77- ^w 

weuu d die Dichte der Losuug, m-^ uud ///-,„ die Molekulargewichte vou 
Salz uud vou Wasser, C die Dreliuugskoustaute des Wassers fur Na- 
Licht bedeuteu. Bestimmeu wir aucb rp^^, die relative Drehuug des 
Salzes, durcli die Dezieliuug 

<]PsA 

uud sei p das Gelialt der Liisuug [p Gram Salz auf 1 Gram Losuug) 
so fiudet mau die Bezielmus" 






welche scliou oft bei Uutersuchuiigeu dieser Art augeweudet wurde. Aus 
deu gefuudeueu Werten vou q^ uud q^^,^ ist uach dieser Gleiclmng 



') Verdet, C. R. 61 p. 630. 

^) Van ScHAiK, Iiiaug. Diss. Utrecht 1882. 

') Vgl. l.c. Arch. Néerl. p. 348. 



BIK DISPERSION DKR MAGNKTISCHEN DURHUNG, U. S. VV. 



451 



«p.sA bercclinet wordeii, und iii der jetzt folgendeu Tabelle aufgeiiommeu. 
Die Diclite der Liisuug war 1,0053. 

Négative TJrehmtg des rothen BhUlaugensahes. 





\ 


^2 


*3P\ 


<JP«A, 


qps\ 


1 


G 12' 


634 


0,850 


0,918 


6,3 


2 


575 


597' 


0,968 


1,048 


7,5 


3 


525 


553 


1,136 


1,277 


13,4 


4 


613 


636 


0,848 


0,916 


6,3 


5 


556' 


584 


1,017 


1,122 


9,9 


6 


525 


554 


1,133 


1,278 


13,8 


7 


545 


570 


1,067 


1,178 


10,5 


8 


524' 


553 


1,136 


1,282 


13,9 


9 


552' 


579 


1,033 


1,138 


9,9 


10 


600 


620 


0,895 


0,960 


6,0 


11 


613 


632 


0,857 


0,916 


5,5 


12 


522 


553 


1,136 


1,293 


15,0 


13 


512 


547 


1,167 


1,352 


17,7 


14 


621' 


644 


0,820 


0,888 


6,3 



Die Werte von q>^^, welche also die relative Dreluiug vorstellt des 
Salzes fiir die Wellciiliiiige A,, bezogeii auf der Dreluuig des Wassers 
filr iVrt-Licht als Eiiilieit, sind iu imteiistehender Kgur eingetrageu. 
Die Dispersion ist hier viel stiirker als eine Proportioiialitiit der Dreh- 



uiigen mit -^ ergeben wiirde. Autf'allend ist die starke Ziiiiahme der 

Drelmng bei Auiiaherung an der Absorptionsgrenze, die iu unserer 
Lcisung etwa bei A = 490 liegt. 

Man tindet hier [ihnliche A^erhiiltnisse wie bei der positiven Drehuug 
angetroll'eii werdeu bei den bekaunteu Versucheu vou Macaluso uud 

29* 



452 



L, H. SIERTSEMA. DIE DISPEKSION, U. S. W, 



CoKBiNO an iVft-Dampf, uud bei der Uutersuchung dieser Drehuiig in 
gefarbten Losungen von Schmauss. ') Aucli lassen dièse sich folgern 

18 
17 
16 
15 
14 
13 
12 
11 
10 

9 

8 

7 

6 

5 

4 

3 

490 500 10 20 30 40 50 60 70 80 90 (500 10 20 (530 

ans deu neueren^ von Loren'J'z und- von Voigt entwickelten optischen 
Theorien. 

Die Untersucliung wird fortgesetzt mit mehreren negativ drehenden 
Losungen, und bei verscliiedenen Konzcntrationen. 

Nov. 1900. 



B 

1, , 



') Schmauss, Drude's Ann. 2 p. 280 (1900). 



UEnEIl EINE EUKLARU.NG DEIl WIDEIISTANDSZUNAHME IM 
^rACNETFELDE UND VEP.WANDTER EP.SCITEINUNGEN IN WISMUTH 

(Mitteilung N". G3 ans deiu pliysikalischen Institut in Leiden.) 



E. VAN EVERDINGEN Jr. 



1. Uiitersuclmngeu iibcr die galvauoinaguetischeii uiid thermomag- 
netischeii Ersclieiimngen in Wismuth^ deren Ergebnisse in den Sit- 
zungsbericliteu der Kchi. Ak. der Wissenschafteii in Amsterdam iiacli 
und uacli mitgeteilt wurden^ ' ) gaben mir mehrfach Yeranlassung eine 
Hypothèse zur Erkliirnug heraii zu ziehen, welche zuerst in meiner 
Inauguraldissertation -) aufgestellt wurde und enthiilt^ dass im Magnet- 
felde die Auzahl frei beweglicher geladener Teilchen kleiner sein soll 
als ausserlialb des Magnetfeldes. Dièse xlbnahrae wurde dann der 
AVirkung der elektromagnetischen Kraft zugeschrieben, welcher ein 
bewegtes geladenes Teilclien im Magnetfelde unterworfen ist. 

Tm Polgenden wird der Versuch gemaclit^ eiue klare Yorstellung 
vom Mechanismus dieser Ersclieinung zu geben. Man begegnet jedoch 
dabei grosse Schwierigkeiten und ich werde mich beschriinken miissen 
auf die Andeutung einer moglicben LiJsung. 

2. Die erste Erage ist^ wie wir uns die ebdctrischeu Teilchen vor- 
stellen wolleu. Die sehr l)efriedigenden Ers:ebiiisse bei der Berechiiiina; 
des A^erbaltnisses der Leitfahigkeiten fiir Warme und Elektricittit nacli 



^) Verslngen der Vergaderingen van de Kon. Ak. v. Wetensc.h. te Amsterdam 
Juni 1898, p. 95, Maart und April 1899, p. 484 und 535, Juni 1900, p. 181. 
Comm. Phys. Lab. Leiden No. 42, 48 und 58. 

') Metingen over het verscldjnael van Hatj, en de loename van den wecrsland 
in het magneliscli veld.^ Leiden 1897. 



454 E. VAN EVERDINGEX JR. 

cler RiECKE'scheii ') und der DRUDE'sclieii -) Théorie^ besonders wenn 
mann dabei verfalirt in der Weise wie es Reinganum ^) tliat,, veran- 
lassen uns von selbst zu einer Identifizirung der geladenen Teilchen mit 
Drude's Elektronen. ^) Damit die Vorstellung moglichst eiufach ge- 
halten werde wollen wir einstweilen nur die negatlven Elektroiien 
betrachten ; weiter setzeu wir, nm aiicli Masse und Gescliwindigkeit 
berechnen zu konnen, die Masse eines Atoms Wasserstoff gleicb 
1 ,1 .\{)~-\ und die Ladung eines Elektrons gleich derjenigen eines 
Atoms Wasserstoff bei der Elektrolyse. 

Die Ladung e wird also 7,7.10---' X 0,9G.10'' = 7/klO--' Setzon 

wir mit Eiecke — = 1/7.10'^, so wird die Masse ,a = 4,4. 10"-^ 

Eiir die mittlere kiuetische Energie bei 800° absolute Temperatur 
nehmeu wir mit Drude 300. 5,6.10-^' = 1,7.10-'*. 

Hieraus ergiebt sicb die mittlere Gescliwindigkeit v = 8,7.10'"'. 

3. Riecke liât in der oben citirten Arbeit Reclmungen angestellt 
ûber den Durclimesser eines Kreisstromes, gebildet von in kreisformiger 
Bewegung begriti'enen Elektronen, 1° unter der Voraussetzung, dass 
dergleiche Kreisstroine die Emission von Natriumlicbt erzeugeu, wie es 
durch die Lorionïz'scIic Erklarung des ZEEMAN-Effektes wabrscbeinlich 
gemaclit wird, 2° unter der Voraussetzung dass die Ampère'sclien Mo- 
lecularstronie in Eisen bestelieu in einer Kreisbewegung von Doppel- 
elektronen uni die Atome des Eiseiis. ^) Im ersten Eall findet er 
0,041.10-'' mm , also 0,011 fy.y., im zweiten 3,S6 y.,u. 



') Wied. Ann. 66, p. 353 und 545, 1898. 

') Anji. de)' Physik 1, p. 566, 1900. 

') Ann. der Pliysik 2, p. 398, 1900. 

'') Dièse Identifizirung schliesst sicli gut den Gredanken an, welche icli friïher 
{Inang. diss. p. 112, Comm. No. 42, p. 18) iiber diesen Gegenstand geâussert habe. 

^) Sclion viel friiher wurde eine dergleiche Reclmung in grundlegender Weise 
durchgefiïhrt von F. Richarz (Ueber die electrisclien und magnetisclien Kriifte 
der Atome, Wied. Ann. 52, p. 385, 1894). Die neueren Reclmungen unter- 
sclieiden sich liauptsàclilicli durch die Einfiihrung eines grosseren Wertes fur 

das Verhâltniss — . 
m 

Das man iibrigens auch mit ganz anderen Zahlen fiir Geschwindigkeit und 
Radius die Molecularstrôme durch lonenkreislâufe erklàren kann, hat vor 
Kiirzem R. Lang gezeigt {Ann. der Physik 2, p. 486, 1900.) 



UEBER EINE ERKUlllUNG UER WIDEKSTAXDSZUNAHME^ TT. S. W. 455 

AVenii mail in dièse Eecliuungeii eiufiilu't die Gescinviudigkeiten 
welche unsereii Ansutzen entsprecheii^ also 24,0.10'' fiir den ersten 
Fall (die Temperatui- der Natmiinflaimne auf 2000° G. schatzend) 
uud 8,7.10'' bei 300° C. fiir den zweiten Fall, so ergeben sich die Werte 
0,15 y. y. und 2,94 [j.y. 

Die Teni])eraturschatzung fiir die das Liclit einittireiiden Teilcheii iu 
der Nati'imnllainiiie bleibt jedocli mit Ptiicksicbt auf mcigliche electvische 
oder cliemische Processe in der Plamme zieiniicli ungewiss. Wir wolleu 
deslialb eiiie iiliiiliclie lleclumngdurclifiihren fiir Kreisstrome in Metallen, 
welclie bei gewiJnlicher Temperatur lange Wellen erzeugen. Nach dem 
PAscHEN'schen Gesetze wiire A,,,,,,,-, bei '300° absolut 9 /y,. Die Scliwin- 
gungszahl wiire dabei 3.1 0"''' sec, und der Durchmesser dièse Zahl 

multiplicirt mit -, also 0,S |. y/ji. 

Die beiden iieclmungen fiiliriiu also jetzt auf Werte von derselben 
Grossenorduung, wahrend die griissere Zalil nur etwa das 10 facile ist 
von dem Durchmesser eines Kohlensauremoleculs nach den Ansiitzen 
der Gastheorie, 0,25 yy. Weiterhin werden wir Griinde angeben, p in 
diesen Piillen noch grcisser zu setzen und werden dann die Eechnungen 
wieder aufnehmeu. Die bisher erhaltenen Ergebnisse gewiihren geuiigende 
Unterstiitzung fiir die im § 2 genannten Annahmen um dieselben auch 
zum Aufbau der Vorstellung weiter zu benutzen, 

4. Eine zweite wichtige Pragc ist die, was mami sich zu denkeii hat 
beim iVusdruck „frei bewegliche Teilchen". 

Um dièse Frage béant worten zu kr)nnen wolleu wir erst mal unter- 
suchen, was fiir Werte eine Schiitzung der gegeuseitigen Entfernuug der 
Wismuthmoleciile liefert, und welche Kriifte die Bewegung beherrschen. 

Ausgeheud vora Atomgewichte und vom specifischen Gewichte des 
Wismuths, und von der Masse des Wasserstolîatomes findet maun fiir 
die iVnzalil Wismuthatome in 1 ccm. ungefahr 61.10-'. Wenn dièse aile 
getrennt angeordnet wareu, wiirde manu eine mittlere Entfernuug gleich 
0,25 /z/z bekommen. Dièse Zahl bildet die untere Grenze fiir die Ent- 
fernung der Centra der Moleciile; sind ir xitome zu einer Molekel 
vereint, so wird die Entfernuug die ?^-fache; erst bei einer Zahl von 
1000 Atome in einer Molekel wird die Entfernuug 2,5 yy.. Da jedoch 
Bewegung eines Elektrous innerhalb einer Molekel niclit ausgeschlossen 
ist, wird besonders der Grenzwert wichtig sein. 



456 E. VAN EVERDIXGEN JR. 

Mit diesen Werten wollen wir jetzt vergleiclieu die Auzahl uiid die 
gegenseitige Entfernung der Elektronen und der geladenen Atonie^, 
wobei wiv uns letztere als neiitrale Atome ■minus eiu Elektron vorstellen. 

Eiiie Seliatzuag dieser Zabi unter Beiiiitznng der Eormelii fiir aile 
transversaleii thermomagnetischen und galvanoinagnetischen AVirkungen 
findet inan bei Eiecke, ') wo als llesultat 00.10 "^ berauskonirat; das 
Yerbaltniss zwisclien Anzabl Atonie und Anzalil fi'eier Elektronen wiire 
also 10'''. Versucbt manu jedocb in den betreffenden Eormeln die 
Gleichbeit der kinetisclieu Energie und der Ladung fiir positive und 
négative Teilchen einzufiibren^ wie es IIiecke selbst vor Kiirzem gethan 
bat bei der lîerecbnung des Verbiiltnisses der Wiirme- und Elekt''icitats- 
leitungj -) so stosst niann auf Scliwierigkeiten von derselben Art wie 
sie RiECKE am Scblusz seiner friiberen Arbeit crwalmt. Deslialb wer- 
den wir fiir dièse Scbiitzuug einen anderen Weg folgen. Vernacbliissigt 
man den Anteil der freien positiven Teil:'ben, so liiutet die Formel 
fiir die Leitfiiliigkeit fiir Elektricitiit 

y = ]Sfe'ù 
wiibrend die Rotation der Aeqnipotentiallinieu beim HALL-Ett'ekt dureb 

/;= — u 

gegeben wird [N = Anzabl der negativen Elektronen, D deren Wande- 
rungsgescbwindigkeit). 
Also 

Be 

Indeni wir fiir y und 1) die Werte einsetzen welcbe nacb meiner 
letzten Mitteilung iiber diesen Gegenstand ") bei 11° 0. fiir ein Mag- 
uetfeld erbalten wurden 

?- = 5,9.10-'^'(elektromagu.) X> = — S,4. 10-"' 



') l.c. p. 575. 

2) Ann. d. PJnjsik 2, p. 835, 1900. 

") Verslag der Verg. Kon. Akad. v. Wet. Amsterdam Juni 1900, p. 190 und 
193. Comm. No. 58 p. 17 und 21. 



UEBER EINE ERKLUllUNG DER WIDERSTANDSZUNAHME^ U. S. W. 457 

ergiebtsicb 7\^=96.10^" ') 

Das Verliiiltuiss der Gesamnitzalil cler Atome zu dieser Zahl wiire 
also 6.101 

Mir dieseiu Werte fiiidet niau fiir die luittlere Eiitfermmg der ge- 
Indeuen Atome 1,7 y.(/,. 

Wir wollen jetzt uiitersuchen welcheii Kraften eiii Elektron bei seiiier 
BeMeguiig iinterworfen ist. Obne besoiidere Yoraussetzimgeu ist es iiicbt 
muglicb die Grosse eventuell beim Stosse aiifti'eteuder Krafte an zu 
gebeu. Wir Averden aber^ Avie es idjlicb ist, aimehmen dass dièse Kriifte 
so scbuell mit der Eiitfei'iuing abnebmeii dass sie nur wabrend eines 
verscbwindeiideii Tiiiles des ganzeii Beweguiig auftreten, uiid deshalb 
einstweilen ausser Aclit geLnsseii werdeii koniieii. Die gewôhnliche 
fîravitationskmft zwiscbeii eiiiem Elektron iiiid eiuem Atom is selbst 
bei eiiier Eiitferiiuiig von der (Jrdnung 0,1 ,c6/y. so ausserordentlich 
klein dass dièse siclierlieb fortgebssen werden kann. Nur die elektriscbe, 
casu quo elektromagnetiscbe Kraft bleibt dann ii1)i-ig. Unwillkilrlieb 
wird man in dieser Weise dazu verfidirt, die Hypotbese auf zu stellen 
dass die moleeuLaren Knifte allgemein elektriscber Natur siud, wie z. B. 
Helmholtz in seiner elektrochemischen Théorie gethan bat. 2) 

Anstatt der elektriscben Kraft selber wollen wir jetzt die Arbeit 
dieser Kraft bei einer bestimmten Verriickung berechnen, und unter- 
suchen bei welchem Entfernnngsradius eine Kreisbewegung unter dem 
Einfluss dieser Kraft nK'iglieh sein wilrde. 

In elektrostatiscbem Masse ist die Ladung eines Elektrons 3,2.10 ~''°j 
also ist die Arbeit bei einer Zunabme der Entfernung von r, auf r.^ 

— 4,8.10 '-"( ). Nehmen wir fiir r. und r., 0,.5 und 1 y^y., 

so ergiebt sich — 4,8. 10~-" X 10" = — 4,8.10-'''. 

Bei einer dergleiclieu Verriickung wird im allgemeinen die Entfernung 
des Elektrons von anderen geladenen Atomen abnebmen. Eiir den Eall, 
das ebeu in der liiclituns der Verscliiebuna; ein anderes ffeladenes 



') Amn. bei der Correct.: In dem ebea erschienenen zweiten Teil der Elek- 
tronentheorie findet Drude fiir die Zahl der negativen Elektroueu 46.10" 
{Ann. d. Physik 3, p. 388, 1900). Dabei ist e = 6. lO"" (elektrost.) genommen; 
mit einem dergleichen Werte bâtten wir 35.10" gefundeu. 

^) Vergl. ÉicHAUz. Wied. Ann. 52, p. 385, 1894, aucli fiir die folgendeRechnung. 



458 E. VAN EVEllDINGKX JR. 

Atom liegt^ wird man fur i\ uncl r^ dabei 'i,'2 uiid 3,7 y.y. setzeu konneii. 
Die Arbeit der dem zweiteu Atome entsprecliendeii Kraft ist dann 
1,5.10"'^*. Also wûrde der gesammte Yerlust an kiiietischer Energie 
des Elektrons 4,7, 10~''' belrageii, das heisst 27 mal die mittlere kine- 
tische Energie der freien Teilcheu. Damit so etwas moglicli sei, sollte 
das Elektron anfangs eine Gescliwindigkeit gehabt haben b oder mal 
so gross wie die mittlere Geschwindigkeit. 

Bereclinen wir jetzt anderseits den Radius eiuer Kreisbaliu, durch- 
laufen unter dem Eiuiiusse der elektrischen Anziehuug. Dafiir gilt die 
Gleichunu' 



^ = ^^— , also r = — ~ 



Mit v = S,7A0^ wird r = 14,4 y. [y.. 

A¥ûrden wir also auch fiir die gebundeneu Elektroneu dieselbe 
Geschwindigkeit amiebmem, so wiire eine ungefahr kreisformige Balm 
von streng molecularen Dimensionen unter der AVirkung der Anziehuug 
nicht miiglich. 

Gleich unwahrscheinlich ist im selben l'aile die relativ betriichtliche 
Anzahl der freien Elektroneu, wenn man in jedem Atom uur wenige 
beweglicheu Elektroneu anulmmt. Wiirde man z. B. das MAXWELi/sche 
Gesetz fiir die Geschwiudigkeitsverteilung bei deu gebundeneu Elek- 
troueu annehmen, so wiire die Wahrscheiidichkeit eiuer Geschwindigkeit 
grosser als das 5 fâche der mittleren Geschwiiuligkeit schon viel kleiuer 
als das Yerhaltuiss zwischen der Anzahl freier Elektroueu und der Au- 
zahl vou Atomen; und auch bei eiuer audereu Geschwiudigkeitsver- 
teilung wird dièse Wahrscheiulichkeit nicht gross sein. Allerdiugs darf 
die Moglichkeit eiuer grossereu Zahl beweglicher Elektroneu im Atom 
nicht als ausgeschlossen betrachtet weiden. 

Beide Schwierigkeiteu verschwiuden zu gleicher Zeit wenn man an- 
nimmt, dass die mittlere Geschwindigkeit der gebuudeneu Elektroneu 
grosser ist. Vou vornherein liisst sich meiner Meinung nach hiergegeu 
nichts einwenden. Nimmt man z.B. die Geschwindigkeit 5 mal grosser, 
so wird die kinetische Energie 25 mal grosser, also ungefahr gleich der 
obeu berechneteu Arbeit bei Aenderung der Entferuung von 0,5 auf 
1 {/.y., uud der Eadius der Kreisbahu wird 0,5S yy, was schon viel 
wahrscheinlicher ist. 



UEBKR EINK ERlvLilRUNfi DER WIDERSTANUSZUNAHME^ U. S. W. 459 

Die Wiederliolung der lleclmungeii von § 3 mit der 5 mal grosseren 
Gjrescliwindigkeit liefert jetzt 0,59 [/.[j'. fiir den Durchmesser der Am- 
père''sclieii Molecularstrome, also 0,30 ,</./z fiir den Radins, nnd fiir den 
Durchmesser der Kreisbalin entsprechend einer Wellenliinge von 9 y. 
4,2 u.[j., also fiir den Eadius 3,1 (/,[/,. Umgekelirt findet man fiir die 
Wellenliinge welclie der Kreisbalm unter der Wirkung der elektrisclien 
Anzielinng entspriclit 2,5 ,a. In beiden Hinsicliten erlùilt man also mit 
der griJsseren Gescliwindigkeit ebonfalls befriedigende Resultate. 

]^ie beste Uebercinstiaininng in diesem Falle wiirde mit einer Ge- 
scbwindigkeit gleicli der z\A'eifac]ien mittleren Gescliwindigkeit erreicht 
werden. Der Durchmesser der Molecularstriime vviire dann 1,48 ,a/z nnd 
der Durchmesser der Kreisbahn mit Wellenliinge 9 [jl wiire 1,6S /y,,a. 
IJbrigeus kaim die Annahme der Kraft proportional der minus zweiten 
Potenz der Entfernnng nur eine Anniihcrnng darstellen '); dasselbe 
gilt also von diesen Uechnungen. 

Mit Eiicksiclit auf das oben gesagte gelangeu wir zu der A'^orstellnng, 
dass die „frei beweglichen Teilchen'"' nicht frei sind in dem Sinne, dass 
sie sich unbeeintlusst von Kriiften bewegeu; im Gegentheil sind sie 
immer der Anziehenden Kraft der positiven geladenen Atome unter- 
worfen; die grosse Zabi ungeladener Atome im Eanme zwischen den 
geladenen Atomen verhindert jedoch die Elektronen, dieser Anziehung 
auf die Dauer zu gehorchen, nnd die zahlreichen Stosse mit diesen 
ungeladeneu Atomen verursachen Gleichheit kinetischer Energie fiir 
Elektronen und umgebeude Molécule. 

5. Denken wir uns jetzt ein elektrisches Feld erregt. In der bekann- 
ten AAeisc; wird dièses Yerschiebungen in der Richtung desPotentialge- 
fiilles veraidasseii. Auch olme elektrisches Feld werdeii h in und wiejj^er 
Elektronen ans der Wirkungssphilre eines geladenen Moleciils in der- 
jenigeu eines andern iibergehen. Im elektrischen Eelde werden dièse 
Ubergiinge nicht melir regellos nach alleu Richtungen hin stattfinden, 
sondern die Uebergiinge in der Eichtung des Potentialgeftilles werden 
iiber die entgegengesetzten iiberwiegen. 

Ganz anders ist es bei den gebundenen Elektronen. Die Wirkung 
des Eeldes wird hier hauptsiichlich in einer Art StÔriuig der Bewegung 



') Vergl. RiCHARz, Wled. Anu. 48, p. 477, 1893. 



460 E. VAN EVERDINGEN Jll. 

bestehen. Selir eiiifach ist z. B. der Fall einer Bewegung eutsprechend 
eiiier aiizielieiulen Kraft proportional der Entferiiung ans eiuer Gleich- 
gewiclitsposition; raau findet danii nilmlich dass die Bewegung nocli 
statt findet wie ohne elektrisches Ye\(\, nnr ist die ganze Bahn gegeu 
das Centrum der Anziehung verschoben um einem Betrag proportional 
dem Verhtiltnisse der elektrischen nnd der elastisclien Kraft. Es kann 
dabei selbstverstiindlich von einer Arbeit der elektrischen Kraft niclit 
die Rede sein. 

6. Wird ein Magnetfeld erregt olme dass gleichzeitig ein elektrisches 
Feld bestehtj so gehen bekanntlich aile Bahnen iïber in ïeilen von 
Spiralen um die Kraftlinien. 

Wenn man dièse Erscheinung fiir die Erklarnng der Widerstands- 
znnaliiiKî beniitzen will, so ist es rathsam, gleich darauf zu achteu : 

1°. Dass in einem Magnetfelde von bestimmter Richtung der VYider- 
stand sich nicht iindert bei Umkelirung oder Aenderung des Stromes. 

2°. Dass bei' bestimmter Stromrichtung der Widerstand sich uicht 
iindert bei Umkehrung des Magnetfeldes. 

Dièse Erwiigungen filhren einenr dazu^ jede Erkliirung zu verwerfen 
welche sich stiitzt auf die Annahme dass das Magnetfekl die Entstelmng 
von Kreislilufe fordert welche schon ausserhalb des Magnetfeldes, nur 
in geringener Anzahl, vorhanden waren. Man kann niimlich immer 
einem Falle, in welchem ein Kreislauf durch die Magnetkraft gefordert 
wird, eineu andern gleich Avalirscheinlicheu Eall gegenùber stellen, in 
welcliein eine gleich grosse Magnetkraft den Kreislauf verhindern 
wiirde; es geniigt dazu die Umkehrung entweder der Stromrichtung 
oder des Magnetfeldes. 

Dièse Schlussfolfferuno- ist nnr verfehlt, wenn eine mit dem Magnet- 
e umkeh rende, von der Stromrichlung jedoch unabhiingige Dissym- 
metrie in der Bewegung der Elektroneu besteht. Thatsitchlich gelangt 
man zu einer solchen Dissymmetrie wenn man Eiicksicht nimmt auf 
den EinEuss der luductionskrafte beim erregen des Magnetfeldes, wie 
LoKENTZ ') es gethan hat fiir die Théorie des ZEEMAN-Efi'ektes. Lorextz 
fand, dass der Einfluss dieser Inductiou bei den Lichterscheinungen 
nur sehr geringfûgig sein kann. 



') Vcrsl. a. Verrj. d. K. À. v. Wel. Sept. 181)7, p.'293.,l>r/(.A't'é3r/.T.lIp. 13,1899. 



UEBER EIXE EllKLïiRUNG DEll WIDERSTANDSZUNAHME, U. S, W. 461 

Dasselbe gilt aucli tur die jetzt besprocheneii Ersclieiimiigeiij wie es 
aus (1er foli>:endeu Bctrachtunt>- hervore'elien wird. 



Das Maguetfeld sei zu jeder Zeit syminetrisch uni die Z-Axe; wir 
bezeichueu mit p die Eutfennuig eines Punktes von der Z-Axe und mit 
//- die gaiize parallel dieser Axe gevichtete Magnetkraft. 

Die elektrisclie Kraft von einem Elektron empfunden ist alsdanu 

seukrecht auf p in die u;// Ebene geri(;htet und betragt ~ p e ^-^. Um 

fil (vt 

die Grosse dieser Kraft schaizen zu kcinnen sctzen wir p gleicli 2 mm., 
//- ^ 10^ und die Zeit des Anwachsens der Magnetkraft gleich 0,1 
Secunde; die mittlere Kraft ist dann lO.*^. Zur Vergleichung ziehen 
wir lieran ein Potentialgefalle wie es bei Versuche mit Wismutli ])rak- 

tiscli vorkommt, z. Il bei 1 Am]). Strom und — — Ohm Widerstandpro 

cm. Liiuge y Volt oder 2.10"''' ('.G.S. In letzterem Ealle ist also die 
'^ 5()() 

Kraft 20 mal grosser, woraus wir, aucli mit Eiicksiclit auf die Erwiigung 
1, siclier schliessen konneu dass eine solche Inductiouskraft keine 
merkliclie Dissymmetrie verursaclit. 

Grosser ist der Einlluss auf Teilclien welche wiilirend geraumer Zeit 
ungestort in gesclilossenen Bahnen laufen. Ist dièse Balm ein Kreis 
mit Eadius /•, so wird nacli einem Undaufe die Arbeit der Induc- 
tiouskraft nnincrisch gleich -rr r"^- (^ — --" sein; die ganze Arbeit bis zum 

(It 

konstant werden von 11 ist, weil die Anzahl der IJmlaufe gross ist, 

unabluingig von der Art und Weise des wachsens von 7/, und ergiebt 

. , ('Hnrv 
sicli zu — . 

Indem wir fur // wieder 1 0* setzen und fiir r und r die Werte 0,58 [j.[j. 
und 43,5,10'' (vergl, § 4) finden wir fiir dièse Arbeit den Wert 
9.10"'''', wahrend die ganze kinetische Energie in diesem Ealle 4,2.10"'^'^ 
ist. Also ist die Arbeit der Inductiouskraft nur gleichwertig dem 
5QQ()steii i^igji diesel- Energie. Die Dissymmetrie in der Beweguug 
braucht aber nicht einmal diesen Betrag zu erreichen, da ja aucli die 
potentielle Energie eine Aenderung erfahren kann. Thatsachlich ist der 
Diamaguetismus des Wismuths, den man gleichweise aus dieser Dis- 
symmetrie erkliireii kciinile, tvii- gleiclie Magnetkriifte mehr als 10'' mal 



462 E. VAN EVKliDINGEN JR. 

kleilier als der Maguetisinus des Eiseus. Dev Eiufluss der Induction 
kaim deshalb sicher vernaclilassigt werden. 

7. Pur die Erklarung bleibt also nur die Betraclitung von Kreisbe- 
wegungeu, ansscliliesslich dein Magnetfelde ihreEntstebung verdankend. 

Wir schreiben desbalb die Bewegungsgleicliungen liin fûrein Elektron, 
dass sich gleichzeitig im magnetiscben und elektrischen Eelde befiiidet. 
Die elektrisclie Kraft habe die llichtung der X-Axe uud die Grosse X, 
die magnetische Kraft die Richtung der Z-Axe und die Grosse H. Es 
ergiebt sich dann ') 

rPz 

y- -1— = ^ • 







= X 


e- — 


^4 




dh. 


= He 


dx 




oder, 


indeni 


wir 


Xe _ 


— a und 


lie 


= b setzen 












(^ 




l^- 














cPx 
dty 


^ a 


-*l 




df^ 


,lx 




dH 
dP 



Die allgemeins Lôsung -) kann in folgender Eorin gegeben werden. 
x=A co,s ht + B un U-^C ij=-.— jf. — A s'm ht + B cas ht + B 

z = n + F. 

Dièse Losung unterscheidet sich von der Losung fur (X = 0, also 
ohne elektrisches L^Wd, nur durch das erste Glied von ij. 

Die Bewegung in der Z-Eichtung geht ungestort weiter; die Be- 
wegung in der j^_^-Ebene behiilt deu gleichen Charakter bei^ nur kommt 
eine gleichforuiige Geschwindigkeit parallel der Y-x\xe hinzu, so dass 
die Bahn nicht hmger gescldossen ist und cycloidal wird. Bei gleiclien 
Anfangsbedingungen werden jcdoch die Konstanten beira bestehen des 
elektrischen Eeldes einen anderen Wert bekomnien. 



') Verg. Thomson, Phil. Mag. 48, p. 548, 1899; auch Lorentz, Vers!, der 
Verg. October 1897, p. 202. Arch. Neerl. T. II p. 10, 1899. 

*) Einen Speciellfall dieser Lôsung findet man bei Thomson, ].c. p. 549. 



UEBEll EINE EUKLURUNr. DKlî, \V1DE11STANDSZUNAHME, U. S. W. 463 

Nemieii wir luimlich die Aufangsgesclnviiidigkeiteii r,,..,, und ry.^, 
uud die Coordinaten zur Zeit x^ und i/^, so ergiebt sicli 

,, - .,.„ =Qf + Ç) (1 - <•»» M) + \°«u M 

.'/ -.'/» = - 1' ' + (iT + p) "■" 4' - t" '■' - '■"■' "•' 

Dauert die Beweguug nur selir kiirz^ oder ist Z* sehv kleiu, so kaiiu 
man hierfiir sclireiben 

X — Xq = 4 al'^ -j- 2 ^^- • ";/.() + ^'.r.o '^ 

worausinilblicher Weise die gewulmliche Stromleitung o/w^e magnetisclie 
Widerstaudsiinderung und der IlALL-Effekt (aus dem zweiten Glied in 
ij — l/^^) abgeleitet werdeu konneu. 

Das besondere in dieseu Gleichungen^ sclion ersiclitlich aus der all- 
gemeinen Losung, ist dass die Formel fur x kein Glied entliiilt welclies 
GiwQnforfsc/ireUeiuleu Eiutluss von a bedeuten wiirde. Das a kommt 
abgesehen von Konstauten nur multiplicirt mit cos oder sïm vor, sodass 
nach einein vollstiindigen Umlauf keme Verschiebiing lu der X-Rich- 
tuiKj stattgefunden hat. Elektronen, welche sicli iwgestoit unter dem 
Eintiusse eines magnetisclien und eines elektrisclien Feldes bewegen, 
nelimen also ebensowenig Teil an der Stromiibertragnng als Elektronen, 
in gesclilossenen Bahnen kreisend. 

8. Es fragt sicli jetzt in welcliem Masse ein Magnetfeld ungesturte 
Spiral beweguug veranlassen kaun. 

Zur Beantwortung bemitzen wir die Formel welclie den Eadius 
angiebt fiir die Spiralwiudungen bei einem Magnetfelde // und eiuer 
Gescliwindigkeitscomponeiite senkrcclit zu H gleicli i\, 



r=^ , also v.^rH- 
eli (J. 

Setzen wir fiir II l(l\ fiir- 1,7.10' und fur r mit Eûcksiclit auf 



464 E. VAN EVERDINGEN JR, 

deu freien Eaum zwisclien den Atomen uiid die iin § 4 gefandenen 
Werte fiii' raoleciilare Kreisliiufe iuiierlialb dièses Piaames 0^25 [j.ij., so 
ergiebt sicli fiir den aussersteu Wert von i\ welche nocli eine ungestôrte 
Beweguiig gestattet v^ = 4.10'. Wîihrend als iiùttlere Gescliwiiidigkeit 
8,7.10" aiigeuommen wurde. 

Letzere Annalime stûtzt sicli auf die Hypothèse eiues Gleichgewichts 
bei zahireiclieu Stossen, weshalb inau geneigt sein wiirde fiir die Ge- 
scliwindigkeitsvei'teilung bei den Elektronen das MAXWELL'schen Gesetz 
anzuwenden. Daun aber wiirde nian die Anzahl der l'iille in welchen 
eine so viel kleinere Geschwindigkeit vorkommt praktisch gleich 
setzen konnen, und die thatsacldiche erliebliche Widerstandszuualinie 
ware nicht erkliirt. 

Dieselbe Schwierigkeit begegnet nian wcnn num unter Annahme eines 
einigermassen walirscheiulichen Wertes fiir die mittlere Weglange der 
Elektronen / ans der Eorniel 

le / ,, 

2 [J.V 

die Wanderungsgeschwindigkeit t) berechnen will. Man erlialt z. B. fiir 
Z= 1 [j,(j,, D = 1.10""^, wahrend wir ans deiu ÏÏALL-Effekt einen Wert 
8,4.10"^ liergeleitet liaben. 

Die Abweichungen sind beide im selben Sinne und wiirden verniindert 
werden wenn man fiir l und r grossere, fiir o kleinere Werte nelnnen 
kounte. Nininit nian z. B. fiir / und r 10 mal grossere Werte, fiir /' 
einen 10 mal kleineren, so ergiebt sich X> = 10"'', /'j = 4,10*, walirend 
V dan 8,7.10' sein wiirde. 

Es ist nicht moglich sich ein richtiges Urteil iiber / zu bilden ohne 
die wirkliclien Dimensionen der Moleciile und Atome zu keunen. Im 
Gegenteil glaube ich nachweisen zu konnen, wariim man berechtigt 
ist V kleiner zu nehmen. 

9. Die oben erwiihnten Eormeln fiir Leitfahigkeit, Wanderungs- 
geschwindigkeit u. s. w. sind liergeleitet unter der Annahme, dass man 
die Bewegung der Elektronen behandeln kann wie diejenige der Mole- 



') Vergl. Inaui/iwaldiss. p. 104. Riecke Wied. Ami. GG, p. 877. DkudkI.c. 
p. 575. 



UEBER EINE ERKliiRUXG DER WIDERSTAXDSZUXAHME, U. S. W, 465 

cille eiues Gases, wobei auzieliencle Kriifte oder allgemeiii potentielle 
Energie lioclistens fiir ein Cori'ectionsgliecl in Eeclmung gezogen werden. 
Acceptirt man jedoch unsere Vorstelluug, so ist es klar dass die Elek- 
tronen wenigstens in Wismutli eine selir grosze und selir vernnderliche 
potentielle Energie liaben zufolge der Anzielmng dnrch die geladenen 
Moleciile (die potentielle Energie bei kleinstmoglicher Entfernung vom 
anziehenden Centrnni sei gleich gesetzt). Tm Augenblicke welches fur 
die Stroniiibertragnng besonders wichtig ist,, namlich wenn das Elektron 
von einer Wirkungsphiire in eine andere ilbergeht, liât die potentielle 
Energie ein Maximum, die kinetische also ein Minimum. I)i;-s ist ein 
erster und vviclitiger Grund filr die Auffassung, dass r in den Eormeln 
fur Stromiibertragung kleiuer zu nelimen sei. 

Dazu kommt noch, dass aus demselben Gruude weslialb ein Elektron, 
einmal in Spiralbewegung begritfen, der Wirkung einer elektrisclieu 
Kraft senkreclit zu der Spiralaxe niclit gehorclit, ein solches Elektron 
niclit so schnell wie sonst unter dem Einfiusse anziehender oder ab- 
stossender Krafte wieder eine grossere Gescbwindigkeit erreichen wird, 
sodass die Période der Uuwirksamkeit verlangert wird. 

Scliliesslich werden beim Wirken anziebender und abstossender 
Krafte kleine Geschwindigkeiten in der Zeit zwiscben den Stossen viel 
liaufiger vorkommen als wenn diesel ben nur aus einem liiJchstzufalligen 
Stosse entstehen konnen. 

Thatsachlich scheint filr die Erklarung der Einzellieiten in den Aen- 
deruugen der flALL-Konstanten mit Temperatui' und Magnetfeld, iu 
der Weise wie von mir angedeutet in einer meiner letzten Mitteilungen, ') 
eine andere Geschwindigkeitsverteilung als dem MAXWELi/schen Gesetze 
entspricbt notwendig. 

10. Giebt man die Wabrscbeinlichkeit der obigen Betraclitungen 
zu, so scbeiut es mir notwendig die Formeln i'iir Leitfahigkeit fiir 
Wiirme und Elektricitiit noch einmal neu ab zu leiten mit Eiicksicht- 
nalime auf die molecular-elektrischen Kniften. Aus almliclieu Grlindeu 
wie von Eeinganum^) angegeben sind halte icli es fiir walirsclieinlich, 
dass das Résultat filr das Verlialtniss der Leitfahigkeiten gleich gut 
mit der Erfahrun^ stimmen wird. 



Versl. d. Verg. K. A. v. Wct. Juiii 1900, p. 195. Coinm. No. 58, p. 23. 
') 1. c. p. 400. 

ARCIilVKS NÉERLANDAISES. SKKIE II TOME V. 30 



4<&6 E. VAN EVERDINGEN .TH. tIEBBR EIXE ERKI,aRUNG, II. S. W. 

Der Yovteil dieser Betraclituiigen liegt dan u. m. hieriu^ dass mau 
uiiuiittelbar eiuen Aiikniipfungspunkt hat fiir die Erklarung der stark 
verschiedeiien Leitfaliigkeiten in Wisrauth fiir verscliiedene Eichtuugen 

* in Bezug auf die kristallographisclie Haupt-Axe und die Unterscliiede 

* in der Abnahnie dieser Leitfaliigkeiten iiii Magnetfelde, vielleicht aucli 
fiir die sehr verschiedenen Hall Konstanten. ') Auf dièse Fragen hoti'e 
ich spiiter an anderer Stelle zuriick zu konimeiL 



') Versl. d. Venj. K. A. v. Wel. Sept. 11)00. p. 277. Cumm. Ko. 61. 



U E B E R D E N D R U G K D E R L I G II T S T R A H L E N 



D. A. GOLDHAMMER. 



Bautoli ') liât auf Grund von tliermodynamischen Betraclitimgen 
das Eesultat abgeleitet, dass die auf eine vollkommen reflectirende 
Fliiche normal aulfallenden Lichtstralilen auf dieselbe einen Druckj»; ausû- 
ben, welclier gleich ist der doppelten Energie e in der Volumeneinlieit 
der einfalleuden Strahlen : p = 2^^ 

Eiireinenallseitig mit gleich temperirten^ fiir Warme undurclilassigen 
Wiindeu umgebenen, absolut leeren Baum (Vacuum) berechnete Bolïz- 
MANN -), immer auf dem tliermodynamischen Wege^ auf eine absolut 
spiegelnde Flache 

1 

indem er das SïEFAN^sche Strahluiigsgesetz in Betracht zog. In einer 
spilteren Arbeit liber denselben Gegenstand bemerkt Boltzmann ^'), dass 
aus der Beziehung 

1 

lt = c. resp. ;j = 2(? folgen wiirde fiir normale Incidenz auf eine absor- 



') Bartoi.i, Sopra i moveinenti prodotti dalla luce e dal calove. Firenze 56 pp. 
l.STG. 

'') BoLTZMANN, Wied. Anu. 22 p. 31, 1884. 
^) BoLTZMANN, Ibid. p. 293. 

3U* 



468 D. A. GOLDHAMMER, 

bireude vesp. voUkommeu reflecti rende 1^'lilclie uud dass dièses Eesultat 
mit den Eolgerungen aus der electroraagiietischeu Liclittlieorie Max- 
well's ûbereinstiramt. 

lu der That lesen wir bei Maxwell deu folgenden flir n'icht leifeiuh 
Korper gelteiideu Satz ') : „in a médium in wliich waves are propagated 
there is a pressure in direction normal to the waves and numerically 
equal to the energy in unit of voUim'"; einige Zeilen weiter (art. 79-3) 
uussert sicli Maxwell in einer uocli viel allgeraeiueren Weise, indem er 
sagt : „a tlat body exposed to sunlight would expérience this pressure 
on its illuminated side onl}^, and wouhl tliereforc be repeHed from the 
side ou which the light falls". 

Dièse Behauptung Maxwkll's interpretirt uun Boltzmann in fol- 
gender AVeise. ,,Maxwell"s Eesultat gilt/" sagt er-) „wenu der Strahl 
senkrecht auf die gedriickte Fhlche auflallt uud von derselben absorbirt 
wird. Wiirde er nahe senkrecht autlallen uiul unter demselbeu Winkel 
retlectirt, so wilre der Druck der doppeltc". Niiturlich sind hier Absorp- 
tion und lietlexion als vollkommeu gemeint. 

Wir sehen also^ dass es zwei vollkommeu von einauder unabhungige 
Wege zur Ableituug dièses sogenaunteu „Licht(1ruckes*" giebt : der ther- 
modyuamische, und der electromagnetische. 

Nuu schreibt Bolt/mann selbst seineu liechnungen eineii „vielfach 
provisorischeu Character'"' zu '') ; Bartoli hillt die Einfilhruiig des Licht- 
druckes nur als „ripotesi piil semplice" ^); auch nach Boltzmann '') 
konute der Widerspruch mit dem zweiteu Hauptsatze „auch durch eine 
audere Hy])othese gehoben werden". 

Was aber die electromagnetische Lichttheorie Maxweli/s anbetriH't^ 
so ist ohne weiteres klar^ dass der oben augefiihrte (aas Art. 792) 
Satz noch nicht erlaubt direct iiber die an der Grenze zweier Medien 
wirkcnde ponderomotorische Kriifte zu schliessen, deun auf eineGrenz- 
tlache gegen eineu andereu Kc'irper wirkt durchaus nicht dieser Druck 
direct, sonderu „die Eesultirende derjenigen Krafte, welche sich nach 



') Maxwell, ïreatise on e.lectriciiy and niagnetisni, Second éd. Vol. 11 p. -101; 
art 792, 1881. 

') BOLTZMANN, ]. c. p. 291—292. 

") BOLTZMANN, 1. C. p. 293. 

"j Bahtoli, 1. c. p. 25. 

") BoLTZMANN, 1. C. p. 38. 



UKBKK DI;N DlîUCK UEll LK'II l'STR.VULKN . 169 

der ans der Elasticitiitstheorie bekaimteu Hegel ans deu iiu [iiiicreii 
eiiies jeden Korpers vorhandeiieii Spanninigen ergeben" '). 

Nur in deii (TÏrenztalliMi einer iioniialeu Iiicideuz auf eiue vollkoin- 
lueu retlectireude vesp. vollkoinnieu scliwarze Pliiclie kanu dièse Eesul- 
tirende direct angegebeii wci'den : l)ei eiuer vollkoininenen Reflexion sind 
aile electromagnetischc Yectoren ini Innt-ren des reflectirenden Korpevs 
Null; bei einei' vollkomnieneii Absorption kiJnute man sagen, es existiren 
in deiii absorbirenden Kih'per keine electromagnetische A^ectoren aln 
.^ith-hc. Dièse Vorstellung giobt aber za Bedenken Anlass: vielmehr 
ninss nianindieseiu Falle die beidensichangi'en/x'iidcn Kovper alsoptisdi 
identisch — au der Treniumgsebeue —- betrachten '-). 

Dièse Folgernngen gelten aber niclit ohne gewisse Bescbrilnkungeu; 
sie sind niiinlich niir danii ricbtig, wean thatsiichlich die ponderomo- 
torische Wirkung des Lichtes einzigniir ans deui von MAXWEU.abgelei- 
teten Drucke y bestelit, d. h. die electroniagnetisclien S^jannungen der 
Art sind, dass sie kt'Jue. an/' huiere Volumehmente des Korpers iv'irkcinlc 
Kriific ergeben. Lhid dies ist //// AU(jemehieu gerade niclit der Fall, wie 
es sclion Hkrtz "') benierkt batte. Dann aber bleibt ancli die Frage iiber 
den Lichtdruck selbst in den Grenzfalleu der absoluten Réflexion resp. 
Absorjjtion ganz ofl'en. 

1 . Betrachten wir den aligeineinenFall eincs polarisirbaren, leiteuden 
und sich mit den Gesch\vindigkeitscom])onenten a.^ /3, 7 bewegenden 
Médiums, so lauten die Gleichungen der electromagnetischen Licht- 



') Vgl. PocKi-.i.s, Gruiierfs Aichiv, 12 p. (JU, 18U4. 

*) Fiir eiuen sicli z. B. iin Vaciuim befindenden Kurper ist das Reflexionsver- 

mogen J ^ ,, , ^ ., . — — ,, wenn iV den Brecliune;s-, A"- deu Absorptionscoef- 
(1 + A') +A ^ ' ' 

ficientcn bedeuten. Fiir eine schwarze Fliiche rauss /=0 sein, woraus folgt die 

optische Identitiit iV = 1, A' = 0. Dann cxistiert aber kein e/nse/Z/yer Druck an 

der Trennungsebene. 

Bei dieser Gelegenlieit sei noch Folgendes bemerkt: wenn einKôrper in Beriili- 
ruugmit zwei verschiedenen Korpern schwarz ersclieint, so muss er oflPenbar o^)?/sc/( 
inliomorjen sein. Das stimmt mit der bekannten Thatsache iibereiii, dass Russ u. 
dgl. schwarze K(5rper sehr stark porôs sind. Am einfachsten wàren dieselben als 
eine Reihe von Hohlkurpern anzuselien. Vgl. Ki;rlbal'm, Wied. Ann. G7 p. 885, 
1899. 

') ÏÏKiiTZ, Wied. Ann. 41, p. 398, 1890. 



470 D. A. GOLDHAMMER. 

théorie iiach Her'l'z ') iincl v. Helmholtz '^), indem rnan fur homogène 
isotrope Korper 

setztj (JL, s als Constante betrachtet und die Bezeichnungen von Hertz 
benutzt^ 

und analog fiir M, N, und 



A 






= ^s, ^r 4^7r A a, 

àz Cl/ 

und analog fur Y und i/. 

2. AA^ir woUen zuniichst dieWerthe der ponderoniotorischen Krlifte 
im Tnneren unseres Médium auf etwas anderem Wege ableiten, als es 
bei Hertz und v. Helmholtz der Fall war. 

Zu dem Zweck niultipliciren wir uiiserc-(jlleichunt''en mit - — dil, 

worin dn ein Volumelement bedeutet, daim der Eeihe nach mit L, M, 
N, A", Y, Z, addiren und integriren iiber einen durch eine geschlossene 
Elaclie begrdnzten liaum mit constanten f, //.. 

Dann bekommen wir nach der Ausf uhrung der partielleu Intégration 
in dem ersten Intet^rale auf der rechten Seite : 



') Hertz, Wied. Ann. 41, p. 374, 1890. 

') V. Helmholtz, Wied. Ann. 47, p. 13, 1892. 






UEBBR DEN DRUOK DIOR LTCHTSTRAHLEN. 471 






./n/..j^(jPl-7V^) + -^(/.^ + iV^^)-^^(/^^ + ^^) 






+tlih^È^^-'+'^+t^^'+''^+'^^''+^-'^ 



\>1 

+ ^7|[^4^^ + ^^/^ + ^^) + ^^(A^ + r^ + ^-^)]| 

worin rh eiu Elément der Oberflaclie, // die inuere Normale; bedeuten. 

3. Ikschaftigeii wir uns uun mit der })liysikalischen Deutung der 
einzelnen Glieder dieser Gleichnng. Otrcndjar bedeutet das erste Glied 
links die zeitliche Aenderung der gesammten Volumenergie; das zweite 
uud dritte Glied stelleu offeid)ar die Arbeit der pouderoraotorischen 
Kriifte dar^ die als Drucke auf die Seiten eines elementaren Parallele- 
pipedou dCl wirksam sind. 

Auf der rechten Seite stellt das erste Intégral den PoYNTiXG'schen 
Ausdruck fiir die durch die Grenzflache einstromende Energie dar, das 
zweite diejenige Energie, welcbe in Wiirme nach dem JonLE''schen Gesetz 
verwandelt wird. Es bleibt uns nur das Intégral 



472 D. A. GOLDHAMMER. 

iibrig, voii desseu Deutmig auch der Gesamintwertli der ponderomo- 
torisclien Kriifte abhiingt. 

4. Bemei'keu wir aber, dass^ wie uusere Intégrale zeigeu^ die uns inte- 
ressirendeu Kriifte von x, p, 7 explicite uiiabliangig sind und dass also 
dieselbe der Porm nach unverilndert bleiben sollen^ auch weun die K()r- 
pertheile in Eulie^ ebenso weun die electromagnetischeu Yorgilnge sta- 
tisch sindj so foigt unmittelbar, dassdas genanute Intégral nicht einfach 
als Arbeit der auf eiu inneres A^olumelement wirkenden Kriifte zu 
denten ist. 

Wir miissen vieliiielir das Integra) durcli partielle Intégration in zwei 
Ausdriicke theilen^ von desseu nur der eine die in Betracht korameude 
Arbeit darstellt. 

In dièse r Weise bekomuit luan 

{iz cos vx -\' (3 cos nij -)- 7 cosnz) 

Das erste Glied ist nuu als diejenige Energiestruinung zu betrachten, 
die von der Bewegung der Materie abhiingt und die also eine Erweite- 
rung des PoYNTixG'schen Satzes darstellt ') ; was aber das Volumintegral 
anbetritft, so ist dasselbe mit den anderen die Arbeit darstellenden Inte- 
gralen zu verbinden. Wir gelangen in dieser Weise zu dem zuerst von 
Hertz ^) abgeleiteten xVusdruck der Arbeit von ponderomotorischen 
Kriiften 



') Vgl. WiEN. Wied. Ann. 47 p. 337, 1892. 
') Hertz, Wied. Ann. 41, jj. 394, 1890. 



UEBKR DI;N DHUCK DBR LICHTSTItAlILEN. 



473 






A'^. = .Y.,.' + Xjj" etc. A',/ = A',y' -j- X^" etc. 



A.; 


r-' 


J^. 


~8^ 


^:' 


_ ^-'i. 




.S;r 



Y " 



Stt 






87r 



Z^ = 



Stt 









étTT 



r- + J/2 — iV ^) ^^Z = A, ' = — f LN 



A^ + z^ + ^2) x/' = F,' = — /- A r 



47r 



X2 + Y-' — ^2) ^^." = X, "= — -^ ZX, 



der nacli dn- Ausfidiruiig der ])ai'tiellen Intégration die folgende Porm 
auiiinimt : 

— I I c/6^ i ;i ( A"^ co* ?/A' -\- X,j cas vy -}- A; cou vz) -f- 
/3 ( Yx cos vx -\- Yij cos ny -\- Yz cas nz) -\- 
y ( Zx cos nx -f- Zy cos ni/ -\- Z- cos nz) [ 

5. Wir schliessen daraus^dass die zur Untersuchung stehenden pon- 
deromotorisclien Kriifte sich in zwei Kvlifte-arten zerlegeu lassen : mit 
den Componenten 



471 D. A, GOLDHAMMER. 



H = 


dx 




dz 


H 


u, 


'^'y. 


dZ,, 




^x 


^v 


àz 


Z = 






dZ, 



die auf innere Voluineleineiite des Korpers wirkenden Kriifte^ und mit 
den Componenteu 

H/, = — Xx cas nx — X,j cas ni/ — Xz cas nz 

Hyi= — i'a- cos nx — - Yy cas uij — • Y- cas nz 

Z,t = — Zx oos 11 X — Z,i cos iaj ■ — Zz cos nz 

die auf jeder Glreiizfliiche wirkenden, woriii X,-, . . . die Wertlie von 
Xx, • ■ ■ unendlicli nalie an der Gren/.Hiiclie von der Seite der inneren 
Normale n bedeuten. 

6. Die Aiisfùhruug der Ditlerentiation in den Ausdriicken von =.,... 
ergiebt nun 

" iTT V?>.r "^ ^JJ '^'dzj'^ W V dx '^ fV "^ ^~- ) 

-^^ Ni ^ — ^ ) -f -- Z( c v^ ) und analoff fur H, Z. 

4<7r \^z ^xy ' 4<7r \(^z ^xy ^ ' 

Es sei miser Korper zuniichst in Eulie; wir lasseu durch denselbeu 
sich eine electromagnetische Stornng fortpflanzeu, die durch bekannte 
Gleichungen 

, ^L ^Z dV ^ dX ctji/ cW , , 

Vf (\// cz or oz 01/ 

^t ^z ^x " ^t ^x ^z 

, ^N c»J' ^X ,^Z ^L dM ^ ^ 
et ox Cl/ df, d/j dx 

n, I ^JM 'àN_ ^X , ^X\^^ — a 

^x,~^ ^y "^ ?^ ~ '^X~^ di/~^'èz~ 



UEBER DEN DRUCK DER LICHTSTRAHLEN. 475 

dargestellt wird. Daim folgen die Wertlie von B, U, Z in der l'orm 
H = 4^ .- {ÂIZ— Nï) + Ay. [Mw — No ) 

H = 4^' ~ {NX —IjZ)-{- a y ( Nn — Lw ) 

z = ^ ~ ( AK —MX) + .^^ ( Lv — Ma) , 

47r fV 

worin II = --, r = , /o= ist und /• den speciiisclien Widerstand 

des Koi'pers bedentet. 

Um nun x, (S, y zu Hndeii^ solien wii- dièse Kriifte, als ànsnere Krafte 
in die bekannten Differentialgleiclmngen der Bewegung elastischer Kôr- 
])er eintïdiren; iii gleiclier Weise nuissen H,„ H,„ Z„ als aussere Ki'ilfte 
in die Grenzbedingiingen der elastisclien Druckkviifte eingesetzt werden. 
Sind dabei A, . . . N ])ei-iodiscli veriiiiderlich, so wird dassclbe aiicli fiir 
X, [3, y der Eall, so dass wir iiii Allgenieinen elastische Scliwingnngen 
erhalten werden. Da aber, wie schon v. Helmholtz ') benierkt hatte^ 
H, . . . Zu Grossen zweiten Grades uml bei regebmissigen Lichtscliwin- 
gungen verscliwindend kleine zwcnter Ordnung sind^, so werden aucli 
X, (3, y ebenso klein und wir kihinen daher den Eintluss von x, p, y 
auf L, M, N, X, Y, Z anch fiir die best evacuirte Eiiunie ausser Aclit 
lassen -). Nnr fiir den reinen Aether (sogar ohne BeliarrungsvernK'igen) 
wiire die von diesen Krilften lierriihrende Bewegung zu untersuchen^ wie 
es von V. Helmholtz gethan worden ist. 

7. Nacli diesen Ueberleguugen bietea fiir uns die nionientanen Werthe 
von =.,. . .=.„,. . -, also auch von A',,,. . . kein Interesse dar; wir wer- 
den daher unsere Aufgabe in der Weise beschrilnken konnen^ dass wir 
. innner inir die niittleren Wertlie der Krafte fiir die ganze Scliwingungs- 
periode in Uechnung zielien. 

Wir nehinen ferner an, dass /y, M, N, X, Y, Z die Eorm 



<-^) 



') V. Helmholtz, Wied. Ann. 53 p. 139, 1894. 
') Hertz, Wied. Ann. 41 p. 398, 1890. 



476 D. A. GOLDIIAMMKR. 

haben^ worin a, h Fuiictioiien der Coordinaten sind^ von der Zoit aber 
uiiabbiiugig; dauii rexbiciri sicb die Berecbiiiuig der Mittelwertbe von 
"B.,... anf die Intégration der Ausdriicke von der Form 

t 



was oti'enbar giebt 



7) 

- cas {h— h') 



Es koiuieu also bei den gewobnlicben Licbtscbwingungen die Mittel- 
Averthe von H, . . . uur dann ver.scbwindeii, weini 

MZ—KY_ NX—LZ_ LY—MX _ 

k ~ ' l ~ ' k ~ ' 

also wenn entweder 

MZ—NY=^ 0, NX— LZ^ 0, LY--MX = 0, 
oder 



Da ferner MZ — iVl', ...die Coniponenten des bekannten Poyn- 
TiNG'schen Vectors darstellen, so seben wir daraus, dass cnich in âeu 
Leïieru die Wertbe von 5, . . . innig mit der Bewegung der Energie 
verbundeu sind '). 

Von jetzt ab wollen wir ini Weiteren unter Xj, . . . B, . . . H„, . . . 
X^ . . . inimer die in der angegebenen Weise berecbneten Mittelwertbe 
versteben. 

8. Wir stellen uns nun zwei sicb an der Ebene ^=0 angrenzende 



') Vgl. V. Helmholtz, Wied. Ann. 53 p. 139, 1894. 



UEBER DEN DRUCK DER LICHÏSTRAHLEN. 477 

Medieii vor iiud wiihlen die //"-Ebeiie fiir die Einfallsebene eiiier liiiear- 
polarisirtcu ebeuen Lichtwelle, so dass wir setzen 

Y=Z={), L=0. 

Vou der Seite der iiegativeu z liège eiu nïchlJelfcHfles Médium^ fiir 
welclies oiïenbar gilt 

5 = 0, H = 0, Z = 

O^ OTT ■¥% 

und an der Ebene ^ = 0, wo cos %z = — 1 ist, babeu wir 

Hu = 0, H,, = + Y,, Zn = 4- ^r- 

Beziehen sich A'^^, M^-^ iV^"- auf die autl'allendeu, A",-, J/, -, iV^.Sauf 
die an der Ebene z=^\ reflectirten Strahleu, so ist fiir die Mittelwerthe 

M 2 = M,:- + Mr\ N- = Nr'' + iVr', X' = X/ + X,2; 
ferner ist bekanntlich 

worin é;„,i<?r die uiittlere Energie in der Volunieneinlieit der entspre- 
chenden Strahlen bedeuten. 

Betragt der Einfallswinkel Cp so folgt 

Xa = , Xy=0, 

Y,, = {e„ + er) ■slu'^Cp , Y. = \ [e., — e, ) sin 2(p, 

woraus wir erseben, dassdiese Werthe vonden Coordinaten unabhangis; 
sind. Dann ist aucb an der Ebene c=0 



478 D, A. GOLDHAMMER. 

^u = (^« + ^>) s^n'^ ^5 Yz = { {«o — e,) sin 2 Cp, 

^r = [eo + «r) CM- 2 :p, Z^c = 0, 

und folglich 

Hn =0, H„ = -|- (1?^ — e,) siu 2Cp, Z» = {e,, + é^y) cc^^-Cp. 

9. Die Reflexionsebene erleidet also eiiien va// dem auffallendeu 
uiid rejledlrfeii Llchte lierrUhrendeu sehiefen Dncck p in der Eiufalls- 
ebeue, dessen liichtuiig mit der i^-Axe einen Winkel ^ bildet^ so dass 



23 = cos V e,p- -\- e^'^ -\- e,, e,- cos 2cp. 

Flihren wir das Eeflexionsverinogen J^ der Ebeiie ;■== eiii, sofolgt 

e,- = J^e, und 



p = eo cos V 1 + /^^ + 'ZJ^cos Z:p. 
Flir den Fall voUkommener Rejkxlon habeu wir J ^= \ und 

4^ = 
p ^ 'Ze^jCos-cp; 
fur voUkommene Absorption wird ^^ = und 

^ = (P 
p ^= eoCosCp; 
endlich fur normale lueidenz ist 



UEBER DEN DRUCK DER LICHTSTRAHLEN. 479 

Daraus folgt gerade clas Pvesultat von Maxwell filr/o = **> i^"*! von 

BOLTZMANN filr /^ = 1. 

10. Nnn haben wir bislier die Wellenbewegung an der Seite der 
positiven j gauz ausser Aclit gelassen; jetzt solleu auch hier wivkende 
])onderomotonsclie Krafte untersucht werdeu. 

Das Médium mit c>- selieu wir als eine Flatte au, deren Dicke // 
so gross ist, dass kein in die Flatte gebrochener Strahl ans derselben 
heraustritt. 

Ferner bemerken wir Folgendes. A', M, vV sind Functionen von y, z, f 
und dabei treten ij, f nur unter dem Zeichen von cus'm res|). a'm auf. 
Dann sind die Mittelwerthe von A' 2, M'^, N'^, folglich auch von A',,-. ., 
voi\ // unabhiingig. Es ergeben sich daraus die pouderomotorischen 
Kriifte im Inneren der Flatte 

und an der Ebene z^= Qi, worin cos nz = 1 ist, 

Hh ^ 0; H,j = — y z) Z^/i = Z~- 

Wir uehmen au, die Flatte sei als Ganzes in der Uichtung der ^--Axe 
frei beweglich ; dann setzen sich die dieselbe bewegenden Krafte, auf die 
Einheit der Eliiche bezogen, zu einer Besultirendeu zusammen, deren 
C'omponenten resp. sind 

h h 



\ln+\Hdz und Zn^jZ(k 

oder 

-Yz^-\-^dz^-Z,-]j^. 







h h 



n 



was oll'enbar gibt, da fur z^= /i Y., und H verschwinden. 

Die Lichtbewegung i]i einer vollkommen absorbirendeu Flatte giebt 



480 D. A. GOLDHAMMER. 

keine dieselbe in der Kichtung der ^-Axe bewegeude ponderomotorisclie 
Kraft '). 

11. Wir wolleii noclideu Fall einer voUkommen durchsichtigen Platte 
untersuchen^ und zwar sei fur z^Ji wieder dasselbe Médium^ wie 
fin- . .-<(). 

Der Einfachlieit wegen nebmen wir jetzt ^ = 0, also betrachten nur 
deu Pall der norinaleu Iiicidcnz. Bezieben sicli dan (?,■ j é;i , «^ auf die 
Strahlen im ei'sten Médium, resp in der Platte und in dem zweiten 
Médium, so haben wir, wie leiclit zu ersebcn, folgende Werte der 
Oberlliicbenlvrafte; da jetzt wieder H = H = Z = ist. 



^=0, 


Erstes Médium : Z„ = ^^ n~ ''r, 


eus HZ = 1 , 


z=i), 


Platte : Zh = — <'x 1 


COS)IZ^= -|- 1, 


z = //, 


Platte: Zn = -}- ^„ 


cosnz = — 1, 


z=h, 


Zweites Médium : Zn = - — ea , 


cos nz = -}- 1 . 


'a nun 


e = Nea 





ist, so folgt 

^ = : Zo = ^o -r C',.—Nea , 

Zn = [N—\)e,i 

und betriigt der Wertli des ^Lichtdrucks" 

p = Z„ + Z/, = 2 {e„ — e,i) 



^) 3<]s ist leiclit zu finden, dass in diesem Fall eiu Diehuiigsmoiiieut i¥,r cxistirt, 

h 

welclies die Platte um die :<:-Axezu drehen strebt, Mx=^ s | V'r i/r, worin n die 

beleuchtete Flàche der Platte bedeutet, und dieselbe als eine ruude Scheibe betrach- 
tet wird mit dem Coordinatenanfaug in der Mitte. Dièses Drebungsmomeut ist 
von ganz audeven Grôssenordnung als /;, da d.asselbe proportional der Welleu- 
lânge ist. 



UEBEll DEN DRUCK DEll LICH'l'STRAHLEN. 481 

Bekanntlich ist 



iind daller wird 



l-Jo 



4J-0 

P = ^0 



l+'h 



Bei /„ = - wûrde folgen p = e,,, gerade wie in dem Falle eiuer abso- 
o 

lut schwarzen Fliiche M. 



12. Fur deu zweiten Hauptfall der Polarisation mûssen wir 

M=(), jV=0, X=0 

setzeii, d. i. : 

und bekommeu wir die friihereu Werthe von Xx , • • • uur mit dem Un- 
terschiede, dass e,- einen anderen numerischen Werth darstellt. Daraus 
ist zu schliessen, dass aile unsere Resultate auch jetzt bestehen blei- 
ben. Dann aber ist auch ein directer Uebergang zu dem Ealle des natilr- 
lichen Lichtes erlaubt: nur inuss man unter e,,, e,-, J'^p die entsprechenden 
Grossen fiir uatiirliclies Licht verstehen, 

13. Ein ganz besonderes Intéresse bietet der Fall dar, wenn das auf- 
•fallende Licht senkrecht zur Einfallsebene polarisirt unter dem Polari- 

sationswinkel auffallt. 



') Flir die schiefe Incidenz wûrden sich aucli hier die Drehungsuiomente ergeben. 
Wir behalten uns vor bei einer anderen Gelegenheit zu dieser Frage wieder 
zukehren. 

AUCniVES NKEnivANDATSKS, SEKTE II. TOME V. 31 



482 D. A. GOLDHAMMEU. 

Dann bekommen wir keiiie Reflexion, so dass 

wird und wir liaben : 

z = o Erstes Médium : H,; = 4- e^ sin %(p , Z„ = g^ cos- (p , 

^^ = Flatte: H,, = — -^e^ siu2,Cp^, Z„ = — -e^cos'^(p^^ 

z=^h Flatte : H,( = y e^ sin 3 0i , Z„ — e^ cos^ ^j , 

z = h Zweites Médium: H,; = — • \p,ç^ sin 2,^ , Z„ = — Pq cos- Cp , 
Daraus folgt 

Hf) = — ■ H/, = l e^J sin 2 — ■ -^| e^ sin 2 (2), , 
Zq ^ — Z/, = i?o co-s^ (^ — (g, co^'2 (^] ; 



da aber 



sinâ) 



sin Cpi 



ist, so bekommen wir 

Hq = — H/, = ÔQ sin (p {ci)S (p — cos (p^ ) , 

Zo = — Z/, = ^0 f cos^ p — cos^ p^ ^ ). 

^ sinCpy^ 

Es existirt also in diesem Ealle keine Kraft, die die Flatte in der ^r-Axe 
zu bewegen strebt. Die berechueten jaouderomotorischen Krafte konnen 
die Flatte nur clrehen. 

17. Da ferner jetzt 

p'\- p^^^^'^,fgp^N, fg p-f = — ^ cos p^ = sin 0^, sin vl), =: cos (p, 

sm p = — ^ cos p ■■ 



l/l+7V^ l/l+iV^2 

ist, so berechnen wir leiclit 



UEBER DEN DRITCK UF,R LICHTSTRAHLEN. 483 

N{N—1) 



Ho = — H/, = — é^o 



Zn = — Z/, = — e, 



iV^ + l ' 

TV^+r 



^ - iTo iV(iy— 1) ^ ^ 1 



setzen wir 



fok-t 






N~V 



Fur Glas wûrde iV= 1.5 sein; dann berechnet man 
7o=—Â = — 0. 74.^0, 

Offenbar ist das gewoiinene Kraftepaar eine ganz neue Folgerung der 
electromagnetischeu Lichttheorie. 

■ Kasan, Octoher 1900. 



31^ 



UEBER DIE ABLEITUNGEN DES THERMODYNAMISGHEN POTENTIALS 
NACH T UND^; BEI ZUSAMMEiNGESETZTEN KOMPONENTEN 



J. J. VAN LAAR. 



1) Nehmen wir mit Max Planck als Wiirmef miction an das durch 
— T dividierte thermodynamische Potential ^ von Gibbs und Duhem, 
und nennen wir dièse Fuuction "¥ einfach Potential, so ist 

^=-^=s-\{E+pr) (1) 

Hieraus geht hervor : 



oder weil 



auch 



dE =1 dS—2jdV — ^{[y.^ du;), 



d^ = }^lE^pr)dTl-'^^d.p + ^{^, dn,) (2) 

In diesen Beziehungen ist S die totale Entropie^ E die totale Energie 
und V das totale Volum. des Systems. Weiter istj/j der Druck^ T die 
absolnte Temperatur, und sind die Grossen [/,^, iz.,_, etc. die sogenannten 
molecularen tliermodynamisclien Potcntiale der Komponenten^ von welchen 

n^, n.^, etc. die Molecûlzahlen sind. Statt — ^, — ^, etc. ist gesetzt 



UEBER DIE ABLEITUNGEN^ U. S. W. 485 

•^i,-!/.,, etc., soclass die Cirosseu •iii,-Jj.^, etc. niclits antleres siud als die 
moleeularr/i (PLANC'iv'scheii) Potentiale, dellnirt durcli 

^i = v -^■^=j;;:''^' ^^^ 

Auch folgt aus (2), dass 

c>4^ 1 , cV^ yT/ 

,-T = T5(i'+y'n; ^ = -T. (l) 

wobei also aile Molecnlzahl en n iieben p oder T koiistant vorausgesetzt 
wcrdeu. Dièse fmidamentaleu Bezieliimgen (4) siud es, mit welcheu wir 
uns im Folgeudeu speziell beschiiftigen wollen. 

%) Setzeu wir dabei voraus, dass eiuige oder aile Kompoueuten des 
Systems, vou welcheu die Molecûlzahleu durch //,, //.,, etc. bezeichuet 
wurdeu, zusainmengesetzt siud. Deukeu Avir uur au das allbekauute 
Beispiel, dass ein Salz iu Wasser gelost ist. Die Moleciilzahl des 
Wassers ist daun ;/), diejeuige des Salzeu Wj, aber beide Kompoueuten 
siud zusammeugesetzt. Im Wasser betinden sich einfache Wassermole- 
ciile und komplexe {Doppel)mo\eQÀ\\& ; das Salz ist theilweise eleciroly- 
tiscli dissociiert, und es siud elehirisch neutrale Moleciile, und positive 
und négative loneii vovlianden. Ist der Dissociatiousgrad der Salzmole- 
ciile y., der Dissociatiousgrad der Dop])elmoleciile des AVassers /3, so 
siud also vorlianden : 



(1— /3) //, Doppelmolecille Wasser 
2/3//J einfache Moleciile „ 



(1- — ^) n.^ ueutrale Moleciile Salz 
+ 
V X 11.^ ])ositive lonen 



v^y/o négative „ 

//j bezieht sich daun auf die Wassei'moleciile, aile als Doppelmoleciile 

gerechuet, n.,_ auf die Salzmoleciile, aile als ueutrale gerechuet. v und v 
siud die Anzahlen der louen, in welche sich ein ueutrales Salzmoleciil 
spaltet. 

In ilhidicher Weise deukeu wir uns nun fortau eiuige oder aile Kom- 
pouenten uuseres Systems zusammeugesetzt, und wir bezeichneu die ver- 
scliiedeneu dabei vorkommeuden Dissociationsgrade mit oc, (3, y, etc. 



486 J. J. VAN LAAll. 

3) Differeuzieren wir jetzt die runctiou T total nach T, d. h. wir 
setzen voraus, dass dabei zwaryj und aile n^,')/.^, etc. uiigeaudei-t bleiben, 
aber dasz — wie das iu Wirldichkeit geschieht — die Dissociationsgrade 
o!>, /3, etc aile mit der Temperatur mitverdnderen. Wir bezeichuen iil. 

mit -~ {cp eine beliebige l"'unction) die Opération : 
cl jL 

d(p _ z'^^) c>cp dx I dcb d(3 \ 

dT\^'^'^lc(Jv'^^i3lT'^ ■ ■ J' 



P, 11 J, »o. 



\^. d0 dcp dcp ^ ^ ^3 

Lbenso ^-. - — , - — , etc. sodass z, J3. 
d,p dn^ dn^ 

d0 _^c»(|) I c»cp dx I ^(p d[3 
dn< 



'l(p _/h(p I c>Cp rt^^ c>(p r//3 I \ 

in^ \c^?/i ^a,dv^ ^^dn^ ' ' ' J' 



l\ir Linsere Puuction T bekommeu wir somit : 






^(^-F\ 1 

einzuseherij dass 



Niin ist nach (4) f ^ j "^ rml^^M^j/-'^' )• Aber es ist leicht 



ô^ = ^^ ^ = ^'^^*« (^) 

Deun bei den verschiedenen Dissociatiousgleichgewichten iindert sicb 
das totale Potential T nicht mebr^ ^renn die Dissociationsgrade sich vir- 
tuell iluderen (GJeicligewichtsprincip). Es bleibt also iibrig: 



El 



)enso wirc 



dT ctT T'^ ^^ '^ 
d-^ _i>W _ V 



(4«) 



Jetzt ditf'erenziereu wir dièse Bezieliungen (4«) total nach y/, (wobei 
sich also wiederum x,fi, etc. ilndern). Die Dissociatiousgleichgewichte 

bleiben dann ni. bestehen. nnd die Glieder ^^-^ ^r^r^ etc. bleiben = 0, 

sodass auch die Beziehungen (4j)wahr bleiben. So miissen in unserem 



IJEBEll DIE ABLEITUNGEN, U. S. W. 487 

obigeii Beispiel von Salz in Wasser gelust bei Aenclerung von T aucli 
IX, uncl /3 geandert werden, damit die beiden Dissociatiousgleicligewiclite 
wieder liergestellt werden. Wiv bekommen somit : 

Aber da 

d^, \jfv) ~ dTKrh^J' 

weil beide Differentialquotieuten, sowohl nacli T als nach n^, totale 
wareu^ so ist aucli : 

dT\dnJ~T\dj/^ '^'\hj' 



Nun ist 



r/T (>T , f>Y doc . 

1— = s rY' 1 T ■ • • = ■'Pu 



nach (-3) und (5). Sclireiben wir dann zur Abkiirzung aucli e^ und v, 

^E dV ^E ^F . 

statt^; — und -—- (welclie Grosseu iedocli 7ricM = ^ — luid -.,— sind)^so wird: 
dn^ dn^ àn^ ^n.^ 



und gleiclifalls 



dp T 



(6) 



#2 #2 

ditf'erenziert wird. 



und iihnliche Bezieliungen filr ■——, —^, etc., wenn total nachw.,, etc. 



4) Wir nehmen jetzt irgend welche Réaction zwischen einigen Kom- 
ponenten (in einer oder in mehreren Phasen) an, dann ist bekanntlicli bei 
Gleichgewicht : 

2(v, •^,) = (), (7) 

wobei Vj, Vo, etc. die in der Reactionengleichung vorkommendeu 
Koëfïicienten sind (negativ gerechnet beim verschwindenden System), 



488 J. J. VAN LA AU. 

Das erste Glied dieser Bezielmng^ total nacli T uutl /; ditferenzievt, giebt 
also mit Eiicksicht auf (6) : 






Hierin ist nun S(V] f'J^Z ( v^-j— ) die totate Aenderung der J^ner ■ 

gie pro Aequivalent, weun eiiie unendlich geriuge Menge des eiuen 
Systems in das andere ùbergelit^ wobei sich also aucli ot, (3, etc. anderii^ 
und wir bezeichnen dièse Grosse mit A 7i. Ebenso bezeichnen wir die 
totale Volumàndenmg S (v, r^) mit A V, und wir bekommen : 






(8) 






wenn statt AE-j-pA V noch gescbrieben wird Q, Aie, aljsorbierle utole- 
cidare ll'drme (in Art)eÀtseinlieiten ausgedriickt). 

Das sind die allgemeinen Pormeln tnr die Aenderungeu nach T 
und [) bei beliebigen Reactionen, ^^\\\\(\ûiid\ zusammevcjese.tzte Komjio- 
nenteii betlieiligt sind. Dieselben M'urdeu zum ersten Maie filr den weni- 
ger allgemeinen Fall^ dass die Koraponenten eivJteUlich sind^ im Jahre 
1892 von mir hergeleitet '), naclidem Max PlaN(îk ^) im Jahre 1887 
dieselben schon fiir verduuvte Lôsungen aufgestellt batte. Im Obigen 
habe ich die beriihmten Pormeln zura ersten Maie fiir den Pall^ dass 
die Komponenten zusammengesetzt sind^ streng bewiesen '^'), und es er- 
giebt sich ans meinen Herleitungen, dass man in diesem Fall immer 
totale DifPerentialquotienten nach T,y;, //,,;/2, etc. benutzen mnss, wobei 
neben diesen Veriinderlichen auch oi,^,y, etc. mitveranderen. 



') Zeitschrift fiir Physikalisclie Cliemie, Bd. 10, p. 242 (1892). 

") WiED. Ann., Ed.. 30, p. 5G2; Bd. 31, p. 189; Bd. 32, p. 4G2 (1887); Bd. 34, 
p. 139 (1888). 

^) Schon in einem Anfsatz in den Archives du Musée Teyler vom Jahre 18!»8 
gab ich dafiir cinen Beweis, doch istder obige Beweis strenger und volllvommen 
einwandsfrei. 



UEBER DIE ABLEITUNGEN, U. S. VV. 489 

Es ist wohl kaum bediirflicli uocli einmal darauf liiuzuweisen^ dass 
in (8) immer Q= A -È'+|J A V vorkommt_, und nicht eiufacli q^=^ i\E, 
wie unbegreifliclier Weise uocli immer in einigen Aufsatzen gefundeii 
Avird. 

5) In den Eelationen (7) und (8) diirfen iïberall •^x,-i'<^, etc. durch 

o o o o 

v^j,*>^2j> 6tc. ersetzt werden^ wenn ^x,^.^, etc. sicli auf die nicht-dissoci- 
'/e;-/(?;^ Auteile der zusammengesetzten Komponenten beziehen. Es ist z. B. 
bei der elektrolytischen Dissociation eines Salzes : 

+ 
^n^ dn^ ^n^diix ^//^dn^ 

o + + - - 

odei" da ^^J=:(1 — i^-) '>^i, ^^i = ^^-'^\, //, = v^^^^ ancli : 

+ + - - 

+ + — 
oder '«/.i = ^j + ^. (— .j;, -^ V 1^, + V '^j ). 

o ++ 

Aber bei m D'issoclatïonsglelcJKjeioicM ist — -^^ -}- v;pj -p > '^1 = ^^ 
sodass 

•^, =-Ji (i>) 

Und ebenso fiir aile moglicbeu Dissociationsprocessen. Wir sçlireiben 
also statt (7) und (S): 

2:(vr3^J = o (î«) 

»'"• ^0'^) = T=^ -0'#) = -^' f^") 

(la l)ei der ioialen Ditf'ereiizieruiig nacli T undj?; die Dissociationsgleidi- 

C' C' 

gewichte bestelieu bleiben, und somit -vi^j = -h^, ■!).,_ = •^.,_, etc. hJcJbf. 
Sçlireiben wir jetzt : 

or o o o O ■ 

•h y = vL'j' — Il log^i ; •Ij.,_ ='i^2' — ^logCo ; etc., 

c o 

wo Cj, c.^, etc. die //;,ofey?:«^a';-g;^ Konzentrationen der Komponenten be- 
zeichnen, ni. 



490 J. J. VAN LAAR. 



Tn^ + si + • • • S-°/i + Tn.^ + . . . 



Wir bekommen danu statt E (vj ^^)^^0 die Beziehung 



oder wenu gesetzt wird 



Z{v,i,') = mogK, (10) 



die bekauute Eelation 



Tlic'^) = K (11) 



Nuu wird oft der bei zusammeugesetzten Kompoueutei] verhaug- 
nissvolle Tehler gemachtv, die Relationen (S)^ oder (8^^)^ welche im allgeniei- 

uen nur fur die lYuictioiien -Ij oder -li giiltig sind, au/ die Fwnciionen 

^' oder \p' zit ubertrageu, uud zu schreiben : 

/- dL'\ Q ^ dl/\ AV 

oder mit Riicksiclit auf (10): 

r/logÂ' Q dlosK AT 



dT JîT~' dp ET 



(12) 



Offenbar trifft dièses nur bei einheiilicheu Komijonenteu zu. ]3euu 
alsdann siud in 



die Grôsseu —i^, etc. aile = 0, da c., ('.,, etc. bei eiuheitliclien Kom- 
dl 

poueuteii uicht mehr direct von T abhaugig sind, weil darin die Grossen 
ût,l3, etc. dann uicht mehr vorkoinmen. Bezeichuet doch z. 15. — -^,^j^ — 



UEliER DIE ABLELTUNGENj U. S. W. 491 

o o 

wie wir wisseii ( --.r,— -f -^^^Tm + etc. 1 uucl darm ist zwar 

V c'i tU (IL y p, ri, -IL,... 

iininer — ^^-— = U^ docli iiur bei einheitliclieu Komponenten sind aucli 

o o 

dieGrossen -^^ —, — ^^\ etc. = 0. Die berulimten Eelationeu (12), 

welclie zuerst vou van ''l' Hoff fiir verdiinnte Losuugen uiid Système 
liergeleitet sind, gelteu also strenge mir hei emheiUicUen Komponenten. 
Im Falle von zusammengesetzten Komponenten miissen dieselben durch 
8 oder (8a) ersetzt werden. 

6) Zum Scliluss werde icli au eiuem Beispiel zeigen in wie huclist 
einfacher Weise durch die Eelatioueu (8rt) verscliiedene Aufgaben ge- 
lost werden. Sei z.B. die Bezieliuug zwisclien Loswigsivàrme uud Los- 
lichkeit verlaugt bei Losuugen von Elektrolyten. 

Die Gleichgewichtsbediugmig, weun festes Salz mit dem Salz in der 
Losuug in Gleicligewiclit stelit, lautet uach [la), weun -Jj., sicli auf das 
feste Salz bezieht: 

— ;/.,+ -«^1=0, 

da nacli (9) statt -i^j kanu gesclirieben werden -ii^ . 

Differeuziereu wir dièses total uach T, so miissen wir bedenken dass 
die Siittigungskonzeutratiou .y eine Fuuctiou von T ist, und dass souiit 

Nun ist — ( — -X-a -r'^/^Js uach (8a) = =^ , weun Ls die totale Lo- 

suugswiirme pro Gr. Mol des Saizes ist beim Uebergang von djc Gr. 
Mol des festen Saizes in die Losuug. Dabei lindern sich also oi und /3 
mit, sodass L^ auch die Energieanderungen entliiilt, w^elclie mit diesen 
Aeuderungen von a, uud /3 verbuuden sind. (Sielie bei (8)). Wir haben 
demnach : 

^ , /'^\ 'l'^ ^ n 

T-~^\rlsJtdT 



492 J. J. VAN LAAR. 

oder 

o o 

T^^V ds ds Jtd'\l~ 

O 

(71 / ^^ 
— :— ) ^ :^ zu setzen, da der 
ds yt 

Tlieil •^' des molekularen Poteutials -Jj daun iiiclit mehr vou deu vor- 
scliiedenen Konzentrationeu abliaugig ist. 
Iii diesem Fall bekommen wir somit : 

^'-<^'^).|. (^«) 

und das ist die einzio; riclitis-e Formel fiir die Bezieliuuff zwischen der 
totalen Losungswarme Lg iiud der Veranderiiiig der LiJsliclikeit mit der 
ïemperatur. 

o 

Setzeu wir fur c^ seineu Wertli ein^ ul. 

o _ {\ — oi) m _ (1—^0 '^ _ (1 — O'-) '^ 
y H -j- ini 7 ~T' ' * 7 



wo m, die xluzalil der gelosteii Salzmolecûle^ // die Anzahl der Wasser- 

'M 

moleciile (einfach- gereclmet), — = 5 

u 

ist, so kaim auch geschrieben werden ; 



m 1 -L- ^ 

moleciile (einfach- gereclmet), —=s,y = — - — uiidi = l-|-(v — \)x 

u 3 



'^/loo'd — a)s\ ds ,-3 



^'*-^^\ — ds — )tdr\^' 



da y-j-is oder y bei verdiinnteu Lusuiigeu uiclit merklicli von * ab- 

hilngig ist. 

(1 — x)s 

Ist ce niclit weit von 1 entfernt, so ist es zu bevorziigen statt 

7 

zn schreibenf ^ j : À', da beim Dissociationsgleicligewiclit (v ist die 
lonenzalil) 

\yj 

7 



UEBER DIE ABLEITUNGEN, U. S. W. 493 

ist. Wir bckommen alsdann bei verdiinnten Losungen : 

..^„.ï.('iJ^)J„ (13, 

cla daiiii auch K von s unabhiiiigig kann gesetzt worden. 

FiUireu wir die totale Dilferenzierimg nacli s in (13a) oder (136*) ans, 
so wird: 

Nun geht ans obiger Beziebung fin- x, geschrieben in der Gestalt 



(1— a)c 
bei verdiinnten Losungen (A" ist dann konstant) hervor 

dy. l(v— 1)^.(1— ;4) 



sodass 



oder 



de c V — iv — \)ûc ' 



Ls sv — [v — ■l)ix,Adi]L 



^^-^T — ^-—^-^^ (13.) 

Dièse Beziebung wurde von mir zuni ersten Maie im Jahre 1894 ge- 

geben i), in Abweicbung mit der van 't HoFE''schen Formel, welclie 

sicb nur bei <J5 = und x=:\ mit der meinigen deckt. Die Beziebung 

(13a), welcbe mit (13c) identish ist, gab ich im Jalire 1900 ^). 

V 2 

Bei bïndren Elektrolyten Avird -, -^ in (13c) durch 7;^ 

■^ V — (v — V)x ^ ^ 2 — ûi 

ersetzt. Zur Integi-allon ist jedocb niclit (13.), sondern (13a) oder 



') Zeitschrift fiir Pliysikalische Chemie, Bd. 15, p. 473. (1894) (.s ist dort 

nicht =: -, sondern = — 7— )• ^ucli Id., Bd. 17, p. 545 (1895), 
n' n + my ' ' ^ 

') Id., Bd. 35, p. 11. 



494 .1. .1. VAN LAAK. 

(ISb) zu benutzen. Tûgen wir ni z. B. bei (13^^) uoch ein Glied 
\ dï y s 

oder 

wo r/ jetzt das /îo/^«/g Differentialquotieiit nach T mit Riicksicht auf die 
Mitanderung von s bezeichnet. //'« wird dabei kauin von //,,. verschieden 
sein, da das liinzugefùgte Glied 



/'rnog(l — IX) s\ 1 dût 



die Dissociationswarme Q entliillt (welche auch schon in Ls vorkommt), 
welche in den meisten Piillen gegeniiber L^ zu veruachlassigen ist. 
Wir bekommen nunmehr sogleich: 

oder wenn statt (1 — x)s geschrieben wird {ûcs)v : K' , aucli 

£,=„^T,ï,L°8A|~s^ (i«) 

(14«)kanu benutzt werden, wenn x unweit 0, (14ô), wenn izunweitl ist. 

Wenn neben dem gelôsten Salz ein anderes Salz sich in der Losung 
befindet, so iindert dièses selbstverstandlich nichts an den Pormeln 13a, 
Vèh, lia, 146. Nur sind die Grossen a, und s durch die Gegenwart des 
zweiten Salzes anders als ohne dessen Gegenwart, speziell wenn dièses 
mit dem ursprunglichen Salz ein Ion gemeinsam hat. Dadurcli iindert 
sich also die l'ormel 13c, aber wie gesagt niclit die Eormeln 13«, 136, 
14« und 146. 

Dass z. B. die Formel (14^/) zu richtigen Resultaten fiihrt, liabe ich 



UEBER DIE ABLEITUNGEN^ U. S. W. 495 

an zwei Beispielen bewieseu '). Es sei hier die Eechiiung beim Essig- 
saurem Silber nocli einmal wiederholt. 
Experimentell gefundeu wurde ^) : 

„ ^;=2(r „ .; = 1,0351 



Es ist somit 



>^ "2 '■'^^ ->! 



= 0,006895. 



Weiter ist 
72 T, T., X 2,3036 = 1,997 X 293,3 X 303,2 X 2,3026 = 4088X102. 

Eûr ^25° wurde dui'cli Leitfrdiigkeitsbestimmungen gefuiiden ^) : 

^.^.=0,713, 

sodass, da x zwisclien 25° und 35° um 0,030 abnimrat '), gesetzt 
werdeii kann : 

x_,o = 0,728 
^.,^^ = 0^698, 
und folfflich 



\og'\l-x,,)-\og^\\-x,,] 



T,-T, 



= 0,004544. 



Es wird somit : 

log'"(l-^.,).,-log'»(l-^J., 



0,01144, 



T,— T, 
und 

i,, = 4088X103 XI, 144 XI 0-2= 46 76 Gr. Kal. 



') 1. c, Bd. 35, p. 15. 

') GoLDSciiMiDT, Zeitschr. f. Phys. Ch., Bd. 25, p. 91 (1898). Fh. van Maar- 
SEVEKN, Dissertation, 1897, p. 14. 

^) Id. p. 17. Wie wir durch die Untersucliuiigen Jahn's wissen [Zeitschr. f. 
Ph. Cil. Bd. 33, p. 545 (1900)] sind die durch dièse Méthode bestimmten Werthe 
von « nicht genau, doch da es sich hier um Diiferenzen handelt, wird der dadurch 
gemachte Fehler vernachlassigbar sein. 

') Zeitschr. f. Phys. Ch. Bd. 17, p. 297, 298, 548 (1895). 



496 J. .]. VAN LAAR. UEBER DIE ABLEITUNGEN, U. S. W. 

Es wurcTe experimentell gefunclen //.<,= 4613 Gr. Kal^ sodass die 
Differenz nur 63 Gr. Kal ist ^). Die entsjjrechende Differenz betrug bei 
der VAN 't HoFp'scheii Formel ") — 317 Gr. Kal. 

Aucli beim propioiisaurem Silber giebt meine Formel eine gute 
Uebereiustimmung ■^')- 

UtrexU, 28 Oct. 1900. 



') Die einzelnen Versuclien (Fa. v. Maarseveen, 1. c, p. 24) weichen um 53 
Gr. Kal. ab. 

") 1. c, Bd. 35, p. 16. 
') 1. c, Bd. 35, p. 16. 



B E S] K n K U N C. E N Û B E R E I N I (1 E G R IJ N 1 ) S à T Z E D E 1^ 
E L E K T B, I C I T il T S h E II R E. 



W. H. JULIUS. 



Wenu mail die Eigenschaften des elektrischen Peldes aus Betrach- 
tungen iiber centrale Kriifte ableiteii will — wie es bei der Einfûhruiig 
in die Tbeorie nnineutlicli aus didaktischeu Griindeu ufters geschieht — 
ptlegt inaii dabei eiuer von Gauss, Laplace, Poisson, ausgebildeten 
Gedankenreihe zu folgen. 

Dièse Behaudluugsweise des Problems griiudet sicii auf die Aunabme 
von Kraften, welche von der Natur des Médiums unabhangig siud. Will 
inan aber die Eutdeckung Faraday'' s, dass die Grosse der zwischeu 
Leitern mit konstanten Ladungeu wirkende Kraft je nacli dem Zwischen- 
mittel verscliieden ist, gleicli Anfangs in die Théorie mit aufnebinen, so 
miissen eiiiige bekaimte Satze, welche in den meisten Haiid- und Lehr- 
biichern der Lehre der centraleu Kriifte in unveriinderter Gestalt ent- 
noinmen sind, eine Modifikation erleiden. 

Dièse Abilnderungen vollstiindig durchzufiUireu, liegt selbstverstiind- 
lich ausserhalb des llahmens einer Mitteiluug von weuigen Seiten; ich 
will nur zeigeii, dass wenii nian schoii beim ersten Ansatz den Eintluss 
des Médiums auf die Kriifte beriicksichtigt, gewisse Widerspriiche, auf 
welche die iibliche Behaudlungsweise gefiihrt liât, verschwinden. 

§ 1. Geladene Leiter, dereu Dimensionen gegen ihre Abstiinde uicht 
in Betracht kommen, bezeichnen wir als Punktladuiigeu. Pilr Punkt- 
ladungen also gilt das CoiiLOJiB''sche Gesetz : 

ARCHIVES NKEKLANDAISES, SERIE 11. TOME V. 32 



■498 w. H. juLius 



.1 ^ 



wo k die Dielektricitatskoustaiite des Médiums darstellt. 

Dei" GAUss'sche Satz^ abgeleitet in der Yoraussetzmig dass k iiberall 
den gleicheu Wert liât, lautet imu : Weuu sich imierlialb einer geschlos- 
seueu riiiclie S die Puuktladungeu Sy, e.,, e^ . . . betiuden, ausserhalb 
derselben die Punktladungeii e^' , e.,' , e^ . . ., so ist 



// 



Nd8=%^e. (1) 



Es bezeichnet iV fiir jedes Elément der Flache S die darauf senkrechte 
Komponente der Eeldiutensitat; sie wird positiv gereclmet weun sie 
nach aussen gericlitet ist. Die Punktladungeu e sind auf den Wert des 
Intégrais olme Einiluss, 

Wenden wir den Satz (1) auf den Pall an, dass eine sehr grosse An- 
zahl von Punktladungeu gleichmassig iiber den ganzen Raum, sowolil 
innerhalb als ausserhalb der EUlche S, verbreitet sind, so kann von einer 
mittleren Eaumdichte p die Pede sein und raan bat 



vol. s 



I I \pdxdydz 



Stets ist 



^x , ^r , ^^^ 



also gilt nach Gleichung (1) fiir jedes Rauraelenient (das gross ist gegen 
die Entfernungen der Punktladungeu) 

und, weil die Krlifte ein Potential V haben. 

Hier ist nun k die Dielektricitatskonstante des mit den Punktladuugen 



BEMERKUNGEN ÛBER EINIGE GllUNDSaïZE DER ELEKTRlCITaTSLEHRE. 499 

ausgestatteten Médiums; sie kiinute von derjeuigeu des urspriiuglicheu 
Dielekti'ikums verschiedeu sein, 

§ 2. Die alte Tlieorie l()st die Pemknifte ausiibende Elektricitilt in 
gewissem Sinne von der Materie los; sie sclireibt derselben CouLOMB'sche 
Wirknngen za, auch olme dass es notwendig wâre im Kern der Punkt- 
ladungeu einen den Charakter eines Leiters besitzenden Eaum voraus- 
zusetzen. Sie verfahrt mit den Puuktladungen wie mit Massenpunkteu 
zwischen deuen die allgemeiue Gravitation wirkt — nur dass die Kraft 
auch eine abstossende sein kann — und lasst den nacbfolgenden Unter- 
scliied zwischen den Ersclieinungen der Gravitation und den elektrischen 
Erscheiuungeu ausser Acht. Bei der Massenanziehung zeigt sich^ dass 
die Wirkung einer Auzahl neben und liber einander liegender Elemente 
auf ein benachbartes Elément m stets der Summe der Wirkungeu, die 
jedes Elément einzeln genommen auf m ausiiben wiirde, gieichkommt. 
Entsprechendes gilt fiir elektrische Korper, an denen das CouLOMi5''sche 
Gesetz gepriift wurde, nicht. Man denke sich etwa hundert von einander 
isolirte geladeue Kiigelchen kurz beisammen zu einer Gruppe vereinigt. 
Die Wirkung dièses Systems auf ein benachbartes geladenes Kiigelchen 
e wird von der Summe der Wirkungen, welche jedes Elément der Gruppe 
fiir sich auf e wiirde ausgeiibt haben, wenn man die ilbrigen Kiigelchen 
entfernt hiitte, verschiedeu sein. 

Wenn man sich die geladenen K.orperchen kleiner und kleiner denkt, 
so entsteht der elektrische Elementarbegriff, die Punktladung (wie der 
Massenpunkt in der Gravitationslehre). Dieser Punktladung das soeben 
beschriebene eigenthiimliche Yerhalteu elektrischer Korj^er abzuspre- 
cheu^ heisst nun eine Hypothèse einfiihren^ deren Brauchbarkeit erst ans 
den Deduktionen sich ergeben kann. 

Weil in der That dièse Voraussetzung zu einigen Schwierigkeiteu und 
Widerspriicheu gefiihrt hat^ erscheint der Versuch nicht unaugebracht^ 
an ihrer Stelle eine andere Hypothèse einzufiihreu. 

§ 3. Nehmen wir als solche au^ dass das CouLOMB'sche Gesetzt seine 
Giiltigkeit beibehalt wenn in dem Zwischenmittel kleine geladeue oder 
uugeladene Leiter verbreitet sind^ deren gesammtes Yolum einen nicht 
zu vernachlassigendeu Teil des ganzen betrachteten Raunies einnimmt. 
Die Beobachtung lehrt^ dass die von zwei geladenen Leitern auf ein- 
ander ausgeiibte Kraft sich verriugert, wenn man den zwischeuliegenden 

32* 



500 



W. H. JULIIIS. 



Eaum zum Teil mit anderu Leitevii ausfiillt. Der Vievt von /• wird also 
iu dem Médium mit deu kleineu Leitem grosser seiu, als iu dem iir- 
sprûnglichen Dielektrikum. 

AYeim also fur zwei Medieu k rerscliieden ist, konnten wir dies ganz 
oder zum Teil der Anweseuheit kJeiner Leiter zuschreibeu, deren ge- 
sammtes Tolum pro cm' im eiiieu Mittel grosser ware^ als im anderii; 
wir wollen die Môglichkeit, dass Yerscliiedenheit in dem Werte von ^• 
auch uoeli durch specitisclie Eigenschaften der Dielektrika (unabluingig 
von dem Yorkommen eiugebetteter Leiter) bedingt sei, nicht aus- 
schliessen. 

îVahern Tvir uns jetzt allmahlicli dem Greuzfall, dass der Zwischen- 
raum ganz mit (geladenen oder ungeladeneu) Leiterchen ausgefiillt ist^ 
sodass wir es schliesslich mit einem leitenden Korper zu thun haben, so 
wird das erste Glied der Gleichung (2) gleich Null weil die Kraftkom- 
pouenten A", Y und Z verscliwiuden. Mau liât also 







4;r 



P 



und kann daraus deu Schluss ziehen (wie man zu thun pflegt), dass in- 
nerlialb eiues Leiters ; = sei ; k konute dann einen endlicheu AA ert 
behalteu. Der Gleicliuiio- wird aber aucli Geuiio-e o-eleistet, weuu man 




Fis. 1. 



/• ^ oc voraussetzt^ in welchem Falle p nicht gleich Null zu sein braucht. 
Die Walil mass man auf Grund anderer Ueberlegungen trefîen; wir 
wollen annehmen es sei in einem absoluten Leiter /,■ ^ ^.. 



BEMERKUNGEN ÛBEREINIGE GllUNDSaTZE DER ELEKTRIClTaTSLEHRE. 501 

§ 4'. Man wenclet bisweilen cleu Gauss^scIigu Satz olme Weiteres auf 
Eillle au, wo die gesclilosseue Flaclie S von Grenzfliiclien zwischen Me- 
dien mit verschiedenen Dielektricitatskoiistanten durchschnitteii wird. 
Dies ist im xillgemeinen niclit gestattet — weun auch unter besouderen 
Yei'haltnisseii das Résultat docli richtig sein kanu. Untersucheu wir deu 
Eall dass S durcli die Trcïinungstlache G zweier Medien mit den Die- 
lektricitatskonstanten /■, und /•.) in zwei Teile geteilt wird (Fig. 1). Es 
sei k^ ^/^'2- 

Eine Punktladung e' befinde sicli ausserlialb S in dem Médium 1. 
Yon ihr gehe eine elementare Kraftrohre ans, welche G im Elemente 
th tvitl't. Dort werden die Kraftlinien nach dem bekannten Gesetze 

fgô, k, 

gebrochen. [Ans einfachen Ueberlegungen ergiebt sich, dass die Kraft- 
linien im Allgemeinen gekrûmmt sind; man denke sich aber au jede 
Kraftlinie in zwei Punkteu zu beiden Seiten der Trennungstlache die 
Tangenten gezogen und erbalt auf dièse Weise zwei Elementarkegel, 
deren Spitzen Pj und P2 man als die virtuelleu Ausgangspunkt der 
Kraftrolire resp. fur das erste und das zweite Médium bezeichnen kônnte. 
Es liisst sich leicht einselien dass P., Q : P^ Q = l\ : /i\^ weun Q die Pro- 
jektion von P auf die Tangentialebene an do- darstellt.] 

Die normalen Komponenten der Krafte auf dS^ und dS.^ bezeichnen 
wir mit vV, und ]\\ ; die auf dT senkrechte Komponente fiir das erste 
Mittel met v, , fur das zweite mit v., j i^^ii ^at also v, : v., ^ k.^ : k, . 
Nun ist 

iVj dS^ = V, d7 y., d'y = N., dS., ■ 

iV.^ dS, — iV, dS, = (v, — V, ) d7. (3) 

Eine iUinliche Beziehung gilt fiir aile elementare Kraftrohreu, die G 
innerhalb -S' schneiden. Eiir Eohren wie IIT U, welche die Grenzflache 
ausserhalb -S' durchdringen, ist 

N.^dS.,—N,dS, = (); 

man kann auch auf diesen Eall die Gleichung (3) anwenden, weun man 
nur d'y = setzt. 



502 



W. H. JULIUS. 



Ecchnen wir die Krafte iV negativ, wo sie uach der inueren Seite voii 
jS gei'ichtet sind, so ergiebt die Intégration der Gieichuug (3) ùber die 



ganze Flache S : 



llNdS=ll{v, — v,)do 



{^•) 



Das Integra! des zweiten Gliedes erstreckt sicli nur auf den innerlialb 
S fallenden Teil der riiiche (i. 

Dièse Beziehung gilt ebenfalls, wenn beliebig viele Punktladungen 
gj' i?,' i^s' . • . sich ausserhalb S befinden. 

Es seien nun die Ladungen 
«2 (?2 ^3 • • • • iin Innern des von 
der Elaclie /S'begrenzten Raumes 
und zwar in dem Médium 1 
gegeben. Wir verteilen jet/t 
dieseu Eaum durch eine Flache 
A C (Fig. 3), welche der Tren- 
nungsflache G der beiden Me- 
dien in kleinem Abstande 
parallel gefiUirt ist, in zwei 
Teile. Auf ,die gesclilossene 
Flache ABCEA ist derGAUSs- 
sche Satz ohne AYeiteres an- 
wendbar: 




(5) 



ABC CFA 

fur die geschlossene Flache CHAECahev gilt die Gleicliung (4): 

I jiYds + r r - V r/7 = r [{,, — •., ) d^. (4^) 



CD A AEC G 

Die Addition von (5) und (4a) ergiebt: 

4;r 

ABCD G 



I l]YdS= ^ 2: g + f [{y, — V, ) dj. 



(6) 



BEMERKUNGEN TIBER EINIGE GRUNDSaTZE DER ELEKTRICITiiTSLEHRE. 503 

'^^ 5. Wir wolleii deu Satz (()) aiif deu specielleii 1^'all^ dass das zvveite 
Médium eiu Leiter sei, anwenden. Es ist danii v., = und mau liât 

[l]VdS = ~Ze~IJ^,(k. (7) 



Das letztere Intégral kann miter gewisseii Bediuguiigen verscliwindeu. 
Ist namlicli G eiiieEbene und befiiidet sicli die Ladung Zc^ gaiiz iu 
dieser Ebeiie, d. h. an der Oberiiïlclie des Leiters, so'wird kein Elément 
der Ladung von den iibrigen Elementen eine Kraftwirkung mit einer 
senkreclit auf der Ebene stehenden Komponente erleiden ; es ist also in 
allen Punkten von G 1/^=-= 0, Erst daraus ergiebt sicli die Berechtigung, 
auf den vorliegenden Eall den ursprûugliclien GAUss'schen Satz anzu- 
wenden. 

Geben wir also *S' die G estait eines sehr niedrigen Cylinders, dessen 
Grund- und OberHiiche (jede=A/S') zu beiden Seiten von (r dieser 
Fliiclie parallel sind und dessen Mantelfliiclie auf (r senkreclit stelit^ so 
ergiebt sich als AYert des Intégrais im ersten Gliede der Gleicliung (7) 
einfach iV". AS. Bezeiclmen wir die Elachendichte mit g, so ist die in- 
nerlialb des Cylinders betindliche Ladung 2 6! = ç. AxS'; es geht also aus 
(7) die bekannte Bezielmng liervor: 

iy=-^-ç- (8) 

§ 6. Die Grosse der Eeldintensitiit in der Nahe der Obertlache eines 
geladenen Leiters wird oft aucli in anderer Weise abgeleitet. 

Mail denkt sich nrimlich (nacli La_place) die Oberfliiclienladung als 
eine aus neben einander angeordneten Puuktladungen zusammengesetzte 
elektrisclie Schiclit >S und berechnet die Kraft_, weiclie ein Teil A S der- 
selben, den maii klein genug walilt um ilm als eben betrachten zu diirfen, 
auf eine in unendlicli kleiner Entfernung liber der Scliicht befindliche 
positive Ladungseinlieit ausûben wiirde. 

Wenn wir die Ladung pro cm^ der elektrischen Schiclit mit ç' be- 
zeichnen und die IJielektricitatskonstante des Médiums gleich 1 setzen^ 
ero-iebt die Eechunna; bekanntlich 



'&^ 



JV^'Zttç' , 



504 W. H. JULIUS, 

vuiabhiingig vou cler Givisse des Telles A -S; weiin imr derselbe gegeii die 
Eiitfernuug der gedacbten posltlveu Eiiilieit gross Ist. 
Man wiiiischt aber zu finden 

und erkliirt den fehleiideii Betrag 2 ;r c ans der Abstossung, welclie die 
Laduug der ilbrlgeii Telle des Lelters auf deu betracbteten elektiiscben 
Piinkt ausiibeu soll. Mau setzt also voraus, die Elemente der Oberflii- 
clienladung wlrkeii diirch den Leiter bindurcli mit eluer Kraft als wenn 
die Dielektrlcltatskoustante im Iimern aiich gerade = 1 wiire (oder 
etwa = 3 wenn derselbe Leiter mit Petroleum umgeben wiire); beuutzt 
man jetzt nocb den Satz, dass im Innern élues Lelters élue Puuktladung 
sicli im Gleicbgewicht befinde, m. a. W. dass die Eesultante der auf Ihr 
wlrkeudeu elektriscben Kriifte glelcli Nul! sel, so kauu man scbliessen^ 
dass die von den entferuten Teileu der Ladung lierridirende Kompo- 
neiite der Peldlnteusitat in der Niibe der Oberflacbe gleich 2 tt : sein 
muss^ und das gewuusclite Résultat ist erlialten. 

l\Lin stebt nun aber einer Schwierigkelt gegeniiber. Die auf jedes 
Q,uadratcentimeter der Oberfliicbe beiindllcbe Ladung c muss aucb 
selber dleser Abstossung von den iibrlgen Teileu der Laduug unterwor- 
fen sein und stelit also untcr dem Einfluss einer uacli aussen gerichteten 
Kraft 2;rç'-. Sie soll die „Spaimung liings den Kraftliuien" darstellen. 
Der Leiter 8 sel nun z. B. eine Kugel. Man denke sich dleselbo von 
einer uacli der Erde abgeleiteten Kugelschale in beliebigeni xVbstaude 
concentrisch uingebeu; es wird dann jedem Telle ç' der Ladung eine 
Ladung ■ — q auf der Kugelschale enls])reclien. Die Kraft 2 'tt g'", welche 
das geladene Elaclienstûck der Kugel nach aussen treibt^ wird jetzt der 
Anzleliung durcli die Laduug — g' zugesclirieben werden milssen^ und 
es slnd also zur Erklarung dleser Kraft zwei TJrsaclien gefunden^ die 
jede fiir sicli ausreichen wilrden. 

Dleser Widersprucli ist nun eine Eolge der Hvpotliese, dass es erlaubt 
sel, Punktladuugen oliue AYeiteres als Massenjmnkte zu beliandeln. 

Denn belialten wir im Auge^ dass die Punktladuugen auf deren Yer- 
halten die ganze Théorie gegriindet wurde, eigentlich kleine geladene 
Leiter slnd, uud setzen wir ans solchen Lelterchen eine elektrische 
Schicht zusammen^ so entsteht, wie klein mau sich die Elemente auch 
denken moge^ notweudlg eiu plattenformiger Leiter. Von der ganzeu 



BFJIERKUNGEN iÏBER EINTGR GUUNl)siiT7,E DER ET,EK'rRI('lT:iTSI,l<;ilRi;. 50") 

Lîuliiug beliiulet sicli also auf der oiiieii Sinte iiur die Hiilfte; die aiidere 
Hiilfte ti'iigt zii der Feldiutensitiit auf der ersten Seite iiiclits bei. Wiire 
von Gravitationswirkungen die Eede, so diirfte inaii das Eesultat La- 
VLAcn's niunittelbar anweiideu, weil die Anzielumgskraft von der Natur 
des Mittelstoffes iinabhiiugig ist iind jeder Massenpunkt eines Massen- 
teilcbeiis auch durcb die Flatte hiiidiircli seine voile Wirkung ausiiben 
wiirde. 

AVeil nun aber die Ladnng unserer elektrisclien Scliiclit pro Quadrat- 
centiraetei' gleicli q war, betrug die Fliieliendiclite nur i:=^l.,ç'; es 
folgt dann gleicli 

]V=4>7rç. 

Man ist also bei unseren Voraussetzungen niclit gezAvnngen, Krafte 
und wechselude Dielektricitiitskonstanten innerlialb eines Leiters anzu- 
nehmen, und der Widersprucli binsiclitlicli der SjoanHungen des Feldes 
lost sicb von selbst. 

(Jfrec/if, Nov. 1900. 



UEBER DIE AUSBREITUNG DEI! WELLEN, IN EINEM AlCliT 
IIOMOGENEN MEDIUM VON LAMELLARER STRUCTUR 



N. KASTERIN. 



1. Die Uutersuclimig der Eigeutlnlmlichkeiten der Ausbreituiig der 
Welleu iii eiuem Médium, dessen Homogeuitat regeliniissig gestort ist, 
ist au uud fiir sich vou hoheni Interesse, aber vou besouderer Wichtig- 
keit ist sie fiir deu weitereu geuauen Ausbau der Théorie der Disper- 
siou uud der Absorption des Lichtes. Doch bietet solche Uutersuchuug 
g]-osse matheinatiscbe Schwierigkeiten dar. Mau muss also mit deu 
deukbar eiufaclisteu Talleu aufaugen. 

Am geeiguetesten, scheiut es mir, zur Eiufiihruug in dièses uoch 
weuig bearbeitete Gebiet der Welleulehre, kauu die Uutersuchuug 
iiber die Ausbreituug der Welleu in eiuem uicht homogeueu Médium 
vou lamellarer Structur dieueu. Die Liisuug dieser Aufgabe bedarf 
keines grosseu mathematischeu Apparates, aber zeigt doch allgemeine 
Besonderlieiteu der Ausbreituug der Welleu iu uicht houiogeuen Media 
im rechten Liclite. 

2. Nehmeu wir zuerst die akustischeu Welleu in Augritl". Deukeu 
wir uns eiue lleihe von JV gasformigen Lamellen der verschiedeueu 
Beschaffeidieiteu ; numerireu wir sie mit deu Zahlen 1, 2, 3, 4, . . . .iV, 
uud bezeichneu wir mit a, /jj, H,, bezw. b, p.,, D..^ die Dicke, Dichtigkeit 
uud Geschwindigkeit des Schalles fiir die mit ungeradeu, bezw. geradeii, 
Nummern bezeichneteu Lamellen. 

Wir wiihlen die ^'-Achse normal zu deu Grenzebeuen der Lamellen 
uud suclieu die periodische Bewegung inmitten dieser Eeihen der 



UEBER DIE AUSBREITUXG DER WELLEX, U. S. W. 



507 



Lamelleu von der Période T, welche, ausser von der Zeit, nur von der 

m 



WM 



einen Coordinate x abhiingig ist 



o 



JC, 



to 



2. 



't. 



•^s ^e 



6. 



m. 

Fiff. 1. 



7 



8. 



^s X 



Das GeschwindigkeitsiJotential ninss der Differentialgleichung 

-l ) ^-çy h KV •?> 2 )» + 1 = \);X-iyn^X^ X 2 „, + i, 

CX" 

bezw. 

2) ^—^ -\- h,^ - Cp2 ,H + 2 = ; ^2 )() -t- 1 ^ -^ ^ A'2 )/( + •-':, 



und den Grenzbedingungen 



3) 
4) 



Pi ^-1 m + 1 = P-i <p2 m + 2 
C^ Cp-2 ,„ + 1 ^ 02 m + 2 1 ■^' ^= ^'2 '" + 1 



^X ^X 

geniigen, wenn wir zur Abkiirzung /•, -- 



7^-^, bezw. /•., = -~— , schrei- 

ben. m kann man aile ganze Werthe von bis der gauzen Zabi von 

Q-^J geben. 

Das allgemeiue Intégral der Gleichungen 1) und 2) von der Form 
. 2 T A 

T 

e cp (x), wo t die Zeit bezeicbnet, kann man scbreiben : 

-i/c^{^-x,J il\ {x-x.,J 



5) 



6) 



*T^2 »! + 1 ^2 m + 1 



+ ^2»<+l 



'P2 »» + 2 "'^2 »i 



- / /•., [x - X , 

- ^ 2 m 



+ 1^ 



il'o [x - x,y 



+ 2 



+ ^2,H+2^ 



2 )H (- 1 ' 



i=V -1. 



2*/i-f 1 



508 N. KASTERIN. 

Die- BeziehuBgen zwischen deu Coustauten A^;, Bs entuehmen wir 
den Gleichimgen 3) und -i), welclie ergebeu : 

^ — l fC t et t A*j Cl^ 

=^ ?-l\ -■^2/»+l I "2»i+2) 

-i J^^ a i l\ «. 

8) ^^(-^^2.H+l^ +^2.«+l^ ) 

= ^-2 (-Ah + 2 + -^'2.. + 2) 

9) .^2 ( ^2,u + 2^ +^4h + 2^ ) 

(' "^ ■^'2»! + 2 
10) ^-^ (-A„.+2^ " +^2,H + 2^ ") 

Die Zahl der Constaiiten Ag, Bg ist gleioli '^N; die Zabi der liiiearen 
Gleichungeiij welclie ziir Berechnuiig dieser Constanten dienen kouueii, 
ist 2(iV — 1). Die librigeii zwei Constanten werden bestimmt sein^ wenn 
die Bedingungen au den Grenzebenen x^ und x^ gegeben sind. 

£s lasst si cb leicbt zeigen dass es helganz helieb'ujen iV(^ 2) und heiganz 
heliebigen Werthen von l\a und kjj moglich ist das System, von 2(iV^ — 1) 
dieser Uuearen Gleiclmiigen 7), 8), 9) %. 10) mit 3iV Unbekannten As 
Bs inimer nur zu sechs lineareu Gleichungen mit acht Unheîcaunten zu 
reduciren, 

Bestimmen wir die Beziebung zvviscben den As mit ungeraden Indices. 
Ans den Gleicbungen 7), 8)^ 9) und 10) bekommen wir: 

13) ^^,,„^,r''=L(^.+|)4,„^,+Q_|)i,,,„^, 



UKBEK, DIE AUSBREITUNG DER WELLEN, U. S. W. 



)09 



Nnch dcr EinsetziuiG: der Wevtlie von J., ., , B,, „ aus deu 

>^ lin + 2 ' 2 ?» +■ 2 

Gleicliuiigen 13) uud 14) in die Gleiclmiigen ]]) und 12) habeu wir: 



15) 



4 A ,1 -e 

•2m + 1 



i /?•, a 



=[C:+|)C:+|) 



ik,h 



- ik^b- 



C;-Ï)(M)^""^]--»^ 



- ik.^h- 



[C;+l7)(M>'^-(Mf)C;-'-|>"n^ 



2ni + 1 



e4)e+i:>""]'^-3+ 



-h 



il\b 



C:-f;)(My--i-C;-'t)C:-D^ 



— ?7-.y;. 



.^ 



2)11+3' 



In den letzten zwei Gleicliungen tauschen wir vi mit (w-j-l) uni 
und nacliher dviicken wir 7^.,^^^ ^3, i^^//* + r> fl^^i'cJi die .<,^^^ ^ ^ , yl^,» + 3 
und .^„ , r aus; wir bekommen dann nacli lleduetion: 

2)11+5 ' 



X , , = 






oder, weun wir zur Abkiirzung setzen 

18) cosk' [a-]- h)^-cosk^ a. cos k^ h — -( ~— " -|-7^- \'ii// kia.,fl// k^b, 

'Z\k.^p^ k^ç.J 

17') A^^^^^,-lcosk\a^b). A,,+,H-^„,_,, = 0. 

Ein ganz ahnliches A'erfahren giebt uns dieselbe Beziehung fiir die 
A^, Bs mit den ungeraden und auch deu geraden Indices. 
Also miissen wir setzen : 



510 N. KASTERIN. 

19) 



- ik' 'i m [a -j- h) i le ^Im [a -f- IS) 



20) 



'1) 



22) 



- i li (a^2„j — ^0 ) *■ k' [x.,^_^ — ^0 ) 

- i k' {x.,^^^ — .î?o ) i k' (.f.,^^^ — x^ ) 

- %k (^2)» + 1 '^°o) ^'^^ V'^2/»f 1 "^o) 



^, /3; iz', /3'; 7, ^; y' , ^' siiid die von vi t^aiiz uiiabhiuigige]! Coustanteii. 
Uin dièse aclit Uiibekaimten am leichtesteii zu bestimmen^ setzeii wir 
die Wertlie von A^, Jh nach den Forineln 19), 20), 21) und 22) in 
die Gleichuugen 7), 8), 9) und 10) ein; dann ergebeu sich ans der Be- 
dingung, dass die so erhaltenen Ausdriicke fiir jeden Wertli von m 
identisch gleicli Null sein sollen, acht lineare Gieichnngen : 

. - ik^a ik^a^ , - ik'a - Ik'n^ 

23) p, (^ a,e -^x e J — pi(^ ye +7 e }="• 

^ - ik^a ik^a^ . - Ik'a - ik'cu 

24) k^f—xe -j-x'e J — kj—y e + 7' « J=0. 

^ - ik'J) - ik'b^ . - ikj) ik.,à^ 

25) p^ ( xe -\-x' e J — p.,( ye + / e j^"^ • 

. - ik'h - ik'b^ . - ik.^ b ik^ b^ 

26) X-, (^~x e A-x' e ) — k.^ (—y e -\-y e j=() . 

und uoch vier ahnliclie Gleichungen, vvelche wir durcli die Vertauscliung 
von k'; x, x , y und y bezw. mit — k' , (3, [3', 5 und §' in den hier 
geschriebenen 23) — 2(i) Gleichungen bekoinmen konnen. 

Aber von diesen acht Gleichungen siud uur sechs Gleichungen von 
einander unabhiiugig, weil die Déterminante 



UEBER DIE AUSBREITUNG DER WELLEN, U. S. W. 



511 



\ 



- ik^ a iki a - ih' a - Ik' a 

p^e , pi e ,—p-i e , — p., e 

- i k^ a ik^a - i Je a ~ i k' a 
~k^e , ky e ,-^k-,e , — k., e 

- ik' h - ik' h - ik.^ h ik.^ h 
Pie , pi e , — P2(^ , — P-ie 

- ik' l) - ik' b - ik^ h ik.^ h 
kye , ^iS j H" ^'2 ^ 

— ik'{a^h) 



K ^ 



= — ^ PiPï ^i ^'2 <? j cos k' {a -]- h)- — cos /-j a cas k.^ h — 

3 \lc^ p, ^ kl pj ' ' J i 

nach is) ideiitisch gleich Null ist mid dasselbe fur die Déterminante A.^ 
gilt^ welche sicli durch die A^ertauschung in der Déterminante A, von 
k' mit — /■' ergiebt. 

Die Gleicluuigen 23), 24) und 25) ei-geben: 



i7) 






p^ k.^ e — e 



P2 k^ 



-ik'h 



28) 



i siu kl a . e 



Pi_ I ^ 
Pi 1^1 



- i (Z-., b - — kl a) - i k' [a -|- b) 



-ik'b 



29) — ^ i siu k. a.e 
oc 



h_ h 

p, k.^ 



— i{k2b-^kia) —ik'{a~\-b)' 
e — e 



P' ^ ^' 

Analog bekommen wir —r, t:;, und -^ diircli die Vertauschung von 

p P P 

k' mit — k' in den Ausdrûcken 27), 2S) uud 29). 

Das allgemeine Intégral 5) und 6) nimmt die Form aii : 



512 



N. KASÏERIN. 



•■ir 



-ik^ [œ — x.^, 



ik^{a'~x.. 



-Uc\ 






■2>n -'O^ 



+ /3 



bezw. 



'^2,„=^' = ^^2m+l)' 



i^'o(;r — X,-, , ,) , iJc.fix — X, , .] 

-^ ini + \' ry' -^ -Im^X' 

a. 



V 



Xe 



2m + 1 "0) 



] 



- ?/?•., (x — -X.-, , ,) 






m uud (3 werdeii bestinimt sein, wenii die Bedingungen an den Greuz- 
ebeneii x^^ uiid xy gegebeu siiid. 

Im l^iUe, wenn iV uiieudlieh gross ist , uud wir also eiu /môe- 
(jrenztes uicht liomogenes Médium von laniellarei- Structur liaben^ siud 
01 uud /3 willkiivliche Coustauteu. 

Eine der Liisuno-eu ist iu dieseui letzten Falle: 



.t%t 



^2.M=^[ 



-^(^.-^0^,.,, , ^(^-i+^os,.^, ^(-^ -^^'-'^ 



+ -^ 



] 



.2^ 






L iX 



uud 6' eiue willkurliche Coustaute ist. 



OC 



] 



UKBER DIE AUSBREITUNG DEM VVELLEN^ U. S. W. 513 

Aus diesem Aiisdi'ucke o£) kr)iineu wir ei'selien, class die Aenderung 
der Phase iu den Abstiiudeii, welcbe hn Vergleicli ziir Période der 
Structur {a -j- ù) gross siiid^ uiid besoiiders^ falls /y^ und /,:Jj kleiii sind, 

— i k'x 
hauptsiichlich von dein Pactor e herriUirt. Ako, iu Annidirung, 

pflanzen sich die Wellen in unserein niclit lioniogeuen Médium in der 

'Itv . - : . . 

Weise fort, als ob -t; — die Portptlauzungsgeschwiudigkeifc der Wellen 

ware, wenu /■' eine réelle Gi'iisse ist. Wenu /;' complex ist, ilndert sicli 
sowobl die Phase wie auch die Amplitude in Abhiingigkeit von x; iu 
diesem Falle besteht im ganzen nicht homogenem Médium eine Art von 
steheuden Wellen, aber mit einer Phase, welche von Lamelle zu Lamelle 
sich ilndert, und mit einer Amplitude, welche von Lamelle zu Lamelle 
sich nach exponeutialem Gesetz vermiudert. 

Untersuchen wir nun die Abhaugigkeit von k' von der Période T der 
Wellenbewegung. Nach dem Ausdrucke LS) haben wir: 

18) c'w.y /•' {a -h '^) = cos J>\ a. cas /'., ù — | ( y — ~- -\- .' - ' )*,'« l•^ a. si// k.^ h^ 



oder in anderer Porin 



LS') z^.^- (^-^^^)_ '^ ^ ^\k,p,^k,p,J '^^Z -^ i 



2 /,^^v^./,^f-(^+^^;.)^v^f + i 

Setzen wir allu'emein 



k' = U (1 -^ ; s) HT, i = V — 1, 

wo n die Geschwiudigkeit des Schailes in freier Luft ist, und wir //. 
den „Brechungsexponenteu'' uud s deu Absor])tionscoefficieiiten ') des 
idcht homogeuen Mediuui uenneu. 

Die Pormeln 18) uud 18') lasseu uns den Yerlauf der l)isj)ersious- und 
Absorptionscurven verfolgen. 



^) Hier gelit es nur liber die Analogie; natiirlicli ûudet in unsereni Falle keine 
eigentliche Absorption der Energie der "Wellen statt. 

ARCUIVES NÉERLANDAISES, SERIE II. TOME V. 33 



514 N. KASTERIN. 

Die allgemeiue Gestalt dieser zwei Curven ist iii Fig. 2 gezeichnet. 




^T 



Fig. 2. 

Die grossie Werthen von T, fiir welclie k' eine complexe Zabi ist, 
sincl durcli die Wurzeln der Gleiclmiiii' 



33) tg 



3 V , 2^ 

2 '^ 2 



V/r, p^ /:, p.y 2 2 



gegeben. Tn diesem ^Absorptioiisgebiete" ist die Dispersioiiscurve eine 
gerade Liiiic, welc!ie mit der T-Acbse einen Wiiikel inacht, dessen tan- 
geiis der Période der Structur [a -f- b) des nicht lioinogeneii Médium um- 
gekelirt proportional ist '). 

4. Gauz uacb demselben Verfabreii kanii maii deii allgemeiuereii Fall 
behaiideln, wo die akustiscben Welleii sicb iinter einer Neigiing zur 
^■-Achse f()i't])tlauzeii. Fiir diesen Fall bekommen wir den entsprecben- 
den Aus(]rLick fiir /•' durcli (be Vertauschuug in der Formel 18) k^, 
bezw. k., mit k^ cosl^, bezw. k.^ co.s i.^, wo ?',, bezw. /.,, den Wiukel zwi- 
scbeii der .c-Axe uud der Fort])]aiizuiigsricbtimg der Wellen inmitten 
der Lamelle der ersteii, bezw. zweiten, Art bezeicbnet und k^.si)/i^ = 
k.^.nn l, ist. 

t. Die ol)en eutwickelten b'ormeln gelteii aucli fiir die elektro- 



') Vergl. mit deiu Falle des complicirteren Baues des nicht liomogenea Médium: 
Zittingsverslag Kon. Akad. v. "Wetenscli. Amsterdam. 1897 — 98. p. 473. 



UEBER DIE AUSBREITUNG DEll WELLEX, L'. S. W. 515 

maguetischen Welleu^ weim wir uuter <p die electrisclie Kraft senkreclit 
zur Eichtung der j--Axe versteheii^ p, gleicli p. 2 seizen uud wenn die 
Magiietisirungsconstanten der Lamellen beider Art gleiçh sind. 

5. Ausser der Hinweisung der Analogie zwisclien der Ausbreitung 
der Wellen in eiiiem iiiclit hoinogenen Médium mid der der Lichtwel- 
len in optisclien Mitteln kann die hier entwickelte Théorie auch znrEr- 
klilrung der akustischen Undurchsichtigkeit der Atmospluire und der 
LiPPMANN'schen Farbenphotographien einc xinwendiing finden uud als 
Muster zur Théorie dieser Erscheinungeu dienen. 

Moska u, Uni versitat. 



3^=* 



UBEll DIE GLEICHUNGEN DEll ELEGTRODYNAMIK FUR 
BEWEGTE KCiPvPER. 



EMIL COHN. 



§ 1. Weim inan die Frage iiach der „Rube oder Beweguug des 
Aetliers'' aller spekulativeii Elemeute eiitkleidet, so lautet sie : welclie 
Porin milssen die MAXWELL'scheu Gleiclumgeu fiir deu Fall willkùrlich 
vorgesclii'iebener Bewegungen erbalten ? Uuter „Be\vegung" ist dabei — 
hier vvie durcliwegim Eolgenden — V>ewe.^\\\\2,aus(iedflu/f<'r poiiderahler 
Masseu verstandeu. 

Wir stelleu die Erfabruugstbatsacben, von deiien die aufziistellendeii 
Gleicbungen Recbenscbaft zii gebeii babeu, kurz zusammen: 

1. Electriscbe Erscbeiiuiiigeii im eugeren Siiin, d. b. solcbe, bei 
deneu die zeitlicbe Ansbreitiiiig des Feldes (Sirabliuig) uicbt in Erage 
konimt. Hier ist ailes ausscbliesslicb von der rchif'iveu Bewegung ab- 
btingig; dièse Abbangigkeit ist gegeben (hircb das FATJADAY'scbe In- 
ductionsgesetz, 

2. Strablnngserscbeinungeii. Bei allen Beobacbtungen bandelt es 
sicb uni die Ansbreitung des Licbts in Kor])ern nnd Systemen von 
Ktirptu-n, welclie eine mninlich idkI rje'ill'ic.li (jlcU'h.fnriuhji''. (le.schwiudiy- 
k(ùl besit'zen. „Relativ''_, bezw. ^absolut" heisse^ was anf einen i\aum 
bezogen ist, der an dieser Gescbwindigkeit teilnirnmt, bezw. itlclii teil- 
nimmt. Die Erfabrung zeigt danu : 

./. Tu (leiijenigen Korpern, welcbe sicb electromagnetiscb nicbt vom 
leeren Jlaum nnterscbeiden, ist die absolnte Ansbreitnng unabbaugig 
von der Bewegung. Die relative Ansbreitung ergiebt sicb dalier durcb 



iilîKR DIE ULKICHIINGBN DER KLIX'TRODVNAMIK U. S. W. 517 

geometrisclie Zusainmensetzung der fiir ruheiidc Korpcr gelteiiden Aus- 
brcituiigsgcschwiiidigkeit mit der iiegativ geiiomineneii Korperge- 
scliwindigkeit. In diesem Satz ist das Gesetz der Aberration ent- 
halteii. 

/;. In deu iibrigeu durchsichtigcii lv(ir|)eni erhiilt iiiaii die absokite 
Ausbreitungsgeschwiudigkeit, iiideiu maii die fiir den Eall der Euhe 
geltende Gescliwindigkeit mit eiiiem bestimmten Bruchteil der Korper- 
gesclnviiidigkeit zupammeiisetzt. Sei die Gescliwindigkeit n mid der 

Brecliungse\poiient /3 daim ist dieser Bruchteil ( 1 — -^~ ju. (Mzeau's 

Versucli mit stromeiidein Wasser.) 

c. Der relative Strahleiigang wird diuvh die Bevvegiiiig uiclit geiiu- 
dcrt. Insbesondere : die beobachtete Aberration ist unablùingig von der 
Wahl der durrhsichtigen Substanzeu im Tenirolir (Linsen, Fiillung 
mit Wasser). 

J. luterfercnzerscheinungen wcrden diircli die Bewegung //œ//f be- 
eintlusst. (Michklson u. Moiîliiy.) 

Zwisclien den Satzen, welche nntcr 2 als Ausdruck der Beobachtuug 
hingesiellt sind^ bestelien geoïiielrhche Bezielumgen : sie sind geome- 
trisch niclit unabliangig von einander; sie sind aber zugleich 'm Sfreuge 
geometriscli niclit vertriiglich mit einander. Wir wollen als Griissen 
^ter Ordnung solclie bezeichneiij welche tlie n''-' Potenz des Verhiiltnisses 
der Kiirpergeschwiudigkiîit zur Lichtgeschwindigkeit als Faktor enthal- 
ten. Dann sind die Siitze unter l durchweg vertraglich und teilweise 
abhïingig von einander bezhglich der Grossen erster Ordnung; sie sind 
teilweise in Widers])rucli mit einanch'r beziiglicli der Grossen zweiter 
Ordnung. 

Y\\v die Beobachtuugen andererseits gilt: diejenigen ujiter 1 und 2 
n, h, c konnen als verbiirgt gelten beziiglich der Griissen erster 
Ordnung, diejenigen unter 2c/ hingegen auch beziiglich der Grossen 
zweiter Ordnung. 

Die Maxwell^scIicu (îleichungen fiir ruhende Kiirper sind drel an 
Zalil : die beiden Gleichungen, welche die Wechselbeziehungen zwischen 
den beiden Feldintcmsitilten und den beiden Polarisationen enthalteu, 
und die Gleichung, welche den Wert der electroinagnetischen Energie 
festsetzt. Wo es sich aber lediglich um den raumlich-zeitlichen Ver- 
lauf der Strahlung handelt, da kommt die letztgenannte Gleiclmng nicht 
in Frage. 



518 EMIL COHN. 

Wii- wollen desshalb unsere Aufgabe zunachst vereinfachen : die 
ersten heideu MAXWELL'scheu Gleiclmngen sollen fur deu Fall gleichfor- 
ndger Bewegung aller Korper so modificiert werden, dass sie die llesul- 
tate miter % ergebeu, und zwar in deii obeugeuaunten Grenzeu der Ge- 
nauigkeit. 

§ 2. Zwei durchgefiilirte Theorien stelien sicli hier gegeniiber: 
Nach der HERTz'sclieu Théorie ist die relative Aiisbreitung in aller 
Strenge unabhilngig von der gemeiusamen Bewegung; die Théorie 
erkliii't also die Thatsachen unter c und d, sie ist dagegen in Wider- 
spruch mit den Thatsachen unter a und J). Die LoRENTz'sche Théorie 
ergiebt aile angefiihrten Thatsachen^ aber aile nur als Naherungen ersier 
Ordnung; sie widerspricht daher der Forderung zu d. Offenbar geniigt 
man alleu ï^orderungen^ wenn man in den Gliedern erster Ordiumg mit 
LoRENTZ in Ubereinstimmungbleibt^ zngleichaberzum Ausdruck bringt, 
dass die optiscJœ Lavxje élues in'heliebiger gescJilossener Cnrve verlaufeii- 
den SfraJils dnrcli die Bewegmig nichl gedndert w'ird. Das heisst mit 
anderen Worten: die gesuchten Gleichungen miissen sich von den 
LtjRENTz'schen derartig unterscheiden, dass nicht die Ausbreitiingsge- 
schwindigkeit,, sondern ihr reclproker Wert die nach der Ansbreitnngs- 
richtung genommene Componente der Korpergeschvvindigkeit linear 
enthalt. Dièses Postnlat fiihrt zn folgendem Ausatz fur die Lichtans- 
breitnng in durchsichtigen Korpern : 

P [M) = ^,^ = ^ /i - ^0 (^^. [« m 

r (g) =0 

r(?0?) = (j 

Die Gleichungen gelten mit Bezug auf relative Coordinateu. Es be- 
deuten 
/ die Zeit, 

E und M electrische und magnetische Feldintensitiit, 
s und /z Dielectricitâtscoustaute und Permeabilitiit^ 
f(j und />!„ die Werte dieser Constanten fiir das A^acuum, 
M die nach Zeit und Ort constante Geschwindigkeit der Korjjer, 



ilBER DIE GLElCilUNGExV UER ELKCTKODYNAMIK U. S. W. 519 

P [A] die dotation (curl) des Vectors A, 
[A JB] das Vectorprodukt von yl imd B, 
r{.l) die Divergenz von A, 

c> _ . . 

-|- und -- J eciur — Addition hez-w. — Diff'erentiation. 

Die Einheiten der electrisclien und niaguetischeu Griissen sind so 
gewiihU, dass 

wird, wo /" die Lichtgeschwindigkeit im Vaciiuin (fiii' //=()) bedeutet. 
Die Gleichungen sollen ûberall gelten^ aucli dort, wo die physikalische 
Beschaffenheit der Kiirper stetig odcr unstetig variiert. In diesev Fest- 
setzung sind die „Stetigkeitsbedingungeu" filr Grenzfllichen beveits 
enthalten. 

Um zu zeigeii, dass die Gleichungen [/i) unseren Forderungen geiiii- 
gen, fûliren wir in ihnen die Lorentz'scIic Transformation aus : 

/' = / — f „ ^y.„ {itj. . X -\-Uy.y-\-u-.z) \ 

Bezeichneu wir Rotation und Divergenz in dem neuen System durch 
P' bezw. r', so lautet das Résultat : 

P' {M) 



HeJi) 


dl' 


d (^ 31) 



-P'C/?)=^^ iw 
r' (f E) = 

r'{y.3I) = 

Wesentlich ist, das die Gleichungen (/>') in aller Slre/ige aus [A) 
folgen^ wahrend die entsprechende Umformung bei Lorentz nur bei 
Beschriinkung auf die Glieder erster Ordnung gilt. Denkt man in [B) 
x,i/,z,l îWx x ,if\z' ,1' geschrieben^ so hat man die MAXWELr/schen 
Gleichungen der Lichtfortpllanzung filr ru/iende durchsichtige Kcirper 
vor sich. Wir konnen also nach dem Yorgang von Lorentz schliessen: 

Jedem im ruhenden System moglichen Strahlnngsvorgang S^^ ent- 
spricht ein moglicher Vorgang S im bewegteu System^ bei welchem die 



5£0 EMIL COHN. 

gleiclien Wei'te E, M, welche iin Puiùte ;; zur Zeit / stattfanden, jetzt 
zur Zeit /' eintreteu. Der Zeitunterschied /' — / ist eiudeutige Function 
der Lage vou p. 

Die Richtuug des Liclitstrahls kaim in -S^ definiert werden als ge- 
ineiiisame Normale von A' und M. Wir setzen fest : ancli in den Glei- 
chnngen {A) solJen E und M die Vectoren bedeuten, zu welclien der 
Strahl normal ist; dann ist die Strahlnchtung in >S' iiberall identisch 
mit der Stralilrichtung in /S',,. 1). h. der relative Strahlengang wird 
durcli die gemeinsame Bewegung nicht beeinllusst (siehe unter 6'). 

Weiter aber: wenn einerseils in A'„, andrerseits in iS' das Licht auf 
zwei verschiedenen Wegen von /;, nach y;^ gelangt^ so wird die Zeit des 
Uebergangs zvvar durcb die Bewegung verilndert, aber filr beide Wege 
lira geuan den gleicJie:i, Befrag. Das Interferenzbild wird dalier durcli 
die Bewegang niclit beeinflusst (siehe unter d). 

Wir betrachten niilier ein System ebener Wellen; d. h. wir setzen 
an : aile Feldcomponenten sollen proportional einer und dcrselben Funk- 
tion des Arguments 

iKvC-r'>h,-'i/-T"z-~ — t (1) 

sein. Damit dieser Ansatz den Gleichungen {yi) geniige, muss 

V.r2 + V,2-|-V,2 = f^y. (3) 

und A' wie )/ normal zu v sein. Die liichtung von v ist also die 
Strahlricbtnng, wahrend // die liichtmig der Wellennormale liât. 

Es liandle sich zunachst um ein electromagnetisch dem Vacuum 

1 



o-leiehwertio^es Médium ; dann wird der Zaldwert v = l «. v.,, = ^.. Man 
erliiilt also die Eichtung der Wellennormale, indem man einen Vector 
von der Eichtung des Strahls und der Grosse ~ mit einem Vector von 

der Eichtung der Bewegung und der Grosse — ^ zusammensetzt, oder 

einfacher : V mit w. 

Dieser Satz, angewandt auf die Bewegung der Erde, ergiebt die be- 
obachtete Aberration. 

YuY jedes Médium gilt das folgende: Die ^Strahlgeschwindigkeif" 



ilBER DIE GLEICHUNGEN DER ELECÏRODYNAMIK U, S. W, 521 

U ist eiii dem Stralil paniUeler Vcctor, dcr^ vom Coovdinatenursprung 
aus gezogen, auf der Ebene 

eudet. D. h. U ist bestiinint durch die Gleichiingen 

■//.,. ^, -h //.v.^y + /^-.^r = l, (5) 

U^^.-=y..v,^., (Jy = y- Vu, Uz=^-/,.Vz. (6) 

[Das gleiche Résultat erliiilt iiiaii, wciin inau iu der ilblicheu Weise U 
als den lladinsvector der von deii AVelleiiebenen (4) eingeliidlten Fliiclie 
defiuiert; demi dies heisst, dass iiebeu (5) iioch die Gleicliung 

{'Kr + dn.,) U, + (//, -f d //,) U, + {u, -}- (ht,) U, = 1 

fiir ;dlc zuliissigeii (///.,■, 'fii,,, du- erfiUlt sein soll oder 

dn^ . U, -h dn,j .U^j-^d n, . U, = U , 
oder uacli (2) 

dv.^. U^^dv,j.Uy-^ dv, . ^; = 

fur aile zuKissigeu d-j,,., dvij, dv-. Da aber die einzige Bediugaug fiir 
dièse Griissen die aus (3) sich ergebende Gleicliung 

d'V,f; . Vj. -|- d'V,j . Vil 4- dv- . y- ^ 

ist^ so folgen die Gleichiingen (0).] 

Aus (5) und ((O er^iebt sich als Zahlwert von U: 



U-- 



V.r Hx -f- Vij Hy -|- V- Hz ' 

oder 

-Jj^ -^ = ^ eiJ.^£^lJ^ç^.ih, (7) 

wo Uv die Componente von u uach der Eichtung des Strahls bezeich- 
iiet. Es ist also die Zeit^ welche der Strahlliinge s eutspricht^ 



522 EMIL COIIN. ■ 

Das zweite, von u abhangige^ Gliecl ist unabliilngig von dem Médium^ 
in welcliem die Strecke s zuriickgelegt wird^ und giebt dalier denselheu 
Gesamtbetrag, wenn mittels beliebiger Reflexionen und Brecliuugen an 
ebenen Fliichen eine gegebene anfangliclie Wellenebene auf verscJdede- 
nen Wegen in eine ebenfalls gegebene Endlage iïbergefiUirt wird. Dies 
ist eine specielle Form des Satzes unter d und enthalt das Eesultat von 

MiCHELSON und MORLEY. 

Das bislierige gilt sir en g; gendhert ei'halten wir aus (7): 
t/= — = — ?^l/_, oder 

V=U^'-J,'^-^, (9) 

wo U^ die Strablgescliwindigkeit bei rnhenden Korpern und (o den 
Brecliungsexponenten bezeichnet. 

Die absolute Ausbreitungsgescliwindigkeit ist also 

U^ -\-( 1 — 7i2 )"" (sichc unter a und h). 

§ 3. In § 2 v^'u^de gezeigt^ dass der Ansatz {JÎ) mit keiner Erfahrung 
auf optischem Gebiet in Widerspruch ist. Wenji wir denselben auf die 
im eugeren Sinn electrischen Erscheinungen anweiiden wollen, so mûs- 
sen wir der ersten Gleichung ein Glied fiir die electrische Leitung 
einfiigen, und wir bediirfen ferner einer dritieM Gleichung, welclie den 
Wert der electromagnetisclien Energie der Volumeinheit angiebt. Es 
muss dies eine Grosse sein, welche fiir ?< = in den Wert ^'^ (f i5'2 -)- 
[J.M-) iibergeht, und welche noch einer weiteren Bediugung geniigt: 

Wenn wir die erste der Gleichungen i^A) mit li, die zweite mit M 
multiplizieren, und addieren, so entsteht auf der linken Seite die negativ 
genommene Divergenz des Vectors [A'vtf]. Dieser Vector ist fiir 
ruliende Korper — seien sie isotrop oder krystallinisi'li ■ — • allgemeiu 
der PoYNTiXG'sche Strahlungsvector. Die gleiche Bedeutung haben wir 
ihm auch fiir den Eall der Bewegung beigelegt; die Eestsetzung, dass 
er dièse Bedeutung behalten soU, gab unseren matheniatischen Folge- 
rungen aus (J) den phys^ikalischen Inhalt. Das heisst aber: bei der 
soeben angedeuteten matheniatischen Opération entsteht links die in der 
Zeiteinheit der Volumeinheit durch die OberÛiLche zustromcnde Energie. 



ilBER, DIE GLELCHUXGEN DER ELECTRODYNA.MIK, U. S. W. 523 

Die redite Seite ist folglich die Summe aus der Energievermelirung imd 
der abgegebenen Arbeit. Dièse Summe also muss im l\alle u = const, 
den Wert 

evlialteii, (wo imter A . B ilas scalave oder geometrische Produkt der 
Vectoren A uiid B verstandeu ist.) 

Sind die drei Grimdgleichungeii lur deu l\all /« = coust, gemilss deii 
soebeii geiiaiiiiten Bediuguiigen gebildet, so habeu wir ihnen uoch Glie- 
der einzufiigen, ^yel(•he Differeutialquotieuten der Gescliwiiidigkeit eiit- 
halten. 

Aile hier aufgezahlteu Zusiitze zu {A) kiiimeu die vollkommene 
Uebereinstimmung der Gleicliungeu mit deu optischen Beobachtmigeii 
iiiclit aufhebeii. Sie sind so zu wiihlen, dass den bekannten eleciruchen 
Gesetzen in den Grcissen erster Ordnung geniigt wird. Dass dièse For- 
derung erfûUbar sein muss^ zeigt der Vergleicli unserer Gleichuiigen mit 
den LoRENTz'schen. 

Strassburg i/Els., den 13 November 19U0. 



UEBER EINE DARSTELLLWG DER LICHTDREHENDEN KoRPER 



A. GARBASSO. 



HeiT J. C. BosE bat bekaimtlicli ') die Evsdieiimngeu der liotatioiis- 
polarisatiou anf dem Gebiete der elektroinagiietiscben Strabluug nach- 
geabint; dazu bedieate er sicli eines Stninges von Juteufaserii, der um 
die Strablenricbtung als Axe tordirt wurde. 

Dell Versiicb kaiiii mail berechneii, iiideni deii Jatenfaserii die Eigeii- 
scbafteu eines einaxigen Kristalles, also zwei verscbiedeueDielektricitats- 
konstanten s uud é?, nacb der Axenricbtuug und normal dazu, zugescbrieben 
werden. 

Durcb dièse Betracbtungleitet maii secbs fiir den Pall cbarakteristiscbe 
Gleicbungen ab; namlicb: 

iU dZ àY I 
, djW dX c>if f 



Ae 






') J. c. BosE, Proc. Roy. Soc. London G3, 14G— 152, 1898. 



iil5ER EIXE DARSTELLUXO DER T,ICHTDKEHENDEN KORPER. 525 

lu deii Gleichuiigeu bedeutet Â'eiue Konstaute, welcher die Dimensi- 

oiieii einei" Liiuge zukommeu; als F^aktor enthiilt sie die Zahl -. 

f 

Aus (J) uud (2) folgen in der ùblichen Weise die Fortpflau7Amgs- 

gleicliLiDgen, die dieselbe Form fiir elektrische sowie fiir maguetische 

Ivnifte haben : 



/P6fy. 



rV2 



./dZ d} 



V/ 



û: 



A A 






dabei ist zn setzen: 



= AA^- 






nul : 









dw ' ^y 



Dass die gefundenen Gleichungeii eiiien lichtdrehendeii Korper 
wirklich darstellen ist leicht zu beweisen; ebenfalls wird eiiie weitere 
intéressante Eigenschaft unseres Modelles mit grosser Einfaclikeit nach- 
gewieseu. 

Wir diirfen nalimlich als Losung- das System : 






1 'Itt . . 

''y = ^ ^'i ^^'^ ^ ('^1 - ~ ^)' 



Ml 



1 . 2;r 



^1 = 0, 



iVi = 0, 



2^__xA' 1 /"tt^ 



K^ 1 



f'i 



.7^/ 



526 A. GAllBASSO. 

sowohl wie das audere : 

1 27r 1 'Ztt 

X.^ = - siîi — («2 2!—f'), L.,= — - 6'2 cas — {a., z — /), 

1 2;r. . 1 . 2x 

i 2 = — ^ cc;^ -^ (''2 ^ — '^). ^'^2 "" ^ 2 ^^ *^^^ ^ («2 ^ — 0.' 

'■'- A,: 

benutzen. 

Wegen der Linearitiit der Gleiclmugeu wird nuuauch folgende Losuiig 
eine passende sein : 

JTg = Xj + ^2J -^3 = A + ^2' 

Z. = 0, Ns = 0. 

Im gegenwiirtigen B^alle komraeii aber den eleklrisohcu uud magne- 
tischen SchwingQngeu verschiedeue Eigenschafteu zu. Es ist die 
elektrische Storuug eine linearpolarisirte, nud dagegen entsteht der 
magnetische Strahl ans der Zusammensetzung einer linear- und einer 
circulaqjolarisirfen Sttirnng. IXagegen sind bei den Strahlen^ welclie der 
Lcisung : 

X^ ^ A3 X^, 7^4 = L^ ~ Li, 

Cl Cj 

Z, = 0, N, = 0, 



entsprechen, dièse A^erhaltnisse vertauscht. 



') Im Falle des Lichtes werden die Abweichimgen von der geradlinigen Form 
ganz unbedeutend. Es ist in Wirklichkeit die Rotation nacli der Wegstrecke 



iÏBER EINE DARSTELLUNG DER LICHTDREHENDEN KORPER. 527 

Es ist recht intéressant zu bemerken dass unsere Gleicliungen, rain- 
(lestens Inr den einfachen Fall den wir betrachtet haben , mit den 
Gleiclumgen des Herren H. A. Lorextz vorziiglich iïbereinstinmien. ') 

Dazu empfiehlt es sicli die Schreibart ein wenig zu andern. Piihren 

wii- nahndich zwei Vectoren (£ niid JÇ), înit deii Componenten - X, 

— } , -r-^^ resp. //, ]/, yVein, so fovmen sich nnsere CTleiclumo-en um zu : 
A A " 

BofS?^~{A'^s(i-\-A^eXIM'^). 

Es lauten aber iu unserem Ealle, in dem die Konstante pi zu Null 
wii'd, die Eormeln des Herru Lorentz (o. a. O. S. 115) 

7^r;/(£= — Jp, (lY,) 

.RotSp = 4>7r^, (III,) 

33=b + S9J^ ( X ) 

C- = 47rF^b, (V,) 



eines Ceutimeters durcli {a^ — «jj — -, aiisgedriickt, uiiddeslialb muss^— ,-"^' tbe 
Gi'ossenordnuno; der Einheit haben. Setzen wir weiter V^ ^ — ^ — , so bekom- 

men wir ' ^^ = Nun ist aber das Produkt TV mit den Wellenlângeii 

(a) des Liclites vergleichbar, der Konstante K kouimt also die Grôssenordnung 

ttK 

von A- zu. Es wird endlicli die Urdnung von — dieselbe wie die Ordniing von 

A K, einer gegen V selir kleinen Grosse. Wir diirfen also r/^r^— — (,^=^ -——- 

und^ ^ = - setzen. Offenbar hat die rechte Seite dieser Gleiclunig die 

Uj V—ù 

Grossenordnung von A; es stellt aber die linke Seite das Verhàltniss der Ani- 

plituden dar liir die (circular- resp. linearpolarisirten) Scliwingungen, ausderen 

Zusammensetzung die Werthe L^^Mic der magnetischen Kràfte sicli ergeben. 

') Versuch einev Théorie der cleklrisclien and oplisclicn Ersrheinunijen m 

'beii'eglen Kôrpern. Leiden E. J. lîHii.i., 1895. 



528 A. GAllBASSO. ilBEll ELNE DARSTELLUNG, U. S. VV. 

imd Ineraus leitet man (liircli Elimiuatioji von ©, b uud (E 



11 



{■^=(J-r, + ^^^^'^^+-l77jiom- {iir.; 



Stellt docli die letztgefuudeue Gleicliung, mit der Gleichung (IV,,) 
zusammeu, ein System dar, das die grosste Aehnlichkeit mit unserem 
Système hat. 

Dass auf der recliteu Seite der Gleiclumg (lit.,) das Moment an die 
Stelle der Kraft lieraustritt hlingt mit den eigenartigen Anschaunngen 
der LoKENTz'schen Théorie innig zusammen; es sagen iibrigens die 
Formeln ans, dass, im b'alle der Exponentialfiinctionen Kraft uud Mo- 
ment mit einander proportioual sein mtisseu. 

Turin. 



REMARQUES SUR LES NORMALES RARO^rETRK:)UES ET LEUR 
USAGE DANS LA PRÉVISION DU TEMPS. 



J. BOSSCHA. 



Dans l'état présent de la météorologie, la prévision du temps est 
basée pricipalement sur le tracé, daus les cartes synoptiques, des lignes 
isobares et sur la détermination, en grandeur et eu direction, des gra- 
dients barométriques. Pour obtenir ces données, il faut connaître les 
lectures du baromètre, faites simultanément dans diverses stations d'une 
région assez étendue, après que ces lectures, corrigées d'après les règles 
connues, ont été réduites à un même niveau. Tant que l'on ])eut ad- 
mettre que la couche d'air comprise entre les niveaux de la plus haute 
et de la plus basse des stations considérées n'est pas le siège de pertur- 
bations locales qui peuvent modifier sensiblement les conditions météo- 
rologiques de la région, il est indifférent à quel niveau commun on veut 
ramener les pressions atmosphériques observées. Toutefois, dans le but 
d'une uniformité désirable on est convenu de les réduire au niveau de 
la mer. La correction qui en résulte et qui doit être ajoutée à celle qui 
ramène le poids de la colonne mercurielle à l'intensité de la pesanteur 
sous le parallèle de 45°, se calcule d'après la formule de Laplace. 
Malheureusement, les grandeurs qui entrent dans cette formule compor- 
tent des incertitudes quant à la valeur numérique que l'on doit leur 
a])pliquer dans chaque cas particalier, de sorte que l'on ne ])eut pas 
toujours répondre de l'exactitude de la correction calculée à quelques 
centièmes de sa valeur. C'est ainsi que, pour des stations très élevées, 
la réduction au niveau de la mer peut être une cause d'erreurs sen- 
sibles. 

On a tâché d'éluder cette difficulté en remplaçant la réduction à un 

ARCHIVES NÉERLANDAISES, SERIE II. TOME V. 34 



Ô30 



s. BOSSCHA. 



même niveau par la méthode dite des écarts harométriques. Elle consiste 
à établir d'abord jjour chaque station, pour chaque date de l'année et 
même pour les trois heures d'observation de chaque jour, ce qu'on ap- 
pelle la i/ormale haro méfri (pic. On la calcule en prenant la moyenne des 
hauteurs barométriques observées dans les mêmes lieux, aux mêmes 
dates et heures pendant une longue série d'années. La difîerence entre 
cette normale et la lecture barométrique obtenue à certaine heure est 
considérée comme un écart qui caractérise Tetat atmosphérique dans le 
lieu et au moment correspondants. On compare eusuite les écarts simul- 
tanés de diverses stations pour eu déduire, au lieu du gradient Jjaromé- 
trique réel, un gradient des écarts, auquel on attribue la même pro- 
priété, savoir celle d'indiquer la direction du vent par la perpendicu- 
laire au gradient prise dans une direction qui, dans notre hémisphère, 
laisserait à gauche le côté bas de la pente. 

Ou voit que la méthode des écarts est un moyeu détourné de rempla- 
cer la correction du niveau, calculée d'après la formule de Laplace, ])ar 
uue correction déterminée empiriquement au moyen d'une longue suite 
d'observations. Il est évident aussi que, par ce procédé, on fait dé])eudre 
la direction conjecturée du mouvement de l'air, non pas seulement des 
pressions atmosphériques actuelles, mais aussi, implicitement, de celles 
qui se sont présentées pendant une longue suite d'années j)assées à la 
même heure et dans le même lieu. 

La préférence à accorder à l'une ou à l'autre des deux méthodes a 
fait l'objet d'une discussion au Congrès internationcd des météorologistes 
réunis a Vienne du 2 «?< 16 septembre 1873. L'examen de la question 
avait été confié à une commission composée de MM. Buys Ballot, 
Scott et Neumayer. Dans le Rapport du Congrès (p. 72) on a rendu 
compte de la discussion dans les termes suivants : 

„Question 2, Pensez-vous qu'outre les communications de la direc- 
tion et de la force du vent, qui se font déjà, il faille ajouter encore les 
gradients du baromètre pour annoncer le vent qui doit soufiler? 

Comment évaluera-t-on les gradients ? 

A. D'après la différence entre les observations faites aux différentes 
stations ? 

B. Faut-il réduire au niveau de la mer ':! 



REMARQUES SUR LES NORMALES BAROMETRIQUES ETC. 53 i 

C. Doit-011 comparer avec l'état normal du baromètre aux points 
considérés ? 

La commission est d'avis tpi'outre les communications du vent, il 
faut encore ajouter les gradients du baromètre à répotjue de l'observa- 
tion, afin de prévoir le vent cjui doit souffler. 

La commission s'est trouvée complètement d'accord sur cette pre- 
mière partie de la question; on ne peut pas en dire autant de la deuxième 
partie, car les préférences des savants consultés se sont portées en ])artie 
sur la méthode de réduction B, en partie sur la méthode C. 

Au reste, les membres de la commission sont tombés d'accord sur ce 
point, c|ue pour les stations qui ne sont pas à plus de 300 mètres au- 
dessus de la mer, la réduction au niveau moyen de la mer est admissible. 
Cet accord fut obtenu en vue particulièrement de la coiistruction des 
isobares dans le but de signaler l'approche des tempêtes et après qu'on 
eut reconnu les difficultés théoriques de l'application de cette correction 
pour des hauteurs plus grandes que celle qui a été mentionnée ci- 
dessus." 

Dans la séance du Congrès du 16 septembre 1873, après la lecture 
du Rapport de M, Neumayer, les propositions de la commission formu- 
lées dans le dernier alinéa cité ont été atloptées à l'unanimité. 

La question semblait donc définitivement résolue pour les Pays-Bas, 
oii l'on ne rencontre entre les stations principales que des ditférences 
de hauteur n'atteignant pas 50 mètres (Maastricht 50 m., Helder m. 
au-dessus du niveau de la mer, d'après V Annuaire météorologique pour 
1897). 

M. BuYS Ballot, l'ancien directeur de TListitut royal météorologique 
des Pays-Bas était un partisan convaincu de la méthode des écarts. Déjà 
en 1861') il avait calculé les normales barométriques mensuelles pour 
un grand nombre de stations européennes. En 1876, -) il a étendu ces 
recherches et modifié les résultats dans le but d'obtenir, ])our les prin- 



'") Sur la marche annuelle du Thermomètre et du Baromètre en Néerlande et 
eu divers lieux de VEurope déduite d^observaliouK s'nnullanécs de 18i^ à IS'^tO. 
Publié par V Académie Royale des sciences à Amsterdam, 1861. iii-4°. 

^) Marche annuelle du Thermomètre et du Baromètre en Néerlande, déduite 
d'observations simultanées de 1843 à 1875 en rapport avec les observations des 
stations normales Coppenhague, Greemvich et Paris. Institut Boijal Méléorolo- 
(/ique des Pays-Bas. Utreclit, Kemiiik et fils, 1876. in-4°. 

34* 



532 J. BOSSCHA. 

cipales stations de notre pajs^ les données fondamentales nécessaires 
pour Tapplicatiou de la méthode des écarts. 

Malgré les résolutions du Congrès des météorologistes réunis à 
Vienne, on a continué dans les Pays-Bas jusqu'en mai 1900 de rem])la- 
cer les gradients barométriques par les gradients des écarts et d'indi- 
quer ces derniers dans les cartes synoptiques quotidiennes de Tlnstitut 
météorologique. 

D'autre part M. Hanx, dans un mémoire „ Ueher die Réduction der 
Baronieiersiàude auf das Meeresniveau zum Zwecke der Sturmtvarmm- 
gen'' ^) annonça, peu de temps après le Congrès tenu à Vienne, qn en 
conséquence du vote émis en faveur d'une application générale des ré- 
ductions au niveau de la mer pour toutes les stations situées à des hau- 
teurs au-dessous de 300 mètres, le service météorologique de TAutriche 
abandonnerait la méthode des écarts à partir du l'^^' janvier suivant. 

Dans son travail, M. Haxx n'hésite pas à affirmer que la réduction 
au niveau de la mer se recommande par elle-même pour des stations de 
faible hauteur, comme étant la plus directe. Pour montrer combien 
peuvent être différentes les conclusions, auxquelles conduisent les deux 
méthodes, M. Hanx donne l'exemple suivant : „Supposons qu^à certain 
jour de janvier la pression atmosphérique se trouve uniformément ré- 
partie sur l'espace entier compris entre F Islande, le cap du Nord et 
Moscou et soit partout de 760 mm., réduite au niveau de la mer. Dans 
ce cas le gradient barométrique près du milieu de cette région est néces- 
sairement nul, l'atmosphère dans l'intérieur de ce triangle sera en équi- 
libre et on doit s'attendre à un vent faible ou à un calme complet. Con- 
sidérée au point de vue de la méthode des écarts, la situation sera au 
contraire: Stykkisholm -|- 15, Hammerfest +1*^^ Christiania ~\- 2, 
Bruxelles — 1,5; St.-Pétersbourg — 0,5, Moskau — 2 mm. La 
différence des écarts entre Stykkisholm et Bruxelles p. e. monte à plus 
de 16 millimètres, quoiqu-^. le gradient barométrique soit nul. llécipro- 
quement, lorsque les écarts ne sont que de — 2 à Stykkisholm et de -[- 2 
à Bruxelles, la différence n'est que de 4 mm., la différence de pression 
effective au contraire monte à ])lus de 20 mm. et devrait faire prévoir que 
les vents prédominants du sudouest acquerront la force d'une tempête." 



') Zeifschrift der Oesterreichischen Gesellsclinfl fur Meleorologie^ rcdigirt von 
C. Jkmnf.k nnd J. Hanx, VIII. Band. 1873. 



KExMAUQUES SUR I.KS NOKMALES BAIÎO.M KTUICiUKS ETC. ^)'SS 

Eli deliors de ces difficultés théoriques il ne me semble pas superflu 
dCx'iuniuei' de plus près lu f[uestiou ])rati([ue^ celle de savoir si réelle- 
ment la méthode des écarts peut fournir des données numériques plus 
sûres que celles dont on dispose dans la réduction au niveau de la mer. 
Cet examen m'a conduit à quelques remarques que je crois pouvoir me 
permettre de produire ici^ parce que, depuis Tépoque oiî M. Buys Ballot 
a ])ul)lié ses normales barométriques, les progrès de la météorologie n'ont 
pas manqué de jeter quelque Inmière sur cette question. En effet, il y a 
25 ans, on ne pouvait pas encore ajiprécier suffisamment le rôle impor- 
tant que jouent les dépressions qui, venant de l'Atlantique et passant 
par la mer du Nord, troublent continuellement dans nos contrées Tétat 
de ratmosphère. 

La première question qui se ])résente est la suivante : Dans quelle mesure 
peut on considérer une moijenne des lectures barométriques obtenues ])en- 
dant une série d'années dans le même lien, à une même date et à une même 
heure comme une normale, c'est-à-dire comme une constante physique 
propre à la localité et à Tépoque données. On a tacitement admis Tiden- 
dité de ces deux notions, laquelle pourtant a grandement besoin d'être 
vérifiée dans chaque cas particulier. 11 semblerait que l'on a a])])liqué, 
sans examen ultérieur, aux movennes barométriques une conclusion qui 
])eut paraître jastifiée à Tégard des moyennes des températures. En effet, 
])our celles-ci on connaît les causes qui doivent produire des variations 
selon la position géographique de la station météorologique et selon les 
saisons. Ou sait que ces variations doivent être périodiques et que par 
leur amplitude elles doivent dominer Finiiuence des causes perturbatrices 
accidentelles. Généralement aussi on connaît les causes qui peuvent faire 
dépendre la température d'une localité de sa situation orograj^hique. 
Dans rétat actuel de la science rien de tel n'existe jjour les pressions 
de Tair. On sait seulement que, dans un état d'équilibre de l'atmosphère, 
la hauteur de la colonne de mercure, réduite au niveau de la mer et à 
l'intensité de la pesanteur sous le parallèle de 45°, ne doit, en aucun 
lieu, différer beaucoup de 700 mm., que les perturbations sont fréquentes 
et considérables et tellement irregulières qu'elles présentent le carac- 
tère d'écarts essentiellement accidentels. 

Dans ces conditions, le moyen le plus propre pour décider si les nor- 
males barométriques ont une signiti cation réelle, différente de celle d'une 
moyenne de chiffres pris au hasard entre certaines limites, consiste à ex- 



534 



.T. BOSSOHA. 



amiuei" dans quelle mesure elles se vénlient par Tobservatiou faite dans 
un lien et à un moment donnés. U Aiiimalre publié par Tlnstitut royal 
météorologique des Pays-Bas facilite beaucoup une telle reclierclie, parce 
qu'il donne directement, pour trois heures différentes du jour Técart ba- 
rométrique des principales stations de notre pays. J'ai effectué la vérifi- 
cation ])our 1S97, d'après le dernier Annuaire paru. Après avoir con- 
staté que les autres stations donnaient des résultats peu différents, j'ai 
choisi Grouingen, parce que les observations y ont lieu sous la direction 
du professeur de physique, M. H. Ha(;a, et me paraissent mériter le 
plus de confiance. Je considère chaque éciart comme une erreur de la 
normale qui peut faire juger du degré d'exactitude que Ton peut lui 
accorder dans rapplication à chaque cas particulier. Je trouve ainsi 
pour la somme des carrés des écarts [.^'-] et pour Técart moyen K les va- 
leurs inscrites dans le tableau suivant où Ton a réuni les observations 
en 30 groupes de 30 ou ol jours (00 ou 93 lectures), correspondant à 
peu près avec les mois de Tannée. 



Mois 


Lectures 


[.2] 


E 


janvier 


90 


6337,50 


8,39 


février 


90 


7894,32 


9,37 


mars 


90 


7264,33 


8,98 


arvil 


90 


3201,61 


5,97 


mai 


93 


3254,96 


5,91 


juin 


90 


2189,22 


4,93 


juillet 


93 


1991,75 


4,63 


août 


93 


2034,41 


4,68 


septembre 


90 


4845,86 


7,34 


octobre 


93 


10368,67 


10,60 


novembre 


90 


14368,24 


12,63 


décembre 


93 


12143,34 


1 1, 13. 



La somme des écarts 75 S9 1,21 donne pour Técart moj-en m le chif- 
fre extrêmement élevé: ;;/. = 8,33 mm. Toutefois, si l'on a égard aux 
difîerences considérables que présentent (mtre eux les écarts A' des divers 
groupes mensuels on voit qu'il ne peut être question d'un écart moyen 
qui pourrait s'aj)pliquer à toutes les dates de Tannée. Il faut au moins 
distinguer entre les mois d'hiver: octobre, novembre, décembre, janvier. 



liEMARQUES SUR LKS NORMALES BAROMETRIQUES ETC. 535 

février et iiiars^ et les mois d'été. Les ])remiers contribuent pour ])rès des 
^Ir, h la somme des carrés des écarts. On trouve ainsi pour les écarts 
moyens ///.(. et /v//, des mois d'été et d'hiver: 

Me = ô,6b, 
w,,, = 10,14. 

On reconnaît facilement dans le chiffj-e élevé des mois d'hivers l'in- 
fluence des dépressions Atlantiques, dont les centres, après avoir passé par 
TAngleterre, traversent la mer du Nord ou le nord de l'Atlantique, la 
Suède et la Norvège et se perdent })our la plupart dans la Eussie. Plus 
fréquentes et surtout plus j^rononcées en hiver qu'en été, elles amènent, 
dans les pressions atmos])hèri(|ues, observées dans les stations de notre 
pavs, des perturbations d'autant plus sensibles que ces stations sont situ- 
ées plus près de la trajectoire des centres des dépressions. 

Il nous paraît entièrement illusoire d'attribuer à des moyennes baro- 
métriques d'un certain nombre d'années la signification de normales, 
crst-à-dire de constantes physiques, lorsque les observations isolées of- 
frent des écarts tellement considérables. 

11 est vrai que. d'après la loi des probabilités, dans une moyenne d'une 
série de 25 années l'erreur moyenne de la normale pour les mois d'hiver 
se calculerait à 3,03 mm., mais cela ne prouverait nullement que le chiffre 
obtenu approcherait de la vérité ou mériterait plus de confiance daus son 
application à mesure que Ton étend la série des années d'observation. 
En rc'alité, l'erreur moyenne de 3,03 mm. montrerait seulement que si 
l'on répétât le calcul un grand nombre de fois sur autant de difterentes 
séries de 25 années, réalisant les mêmes condHions, les divers résultats, 
comparés entre eux, ofl'riraient un écart moyen de cette valeur. 

D'ailleurs, les normales dont on fait usage dans la méthode des écarts 
sont encore bien éloignées de présenter les garanties de moyennes dédui- 
tes d'un nombre de données égal à celui des séries d'observations qui 
ont servi à les établir. En laissant de côté les variations journalières 
on trouve (|ue, des 3(35 constantes qu'il faudrait déterminer pour obtenir 
les normales de chaque jour, on n'a calculé directement d'après 
les observations que 12, savoir les moyennes de chaque mois. On a 
cherché à déduire les autres par une interpolation. Pour faire voir 
jusqu'à quel point une telle déduction peut être permise nous avons 
tracé, dans la planche I pour les 4 stations juincipales : Ylissingen, Hel- 



536 .T. BOSSCHA. 

der^ Groningen et Maastricht la distribution des valeurs mensuelles I à 
XTT d'après les normales de la Marche Ammelle de 1876. Elles se raj)- 
portent aux valeurs directement observées^ c'est-à-dire iiou réduites au 
niveau de la mer et au parallèle de 45°. Les corrections, à ajouter de 
ces deux chefs, se calculent à 

1,17 mm. pour Vlissingen 
1,11 „ „ Helder 
1,41 „ „ Groningen 
5,15 „ „ Maastricht, 

pour la température U° et la pression de 760 mm. 

On voit que les normales montent et descendent de mois en mois 
d'une manière irrégulière par sauts brusques, (|ui rendent illégitime un 
calcul d'interpolation. En effet, en supposant même que les variations 
des noruuiles de chaque jour suivent quelque loi, qui oserait affirmer 
que les variations alternantes que fait paraître le tracé pour Tannée ne 
se produisent pas dans Tintervulle d'un mois à l'autre ? On remarquera 
d'ailleurs, que les variations du baromètre dans les quatre stations aussi 
ra])prochées concordent très peu. L'écart est surtout sensible ])our les 
quatre premiers mois. Tandis (pie de janvier à février le baromètre 
monterait pour Ylissingen et Groningen, il desceiulrait pour Helder et 
resterait stationnaire ])our Maastricht. De février à mars la normale de 
Vlissingen baisse d'un millimètre, celle de Maastricht de 1,5 mm.; Hel- 
der, au contraire, monte de près d'uu millimètre. 

Le degré de confiance que l'on peut avoir dans les normales mensu- 
elles ne s'accroît guère lorsqu' on examine de quelle manière elles ont 
été obtenues. Eu 1876, on pouvait disposer de séries d'observations s'étan- 
dant pour 

Helder de 1845 à 1874, 

Maastricht de 1818 à 1888 et de 1852 à 1872, 

Groningen de 1849 à 1874 , 

Ylissingen de 1855 à 1874. 

Pour suppléer à rinsnffisance présumée de ces séries, on a tâché de 
faire bénéficier les résultats de données fournies par des séries plus lon- 
gues, obtenues dans d'autres localités. Dans ce but, on a considéré la 
moyenne mensuelle, dérivée des observations de chacune des quatre 



NORMALES BAEOMETTITQUES D'APREvS LA 
„MAECHE ANNUELLE." 



J II III IV V VI VII VIII IX X XI XII I 



7G2 5 


























7(i2,0 
Vlissingen 


/ 


^ 






/ 




\ 












/ 


\ 






/ 








\ 






\ 


761,:) 




\ 














\ 








71') 1,0 
760,5 




\ 


^-^ 




/ 








\ 














/ 


/ 




y 




\ 


/ 












1 










\ ^ 


/ 






Helder 




/ 


\ 


1 










\ 






/ 


760,0 




/ 


\, 


/ 










\ 






y>^ 


y 


. 


\ 




^ 




\ 




A 








759,5 




/ 


\ 














\ \ 








(Tvoningen 


/ 


\ 














\ \ 






y 


759 




\ 


y 












\ ^ 


s. 




/ 


758,5 




"^ 


^ 












\ 


^ 




z' 


758,0 


























Maastricht 




\ 




















^^^ 


757.5 




\ 










\ 




\ 








757,0 




\ 






/ 


/ 


S 




\ 








756 5 




\ 














\ 








756,0 




















-^ 































MOYEN^^ES l^AUOMETEIQUES D'APRES LES 
OBSEEVATIONS. 



I TI ITT TV V VI VIT VTII IX X XI XII T 



Vlissintj^en 
7G1,0 



759,5 
Helder 



Groningen 

75S,5 



757,0 
Maastricht 




KEMAliqUES SUR LKS MORMALES HAROMÉTRiqUKS E'I'C. 5-37 

stations même, comme nue normale provisoire que Fou compare eusiiite 
avec la moyenne pour la même période de la station à longue série. 
La ditîéreuce est ensuite ajoutée à la normale mensuelle de cette dernière 
station^ telle qu' on l'a calculée d'après la série entière. La somme est 
regardée comme la normale difmitive de la station à courte série. Ainsi^ 
soit -p la normale de janvier pour Paris de 1845 à 1874 (755,9£) h 
celle de Helder pour la même période (709,30) donnant avecyj une dif- 
férence -p 3y38 mm., P la normale définitive de janvier pour Paris 
(75(5,64). La normale définitive de janvier pour Helder H sera 

ir=P + /^—7J = 760,02. • 

La normale de Paris a été calculée d'une manière analogue d'après 
celle de Carlsrulie. Carlrube, de son côté, a été déduit de Vienne, Green- 
wich et Paris, de sorte ({ue les normales de Helder dépendent pour une 
])artie seulement des observations faites à Helder même, pour une autre 
partie des lectures barons 'triciues obtenues à Paris, à Carlsrube, à Vienne, 
à Greenwicli et, par Carlsrube, encore une fois de celles de Paris. 

Abstraction faite de la singulière complication de ce calcul qui, à 
moins que l'on n'eu connaisse tous les détails, ne permet pas d'évaluer 
iium('ri([uement TinHuence que les pressions atmospbéricpies observe'es 
dans cbacnn des lieux éloignés ont eue sur les normales de Helder, il est 
tout au moins très douteux que ce mode de calcul a pu augmenter la 
])robabilit(' de la normnle par Taccroissement du nombre d années dont 
elle a t'té tirée. En eftet, en désignant par vin, mp, mi,, et Mj, les valeurs 
des erreurs moyennes de II, P, h et p ou a, en considérant comme indé- 
pendantes entre elles les sources d'erreur qui afiectent ces données : 

O 1 1 o 

tandis que le calcul direct de // d"a])rès les observations de Helder 
même donnerait; 

*> 2 

Comme les valeurs h et p ont été déduites de séries de même ('tendue 
il faut attribuer aux erreurs moyennes w//, et w-i, la même valuer. Mais 
alors, le calcul compliqué de la Marche Annuelle, bien loin d'avoir 
améliore- la normale de Helder, doit au contraire avoir plus que doublé 



53S .T. B08SCHA. 

le carr»' de sou erreur moyeuue. Le calcul de la Marche ÂmuieUe doit 
doue ui'cessairement supposer qru; la dilféreuce // — p soit coustante^ ou 
bieu_, que les écarts du baromètre à Helder et à Paris, et iuiplicitement 
aussi ceux de Helder, Carlsrulie, Greeuwicli et Yieuue, sout tellemeut 
liés eutre eux que leurs écarts se compensent presque complète- 
ment dans les moyennes. Cette dernière supposition est arbitraire et très 
peu vraisemblable. La première est décidément fausse. Paris, Carls- 
rulie et A'ieune se trouvent placés dans des conditions tout à fait diffé- 
rentes de celles de Helder par rapport aux dépressions Atlantiques qui 
traversent la mer du Nord et ([ui, comme nous venons de le voir déjà 
])ar Texemple de Tannée LS97, exercent uneinllueuce prépondérante sur 
les pressions atmosphériques dans notre pays. 

On peut d'ailleurs contrôler facilement jusqu' à quel ])oint le calcul, 
qui fait dépendre la normale d'un station des observations barométriques 
de stations éloignées, a rendu les résultats plus probables que ceux que 
l'on obtiendrait en se bornant pour chaque station aux observations 
(|u"elle a fournies elle-même. La Planche II représente le diagramme 
des moyennes que Ton obtient d'après ce dernier calcul. L(;s moyennes 
se rapportent aux mêmes périodes que celles de la Planche I à l'excep- 
tion de celles de Maastricht (|ue nous avons bornées aux années 1852 
à 1874 pour les rendre plus comparables à celles des trois autres stations. 
Les données ont été empruntées aux pages 47 — ^^49 de la Marche An- 
imelle de 1876. En les comparant aux écarts des hauteurs barométri- 
ques observées, inscrits dans les Tables des pages 112, llo, 114, 116 
et 121, on remarque dans les moyennes quelques erreurs, pour la plupart 
peu importantes, qui cependant pour les mois de juillet et décembre de 
Maastricht et décembre de Helder sont trop considérables pour pouvoir 
être négligées. Les parties pointillées du diagramme représentent la 
marche corrigée. 

On voit que le calcul ])lus sim])le fournit pour les trois stations })rcs 
de la mer du Nord, c'est-à-dire se trouvant dans des conditions peu dif- 
férentes })ar rapport aux dépressions Atlantiques, des valeurs beaucoup 
])lus concordantes que celles de la Planche L La station Helder notam- 
ment s'est mise d'accord avec Vlissingen et Groningen. 

On peut encore juger de la stabilité de ces moyennes en les compa- 
rant avec les donne'es qui ont servi à les établir et en calculant les 
erreurs moyennes de ces dernières. 



iJKMAUQUKs SUR T,Ks xoinrvr.Ks l5.\l!o^rKTl;I(îu^;s K/rc. 



539 



Ce |)r(H',{'d(' lie s";i])plit|ne pas aux iionnales de la Marche Annuelle, 
parce (pie^ coinine nous venons de le voir, des éléments ('trangers ont 
concouru à fournir ces valeurs. 

Avec les nioyeuues des observations ligun'cs daus la i'ianclie lE, le 
.calcul fait reconnaître immédiatement (pie la ditl'éreuce, remarquée entre 
les mois d'Iiiver et les nuus d'été pour les observatious de 181)7^ se re- 
trouve d'une manière tout aussi prononcée dans les écarts des éléments 
de notre calcul. En grou])antles résultats exprimés en millimètres d'après 
ces catégories^ ou obtient, pour Terreur moyeinie de chaque donnée qui 
a fourni les moyennes mensuelles, le tableau suivant oi^i // désigne le 
nombre (Tannées de chaque série. 



Stations 


// 


mois d'ét(' 


mois dliiver 


année 


Vlissiugen 


20 


r; 


1<,J.0 


3,59 


Helder 


30 


2,65 


4,2^ 


3,53 


fJroniugeu 


20 


2,50 


4,2S 


3,54 


^Maastricht 


23 


3,17 


^,28 


3,14 



Si Ton considère que, même en réunissant en une seule les trois obser- 
vations d'un même jour, chacpie domu^e est la moyenne de 30 ou de 31 
observations, on doit reconnaître qu'elles sont tellement variables que Ton 
ne peut les employer avec (quelque st'curité dans un calcul, qui substitue- 
rait les gradients des écarts aux gradients barométriques directement obser- 
vés. Dans les casoii,pour quelque station. Terreur possible de la réduction 
au niveau de la mer excéderait celle auxquelles exjîoserait le calcul des 
('carts fait avec de pareilles données, il semblerait pr(''f(''rablc d'exclure 
de la carte synoptique cette station, comme fournissant des doun('^estrop 
incertaines. 

Ajoutons que Ton peut indiquer des cas ({ui doivent nécessairement 
conduire à des erreurs systématiques si Ton voulait considérer les 
movennes baronu'triques comme des normales, dont on peut se servir 
dans chaque cas particulier, ou comme des constantes indiquant un état 
d"('quilil)re. 



54*0 .1. BOSSCHA. 

T] est facile^, en effet,, de concevoir une situation orogi'apliiqur d'une 
station telle^ qu^elle doive causer dans les pressions observées dans deux 
stations voisines des différences, variables et même changeant de signe 
avec la direction du vent. Une chaîne scmicirculaire de hauteurs s'éten- 
dant de Test par le sud à l'ouest à proximité de Tune des stations pro- 
duirait des ditiereuces opposées selon que le veut souffle du nord ou du 
sud. Daus la moyenne elles s'élimineraient en grande ])artie. Mais alors 
aussi, dans tous les cas oii le vent régnant a une composante vers le 
nord ou vers le sud de quelque intensité, la movenne ne peut être ap- 
pliquée sans erreur. 

De même, lorsque la pression atmosphérique pour une station telle 
que Helder est sujette à des perturbations comme celles que produisent 
les dépressions Atlantiques, et qu'il se trouvâtquela fréquence et l'inten- 
sité de ces dépressions oft'rirai(;nt des fluctuations de longue période, il ne 
suffirait pas de prendre une movenne s'étendant sur un certain nombre 
d'années; il faudrait, pour pouvoir employer une valeur suffisamment 
fîxacte, connaître la période et Tamplitude de cette variation et la phase 
dans laquelle ou se trouve daus chaque cas particulier. 

Enfin, on se tromperait en attribuant à la moyenne de quelques annt'es 
U' caractère d'une constante indiquant un efaf d\'qiilUbre. Dans une 
saison troublée par les dé])ressions elle iiuli(|ue, au contraire, un état 
(le pertarljntloj/, nw/je//. En le méconnaissant on arrive à cacher les 
indices d'une pei'turbation existante [)ar Tetiet que des perturbations 
antérieures ont eu sur la prétendue normale. Un exemple r(''cent ])eut 
servir à le montrer. Le mois d'octobre qui vient de s'écouler s'est 
signalé ])ar une succession presque continuelle de dépressions, dont les 
centres ont ]U"is le cours ordinaire de l'Angleterre à travers la mer du 
Nord vers la Norvège. A l'exception d'une accalmie du 19 au 26, causée 
par la présence, sur le sud de l'Angleterre et sur la France, d'une région 
atmosphéricjue de haute pression, le gradient barométrique a constam- 
ment été fortement incliné vers l'ouest, le nordouest et le nord selon la 
])Osition temporaire du centre de dépression. Cette situation a eu pour 
effet d'élever considérablement la moyeime mensuelle de Maastricht au- 
dessus de celles de Vlissingen, Heldef et Groningeu. La somme des excès 
obtenus a 8 heures du matin a été, en millimètres, 
M — VI. 36,8 ; excès moyen 1,19 
M — H. 92,2; „ 2,97 

M — Gr. 118,9; „ 3,83. 



REMARQUES SUR LES NORMALES BAROJfETRIQUES ETC. 511 

Supposons miiiutenant qu' on eût pris lu moyenne d'octobre 19UU 
comme normale: il est clair qu'alors, suivant la métliode des écarts, on 
ne reconnaîtrait plus comme réel un gradient barométrique existant, à 
moins que sa pente ne fût plus forte que celle du mois passé. liécipro- 
quement cette mt'tliode conduirait à indiquer un gradient descendant 
vers Maastricht lorsque, en réalité, la pression atmosphérique sur notre 
pays est uniforme. Il est vrai que cet etiet peut s'atténuer dans une 
moyenne de quelques années, mais son influence doit toujours se faire 
sentir et ne peut manquer de causer des erreurs. 

Je n'ai pas besoin d'insister sur ce point parce que, évidemment, le 
cas très probant, cité ])ar M. Hanx, doit être dû à une cause pareille. 

Harlem, âO novembre 1900. 



QUELQUES REMARQUES SUR LA RÉDUCTION DES POSmONS 
DES ÉTOILES MESURÉES SUR LES CLICHÉS PHOTOGRAPHIQUES. 



H. G. V. d. SANDE BAKHUYZEN. 



M. le professeur Nyland, occupé des réductions de ses mesures de 
clicliés ])liotographiques^ me fit- remarquer qu'il x avait une ditlerence 
entre les valeurs des corrections de l'aberration ditterentielle^ déduites 
de la formule de M. Kapïeyx (Bull, du comité pour la carte du ciel 
Tome ITI ]). 83) et de la formule que j'ai employée (Bull, du Comité 
pour la carte du ciel Tome I ]). 178); il croyait que dans l'une ou l'autre 
de ces formules il s'était glissé une erreur. 

Après l'examen de ces formules je pouvais lui communiquer qu'elles 
étaient exactes toutes les deux^ et que la difi'érence des corrections était 
causée par une différence dans les calculs nécessaires pour réduire les 
coordonnées corrigées en ascensions droites. 

La différence en ascension droite entre l'origine des coordonnées et 

une étoile dont les coordonnées corrigées sont./- et// est^ jusqu'aux termes 

du troisième ordre iiiclus^ égale à : 

1 sinn' /^ 1 \^ 

a =^px — -r^ ■ ^ ■ T, Ti — V 1^ ^ ^^ -^- 77 ) 

cosd — -py stno snil 6 \ cosà — py sindsinV / 

S = déclinaison de l'origine des coordonnées, 

1 

i sm i 

/ étant la distance focale de l'objectif, exprimée dans les mêmes unités 

que X et y. 

La valeur de a, eu minutes d'arc, dépend donc, non seulement de x et 

de y, mais aussi de ^, et pour le même cliché 5 n'a pas la même valeur 

dans les différentes formules de réduction. 



QUELQUES REMARQUES SUR, LA Iî.ÉDUOTIOX, ETC. 543 

Daus la formule de M. Kapteyx, l est la déclinaison corrigée de la 
réfraction et de Fabcrration annuelle^ dans la formule c(ue j'ai employée, 
S est la déclinaison apparente corrigée seulement de la réfraction, et dans 
les formules de M. Jacoby (Bull, du Com. de la carte du ciel Tome III 
p. -1) ^ représente la déclinaison apparente non corrigée de la réfrac- 
tion '). 

Il est facile à démontrer que les différences en ascension droite a, cal- 
culées d'après ces différentes formules s'accordent exactement. 

Soit : 

.p et// les coordonnées mesurées d'une étoile; 

Ay .r et A() // les corrections de ces coordonnées dans riiypotlièse que 
la déclinaison du centre soit §„ ; 

A.c et Ay les corrections de ces coordonnées dans rhv])othèse que la 
déclinaison du centre soit ^ = §0 -|- A^, A^ exprimé en tninutes d'arc; 

a la dilférence des ascensions droites, en minutes d'arc, du centre et 
de rétoile. 

On obtient, dans les deux hypothèses, j)our a les valeurs suivantes. 

p {x + Ao ic) 



cos ^y — p {■!/ -\- A(j //) sin ^0 sin V 



\cos ^n— pi y -p An y) siu ^^ sin 1 ' J 



et 



3 \cos ^0 - JJ (y + ^0 y) *^'^^ ^0 

p (.(■ -f- A a?) 



cos (§(, -)- A ^) — p'\i/ -\- A_y) sin (5^ -|- A ^) sin 1' 

3 \eos i^Q + A S) — 2^ {>/ ~\- à.1/) sin (^^ -}- A ^) sin l'y 

Les ascensions droites du centre ne figurant pas dans ces formules, ou 
peut les supposer égales dans les deux hypothèses, la valeur de a sera 
donc la même dans les deux formules, et on obtient : 



') Dans une des formules de M. Jacoby il y a une erreur, au lieu de : 

il/,/ = 15 1; {G H cos § — 7/.s/)( S) sin 1" 
il faut lire : 

My = 15 /,• (G Hcos S -\- H sin ^) sin 1". 



544 H. G. VAN DE SAXDE BAKHUYZEK. 

cas 5„ — ;; (y -\- z^o _y) a'?'« 5q sin V 



cos (^0 -|- A ^) — ^J (// + A//) ^w/- (^„ + A S) siu V 

La différence des deux derniers termes de a, étant une quantité de troi- 
sième ordre, peut être négligée. 

En développant eus [Iq -|- A §) et siu (^„ -|- A §) on peut négliger dans 
le deuxième membre les termes avec ^-^si/rV, (A_y — A//o),v/?/, 1' et 
>j à.'h sin'^ V ; Féquation précédente se réduit alors à: 



x-\- \x 



cos ^„ — p{.'J ~\~ -^0 //) "^'^^ ^0 '^''^^ l ' — *'''^'' ^0 '^ ^ *''^^ 1 ' 

On en déduit aisément Féquation suivante : 

A X — A ./• = X fff'^Q A 5 shi V -{- j) x// fg~ ^,) A ^ s'iii '- \ ' 

Quand §„ n'est pas trop fort, on peut négliger le dernier terme, et 
l'équation se réduit à : 

Ao ^ — A ;r = X tg^^ \1) sin V 

Cette équation conduit immédiatement au résultat suivant; la va- 
riation de a a la même valeur, soit qu'on augmente la déclinaison du 
centre d'une quantité A^, soit qu'on augmente la correction de .r d'une 
quantité xtg^ X^ siu i '. 

Nous pouvons appliquer cette relation aux formules de réduction 
de la réfraction, d'une part de M. Jaooby, d'autre part de M. Baillaud, 
de M. Kapteyx et de moi qui, en se bornant aux termes du premier 
ordre, sont identiques. 

M. Jacïoby prend, comme déclinaison du centre, la valeur ^^ non 
corrigée de la réfraction, dans les autres formules la déclinaison est cor- 
rigée de la refraction et égale à ^q -|- A^. La distance zénitale étant z 
et l'angle parallactique p, on trouve : 

A ^ = — ktgz cosp, 
donc : 

ù^qX — A it" ^ kigz cosp tg Sq *'"''^ 1 ' •<' • 



QUELQUES REMAKQUKS SUR LA REDUCTION, ETC. 545 

Quand on substitue dans les formules de M. Jacoby, pag. 4', les va- 
leurs [j, ~ et ^,) on trouve 

A„ .r^=k\l-\- sin^j) fg"^ z — tg z cosp tg §„ | x ~\- h tg^ z slnp co,<ij) — 
— ,mlptgztgl^^ \i/; 

en faisant les mêmes substitutions dans les formules de M. Baillattd, 
de M. Kapteyx et de moi, on trouve: 

A X = /• 1 -f- s>i?"p fg'~ z [ X -|- k I ig'^ z slv p cosp — sii/,p ig z Ig ^„ | //. 

La différence de ces deux corrections est identique à celle que Ton a 
déduite de A§. 

M. Jacoby a appliqué ses formules ri la réduction d'un cliclu' qui 
avait été mesuré et réduit auparavant par M. Henry. Il a trouvé entre 
les deux séries des a de petites différences systématiques que Ton a at- 
tribué à tort à la difll'érence des méthodes de réduction. 

Quand M. Jacoby se serait servi dans la réduction du cliché, de la 
déclinaison du centre non corrigée de la rc-fraction, ce qui n'est pas cer- 
tain, les a réduits d'après les deux méthodes devraient être identiques. Et 
même dans le cas oii M. Jacoby se serait sei'vi d'une autre déclinaison, 
cette circonstance ne pouvait avoir aucune influence sur les résultats finals, 
puisque M. Jacoby et M. Henry ont corrigé les positions des étoiles 
au moyen des mêmes étoiles de repère, en admettant pour les x et les 1/ 
des corrections de la forme ax-\- h ij -\- c , ce qui fait disparaître entiè- 
rement une différence quelconque dans la valeur de la déclinaison du 
centre. Les petites différences des deux séries sont donc probablement 
causées par des erreurs de calcul. 

En second lien nous comparerons les formules de réduction pour 
Taberration annuelle de M. Kapteyn et de moi. J'ai adopté ^^ égal à la 
tléclinaison ap])arente corrigée de Teffet de la réfraction ; M. Kapteyn 
s'est servi de la déclinaison §„ -|- \l , corrigée de l'effet de la réfraction 
et de Taberration. 

D'après les notations du Berl. Jahrbuch on trouve: 

A ^ = — C{lg s cas ^^ — s'ni, x ,s'n/ ^„) — I) cas x sm ^„ , 
donc : 

ARCHIVES NKEllLANDAISES. SKKIH II TOME V. 35 



540 H. f4. VAN DE SANDE BAKHUYZEX. 

A„ iv — à.x^\ Cshi. a, ftin ^,) ig 'h^^ — C Ig e .vv. ^^^ — 
— J) cos a, sin t^ ig §„ [ œ sin 1 ' 

En substituant dans les formules de M, Kapïeyx et de moi, au lieu 
des (|uantit(vs auxiliaires, les valeurs de C et de D on trouve, 
d'après la formule de M. Kapteyn : 

A X = j C fiiit ûi co.s o„ -|- C ig £ sin S„ — D co.s ot co,s S„ | -sv'// 1' ./■ — 
— I Ccoa a ig S„ -j" Dslv x ig ^|, | fi'iv 1 ' //, 

d'après ma formule: 

A,i x = I Csïu a, -s'ec ^„ — /) cos a, nec S,, | sin. \'x — Ceos x ii/ S,, -|- 
-{- n sin X ig ^„ s/// V // 

La différence de ces deux corrections est égale à celle (pui nous avions 
tro u vée p récéderamen t . 

Je me permets d'ajouter quelques remarques ù propos des réductions 
des clichés. Dans les formules de réduction, les coordonnées sont 
déterminées par l'apport :\ un système d'axes rectangulaires, passant 
par le centre de la plaque; une de ces axes est la projection du cercle 
horaire apparent. En corrigeant les coordonnées de la rc'fraction et de 
l'aberration annuelle, la direction de l'axe des // ne coïncide plus avec 
le nouveau cercle horaire, et on simplifiera certainement les formules de 
réduction, en donnant à ces axes une petite rotation afin de rétablir cette 
coïncidence. 

La valeur de cette rolation causée par la réfraction est égale à: 

kigziglship, 

la dirt'érence entre le parallèle apparent et le parallèle vrai. 
La rotation causée par l'aberration annuelle est égale à : 

Ccos xig"^ -\- I) shi x.ig1. 

La nutation et la précession n'ont sur les positions des étoiles d'autre 
ett'et qu'une rotation des axes. Afin de ramener ces axes à la position 
moyenne, j)Our la même époque et corrigée (h' la initation, il faut don- 
ner une rotation de : 



QUELQUES REiVrAUQUES SUR EA REDUCTION, K'I'C. 547 

du £ n//. >j; A A -j- cas x ^s 
cos^ 

,sij/ f A A = 6."80 sin n , A f = 9. "22 cas Xi 

La rotation des axes causée parla précessioii, eu passant d'nne rpoijne 
7' à nne épo(|ue T ~\- l est égale à: 

sin a, 
— nt ^. 

COSÛ 

La somme de toutes ces rotations est : 

\ R = ( — vt'-\-JJ siu S — sIj/ £ A a) fti/i x-\-{C-shi 5 — A f ) co^s a,-\- 

-\- Ictg z sin ^ siv ^J \ 

En mesurant les x et les ij des étoiles par rapport à des axes qui font 
avec le cercle horaire et le parallèle apparent uue angle A R, on simpli- 
lie les correctious_, et l'on obtient immédiatement les positions moyeniies 
pour uue époque déterminée. Dans ce cas les corrections pour la réfrac- 
tion et l'aberration sont : 

A .^^ = i /; ( 1 -f- ^'''>' '^P ^0" ^) H" Cshi. X cas ^ -\- Cfg s sin ^ — 

— D cas X cas "h [ x siu V -\- Ictg- z sinp cospy sin 1 ' 

A y = ] /^; ( 1 -[- cos'^- p fg- z) -{- C siu x eos ^ -^ C fg s si// § — 

— /) cas X cas ^ ( // siu 1' -j- /• fg" z siup cosp x stu V 

Une variation A § de la déclinaison du centre ayaut sur les ascensi- 
ons droites calculées la même inliuence qu'une variation de ./■ égale à 
xlg^ \^sij/ 1', ou peut simplifier la correction A./- et la réduire à: 

A X = /• Ig'^ z siup cosp /j siu 1 '. 

en augmentant en même temps la valeur île ^, corrigée de la réfraction 
et de Taberratiou, d'une quantité: 

A ^ = - — ^ /• ( 1 -\-siu -p fg- z) -\- C siu x. eus ^ -\- (! tg f siu ^ — /) cas x cas § 

Cette sinq)lilication peut sei-vir seulement (juand fgl nest pas trop 
petite. 

35* 



548 H. a. VAN DE SANDE BAKHUYZEN. QUELQUES REMARQUES, ETC. 

On peut même retenir, sans correction aucune, les valeurs mesurées 
des X, en donnant aux axes encore une petite rotation : 

— htg^ z sinp cos p, 

qui augmente la correction A// d'une petite quantité: 

k Uj^ z sinp '108 p y siii 1 ' . 

Eiésumons : dans le cas que Torientation de la plaque et Tascension 
droite et la déclinaison de l'origine des coordonnées sont exactement 
connus, il faut : 

1° mesurer les x et les // par rapport à des axes qui font avec le cercle 
horaire et le parallèle ajjparent un angle : 

\ B= r ) ( — j/f-\-D sin ^ — sin f A A) sin a, -|- ( C -s/// S — A f ) co.<i x\-\- 

-\- kiy z sinp {si)/ ^ — /(/z cosp) , 

E'' corriger les y d'une quantité: 

A y = /î; (1 4" cos'^p tg^z)-\- Csin ot, cos 5 -|- C Uj s sin S — 
— D cos oi cos § ij sin V -{- kfg- z sin %p x sin, 1 ' , 

-3° déduire des x non corrigés et des jj corrigés les ascensions droites 
et les déclinaison, en se servant des formides connues et en introdui- 
sant dans la formule pour l'ascension droite, au lieu de la déclinaison 
â du centre corrigée de l'aberration et de la réfraction, la valeur : 

1 -j r /^ ( 1 -f- sin'^p lg'^z)-\-C sin ot, cos ^ -\- Ctg s sin ^ — I) cos y. cos § | 

Dans le cas où l'orientation de la plaque et lu position du centre ne 
sont pas exactement connues, ce qui est le cas général, il faut d'abord, 
d'après les formules indiquées sous 3° déduire les valeurs des x et des // 
des étoiles de repère de leurs ascensions droites et de leurs déclinaisons, 
corriger ensuite les^ d'après la formule 2°, et puis déterminer les erreurs 
de l'orientation et de la position du centre de la comparaison des x et 
des // mesurés et calculés. 



K I , !•: In T 1 1 (> I » V N A M 1 S ( 1 1 1 1<: K L E INI E N T A U G E S K T Z I-: 



E. WIECHERT. 



I. Grundlagen der Théorie. 

1. Vorwort. Die iieuere, sicli auf Maxwell stiitzende Elektrodyna- 
iiiik ist durcli Untersclieidmig zwischeii Aether und Materie im Iiuieni 
der siiiiilicli waliniehmbaren Kdrper in so weitein Maasse zu deu Ansich- 
leu der iilteren Scliule zurilckgekehrt, dass der einstige Gegeiisatz iiiclit 
mehi' bestelit. Die „elektrischen Theilcliejt'' der alteu Tlieorieii siiid 
wiederam zu Recht gelangt; wir liaben aber gelernt^ die Venuittlung 
ihrer Wecliselwirkougen durch das Zwischenmedium zu verfolgeii. So 
ist das grosse Problem geliist^ welches vor Maxwell zwar vielfach 
formulirt wurde, aber allen Bemiihungen widerstaud; und Maxwetj/s 
Beitrag erscheint niclit mehr als ein Umsturz^ sondern als ein Fort- 
schritt ira natiirlichen Gange der Entwicklung. 

H. A. LoRKXTZ war der erste, der den Unterschied zwischen Aetlier 
und Materie in der MAXWELL'sclien Théorie mit Erfolg verwerthete, 
und er machte dabei von vorne herein auf die Annidierung an die iilte- 
ren Theorieu aufnierksam, welche sich dann einstellt. In der Uberzeu- 
gung, dass liierauf im Interesse unserer Wissenschaft niclit genug 
Gewicht gelegt werdeu kann^ weiss ich lieute^ wo es sicli uni eine Khriing 
dièses Physikers handelt^ kein ])assenderes Tenia /,u wiihlen, als eines^ 
welches fiir den Zusamuieuschluss der alten und neuen Theorieu einen 
weiteren Baustein zu bringen sucht. 

In den Bezeichnungen schliesse ich niich au meinen Beitrag zur 
Eestschrift lur die Eeier der Entlmlluno- des GAUss-WEBEii-Denkmals 



550 K. WIECHERÏ. 

zu Gottiiigeii, I.S99 'j; ;iuf dieseu verweise ich auch fiir luihere Aus- 
fulirungen. 

2. Die Namen „Ael/ier''' uud „Matené'' gebrauclie icli in ganz iilni- 
liclieu Sinne M'ie H. A. Lorbnïz. Da ich ùberdies schon inelirfacli 
Gelegeuheit genuinineu liabe^ inicli iiber dieseii Puiikt auszusprechen, so 
werdeu liier wenige Worte geniigeii. 

Das optisclie Verhalteu stromender Plùssigkeiten uud ahuliclie Erscbei- 
uiuigeu zeigen, dass die siunlich wahrnehmbare Materie bei ihren Bewe- 
gungen selbst im Innern die Lichtwellen nicht mit sich forttragt; aucli 
die Aberration des Lichtes fûhrt, wie H. A. Lorkntz gezeigt hat^ zu 
demselben Schlusse. Indem wir das Licht nach Maxwell als eiueu 
elektrodynauiischeu Vorgaug auffassen^ siud wir gezwungeu, im luiieru 
der Materie nocb eineu Trager der elektrodyuainischeu Erscheinuugeu 
auzuuehmeUj der sich au deu sinuh'ch wahriiehmbareu Beweguugeu 
nicht betheiligt. U)ii dièse Tkatsache hequem im Worte zu Meiclen^ unter- 
scheiden wir zwischen Aether und Materie. Sj:)ekulatiouen liber ihr gegeu- 
seitiger Yerhilltuiss siud fur die ummittelbareu Zwecke der Elektro- 
dynamik nicht uothM^endig; so krinuen wir es zum Beispiel dahiugestellt 
sein hisseu^ ob es sich uni verschiedene Stotie, oder um deuselben StolT 
in verschiedeueu Zustiindeu haudelt. Beideu, Materie und Aether siud 
uns Bilder, die wir vou unserem^ menschlichen Standpunkt in der Natur 
sehen; dem weitereu Eortschritt der Wissenschaft bleibt iiberlasseu^ zu 
eutscheiden, was ihuen in Wirklichkeit entspricht. 

Wîihrend die Materie uns in manuigfachsten A'^ariationeu der Art,, 
der Anhiiufung und der Bewegung eutgegentritt, geniigt fiir die Dar- 
stellung unserer Erfahrungen die Annahme, dass der Aether die gaiize 
nus zugangliche Welt chue uierkliche Lûckeu uud ohue merkliche 
Beweguugeu iiberall mit deuselben ausserst eiufachcu Eigeuschafteu 
erfiillt. Dièses gilt auch vou dein Bereiche^ deu die Materie beausprucht, 
sodass sie gauz vou dem Aether durchtrankt erscheint^ ohue ihn merk- 
lich zu verdriingen. 

Zur Keunzeichuung der elcktrodyuamischeu Eigeuschafteu des Aethers 
geniigt eine einzige Konstaute^ die Lichtgeschwiudigkeit K bei Abwe- 



') Bei Ti;iJi!Ni;iî, Leipzig'. 



KLKKTIÎODYNAMISCHE ELKMEN'l'AliGKSICr/.K. 55 1 

seiilieit cler Materie. Zur Besclireiliiiug der elektrodvnainisclien Vorgaiige 
iniisseïi gericlitete Grossen^ Vektoreu^ verweiidet werdeu. 

'S. Wir wollen von der Opflk im freien Aetlier ausgeheii. Vi'w sie 
koiiueu Vektoren selir verscliiedenei' ])liysikalisclier Bedeutuiig in Be- 
irachti gezogen werden. Ist K ein solcher Vektor, dann darf als Scliwin- 
gungsgleichung fiir eine Komponente K^ parallel der beliebigenRichtung 
V antïenomnieu werden: 






Dabei gilt die folgende Bedingung als Ausdruck der ïransversalitat 
der Schwingungeu nnd der Anualinie^ dass ancli der Fall der Erregnngs- 
losigkeit nioglich ist: 

ox 01/ dz 

Zn jedeni, lieransgegridenen Vektor K liisst sicli ein gewisser zweiter 
H zuordnen, der mit ihm in reciproker Bezieliuug stelit. Wir erhalten H 
dnrcli die DeHnitionsgleicliujigeii 

(3) ;^ = ^r^_^^ 









ex à// dz 

Sie ergeben mittels (1) nnd (£) als Analogon zu (3): 

[ 'dl \^>/ ' dz } 

(5) U^__rr^_^ 



552 








E. WIECHERT. 


111 ul al s 


Anal 


iogoii zu 


(1): 








(6) 






- = 


-r?; 


+ 








Das Eormelsystem (2), (3)^ (4), (5) als Ersatz fiii" (1) uiul (2) beziig- 
licli (4) und (6) wurde von Hertz 1884 ans der MAXWELi/sclieii Tlieorie 
herausgelost. 

Flir die Elekti'odynamik komint iiocli eiu drittes System iu Betracht, 
welches in vielen Ealleu vortheilhafter ist als das zweite und sicli enger 
an Maxwell anschliesst. In ihm wird das Vektor-Poteutial eines der 
Yektoren K und H benutzt. Wir wollen H auswahlen und das Potential 
mit r bezeichnen^ dann ist zu setzen: 



à,, J 






])amit wird V nocli nicht bestimmt; vor alleni kommt in Betraclit^ 
dass der Werth von 

^X (^// (^Z 

willknrlich bleibt; eiue passende Verfiigung behalten wii- uns vor. 
Der Ansatz (7) erfûllt (1) und ergiebt wegen (Sj: 



'^'^z'^t \du dz J 



nebst 2 alinlichen Gleichungen. Das ganze System zeigt, dass /'K sicli 
von dem Vektor ( — fT./fV, — ^Tijà/.^ — «^rr/f*/) nur uin einen Vektor- 
antheil unterscheiden kann, der ein skalares Poteniial besitzt. Bezeicli- 
nen wir dièses mit (p, so ist zu setzen : 

wobei V eine beliebige Richtung bedeutet Hievinit ist nun aïK^li das 
System (3) erfiillt. Er bleiben uns noch (2) und (5). (2) ergiebt: 



ELEKTRODYN A MISCIIE ELEMKNTARGESETZK. 553 

0. 



Mittels (5) folgt fur eiue beliebige Richtung v: 

V(>2t. t- ^^2 "^ (^^2 y» ^ ^„^^^ -^'^ ^ ,^^ '^ dy ^ ^Z JJ 

Uber die Unbestimmtlieit in F verfiigeiid setzen wir nun: 



Daim folgt als Ersatz fiir (2.) uiid (5): 



c>2j) /(^20 ^2^ f>2j)^ 

(9), (10), (11) in Verbindung mit (7) und (8) stellen das augekiin- 
digte Maxwell^^c,^/;? Gleïclmmjssystew, dar. Wie wir erkennen, ist es 
nicht symraetrisch. 

Das scheint zuniichst ein Naclitheil (der iibrigens leicht beseitigt wer- 
den kthmte), ist es aber in Wirklichkcii nicht, denn bei der Einordnnng 
der Théorie der Optik in die Théorie der Elektrodynamik kommen wir 
so in die Lage, uns genau der erfahrnngsgemiiss bestehenden Unsym- 
nietrie der eh;ktrischen und magnetischen Erscheinungen anzupassen. 

Maxwell benutzte nicht die vereinfachende Beziehung (9). Ihiii 
war namlich Y nicht wie uns eine blosse matliematische Hiilfsgnisse, 
sondern eine Eunktion des Zustandes von besonderer Bedeutuug, und 
so mnsste er den Wertli von 

^x "^ ^y ^ ^^ ' 

obgleich „not rehited to any physical phenomenon", unbestiiiunt hissen, 
In eiuer iuteressanten in Artikel 12 citirteu Arbeit von Levi. 



554 K. WIKC'HKRT. 

('iviTA (1897) ergab sicli (9) als l'olgeruiig ans hypothelischeu Aiinah- 
men fiber >^ uncl T. 

4. Elekirische Ladung. Nacli Maxwell's Théorie lasseii sich die 
elektrisclie uncl die maguetische Erregung im freien Aetlier duvch eiiies 
der Vektorenpaare K uud H der Optik darstelleu. Da wir die selben 
berùlirte Uiisyinmetrie beriicksichtigen mùssen, îst in unsereni ï^alle die 
„elektrisc/te Kraff''' mit K, die „magnetisclte KrafV mit H x;ubezeiclinen. 

Fiir eineu Baum^ in dem die Gleicbungen (:î) und (4) ûberall erfiillt 
sind, ergeben sich fiir jede geschlosseue Plache die Satze : 



ÇO ro 



0. 



th bedeutet ein Oberflachenelement, v die Normale ; der Index ° soll 
daran erinneren^ dass es sich um eine geschlossene Fliiche handelt. LiegI 
die Eliiche zwar selbst im freien Aether^ umschliesst sie aber Materie, 
so werden (2) und (4<) unbrauchbar^ und es lasst sich mittels (3) und 
(5) nur folgern, dass die Flachenintegrale von der Zeit unabliilngig 
sind; (2) und (4) ergeben daun zugleich, dass aile l'Uichen, Avelche die- 
selbe Materie umschliessen auch diesel ben Wertlie der Intégrale liaben 
miissen. Die Erfahrung lehrt, dass nur fiir die elektrisclie Erregung 
niclit aber fiir die maguetische. von verschiedene Werthe auftrcten 
konnen. 

Wir setzen denigemiiss : 

ÇO ÇO 

j d'xK, = 4<7re, j (hV^. = U. 

Die Grosse e, welche auf die nach aussen weisende Normale bezogen 
werden soll^ hangt daun alleiu von der eingeschlossenen Materie ab, 
uicht von der besonderen Gestalt der umschliessenden Eliiche. Sie heisst 
die „Gesammtme)i(je der in der Materie eiithaUeneu FAeklrïcUdl ^ 

Kommen ii Korper in zeitweilige Beriihrung, so zeigen sie erfahrungs- 
gemiiss oftmals nachher audere Ladungen als vorher. Nach unsereu 
eben abgeleiteten Satzen muss dabei die Summe der Ladungen die Be- 
riihrung iiberdauern^ der eine Korper muss also gerade so viel gewon- 
nen liabeu, als der andere verloren hat. Der Satz von der Erhaltung 
der Elektricitat erscheint hiernach als Eolgerung aus (5). 

Ans der Elektrolyse ist zu schliesseu^ dass die elektrisclie Ladung an 
der inolekularen Struktur der Materie Antheil hat,, indem die einzelnen 



KLKKTRODYNAMISCHK l'ILKiAI KN'l'AlUi KSET/K. 555 

xVtome, oder Atomgruppen imr eiue gaîiz bestimmte posilive oder néga- 
tive Laduiig oder eiu ganzziihliges Vielfaclies von diescr auiielimen 
konnen. 

5. IFas hedeutet nuii eine Verànderung der Ladimg? Bis vor Kurzem 
bot dièse Prage fiir die Elektrodynamik besondere Schvvierigkeiten. H. 
A. LoRENTZ sclirieb 1895 ') : „Tst somit die Annahine dièses Ueber- 
ganges oder Austausches der lonenladungen — eiues freilich iioch sehr 
dimklen Vorganges — die unerlassliche Erganznng jeder Théorie, welche 
eiue Forttuhrimg der Elektricitiit durch lonen voraussetzt, so besteht 
ein aulialteuder elektrischer Strom auch nie in ciner Konvektion alleiu, . . . 
Hr. GiESE ist der Meinung, dass in deu Metallen eine wirkliche Kon- 
vektion gar uicht ira Spiele sei. Da es aber nicht moglich scheint, das 
^Ueberspringen" der Ladungen in die Théorie aufznnehmen, so wolle 
nian eutschuldigen, dass ich meinerseits von einem solchen Vorgange 
ganziich absehe und mir einen Strom in einem Metalklraht einfach als 
eine Bewegnng geladener Theilchen denke." Ganz ahnlich musste ich 
micli in meinen theoretischen Arbeiten liber die Elektrodynamik ver- 
halten. Befriedigend erscheint nur ein Ausveg, auf dcn unter Anderen 
Helmholïz 18bl in einem Earaday zu Ehren gehaltenen Vortrag hin- 
wies : Wir miisseii die Elektrïcitdt ganz so kdrperlic/i amffaissen tôle die 
Malerie, dass Iieissf wir niiisseu auch llir bestirande itniX'rdnderlicJœ AtoMe 
zuschreiben. 

Als „iniponderahel" iin Sinne der iilteren Anschauuugeu diirfen wir 
die elektrischen Atome freilich nicht ansehen, denn als Folge der mit 
der Bewegnng im Aether verbundenen elektrodynamischen Yorgange 
ergiebt sich eine kliiefische Energie, also Masse im Sinne der Mechanik. 
Bedenken wir noch den Antheil, welchen die elektrischen Theilchen an 
dem Auf ban der sinnlich wahrnehmljaren Mate rie nehmeu, so erscheineu 
sie als dièse selbst. „Es bietet sich so die lockende Aussicht, Materie 
und Elektricitiit unter einem hoheren Gesichtspuukt zu vereinigen/' 
Als ich dièses in einer 1894 veroffentlichen Skizze einer Théorie der 
Elektrodynamik schrieb, musste der rein hypothetische Charakter scharf 
hervorgehoben werdeu. Noch im Eriihjahr 1896 vermochte ich bei der 
ausfiihrlicheren Darstellung der Théorie als Greuzen fiir das Atomge- 
wicht der besonderen elektrischen Atome, welche bei dem Wechsel der 



') Versuch einer Théorie der elektrischen und optischen Ersclieinungen in 
hewegten Kcirpern, Leiden 1895, p. 6 und 7. 



556 E. WIECHERT. 

rnolekulareii Laduiigen ausgetausclit. werdeu, nur die reclit weit auseiii- 
aiider liegendeii Zahlen 10 ~' uiid 1 aiizugeben. Seit jener Zeit abev 
ergab sicli schnell grossere Sicherlieit. Es kam im selbeu Jahre die Ent- 
deckung Zeeman's nnd ihre Erklarung durch H. A. Lokentz, welclie 
die Yermutliuug nahelegt, dass das Atomgewicht der besouderen elektri- 
sclien Atome etwa 1/1000 ist. Mich selbst fûhrteB im Winter Uiiter- 
suchuiigeii liber die Kathodensirahlen zu der Eolgerimg^ dass dièse aus 
den besonderen elektrisclien Atomen besteheii, imd das ihr Atomgewiclit 
etwa 1/î^OOO — 1/4000 betriïgt. 

Es ist wohi bekannt^ eiiie wie grosse Zabi von Arbeiten spater erschie- 
nen ist, welche dièse Eesultate befestigen und iiacb vieleu Seiten hin 
erganzen. Die Zahlwerthe fïir die beideu Phiinomeue wurden genauer 
bestimmt uud kamen dabei einander uiiber. 

fi. EleJctronentheorie der Mektrodynamik. Easseii wir alleii zasam- 
meii, so kaun nuu mit grosser Zuversiclit Folgeudes bebaviptet wcrdeii: 

Die Ladung eines jedeu materielleu Theïlcliens ist diesem ein fur aile 
Mal eigeuthiiw.lich, dndert sich also niemals. 

Um den eigentlichen Sinn der Hypothèse recht scharf zu erfassen, 
mnss man sich erinnern, dass wir in der „Menge der Elektricitiit'^ ein 
Maass fiir die elektrodynamischeA^erkettung mit dem Aether erkamiten. 
Es tritt danu sogleich hervor, dass weiter nichts ausgesagt wird^ aïs 
dass die elektrodynamische Verkettuug mit dem Aether, so weit sie sich 
in der „Menge der Elektricitiit" messen liisst, jedem materiellen Theil- 
chen ein fiir aile Mal eigenthiimlich ist. 

Ein elektrischer Leitungsstrom ist hiernach stets zugleicli als Strom 
materiellcr Theile aufzufasseu. Eiir die elektrolytische Leitnng wurde 
dièses seit hmgem anerkannt. Neu ist nur, dass wir auch fiir die metal- 
lische Leitung etwas ahnliches annehmen miissen. Sollte es allein be- 
sondere négative elektrische Atome geben und nicht auch positive 
Atome ahnlicher Art, so wilrde die Bewegung nur in der negativen 
Richtung der elektrischeu Stromes erfolgen. 

Wie H. A. LoRKNTZ zuerst gezeigt hat, ist es moglich die eleldrodij- 
uamischen Vorcjdnge allein als Folge von Beiveg^tnfjen eleldrisc/ier Theil- 
clien auzusehen. Es mag wohl sein, dass die wirklichen Erscheinungen 
damit nicbt ersehopft werden, wir haben aber jedenfalls bei der Aus- 
arbeitung der Tlieorie vorliiufig das Recht, dièse vereinfachende Voraus- 
setzuno- zu machen. 



ELEKTRODYNAMISCHE ELEMENTAUGESETZE. 557 

DamÀi kom.nien wir mm zu den GrmidoorsfeUungen der alien. Theorien 
znriick. Das ganze Uvfersc/ded, iM, dass wir die elektriscliev Flussigkei- 
ien nichf niel/r iiiipondc.rahd soiideri/ maieriell imffasseii. Die kleinstc. 
molekulare Ladung liât von Stoxey (1874) deu Namen „Elektroti'' 
erlialten. J)a wiv sie in den Mittelpunkt nnserer Théorie stellen^ konnen 
wir dièse auch die „Elektronen-Theorie''' der Elektrodynamik nennen. 

7. Feldgleichmgeii . Fur den freien Aether nahraen wir an (Artikel 3) : 









dx "^ ^ij ^ èz ' c>,- "^ djf ~^ èz 

Fiir matérielle Sj^steme ilndern sicli dièse Gleiclmngen, weil wir auf 
die Elektronen Eiicksicht nehmen miissen. Docli ist es niclit ndtliig, 
noch weitere Hypothesen zu uiaclien, denu uusere Aiuialune^ dass der 
Aetlier mit gleiclien Eigenscliaften aucli die Matcrie durchdriugt, fidirt 
das liingeschriebene System liber in 

t>i{ ~ \ hj dz } 






df, \ dx ^1] 



558 


E. WIECHERT, 


(14) 


c>K.,. c>K, c>K, 

dx ' d?/ + dz ~^''^' 


(15) 


^H, c^H, c>H, 

dx ^ d>j ' dz 



wobei y (Uni elektrisclieu Strom, % die elektri,sclie Diclite bczeiclmet, 
uncl als Folge der A'orsteliendeu Gleicliuugeii 

ist. Dièses S/jsfem, fassf aile uusere Erfahrmujssàize vher die eleklriscJte 
nnd magnetische Felderregung zusam,m.en. K^ H, y, ;/ stellen iniierlialb 
der Materie Mittelwerthe dm-, wie es der Aiinalime der molekulareii 
Koustitution entspricht. 

y sumniirt eine Reihe verscliiedener plijsikalischeii Vorg-jinge : die 
„KonveJdioii\ den „Lelln.ngsslTorii\ die dielekfriscite Polarisation'''' uud 
die „Magnetis'iruug\ 

Das Gleichungssystem (12) ))is (10) lehut sich an Hertz (und Heavi- 
side) an. In der MAXWET.i/sclien Darste.llungsweise mit der Verein- 
fachuug von Levi-Civita erhalteu wir fiir die Jiexeiclmungen des Ar- 
tikels (3) : 



d^ 1 dr^ 



H 



^^«) ^^= .. F dr 






7/ 

Die letzte Gleichung fonnulirt den Sa!/ \un der Erlialtung der 
Elektricitat ; die Beziehuug 



ELEKTRODYNAMISCllE ELEMENTAllGESETZE. 559 

erschoiut hier als Eolge von (19), (20), (21). 

Das System (17) bis (21) ist mit dein System (12) bis (15) ganz 
gleiclnverthig, kaiiu also wie dièses als ruiulamentalsystem fiir die JAdd- 
erregiiugeii genommen werden. 

S. Einwirhmff des Aethers uicf die Materie. Bisher liabeii wir alleiii 
die Erregung des Aethers beaclitet, sodass die Grundlagen fiir die 
Théorie der Elektrodyiiamik iiocli nicht vollstandig siiid. Es fehlt die 
Eeststellung der Ein.wirkuiig des Aethers auf die Materie. H. A. Lorentz 
hat als der erste (1892) gezeigt, dass dafiir die beideu folgeiiden Hypo- 
thèses geniigeu: 

Elu elektrisches Theilchen der Ladnng e erfdhrt unabhdngig von seiner 
BeAoegnnij wegeu der eleldrischen Erregung des Aethers ehie niechainsche 
Kraft K von der Intensitàt e K. 

Elu elektrisches Theilchen der Ladnng e^das s'ich mit der (leschwindig- 
keit V beivegt, erfdhrt wegen der magnetischeu Erregung des Aethers eine 
inechanische Kraft i. v und _L H vou der Intensitàt evWsin(^v, H)/ V. 

9. Schlusshemerkungen.. Der Kreis der grundlegeiideu Hyjiotheseii 
t'iir eine Théorie der Elektrodynamik ist nun vollstiindig. Es sind ilirer 
aiigesiclits der Eiille der umfassteu Erscheinungen iiur sehr wenige, und 
aile schliessen sich enge au die Erfahrung, oder wiihlen ans dem Miig- 
lichen das Einfachste heraus: die Gesetze der Lichtbewegung im freien 
Aether, Maxwell's Annahme, dass dabei maguetische und elektrische 
Erregungen im Spiel kommeii, die Voraussetzung einer iiberall voi'- 
haudeuen, iiberall ruheudeu, iiberall gleichbeschaU'enen Triigers diesei- 
Erregungen, den wir „ Aether" nenneii, die Vorstelhmg, dass die Wech- 
selwirkungen zwischen Aether und Materie sich allein an elektrische 
Theilchen und ihre Beweguiigen kniipfen, endlich die beiden Gesetze 
des vorigen Artikels. 

Der elektrodyuamischen Energie wurdc bisher noch nicht gedacht. 
Es geschah dièses absichtlich, uni zu zeigen, dass sie bei der Eeststellung 
der Grundvorstellungen nicht beriicksichtigt zu werden braucht. Weiin 
nian nun aber das Prinzip der Energie anwendet, so ergiebt sich, dass 
dem elektrodynainiscli erregten Aether Energie zugeschrieben werden 
muss, und dass man den Anforderungen des Prinzipes am einfachsten. 



560 E. WIECHERT. 

mittels der MAXWELL'sclien Energieformel uud der PoYXTixG''scheii Vor- 
stellung der Euergiestromung geuiigt. 



II. Elemextargesetze. 

] 0. Formulirimg des Problems. Charakteristisch fur die entwickelte 
Tlieorie ist es, dass sie eine Eortpflanzung der elektrodjnamischen Evre- 
gungeu mit der Liclitgeschwiudigkeit im freieu Aether auniinint. Es 
eutsteht dalier die Vermutliung, dass es moglich sein musse, die jeweilige 
Erreguug an irgend einer Stelle als Eolge von Vorgangen darzustellen, 
die in jeder Raumstelle zu so weit zurlickliegenden Zeiten stattfanden, 
als jener Ausbreitungsgeschwindigkeit entspriclit. Da wir ferner an- 
nelimeu, dass aile Aethererregungen iliren Urspruug in den elektrischeu 
Theilclien liaben, so werden wir weiter vermutlien, dass es aucli mijglicli 
sein musse im Sinne der alten Theorien, die entscheidenden Yorgilnge 
allein anf dièse elektrischen Theilclien zu beziehen. 

Aehuliche Problème sind in der Elasticitatstheorie sowie in der 
Uptik schon vielfach behandelt worden, und wir kommen leiclit zu 
unserem Ziel, vrenn wir von den so entwickelten Methodeu Gebraucli 
maclien. Ich will im Eolgenden deu Weg geheu, auf welclien von 
Beltrajh das HuYGEXs'sche Prinzip aualytisch forniulirt wurde. 

11. JUemeutargeseùz fur lîaumde.meute. Es wtlre nicht zweckmiissig 
direkt an die Gleichungen fiir K luid H au zu kuiipfe]i, weil die Treunuug 
beider Yektoren zu uubequemen Nebenbedinguugen fùhrt. Man pHegt 
in solclien Ealleu nach dem Vorgang von Clebsch (1863) passeude 
H iilt'sgrosseu eiu zu fùhreu, lu unserem Falle ist das in T und ^ schon 
geschehen, wir werden also ohne weiteres das Sjstem : 



/,ur Bcstimmung von vp und T verwerthen konneu. 

Beltrami ') benutzt folgeuden mathematischen Hûlt'ssatz : ist U eiiie 



') R. Accad. (1. Liiicei, Rend. IV (2i), p. 51, 1895, eiae deutsclie Darstelliing 
g-iebt W. VoKJT, (Jompeudiuin d. tlieoret. Fliysik, II. Bd, j). TTC,, Leipzig IS'IC). 



ELEKTRODYX AMISCHE ELEMENT AUGESETZE. 561 

Fuiikfion tler Koordinateu x, tj, z nnd r, so gilt fiir eiuen beliebigen 
l{aum])uukt (0) : 

wenn unter r die Entferuuiig von (0) verstandeii wird^ das erste Intégral 
sich auf eine beliebige den Pimkt (0) umgebeude Eliiclie^ das zweite 
sich auf den eingeschlosseuen Eaura bezieht". ii bedeutet die nacli iiinen 
weisende Normale. Bei der Differeutiation nach ;• liât man x, ij, z, bei 
den DiH'erentiationen nacli ;/, x, y, z dagegen ;• als konstant anznsehen. 
In uusereni Falle denken wir uns die Elache ins Unendlicbe geriickt 
und nehmen an, dass dann das ziigeliorige Intégral gleicli gesetzt 
werden darf. Dann bleibt : 

Hierin setzen wir ;■ = (/„ — /) V , wobei /„ als Konstante, / als Yari- 
able anfgefasst \yird, sodass IJ in eine Fnnktion von x, y, z und / 
iibergelit, und erlialten : 

Wendcn wii- diesen Satz auf ^ und Tv an, so ergiebt sich mittels 
dei- DifPerentialgleichungen (19) nnd (20) sofovt: 

J r ' ""'o y 

womit Folgeudes ausgesagt ist: Maji erluilf den Werth von Cp und 
Tv fur irgend eine Stelle (0) und, Irgend eine Zeit f^ durcit Swmmation 
der Aniheïle 

dcc , dccYv 

~ X und — — 

r r y 

ABCIITVES NKERLANDAJSES, SKUIE Tt. TOME V. 36 



562 E. wiECHEirr. 

fur (Me V ol'mnelem,enie rkc. Daheï hedenfel r den Ahsiand des Volum- 
elementes von (0) %nd sind filr % heziigUch yv diejenrgen W'erthe zu 
wàhleu, welclie zu einer so weit zurucJdiegenden Zeit bestanden, dass eine 
damais mit der Lichtgescliwind.Ujheit ausgehende Erregwig gerade zur 
Zeit /„ in (0) eingetroffen wàre. Die Potentialantlieile der einzelnen 
Vol%m.eleme.vfe scheiven sicJi Jùervach mU TjicJdgfscIiwivdigkeit auszu- 
hreiteii,. 

In den Gesetzen (23) nnd (24) nebst. den Formeln (17), (18) zur Be- 
stimraung von K nnd H nnd dem Satze von der Erhaltung der Elektri- 
citat (21) ist uns eine neue Barsfe.llung der FeldgleicJmngen gegehen, 
welche naclt dem Vorhild der alleu Theorien die Nahwirhmgen durcit 
Vernhrdfle ersetzl. 

12. Hislorisc/ie Beii/erJcm/geii. Die Eormel (19) mit dem .sich an- 
schliesseuden Satze (23), der hier iinter Benutzung eines BELTRAMi'scheu 
Hiilfssatzes abgeleitet wurde, suchte sclion Efemann') 1858 fiir die 
Elektrodynamik zu verwerthen. Da er aber nur auf die elektrisclie 
Kraft — nicht auch auf die maguetische — Riicksiclit ualim, musste 
sein Vorgehen unfruchtbar bleiben, (28) und (24) oder entsprechende 
Satze warden dann spiiter von Poincaré ^) (1891) und in ausgedehn- 
testem Maasse von H. A. Lokentz ^) (1892 und 1895) verwerthet. 
Levi Civita '*) zeigte 1897, dass man zu den Hi<;Rr7>-HEAVisiDE'sc]ien 
Formeln gelangt, wenn fiir die PlELMUOLTz'sche Théorie ahuliche Eor- 
meln wie (23) und (21) angenommen werden. 

13. Elemenlargeselz fur MeJdroneii . Es bleibt uns nun noch ein 
letzter Scliritt: Wlr mihsen uach dem Vorgaug von ^ ?^ ^^w&, die elek- 
trodi/nandsc/ie Wirktmg der Materie in die Aulheile der einzelnen Blek- 
fronen aufosen. J)amit kommen wir denn zu dem eigentlichen Tenni 
der vorliegendeu Arbeit. 

Zunachst konnte vermutliet werden, dass im Anschlnss an (23) und 



') PoGG. Ann. d. Pliys. u. Chem., 13d. 131, 1858. 
') Compt. rend., t. CXIII, p. 515, 1891. 

*) La théorie électvomaguétiqne de Max\veli. etc., Leiden, 1892, auch Arch, 
NéerL, t. 25, p. 363, 1892. Versuch einer Théorie \\. s. w., Leiden, 1895. 
"*) Nuovn Cimento, (4), voL VI, Agosto 1897 



ELEKTRODYNAMISCHE ELEMENTARGESETZE. 563 

(24) fiir ein einzelues Elektron der Laduiig / imd der Geschwindigkeit 
einfach 






t = t..-^; 



zu setzeu sei^ uud in der Tliat wurde das seiuerzeit von Eiemann fiir 
voransgesetzt. Dieser Weg fiihrt aber zu Widerspiiiclieu mit deu fun- 
damentalen Anualimen unserev Théorie^ wie sicli zuni Beispiel bei der 
Behandlung irgend einer der Problème in Tlieil III sogleich zeigeu 
wiirde^ ist also ungangbar. Es liegt dies daran, dass es nicht erlaubt ist^ 
schou vor der Anweudung der Eormeln (23) und (24) zu der Grenze 
eines punktformigen Korpers iiberzugelien ; jeue Eormelu gelten ja fiir 
râumiic/i vertheilte Eiektricitat, verlangen also, dass der Grenziibergang 
erst uach ilirer Anwendung gemaclit werde. Es kommt auf dasselbe 
hinaus, weuu vvir sageu, dass die Eormeln (23) und (2 1) uur auf uneud- 
lich kleine, nicht aber auf punktformige Kcirper angewandt werden 
diirfen. 

Dabei soll noch angenommen werden, dass der Korper den wir 
Elektron nennen wolleu, allseitig symmetriscli gebaut sei uud keine 
Drehungenausfiilire. Andernfalls miissten Mittelwerthe gebildet werden. 

(i) sei diejenige Lage des Korper-Mittelpuuktes zu der fridieren Zeit 
f-f^, von der aus eine mit der Liclitgeschwindigkeit F ausgeheude Erre- 
gung gerade zur Zeit f^ im Punkte (0) ankiime. Wird dann mit /\ der 
Abstand (0) — (i) bezeichnet, so gilt: 



fi = L 



Wegen der vorausgesetzten unendlicli kleinen Ausdehnung des Elek- 
trons kommen bei der Anwendung von (23) : 






(la 



jiur Zeiten t und Enifernungen /• in Betracht, die unendlich nahe an 
/^] und )\ liegeu. Die sclieidenden Kugelfliiclieu diirfen im Bereiche des 
ElektrouH als Ebenen gelten. r — 1\ ist ihr Abstand von (1). Bei der 
Intégration ordnet sicli jeder Ebene ein gewisser Schnitt durch das Elek- 
tron zu; wir fragen, wie dessen Abstand 7i' vom Mittelpunkt mit ;• — ')\ 

36* 



564 



E. WIECHEllT. 



zusninmouhlingt. Ist v die Gesclnvindigkeit des Elektrons, so liegt sein 
Mittelpunkt znr Zeit / in der Entfernung (/• — /i) vcos{i',r) von (1), 
Hierans folgt sogleich 

Il = r — /\ — {/^ — fi)'Vcos{v, r), 
und daliev wegen r^ (/„ — /) F, n = (/,) — ''i) ^ • 

Bei der Intégration zur Bildnug von ^ siud fiir jeden Sclmitt 
r = const. diejenigen Werthe % zu widilen, welche zu H gehoren, die 
Intégration darf aho so ans(jefiihrt icerden^ ah loeim dus Wekfron mit 
seinem Mittelpunkt in (1) sfill stdnde, vorausgesetzt ^ dass loir tins seine 
Dimensionen ohne Aenderung der %-WertJie paraUel r^ im. Verhdltnîssvon 



^ I : I r — fi 



1 -|- — cos (r, r) 



1 



verdndert denken. Die Striche | | sollen dabei andeuten, dass die ab- 
soluten Werthe za nehinen sind. Die Variation des Neuners r konimt 
bei unendlich kleinen Dimensionen nicht in lîetracht, so erhalten wir 
denu 



45.=^=( 



r 1 1 -f- — cos (v, r) 



P^^)' = '-^ 



< 



1 + — 6w(«sr; 



) .■ 



Fiir Fv gestaltet sich ailes idinlich, wobei fiir fdu Xv ^'-^ setzen ist 
/ v^, wir erhalten also als Elementargeselz fiir ein einzelnes Elektron das 
Gleichungspaar : 



(25) 



1 



1 + y ^''-^ (^'^ '>'■ 



), 



ELElvTllODY.VAMISCHE EI,EMliNTARGESETZE. 565 



(26) (Fv 



V 



1+ y ^'^* (".>■)!>' 



Bei (1er Bildung von co6- {r, r) ist fiir r die voii (0) zum Elektron 
liiiifiilireude lliclituiig :<u nelniieii, m-os{i\ r) bedeutet also die von (0) 
foi'tweisende Komponeiite von v. 

Gaiiz wie zu erwarteu, wird dnrcli die Bediiiguiig /= /'o — y.fiii" die 

Bestiiuiiiuiig von vl) beziiglich Tv diejeuige fridiere Lage des Elektrons 
ausgeuiihlt, von M'elclier ans eine mit der Liclitgescliwindigkeit J sicli 
aiisbreiteude Erregung zur Zeit /^ in den betracliteten Punkt eintrilît. 
Eventuell giebt es mehrere solclie Lagen, dann ist Cp beziiglicli Tv als 
Sunnne der einzebien Antbeile zn setzen. 

So bmge v kleiuer al^ die Licbtgescliwindigkeit / ist, kaun 
l-\~ r l'o-s {r, r) j Vniir positiv sein. Eiir /'>/'sind auch négative Wertbe 
m()glicb; in eineni solchen Ealle konnntdieBedinguugzurGeltung, dass 
der absolute AA'^erth gelten soll : es ist dann — (1 -{- vcos{r',r) jV) einzu- 
setzen. 

Sind /m Felde beUehig viele Elektroneit corhartdea.^ sa addlren sïch 
litre dnrch (25) uitd' (26) bestimmteti AntheUe za Cp tuid Yv ; wlr erhalten 
dann unter liinziinahwr vou 



Ky^ ^r ^r^-^;;: tend Hv^ ( ^r :r ), 

c>v r df. \ c>A du / 



ivobel A, [/., y eine helieblye cyklische Fvlge der x, ^, z, x. . . . bedeutet^ 
eine DarsielUmg der Felderregung, welclie itn Smne der W. ^^BEiiscJien 
Ânschaiini/gea an f die einzelnen elehlrischen T/ieilcheu zurihkgeld. 

Cliarakteristiscli ist, dass wir die Elektronen als punktftinnig ausehen. 
In Fiilleu, Avo dièses nicht erlanbt sein sollte, miissten wir die Elektro- 
nen in Volumelemente auflosen, und ; durcb %r/w ersetzen. 



III. EiNiGE Anwendungen DES Elementaugesetzes der Elektronen. 

14. Lineare stationdre oder haJhsfalioudre Sfrume. Um die Brauch- 
barkeit des Elementargesetzes (25), (26) der Elektronen zu zeigen, sol- 



566 E. WIECHERT. 

len uun noch einige Auwenclungen gegebeii werclen. Zuuachst wenden 
wir uns zu dcm klassisclien Problem dev altereii llieorien, welches 
durch di(> lineareii Strome geboten wird. 

Die Stvome seien stationur, ihre Leiter in Rnhe. Um CD und f fur 
den Punkt (Oj zu bilden ist es unsere Aufgabe, die Antheile, welche 
durch das Elementargesetz angegeben werden, liber aile Elektronen zu 
summiren. Wir denken uns uni (0) zwei Kugelflachen r und r — dr 
konstruirt, welche das Linienelement — dx aus einem der Stromleiter 
herausschneiden, und fur die Anwendung des Eleraentargesetzes das 
Zeitelement zwischen 



von der Liinoje 



dt = y 



abgrenzen. Welclie Elektronen kommen fur dt in Betracht? Da wir 
nicht durchweg gleiche Geschwindigkeit voraussetzen dUrfen^ betrachten 
wir zunachst diejenige Gruppe deren Geschwindigkeit parallel zu dx 
zwischen /• und r- -|- di- liegt. dx sei die Liniendichte ihrer Elektricitat, 
also d'Xjdï. die Elektricitiitsraengej welche sie fiir dï. ergeben. Ein 
ElektroUj welches sicli zur Zeit / auf der Kugclflache r, also im End- 
punkt von d% befand, ist zur Zeit t -f- df um 

V df = -- dr = TTT- cos ( v, r) dX 
V f 

herausgeriickt. Bei der Summation gehoren also zu dt beziiglich dr und 
dx nicht nur die Elektronen auf einer Strecke d?. soudern aile auf einer 
Strecke 

^/A + vdt = dx Cl -\- y, cos {v, r M . 
und dx ergiebt demgemass zu <p den Beitrag: 

dxÇi + ^^coHv,r)) ^ ^^^ 

d(p =jdz — ^^^~"^P 

r Çl + ~ cos {v, r)j 



ELEKTRODYXAMISCHE ELEMENT ARGESETZE. 567 

^veuii di' die jeweilig auf dK befiiidliclie Elektncitatsmeuge bedeutet. 
Fïtr (jllt hiernach. auch in sfafioi/dreu lineareii Sfrovisi/slenmi die 
Formel der Mehtrostatik : 



J) 



ide 
J r 



Uni r zu bildeii, miissen wir bedeuken^ dass die Elektronen mit 
eiiier zwischen v uiid v + do liegeudeii Gescliwindigkeit, zur Stromstarke 
i den Beitrag di = v dx lieferu, also zu Ty den Beitrag 



dxd>\\^~ cus{v,r)) 
\ y y 'vci 



cos [o, v) di dh cas (a, / 
V ^ Tr ' 



Hieraus t'olgt fiir dï, der Autheil 

i d-Acos{?.,r) 
dT,= -. , 

und lui' das Stromsjstein iin Ganzeii die bekaimte Formel : 

f i dXcos{K,r) 

welche die Vertheiliiug der maguetischen Kraft augiebt und in Verbin- 
duug mit dem zweiteu Satz von Artikel 8 liber die mechanische Ein- 
wirkung des magnetiscli erregten Aethers auch die ponderomotorischen 
Kriifte zwischen Stromsystemen der Erfahrung entsprechend darstellt. 
Yerilndern sich die Strome sehr langsam^ sind sie „halhstafiondr''\ 
so werden unsere Eormeln fiir (^ und r doch noch nalierungsweise 
giiltig bleiben. Wir erhalten dann mittels 

_ ()J) 1 ^Fv 

in dem zweiten Gliede rechts die „indiicirte elektromoiorische Kraft?\ 
Integriren wir iiber einen geschlossenen Eing, so ergiebt sich sofort die 
NEUMANN'schen Eormel, zum Zeichen, dass unsere Rechnung auch hier 



568 E. WIECHERT. 

zu richtigen Eesultateu fùhrt. Bei der Induktioii in bewegteu Korperu 
kommt geDiiiss dem zweiteu Satz in Artikel S ein Autheil wegen der 
Bewegnng im maguetisclien Felde hinzu, welcher ebeufalls derErfaliruug 
genau entspricht. 

15. lUemenfargesetz fur VohuiidemeutK. Fur korperliclie Strom- 
sjsteme muss das ElemeJitargesetz der Elektrouen zu seinern Ausgangs- 
puukt^ dem in Artikel 11 angegebenen Elementargesetz fiir Yolum- 
elemente zuriickfiihren. Das dem wirklicli so ist^ kann mau leiclit 
nacliweisen, wenn man ahnlich wie im vorigen Artikel die Elektronen 
bei der Summation ihrer iVutheile zu Ù und Y j filr den E,aumpunkt (0) 
und die Zeit /'„ nach den in Eechuung kommenden Eutferuuugen /• und 
Zeiteu i ordnet. 

Wieder mogeu 

dr 



'=''0-~J, 


dt = J 


7 



zusammeii geliôren. i\- sei die von (0) fortgericlitete Gescliwindigkeits- 
komponente. Wir richten die Untersuchung zuniiclist auf die Elektronen^ 
fur welclie v,- zwischen Vr und r,- -j- dr,- liegt; die llaumdiclite ihrer 
Elektricitat sei d x- k)ie zur Zeit / im Abstand r befîndliche Schicht 
liât zur Zeit f -{- dt einen um 

v^.dt = -— dr = ~ cas {v, r) dr 

grôsseren Abstand erreicht. Eilr dr, dt komrat liiernacli eine Elektroneu- 
schicht von der Dicke 

dr-\-^ eus [v, r) dr = (l -}- ^eos [v, r) ) tir 

im Eechîumo-. lUr Antlieil an ^ ist 



^z(j + ^cos{v,r)J 



d^ = (drr dr ^ = (d^dr — 

J /, , V , A J r 



ELEKT1!(JL)YNAM1SCHE ELEMEXTAllGESETZE. 569 

Avenn c/7 ciii Oberfliiclieiieleuieut bezeicliiiet. lutegriren wiv iiber % uiul 



^S' 



J r ' '0 V' 
(las lieisst^ die friiliere Formel. Vnv Vv ergiebt sich ilhiilich : 

dr-, = I (h (Ir = di clr -^^ . 

•' ,-7'(l + f <.,«.(,.,.)) •' '■'■ 

Nuu ist dx *"v dei- Autheil der herausgegiiffenen Elektroiieiigrappe 
au dyv^ beuutzen wir dies^ integriren liber y und r, so folgt der uoch 
felileude Satz : 

16. Eiu eijizelnes FJehiron lu glelû/ifÔ7'miger geradliniger Beiceguvg. 
V sei die Geschwindigkeit. Wir bezieheu uns auf eiu Koordiuateusjstem, 
desseu .cr-Axe // v ist^ und desseu Aufaugspuukt iin Orte des Elektrous 
zu derjeuigeu Zeit /^„ Hegt, fiir welche wir die Yevtheiluug vou vl) und Y 
suchen. So wird sicli unmittelbar die Vertheiluug der elektrodyuami- 
schen Erreguugeu relativ zum Elektron ergeben. 

Eine ganz eiufache Rechnung lehrt, dass fiir deu Raumpunkt (0) 
diejenige Lage (1) des Elektrous iu ]3etraclit zu zielieu ist, fiir welche 
r den Wertli 

und r\\-\- —^cos{r, r) j den Werth 

lX(.^-^+/)(i-~)+^^ 

liât; wir erhalten also: 



570 E. WIECHERT. 

= 



lX(-^-^+^<i-|,) + 



r -^_ 



\/^{^'+f)(}-Ç)^^' 



Hieraus in Verbindung mit 

^, ;-*. 1^ = •'c, y, z, X, If, 

folgt in der That die bekaunte Vertlieilung der Felderregungen, wenn 
man noch beachtet, dass wegen des von uns angenommenen sich bewe- 
genden Koordinatensystems 

c>rv , , ,/c)r. 

-v— dui'ch — / -^7— 
zu ersetzen ist 

17. Schwmgendes Eleklron. Zuni Schlusse niag der t'iir die Ojjtik 
intéressante Pall betrachtet werden^ dass ein Elektron Sinusschwingun- 
gen vollfuhrt. Solche Schwingungen der aligemeinsteu Art^ lassen sich 
fur die Théorie in lineare Schwingungen autlosen, wir koimen uns daher 
auf die Untersuchung linearer Schwîncjungen beschranken. 

Der Anfangspunkt des Koordinatensystems môge in den Schwin- 
gungsmittelpunkt gelegt werden, die r-Axe der Schwinguugslinie paral- 
lel. Dann diirfen wir schreiben: 

? = ^ ^m 2 ;r ^„ 

wobei Ç die jeweilige ^^-Koordinate des Elektrons, Z der grosste Aus- 
schhig, T die Période ist. Das ausgesandte Licht hat die Wellenlange 

K=VT. 

p sei der Abstand des Punktes (0) vom Anfangspunkt dev Koordi- 



ELEKÏRODYNAMISCHE ELEMENTARGESETZE. 571 

iiateu^ also vom Schwiugimgsmittelpuukt. IFir heschrdnken uns auf den, 
Fall, (lass Z aïs unendlich kleïn gegeiinher A uiul p gelleu darf. Daim ist 
in den Foriuelii (35), i^lQ) rechts : 



(\+YCos{r,r)^ 



duvch Vl+^' + ll) 



uud 



i = fo-Y dm-ch i = t^-^j^=t^-T^- 



zu ersetzen, und wir erlialten, weiin in den Schlussformeln t an Stelle 
von /"q geschrieben wird : 



Uie Forraelu liefeni eineu wohlbekannten Fall der Ausstrahluug von 
einem „leuchtenden Pui/kù" . 

Ucber die ausgestrahlte Energie giebt ain eiufachsten der Poyxtixg- 
sclie Satz Aufschluss. Wenden wiv ihn auf sehr grosse Kugelflachen an, 



so folgt : 



dE «^^^ /^\ Y 



df, 3 \ A y 

wobei — dFj den Euergievei'lust des schwingenden Systèmes wahrend 
di bezeichnet. 

Hieran kuiipft sicli eine intéressante Eolgerung liber die Bdmpfung 
der Schwli/gimgeu élues Elektrons die vinter der Wirkuug eiuer mit der 
Entfernung proportionalen Zentralkraft erfolgen. Damit die eben abge- 
leiteteu Siltze giiltig bleibeu, miisseu wir annehmên, dass die Diimpfung 
nur gering ist. Bedeutet m. die effektive Masse, kZ, die zuriickziehende 
Kraft, so ist abgesehen von dem geringfiigigen Einfluss der Diimpfung 

m — -^ = — kc 
dt^ ^ 



572 E. WIECHEllT. 

zu setzen, woi'aus folgt : 

uiid fiir die Energie der Scliwiiigmigen : 

1 1 /£;r\2 

^ = ^^•^^ = 3(77) ^^-- 

In Verbindung mit unserer Formel filr — dE j df, ergiebt sicli so 
fiir die „Relaxationszeif'\ das heisst die Zeit, in welcher die Amplitude 
auf den 1/2,818. . . Werth ilirer Grosse lierabsinkt, der Werth 

~dî 

Lind i'iir den Weg, den das Liclit wiihreud der llelaxationszeit zurùcklegt, 
der Werth 

3 M ■a'-V^ 

ai = T //= - — : . - . . 

Wir wollen dièse Formel auf den Fall der Aussendung des Lichtes 
einer Spektrallinie anwenden. A setzen wir rund = 1 / 2UU00; fiir //yy« 
mag der Werth 1.10'' angenommen werden, welcher dem Zeeman- 
Phânomen und den Kathodenstrahlen ungefidir entspricht. ; ist nur 
ungenau bekannt; jenachdem raau fiir die Anzahl der Molekiile in 
einem Kubikcentinieter Gas bei 0° C. und unter dem Normaldruck 

N=UV\ oder A = 10-'* 

setzt — womit die moglich scheiuenden Grenzen wohl etwa gekenn- 
zeichnet sind , — ergiebt sich 

,= 13.10-'", oder ; = 1,8.10-'», 
und wir erhalten : 

10 = 3 Meter, oder 10 = 30 Meter. 
Hiermit kounen Beobachtungen liber Tnterferenzen bei grossen 



ELEKTRODYXAMISGHE ELBMENTARGESETZE. 573 

GaiigLiiiterscliiedeii vergliclien werdeti. Als liocliste AVegdiffereuz, bei 
welcher uorh Iiiterferenzen za erkénnen wareii^ ergab sich etwa ^ Meter. 
Wir werden daraus schliessen milssen, dass ausser der Abnahme der 
Schwiuguiigen iufolge der Liclitaussendnng iioch aiulere storende Ursa- 
clieii wirksam waren^ die stiirkcir ziiv Geltuug kauien. Setzen wir, was 
deu Beobachtungen etwa eiitspreclieu wird : 



so folgt 



«'>0,5 Meter, 



/<80.1()-'"; iV>ii()''' 
o 



il B E R DIE M L E K U L A R E A N Z I E H U N G I N S C H W A C H 
G ]M P R I INI I E R T E N G A S E N 



MAX REINGANUM. 



Wir schreibeu die Virialgleicliung vou Clausius ') iu der Torm 

/TN ^ nmu^ , l ,, , , 1 ^,, , 

(1) ôF' = "~^ h^^r/[r)^-i:rF{r). 

Es bedeuteii j) uud r J-)i'uck iiud Voluineii des Gases; ;/^ m uiid u'^ 
Zûû, Masse uud mittleres Quadrat der Geschwiudigkeit der Molekûle; 
r den Abstaud zweier beliebiger Molekûle, / (r) uud F{;)-) die Werte der 
zu dem Abstaud geliôreudeu Abstossuugs- uud Auzieliuugskrilfte der 
betrelfeudeu Molekiile. 

Wir habeu also liuks das Virial des iiussereu Druckes, redits die 
fortschreiteude Euergie der Molekiile^ das Yiiial der Abstossuugskriifte 
//^e uud dasjeuige der Auziehuugskrafte //',. 

Uber die Abstos^ungskriifte macheu wir die Hypothèse, dass die 
Dauer des Stosses fiir die Zvvecke der /yiistaiulsgleichuug (uud auch 
der audereu gastheoretiscUcii Problème) veruachliissigt werdeu kauu, 
wir behaudelii sie a,lso als elastische Mouieutaukriifte, 

l)ie AuzlehaïKjtikfdJ'le solleu sehr rasch, jedocli coutiuuierlich mit 
wachseuder Eiitferuuug uumerklicli werdeu, uud keiue iu Betracht 
komineude Fiiuctiou der Geschwiudigkeit seiu, 

Iii dieseu Griiiiilhypotliesoii bhîibeu wir also gauz auf dem Bodeu 



') Boi/r/MANN, Uastheorie II pag. 139, 1898. 



UBER DIE MOLKKULAUE ANZIEHUNG, U. S. W. 575 

der VAN DER WAALs'schen Théorie. Wir wollen uns aber iusofern von 
der ursprûngliclien Fonn derselbeu eutfernen^ dass wir nicM die Hilfs- 
liY[)othese einfliliren wollen, dass sicli bei allen Dichten die Kriifte der 
Molekûle ira Innern der Gase compensieren. Es ersclieint vielmehr als 
Consequenz unserer Grundanscliaunng, dass wenigstens in genligend ver- 
diinnten Gasen die Wirkung der Anzielmngskrafte bei jedem Voriiber- 
gang oder Stoss zweier Molekiile zum Austrag kommt '). 

W ir woUeu also die planeiarisehe Beelnjhissuug der MoleJciile auf elu- 
ander in RiicksicJd ziehen. 

A\ie sicli fiir diesen Fall dasVirial der Abstossungskriifte andert, habe 
icli in meiner Dissertation mit Hûlfe des BoLTZMANN'sclien Gesetzes fiir 
die raumliche Verteiluug raaterieller mit Kriifteu begabter Punkte be- 
rechnet^) und fand, dass dasselbe dnrch die Anzielmngskrafte vergrôssert 
ist im Verliîiltniss 

c 

(2) «2/,;^(0^gT 

Dies ist gieichzeitig die A^ergrosserung der Zalil der Stôsse. 

Es bedeutet %(«■) die Arbeit, welche durch die Anzielmngskrafte bei 
Annaherung zweier Molekiile bis zur Beriilirung gewouneu wird. a ist 
also der Dnrchmesser der Molekiile, und fiir // gilt 

(;3) h = 



2 ;// 11?- 



T ist die absolute Temperatur und c eine von T unabliangige mit %. 
proportionale Grosse. % und dainit c miissen mit kleiner werdendem 



') Auch VAX DER Waai.s bat sich im Lauf seiner Untersucliung an einer 
Stelle (s. Continuitat 1. Aufl. p. 110, 2. Aufl. 1899 p. 117—118) mit grosser 
Klarheit dieser AufFassung der molekularen Kraftwirkung zugewandt, docl» 
gelangt er zu derselben Zustandsgleiclmng, als wie bei seiner urspriinglichen 
Hypotbese, da er die Vergrusseruug der Stosszabl durcb die Anziebungen ver- 
nacblàssigt. Wir finden daber sein Résultat nur als Grenzwert fiir sebr bobe 
Temperaturen bestâtigt, fiir welcbe die Ablenkungen nicbt mebr in Rûcksicbt 
zu zieben sind. Unser Gedanke ist dagegen am Scbluss der 2. Auflage der 
Continuitat angedeutet. 

*) Reinganum, Théorie und Aufslelluiicj einer Zimlitndsijleichung. Diss. Gôt- 
tingen 1899, pag. 60. Vergl. Nkiîkst, tbeor. Cbemie S Aufl. p. 237. 



576 MAX HETNOANUM. 

Volumen abiiehmeii, da die van dei;, WAAT-s'sche Hypothèse ûber die 
Compensation der inneren Kriifte mit wachsendei" Dichte immer richtiger 
werden inuss. Wir wollen uns jedocli an dieser Stelle ganz auf den Fall 
grosserer Yolumina besclininken^ fiir \A^elclie % und c zn einer Constauten 
convergiert sind und wofiiv auch gleichzeitig fiir die ^A^olumkorrek- 
tion'' b nui" das erste Glied der Eeihe in Frage kommt. 

Was die fortsclireitende Eneigie in (1) betiiti't, so muss dieselbe ganz 
unabhangig von den inneren Kraften sein und inimer proportioual der 
absoluten Teinperatur bleiben. ^) 

Es handelt sich jetzt noch um das Glied des Vlrials der AvzieliunrjH- 
Icrdfte. In der Dissertation begniigte ich mich^ die Bezieliuug desselben 
zur potentiellen Energie und damit zur Ausdebnungswarnie festzustel- 
len, und durcli Auwendung dieser Bezieliung auf die von Herrn Young 
experimentell bestinimten Isotherineu des Isopentans eine erapirische 
Eorra dièses Gliedes zu geben. 

Ich mochte nunmehr zeigen, dass sich die Form des Gliedes rein 
theoretisch bestimmen liisst, und zwar in iibereinstinmiender Weise 
nach einer rein kinetischen und einer thermodynamischen Méthode. 

Zu dieseni Zweck fornien wir zuniichst Gleichung (1) um^ indeni wir 
gleichzeitig das schon uiitgeteilte Résultat iiber dns Virial der Abstos- 
sungskrafte darin aufnehnien, und erhalten 



1 

(4) p- 



1 

V ~ Sv \ '^ 3r /■ 



Wir setzen in der iiblichen Weise 

(5) ^'i^' = 4, „„4' = /,.'/'. (6) 

o o 

Da ferner fiir die Masseneinheit // m = 1 ist^ so wird indem wir den 
„inneren Druck" mit Fi bezcichnen, Gleichung ( !•) 



^) In der citiertea Arbeit behielt icli eiiie besoudere lebendige Kraft der Bescbleu- 
nigungen in der Théorie bei, und zeigte erst spâter (pag. 94), dass man dieselbe 
in praxi vernacblâssigen kann. Dass ich nunmehr die Théorie in dieseni Punkte 
richtig stellen kann, woduvch dieselbe auch an Einfachkeit bedeutend gewinnt 
verdanke ich einer freundlichen Bemerknng von Herrn Prof. Lorkntz. 



UBER DIE MOLEKULARE ANZIEHUNG^ U. S. W, 577 



'2/^; , ,. RT { , , he'' 



(7) P — :r::=P + P-' = —rV 



r 



V V \ V 



') 



Uni uns in der kinetischeu Ableitung niOgliclist kurz fassen zu kou- 
neu^ schliessen wir uns ganz tier Méthode an, nach welclier Bolïzmann 
(Uastlieoi'ie II pag. 155---15()) das A^irial der Abstossungskrafte fur 
contiuuierliclie AA'irkungsgesetze gebildei liât. Statt der Gleichung (1 59) 
ib. erhalten wir in unserer Bezeichuuiigsweise fiir die Anziehungskriifte 
(Diss. pag. 68 Gleichung (18)) 



c2 2;r«2 r -2hfF{r)dr 



Bezeichnen wir mit cp {r) das Poteutial zweier beliebiger Molekiile 
auf einander^ so sieht nian leicht, dass S Cp [r) die Arbeit darstellt, welclie 
zur nnendlicli weiten Eutfernung aller Molekiile von einauder aufzu- 
wenden ist. Biese Arbeit /si aber die iuuere Ansdehmngsioarme bel iso- 
thermer Âusdehiuvg auf unendliches VoJumen. Wir bezeichnen sie mit 
U. Aualog wie fiir //'"; Gleichuug (8) gefunden wurde^ tinden wir fiir U : 

00 

oc ^ 

(9) U==-^^yr-^cp{r)e { dr. 

a- 

Der Vergleich von (8) mit (9) ergiebt den Satz: Fiir grosse Volumi- 

oc 

na, fiir welche 1 /''(;•) dr noch keine Volumfunction ist, ist fiir jedes 

beliebige Kraftwirkungsgesetz das A^erhiiltniss -,-/ unabhilngig vom Vo- 

u 

lumen, d. h. 

\^rF{r) 

(10) ^, , =Konst. 

IJie Grfisse der Konstanten hiingt wie ersichtlich vom Wirkungsgesetz 
der Krafte ab, 

Aus verschiedenen Griinde)!, wejclie ans dem BeobachiHngsmalerial 
hervorgehen, auf welche aber hier nicht eingegavgeu werde.n kavn^ folgt 

AKCHIVES NÉERLANDAISES, SÉlUE II. TOME V. 37 



578 MAX IIEINGANUM, 

mit ziemliclier Sicherltcli, da-s-s i^ieJi die Konstante iveirig von — ■ 1 
tmferaclieuV'i }) Ein theoretisclier Gniiid soll am Sehliiss erwiiliiit werdeii. 
Wir macheii also fiir die Molekularkrafte die Hypothèse^ dass die 
Gleicliuiig gelten soll: 

(11) 1 Z /• ¥{t) =—Z0 (r) oder — | JFi = U 

uiid lugeu dièse Eestsetzung als dritte Hypothèse unserer Gruiidvor- 
stellung eiii. 

Die Zustaiidsgleichung (7) wird also 






(12) P+-^-' 

c 

eine Form, welclie icli zur Bevechiiung von Z»(?^ ans bekannten Aus- 
delmungswarinen U benutzte. 

Fiir die kinetische Ableituiig von P,- geniigt nnn die Relation (11) 
nocli niclit, da dieselbe ein Wirkungsgesetz der Kriifte nocli nicht be- 
stinimt. Wir dehnen dalier die Aussage (11) liber die Suunnen anch 
auf die Wirkung zweier beliebiger Molekiile ans. Daniit evreichen wir 
nocli nebeidjei, dass die Hypothèse Konst. = — 1 auehfiiralle Dichten 
giiltig MÏrd. Wir sclireibeu also : 

(13) \rF{:r) = -^{r) 



oder 



3 



6 f' r 



Hieraus fole-t 



und durch Inteo-ration 



Hg^^r) 



^ig 



•à, 



') Dièse Hypothèse ist ubrigens aiicli implicite in der Théorie von v. d. Waals 
enthalten. Uber ihrc Begriindung vergl. Reinganum 1. c. pag. 89 — 91; ferner: 
liber die Théorie der Zustandsgleichung uud der inneren Reibung. Vorfragge- 
halten auf der deutschen Naturforscherversainmlung zu Aachen 1900. 



ilBKlî, DTK MOLEKULAUE ANZIEHUNG, U. S. W. 579 



3T7 



;m) (?)(.) = ^^-3; i'V) = -^- (15) 



Wii' woUeu auf das Résultat, Aiizieliung iiingekchrt der vierteii Po- 
teuz der Entferiuiiig, hier imr iiisofeni Cewiclit legeii, als es mit der 
Aimahine Konst = — 1 in Ubereiiistiinnmug stelit nud dalier in unserer 
Gleichung (8) substituiert werden kaun '). 

Auf dièse Weise wird (8) zu 

00 2 h k 

(ifi) -3//,= ^= — -3— j^*=p,.,.. 

Mit Riicksicht auf (2), (8), (5) und (G) sowie die Beziehung 
-— „ = ^li^) erhalten wir ans (1(3) 

indeni wir gleiclizeitig gesetzt liaben : 

Zur Ausuertung des Intégrais setzen wir -^ = x, und erhalten 

(18) ^''^"^ J 7'^'"- 

^(«•) 

Intégration des bekainiten Intégrales liefert, indem wir beriicksichti- 
gen dass 

(i9) ^{t)=^' 



') Herr Bakkkr folgerte zuerst dièses Anzieliungsgesetz aus der Grleichung 
vou VAN DicR Waai.s (Jouvn. de Phys.). 

37* 



580 



MAX IIEINGAISUM. 



RhcV 

(20) P, = ^ 



uiid -r-zz7 aus (18) 



•ll\ 



Inc — hiT 



1 



T 2 . 1 . 3 7'2 



c>P, —Rhce'^' 



^T 



Tv' 



Bevor wir das Résultat diskutiereu, wolleu wir eiue therinodyuauiische 
Herleituug desselbeii gebeii, welche iiiclit von deu Eiiizellieiteu desWiv- 
kungsgesetzes der Krafte ablitiiigig ist, soiiderii allein vou der Hypothèse 
Koiist. = — ^ 1 Gebraucli inacht. 

Wir gelieii vou Gleichuug (12) aus uud eutuelimeii der Gleicliuiig 
(15) uLir uoch das allgenieiue Résultat : 



U = 



f{f) 



Wir lieuutzeu jetzt die bekauute tliermodyuauiische Beziehuug 

:23) 






Andererseits folgt aus (22) dieselbe Grosse 



(24) 






Wir ditl'creuziereu Gleichuug (12) bezw. (7) uach T, setzeu das Ré- 
sultat iii (23) eiii uud erhalteu durch Gleichsetzeu vou (23) uud (24) 



Pi=P. 



Rbce 



y; ' 



^T 



(25; 



^Pi —Rbce'^ 



dT 



T.V^ 



Dièses Résultat stiuiiut mit uuserein friilieren (21) iibereiii. lutegra- 



tioii der Gleichuug ergiebt 



-20) F, 



ilBER DIE MOLEKULAKE ANZIEHUNG, U. S. W. 581 

Rhc 



;a-+/..-/.7'+^+^-^+...]. 



Die Tliermodynniink liefert also P, bis auf die lutegratioiiskoustaute 
A', welche aber, wie der Vergleieh mit (20) erkeiiiieii lilsst, in Wirk- 
lichkeit Null ist. 

Es ist wohl beinerkeiiswert. dass so verschiedeue Methoden wie die 

iii'spniiigliche Eaumiutegration iu der kinetisclieii uiid die Temperatur- 

iiitegratiou in der thermodynamisclien Méthode zo demselbeu Ziele 

fidiren. 

^P, , . . 
AA^as mm den Wert von ^ - anbetrittt, so stebt mit unseren Grund- 

anschaunngen in Ubereinstimmnng dass derselbe mit steigeuder Tempera- 

tni- immer mehr verschwindet. Dagegen zeigt sich bei /', das mit unseren 

Aiisgangsliypothesen im A'V iderspruch steliende Résultat, dass der Klam- 

merausdruck fiir holie Temperaturen nicht zu eiuer Konstanten conver- 

giert, sondern, allerdings nur logarithmiscli_, nacli — co zu strebt. Dieser 

Mangel erkliirt sicli daraus, dass erst fur Kraftgesetze von der Eorni 

^ 

A,i , worin ^ eine beliebig kleine positive Grosse ist, das Potential und 

Yirial eines Volumelementes nicht mehr von (ku- Menge der ganzen 
Eliissigkeit, sondern nur von der niihereu Umgebmig abhangt. Dies 
zeigt sich darin dass unser Intégral iu (16) keinen endlichen Wert hat, 
den es eigentlich habeu sollte. Wenu aber ^ nur genugend kleiu ist, so ist 
klar, dass uusereFestsetzung, dass exact Ivonst. = — 1 ist, fiir die meisten 
Berechuungen keinen endlichen Fehler bedingt. So bleibt die Méthode 
richtig, uach welclier ich ans (/ und P, das Yirial der Abstossuugs- 

r 

krafte, d. h. die Griisse fjc' berechnet habe. 

Es bietet sich nun in der That eine Hvpothese iiber das Wesen der 

^ 

Molckuhirkriifte, welche in erster Annaherung zu dem Kraftgesetz — 7- 

fuhrt, iind sqmit fiir unsere Zwecke geeigiiet erscheint. Dieselbe beruht 
in der schon ans anderen Grilnden notwendigeu Einfiihrung von am 
oder im Molekiil haftenden elektrischen ïeilchcn, den Elektronen, von 
Avelchen jedes Molekiil ebeusoviel positive wie négative enthalteii muss. 
Die Molekularkriifte sind dann die wesentlich elektrostatischen Wir- 
kungeii der Molekiile uiiter einander. Es ist bemerkeuswert, dass fiir den 
Abstand der Elektronen, wenu man ihren Laduugen die Grosse elektro- 



582 MAX REINGANUM. ÛBER DIE MOLEKUr,ARE ANZIEHUNG, U. S, W. 

lytisclier loneuladuugeii gicbt, sich aus deu empirischen Werten fiir %(^) 
bezw. c Grôssen berechnen^ welche sehr gut iu die anderen molekularen 
Diinensioueu liereiupasseu ^). 

Wenn eine solclie Auffassuiig, die geeiguet wiire unsere Naturau- 
schauuug wesentlich zu vereiiifaclien^ sich aïs verfolgenswert herausstel- 
leu sollte^ so wiire M'olil vor Allem das BoLxz.AiAXXscdie Gesetz der rauin- 
licheu Verteilung der Schwerpiinkte auf die Verteiluug der Eielituugeii 
der Molekûle uuter dem Einfluss von Kraften, welche gleichzeitig Dreh- 
momente ausûben, zu erweitern. Denn von der gegenseitigen Richtung 
haiigt wesentlich die elektrostatische "VVirkung ab. 

Gleichzeitig ergabe sich ein natiirlicher Ubergang zu der Théorie der 
festen Korper, und es konnteu sich besonders fiir die Gesetze der von 
Kerii entdeckten Doppelbrechung dcîr fliissigen und festen Dielektrika 
im elektrischen Feld, fiir die elastischen und elektrischen Eigenschafteu 
der Kristalle und selbst die chemischen A'^alenzen^), neue Gesichtspuukte 
ergeben. 

Leiden und Mïmder l\W ., Oktober 19 OU. 



') Vergl. RiiiNGANUM, Aachener Naturforschervers. 1. c. 

^) !m Sinne des von Herru Riciiarz auf Giund der Idée von Helmholtz 
betretenen Weges. Wied Ann. 52, p. 385, 1894, 



UEBER DEN VERSUGH V0.\ KLINKEIIFUES 



VON 



H. HAGA. 



Willirend der zu Dûsseldokf tagenden Versaminluiig- deutscher A'^a- 
turforscher uiid Aerzte wuvde^ veraulasst diircli die Referate der Herren 
W. WiEN uud H. A. LouENTZ „Ueber die ITvagen, welche die trans- 
latorische Bewegung des Liclitathers betretfeu" der Wuiisch ausgespro- 
clieii, dass einige aufdiesen Gegenstand sich bezielieude Uutersuchuiigeu 
wiederholt werden mocbteii. In Folge desseii habe ich es untevnominen 
den KLiNKERFTTEs"scbeii Versuch za wiederholen. 

Klinkerfues bat seiue „Vei'SLicbe iiber die Beweguug der Erde mid 
der Soune im Aether'" in der Sitzung der Koniglichen Gesellscbaft der 
Wissenschaften in Gottingeu am 7 Mai 1870 mitgetheilt : Eiue weis